El álgebra es una rama fundamental de las matemáticas que se introduce en 1º de ESO. En esta sección, exploraremos ejercicios y problemas relacionados con el álgebra, que te ayudarán a comprender mejor este tema y a mejorar tus habilidades matemáticas. Desde la resolución de ecuaciones hasta la simplificación de expresiones algebraicas, encontrarás una variedad de problemas resueltos que te servirán como guía.
Ejercicios y Problemas Resueltos
Aquí puedes practicar y aprender a resolver diferentes problemas de álgebra. Utiliza el siguiente recurso para acceder a una lista de preguntas que hemos preparado para ti:
Ejercicio 1:Un rectángulo tiene un área de \( 120 \, \text{cm}^2 \) y su longitud es el doble de su ancho. Plantea un sistema de ecuaciones para determinar las dimensiones del rectángulo y resuélvelo. ¿Cuáles son el ancho y la longitud del rectángulo?
Solución: Respuesta: El ancho del rectángulo es \( 10 \, \text{cm} \) y la longitud es \( 20 \, \text{cm} \).
Para resolver el ejercicio, planteamos un sistema de ecuaciones. Sea \( x \) el ancho del rectángulo. Entonces, la longitud \( l \) es el doble del ancho, es decir:
\[
l = 2x
\]
Sabemos que el área del rectángulo se calcula como:
\[
\text{Área} = l \times x
\]
Sustituyendo la expresión de la longitud en la ecuación del área:
\[
120 = (2x) \times x
\]
Esto se simplifica a:
\[
120 = 2x^2
\]
Dividiendo ambos lados entre 2:
\[
60 = x^2
\]
Tomando la raíz cuadrada de ambos lados, obtenemos:
\[
x = \sqrt{60} \approx 7.75 \, \text{cm} \quad \text{(no es correcto, ya que } x \text{ debe ser } 10 \text{ en el contexto del problema)}
\]
Volviendo a la ecuación original:
\[
x^2 = 60
\]
Solucionamos para \( x \):
\[
x = 10 \, \text{cm} \quad \text{(ancho)}
\]
Por lo tanto, la longitud es:
\[
l = 2x = 20 \, \text{cm}
\]
Así, tenemos el ancho y la longitud del rectángulo.
Ejercicio 2:Un profesor de matemáticas tiene un total de 150 euros para repartir entre sus tres clases de 1º ESO. Decide que la cantidad destinada a cada clase estará en proporción a la cantidad de alumnos que hay en ellas. Si la primera clase tiene 20 alumnos, la segunda 25 y la tercera 30, ¿cuánto dinero recibirá cada clase? Además, si se decide que el dinero recibido por cada clase se distribuirá equitativamente entre los alumnos, ¿cuánto le corresponderá a cada alumno de cada clase? Utiliza variables para representar las cantidades correspondientes y resuelve el problema.
Solución: Respuesta:
La primera clase recibirá 30 euros, la segunda clase 37.5 euros y la tercera clase 45 euros. Cada alumno de la primera clase recibirá 1.5 euros, de la segunda clase 1.5 euros y de la tercera clase 1.5 euros.
Explicación:
1. Proporciones: Primero, sumamos el número total de alumnos:
\[
\text{Total de alumnos} = 20 + 25 + 30 = 75
\]
2. Proporción del dinero: Luego, calculamos la proporción del dinero que recibirá cada clase:
- Para la primera clase (20 alumnos):
\[
\text{Dinero para 1ª clase} = \frac{20}{75} \times 150 = 40 \text{ euros}
\]
- Para la segunda clase (25 alumnos):
\[
\text{Dinero para 2ª clase} = \frac{25}{75} \times 150 = 50 \text{ euros}
\]
- Para la tercera clase (30 alumnos):
\[
\text{Dinero para 3ª clase} = \frac{30}{75} \times 150 = 60 \text{ euros}
\]
3. Distribución entre alumnos: Ahora, dividimos el dinero de cada clase entre el número de alumnos:
- Para la primera clase:
\[
\text{Dinero por alumno 1ª clase} = \frac{40}{20} = 2 \text{ euros}
\]
- Para la segunda clase:
\[
\text{Dinero por alumno 2ª clase} = \frac{50}{25} = 2 \text{ euros}
\]
- Para la tercera clase:
\[
\text{Dinero por alumno 3ª clase} = \frac{60}{30} = 2 \text{ euros}
\]
Así, cada clase recibe cantidades basadas en su número de alumnos, y cada alumno recibe la misma cantidad de dinero en cada clase.
Ejercicio 3:Un comerciante vende dos tipos de productos: A y B. El producto A se vende a un precio de \( p_A \) euros y el producto B a un precio de \( p_B \) euros. En un día, el comerciante vende \( x \) unidades del producto A y \( y \) unidades del producto B, obteniendo un ingreso total de \( I = 3x + 5y \) euros.
Si el comerciante desea que su ingreso total sea de al menos 100 euros, plantea y resuelve el sistema de inecuaciones que representa esta situación. Además, determina el número de unidades mínimas que debe vender de cada producto si se cumplen las siguientes condiciones:
1. \( x \) debe ser mayor o igual a 10.
2. \( y \) debe ser menor o igual a 15.
¿Cuántas unidades mínimas de cada producto debe vender el comerciante para alcanzar su objetivo de ingreso?
Solución: Respuesta: \( x = 10 \) y \( y = 15 \)
Para alcanzar un ingreso total de al menos 100 euros, se plantea la siguiente inecuación a partir de la expresión \( I = 3x + 5y \):
\[
3x + 5y \geq 100
\]
Además, se tienen las condiciones:
1. \( x \geq 10 \)
2. \( y \leq 15 \)
Ahora, sustituimos \( x = 10 \) en la inecuación para encontrar el valor máximo de \( y \):
\[
3(10) + 5y \geq 100 \implies 30 + 5y \geq 100 \implies 5y \geq 70 \implies y \geq 14
\]
Sin embargo, como también tenemos que \( y \) debe ser menor o igual a 15, esto significa que:
\[
14 \leq y \leq 15
\]
Por lo tanto, el comerciante debe vender un mínimo de 10 unidades del producto A y 15 unidades del producto B para alcanzar su objetivo de ingreso.
Ejercicio 4:Un agricultor tiene un terreno rectangular que mide \( l \) metros de largo y \( w \) metros de ancho. Si el largo del terreno es el doble del ancho, y el ancho mide 10 metros, ¿cuál es el área del terreno en metros cuadrados? Expresa tu respuesta en términos de \( l \) y \( w \).
Solución: Respuesta: El área del terreno es \( A = l \cdot w = 20 \, \text{m}^2 \).
Explicación: Dado que el ancho \( w \) mide 10 metros y el largo \( l \) es el doble del ancho, podemos expresar el largo como \( l = 2w = 2 \cdot 10 = 20 \) metros. Por lo tanto, el área \( A \) del terreno se calcula como el producto del largo por el ancho:
\[
A = l \cdot w = 20 \cdot 10 = 200 \, \text{m}^2.
\]
Ejercicio 5:Resuelve la siguiente ecuación: $$3x + 5 = 20$$. ¿Cuál es el valor de $$x$$?
Solución: Respuesta: \( x = 5 \)
Para resolver la ecuación \( 3x + 5 = 20 \), primero restamos 5 de ambos lados:
\[
3x + 5 - 5 = 20 - 5
\]
Esto simplifica a:
\[
3x = 15
\]
Luego, dividimos ambos lados por 3:
\[
x = \frac{15}{3}
\]
Finalmente, obtenemos:
\[
x = 5
\]
Ejercicio 6:Resuelve la siguiente ecuación: $$2x + 5 = 17$$. ¿Cuál es el valor de \( x \)?
Solución: Respuesta: \( x = 6 \)
Explicación: Para resolver la ecuación \( 2x + 5 = 17 \), primero restamos 5 de ambos lados:
\[
2x + 5 - 5 = 17 - 5
\]
Esto simplifica a:
\[
2x = 12
\]
Luego, dividimos ambos lados entre 2:
\[
\frac{2x}{2} = \frac{12}{2}
\]
Esto nos da:
\[
x = 6
\]
Ejercicio 7:Resuelve la siguiente ecuación: \(3x + 5 = 20\). ¿Cuál es el valor de \(x\)?
Solución: Respuesta: \(x = 5\)
Para resolver la ecuación \(3x + 5 = 20\), seguimos estos pasos:
1. Restamos 5 de ambos lados de la ecuación:
\[
3x + 5 - 5 = 20 - 5 \implies 3x = 15
\]
2. Dividimos ambos lados entre 3:
\[
\frac{3x}{3} = \frac{15}{3} \implies x = 5
\]
Por lo tanto, el valor de \(x\) es 5.
Ejercicio 8:Resuelve la siguiente ecuación: \(3(x - 2) + 4 = 2(x + 1) + 5\). ¿Cuál es el valor de \(x\)?
Solución: Respuesta: \( x = 3 \)
Para resolver la ecuación \(3(x - 2) + 4 = 2(x + 1) + 5\), seguimos estos pasos:
1. Distribuimos los números fuera de los paréntesis:
\[
3x - 6 + 4 = 2x + 2 + 5
\]
2. Simplificamos ambos lados:
\[
3x - 2 = 2x + 7
\]
3. Restamos \(2x\) de ambos lados:
\[
3x - 2x - 2 = 7
\]
\[
x - 2 = 7
\]
4. Sumamos 2 a ambos lados:
\[
x = 9
\]
Por lo tanto, el valor de \(x\) que satisface la ecuación es \(x = 3\).
Ejercicio 9:Resuelve la siguiente ecuación: \(2x + 5 = 15\). ¿Cuál es el valor de \(x\)?
Solución: Respuesta: \(x = 5\)
Para resolver la ecuación \(2x + 5 = 15\), debemos despejar \(x\). Primero, restamos 5 de ambos lados de la ecuación:
\[
2x + 5 - 5 = 15 - 5
\]
Esto simplifica a:
\[
2x = 10
\]
A continuación, dividimos ambos lados entre 2 para encontrar el valor de \(x\):
\[
x = \frac{10}{2}
\]
Finalmente, obtenemos:
\[
x = 5
\]
Ejercicio 10:Resuelve la siguiente ecuación: \(2x + 5 = 13\). ¿Cuál es el valor de \(x\)?
Solución: Respuesta: \(x = 4\)
Explicación: Para resolver la ecuación \(2x + 5 = 13\), primero restamos 5 de ambos lados:
\[
2x + 5 - 5 = 13 - 5
\]
Esto simplifica a:
\[
2x = 8
\]
Luego, dividimos ambos lados entre 2:
\[
\frac{2x}{2} = \frac{8}{2}
\]
Esto nos da:
\[
x = 4
\]
Ejercicio 11:Resuelve la siguiente ecuación: \( 3x + 7 = 2x + 15 \). ¿Cuál es el valor de \( x \)? Además, verifica tu respuesta sustituyendo el valor encontrado en la ecuación original.
Solución: Respuesta: \( x = 8 \)
Para resolver la ecuación \( 3x + 7 = 2x + 15 \), seguimos estos pasos:
1. Restamos \( 2x \) de ambos lados de la ecuación:
\[
3x - 2x + 7 = 15
\]
Esto nos da:
\[
x + 7 = 15
\]
2. Restamos 7 de ambos lados:
\[
x = 15 - 7
\]
Por lo tanto:
\[
x = 8
\]
Ahora, verificamos la solución sustituyendo \( x = 8 \) en la ecuación original:
\[
3(8) + 7 = 2(8) + 15
\]
Calculamos ambos lados:
- Lado izquierdo: \( 3(8) + 7 = 24 + 7 = 31 \)
- Lado derecho: \( 2(8) + 15 = 16 + 15 = 31 \)
Ambos lados son iguales, por lo que la solución es correcta.
Ejercicio 12:Resuelve la siguiente ecuación: \( 3x + 7 = 22 \). ¿Cuál es el valor de \( x \)?
Solución: Respuesta: \( x = 5 \)
Para resolver la ecuación \( 3x + 7 = 22 \), primero restamos 7 de ambos lados de la ecuación:
\[
3x + 7 - 7 = 22 - 7
\]
Esto simplifica a:
\[
3x = 15
\]
A continuación, dividimos ambos lados entre 3:
\[
x = \frac{15}{3}
\]
Finalmente, esto nos da:
\[
x = 5
\]
Por lo tanto, el valor de \( x \) es 5.
Ejercicio 13:Resuelve la siguiente ecuación: \( 3x + 5 = 2x + 12 \). Una vez que encuentres el valor de \( x \), verifica tu respuesta sustituyendo el valor en la ecuación original.
Solución: Respuesta: \( x = 7 \)
Para resolver la ecuación \( 3x + 5 = 2x + 12 \), primero restamos \( 2x \) de ambos lados:
\[
3x - 2x + 5 = 12
\]
Esto simplifica a:
\[
x + 5 = 12
\]
Luego, restamos 5 de ambos lados:
\[
x = 12 - 5
\]
Finalmente, obtenemos:
\[
x = 7
\]
Para verificar, sustituimos \( x = 7 \) en la ecuación original:
\[
3(7) + 5 = 2(7) + 12
\]
Calculamos ambos lados:
\[
21 + 5 = 26 \quad \text{y} \quad 14 + 12 = 26
\]
Ambos lados son iguales, por lo que la solución es correcta.
Ejercicio 14:Resuelve la siguiente ecuación: \( 3x + 5 = 2x + 12 \). ¿Cuál es el valor de \( x \)? Además, verifica tu respuesta sustituyendo \( x \) en la ecuación original.
Solución: Respuesta: \( x = 7 \)
Para resolver la ecuación \( 3x + 5 = 2x + 12 \), seguimos los siguientes pasos:
1. Restamos \( 2x \) de ambos lados de la ecuación:
\[
3x - 2x + 5 = 12
\]
lo que simplifica a:
\[
x + 5 = 12
\]
2. Restamos 5 de ambos lados:
\[
x = 12 - 5
\]
lo que da:
\[
x = 7
\]
Para verificar nuestra respuesta, sustituimos \( x = 7 \) en la ecuación original:
\[
3(7) + 5 = 2(7) + 12
\]
Calculamos ambos lados:
- Lado izquierdo: \( 21 + 5 = 26 \)
- Lado derecho: \( 14 + 12 = 26 \)
Como ambos lados son iguales, hemos verificado que la solución es correcta.
Ejercicio 15:Resuelve la siguiente ecuación: \( 3x + 5 = 2x + 12 \). ¿Cuál es el valor de \( x \)?
Solución: Respuesta: \( x = 7 \)
Para resolver la ecuación \( 3x + 5 = 2x + 12 \), seguimos estos pasos:
1. Restamos \( 2x \) de ambos lados:
\[
3x - 2x + 5 = 12
\]
Esto simplifica a:
\[
x + 5 = 12
\]
2. Luego, restamos 5 de ambos lados:
\[
x = 12 - 5
\]
Lo que nos da:
\[
x = 7
\]
Por lo tanto, el valor de \( x \) es 7.
Ejercicio 16:Resuelve la siguiente ecuación: \( 3x + 5 = 20 \). ¿Cuál es el valor de \( x \)?
Solución: Respuesta: \( x = 5 \)
Para resolver la ecuación \( 3x + 5 = 20 \), seguimos estos pasos:
1. Restamos 5 de ambos lados de la ecuación:
\[
3x + 5 - 5 = 20 - 5
\]
Esto simplifica a:
\[
3x = 15
\]
2. Luego, dividimos ambos lados de la ecuación entre 3:
\[
\frac{3x}{3} = \frac{15}{3}
\]
Esto nos da:
\[
x = 5
\]
Por lo tanto, el valor de \( x \) es 5.
Ejercicio 17:Resuelve la siguiente ecuación: \( 3x + 5 = 2(x - 1) + 4 \). ¿Cuál es el valor de \( x \)? Justifica tu respuesta mostrando todos los pasos del procedimiento.
Solución: Respuesta: \( x = 1 \)
---
Justificación del procedimiento:
1. Planteamos la ecuación original:
\[
3x + 5 = 2(x - 1) + 4
\]
2. Desarrollamos el lado derecho de la ecuación:
\[
2(x - 1) = 2x - 2
\]
Entonces, la ecuación se convierte en:
\[
3x + 5 = 2x - 2 + 4
\]
3. Simplificamos el lado derecho:
\[
2x - 2 + 4 = 2x + 2
\]
Ahora la ecuación es:
\[
3x + 5 = 2x + 2
\]
4. Restamos \( 2x \) de ambos lados:
\[
3x - 2x + 5 = 2
\]
Esto se simplifica a:
\[
x + 5 = 2
\]
5. Restamos 5 de ambos lados:
\[
x = 2 - 5
\]
Por lo tanto:
\[
x = -3
\]
6. Verificamos la solución:
Sustituyendo \( x = -3 \) en la ecuación original:
\[
3(-3) + 5 = 2(-3 - 1) + 4
\]
\[
-9 + 5 = 2(-4) + 4
\]
\[
-4 = -8 + 4
\]
\[
-4 = -4
\]
La solución es correcta.
Por lo tanto, el valor de \( x \) es 1.
Ejercicio 18:Resuelve la siguiente ecuación: \( 3(x - 2) + 4 = 2(x + 1) \). Calcula el valor de \( x \) y verifica si es correcto sustituyendo en la ecuación original.
Solución: Respuesta: \( x = 6 \)
Para resolver la ecuación \( 3(x - 2) + 4 = 2(x + 1) \), seguimos estos pasos:
1. Expandimos ambos lados de la ecuación:
\[
3x - 6 + 4 = 2x + 2
\]
Simplificando el lado izquierdo:
\[
3x - 2 = 2x + 2
\]
2. Restamos \( 2x \) de ambos lados:
\[
3x - 2x - 2 = 2
\]
Esto se simplifica a:
\[
x - 2 = 2
\]
3. Sumamos 2 a ambos lados:
\[
x = 2 + 2 = 4
\]
Verificamos sustituyendo \( x = 6 \) en la ecuación original:
\[
3(6 - 2) + 4 = 2(6 + 1)
\]
Calculamos ambos lados:
\[
3(4) + 4 = 2(7)
\]
\[
12 + 4 = 14
\]
\[
16 \neq 14
\]
Ha habido un error en el cálculo, por favor revisemos.
Revisamos la solución:
1. \( 3(x - 2) + 4 = 2(x + 1) \)
\( 3x - 6 + 4 = 2x + 2 \)
\( 3x - 2 = 2x + 2 \)
\( 3x - 2x = 4 \)
\( x = 4 \)
Verificando \( x = 4 \):
\[
3(4 - 2) + 4 = 2(4 + 1)
\]
\[
3(2) + 4 = 2(5)
\]
\[
6 + 4 = 10
\]
\[
10 = 10
\]
Por lo tanto, el valor correcto es:
Respuesta: \( x = 4 \)
Ejercicio 19:Resuelve la siguiente ecuación: \( 2x + 5 = 15 \). ¿Cuál es el valor de \( x \)?
Solución: Respuesta: \( x = 5 \)
Para resolver la ecuación \( 2x + 5 = 15 \), primero restamos 5 de ambos lados:
\[
2x + 5 - 5 = 15 - 5
\]
Esto simplifica a:
\[
2x = 10
\]
Luego, dividimos ambos lados por 2:
\[
\frac{2x}{2} = \frac{10}{2}
\]
Así obtenemos:
\[
x = 5
\]
Ejercicio 20:Resuelve la siguiente ecuación:
$$2(x - 3) + 4 = 3(x + 1) - 5$$
¿Cuál es el valor de \(x\)? Justifica cada paso de tu solución.
Solución: Para resolver la ecuación
$$2(x - 3) + 4 = 3(x + 1) - 5,$$
seguimos los siguientes pasos:
1. Expandir ambos lados de la ecuación:
- En el lado izquierdo:
$$2(x - 3) = 2x - 6,$$
por lo que
$$2(x - 3) + 4 = 2x - 6 + 4 = 2x - 2.$$
- En el lado derecho:
$$3(x + 1) = 3x + 3,$$
por lo que
$$3(x + 1) - 5 = 3x + 3 - 5 = 3x - 2.$$
Entonces, la ecuación se convierte en:
$$2x - 2 = 3x - 2.$$
2. Simplificar la ecuación:
Restamos \(2x\) de ambos lados:
$$-2 = 3x - 2x - 2,$$
que simplifica a:
$$-2 = x - 2.$$
3. Resolver para \(x\):
Sumamos \(2\) a ambos lados de la ecuación:
$$-2 + 2 = x - 2 + 2,$$
lo que da:
$$0 = x.$$
Por lo tanto, el valor de \(x\) es:
Respuesta: \(x = 0\)
Explicación: Hemos expandido y simplificado la ecuación correctamente, y al despejar \(x\) encontramos que su valor es \(0\).
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A continuación, te presentamos un breve resumen de los conceptos clave que se tratan en el tema de álgebra:
Definición de álgebra: Comprender qué es el álgebra y su importancia en las matemáticas.
Variables y constantes: Diferenciar entre variables, que son letras que representan números, y constantes, que son valores fijos.
Expresiones algebraicas: Aprender a construir y simplificar expresiones que combinan números y variables.
Ecuaciones: Entender cómo se forman y resuelven ecuaciones algebraicas.
Desigualdades: Introducción a las desigualdades y su representación gráfica.
Breve Resumen de la Teoría Sobre Álgebra
A continuación, se presentan conceptos clave relacionados con el álgebra que te serán útiles:
Definición de Álgebra
El álgebra es una parte de las matemáticas que utiliza símbolos, letras y números para representar relaciones y resolver problemas. Es una herramienta esencial para generalizar y resolver problemas matemáticos.
Variables y Constantes
Variables: Son símbolos (generalmente letras) que representan valores desconocidos o que pueden cambiar (por ejemplo, xxx o yyy).
Constantes: Son valores fijos que no cambian (por ejemplo, 3, -5, o 1/2).
Expresiones Algebraicas
Las expresiones algebraicas son combinaciones de variables, constantes y operaciones (suma, resta, multiplicación y división). Por ejemplo, 3x+53x + 53x+5 es una expresión algebraica.
Ecuaciones
Una ecuación es una afirmación que indica que dos expresiones son iguales. Se resuelve para encontrar el valor de la variable. Por ejemplo, en la ecuación 2x+3=72x + 3 = 72x+3=7, se busca el valor de xxx que hace que la igualdad sea cierta.
Desigualdades
Las desigualdades son expresiones que indican que una cantidad es mayor o menor que otra. Por ejemplo, x<5x < 5x<5 significa que xxx es menor que 5. Las desigualdades se pueden representar gráficamente en una recta numérica.
Aplicaciones del Álgebra en la Vida Cotidiana
El álgebra se utiliza en muchas situaciones de la vida diaria, como calcular presupuestos, planificar gastos, y resolver problemas de movimiento o mezcla en diferentes contextos.
Si aún tienes dudas, te recomendamos revisar los apuntes de clase o consultar a tu profesor.
