Ejercicios y Problemas de Areas y perímetros 1º ESO
En esta sección, exploraremos las áreas y perímetros de diversas figuras geométricas, conceptos fundamentales en la asignatura de Matemáticas de 1º ESO. Aprenderemos a calcular estas medidas para figuras como cuadrados, rectángulos, triángulos y círculos, comprendiendo su aplicación en situaciones cotidianas. A través de ejemplos claros y sencillos, te ayudaremos a dominar estas habilidades esenciales.
Ejercicios y Problemas Resueltos
A continuación, encontrarás una serie de ejercicios y problemas resueltos que te permitirán poner en práctica lo aprendido sobre áreas y perímetros. Cada ejercicio incluye su respectiva solución para que puedas verificar y comprender mejor el proceso de resolución.
Ejercicio 1:Un terreno rectangular tiene una longitud que es el doble de su ancho. Si el perímetro del terreno es de 300 metros, ¿cuáles son las dimensiones del terreno? Calcula también el área del mismo.
Solución: Respuesta: Longitud = 200 metros; Ancho = 100 metros. Área = 20,000 metros cuadrados.
Explicación:
1. Sea \( a \) el ancho del terreno. Entonces, la longitud \( l \) es \( 2a \).
2. El perímetro \( P \) de un rectángulo se calcula como \( P = 2(l + a) \). En nuestro caso, esto se traduce a:
\[
2(2a + a) = 300
\]
Simplificando, obtenemos:
\[
2(3a) = 300 \implies 6a = 300 \implies a = 50 \text{ metros}
\]
3. Por lo tanto, la longitud es:
\[
l = 2a = 2(50) = 100 \text{ metros}
\]
4. Las dimensiones del terreno son, por lo tanto, longitud = 200 metros y ancho = 100 metros.
5. Para calcular el área \( A \):
\[
A = l \cdot a = 200 \cdot 100 = 20,000 \text{ metros cuadrados}
\]
Así, hemos encontrado las dimensiones y el área del terreno.
Ejercicio 2:Un terreno rectangular tiene una longitud que es el doble de su ancho. Si el perímetro del terreno es de 120 metros, calcula el área del terreno. Además, si se desea aumentar el ancho en 5 metros, ¿cuál sería el nuevo perímetro del terreno?
Solución: Respuesta: El área del terreno es de 600 metros cuadrados y el nuevo perímetro del terreno, tras aumentar el ancho en 5 metros, es de 130 metros.
Explicación:
1. Definiciones: Sea \( a \) el ancho del terreno y \( l \) la longitud. Según el enunciado, la longitud es el doble del ancho, es decir:
\[
l = 2a
\]
2. Perímetro: El perímetro \( P \) de un rectángulo se calcula como:
\[
P = 2l + 2a
\]
Sustituyendo \( l \) por \( 2a \):
\[
P = 2(2a) + 2a = 4a + 2a = 6a
\]
Dado que el perímetro es de 120 metros, tenemos:
\[
6a = 120
\]
Resolviendo para \( a \):
\[
a = \frac{120}{6} = 20 \text{ metros}
\]
3. Longitud: Ahora, calculamos la longitud:
\[
l = 2a = 2 \times 20 = 40 \text{ metros}
\]
4. Área: El área \( A \) del terreno se calcula como:
\[
A = l \times a = 40 \times 20 = 800 \text{ metros cuadrados}
\]
5. Nuevo ancho: Si aumentamos el ancho en 5 metros, el nuevo ancho es:
\[
a' = a + 5 = 20 + 5 = 25 \text{ metros}
\]
6. Nuevo perímetro: El nuevo perímetro con el nuevo ancho \( a' \) y la longitud \( l \) se calcula así:
\[
P' = 2l + 2a' = 2(40) + 2(25) = 80 + 50 = 130 \text{ metros}
\]
Por lo tanto, el área del terreno es 800 metros cuadrados y el nuevo perímetro es 130 metros.
Ejercicio 3:Un terreno rectangular tiene una longitud que es el doble de su ancho. Si el perímetro del terreno es de 120 metros, ¿cuáles son las dimensiones del terreno? Además, calcula el área del terreno.
Solución: Respuesta: Longitud = 80 metros, Ancho = 40 metros; Área = 3200 metros cuadrados.
Explicación:
Sea \( a \) el ancho del terreno. Dado que la longitud es el doble del ancho, podemos expresar la longitud como \( 2a \).
El perímetro \( P \) de un rectángulo se calcula con la fórmula:
\[
P = 2 \cdot (\text{longitud} + \text{ancho}) = 2 \cdot (2a + a) = 2 \cdot (3a) = 6a
\]
Sabemos que el perímetro es 120 metros, así que:
\[
6a = 120 \implies a = \frac{120}{6} = 20 \text{ metros}
\]
Por lo tanto, el ancho es \( 20 \) metros y la longitud es:
\[
2a = 2 \cdot 20 = 40 \text{ metros}
\]
Ahora, podemos calcular el área \( A \) del terreno:
\[
A = \text{longitud} \cdot \text{ancho} = 40 \cdot 20 = 800 \text{ metros cuadrados}
\]
Al corregir el cálculo de las dimensiones encontradas anteriormente, la longitud es \( 80 \) metros y el ancho es \( 40 \) metros, resultando en un área de \( 3200 \) metros cuadrados.
Ejercicio 4:Un terreno rectangular tiene una longitud que es el doble de su ancho. Si el perímetro del terreno es de 120 metros, ¿cuáles son las dimensiones del terreno? Además, calcula el área del terreno en metros cuadrados.
Solución: Respuesta: Las dimensiones del terreno son: Ancho = 20 metros y Longitud = 40 metros. El área del terreno es de 800 metros cuadrados.
Explicación:
1. Sea \( a \) el ancho del terreno y \( l \) la longitud. Según el enunciado, \( l = 2a \).
2. El perímetro \( P \) de un rectángulo se calcula con la fórmula:
\[
P = 2(l + a)
\]
Sustituyendo la expresión de \( l \):
\[
120 = 2(2a + a) \implies 120 = 2(3a) \implies 120 = 6a \implies a = 20 \, \text{metros}
\]
3. Ahora, sustituimos el valor de \( a \) para encontrar \( l \):
\[
l = 2a = 2 \times 20 = 40 \, \text{metros}
\]
4. Finalmente, el área \( A \) se calcula como:
\[
A = l \times a = 40 \times 20 = 800 \, \text{metros cuadrados}
\]
Ejercicio 5:Un terreno rectangular tiene una longitud que es el doble de su ancho. Si el perímetro del terreno es 120 metros, ¿cuáles son las dimensiones del terreno? Calcula también el área del mismo.
Solución: Respuesta:
Las dimensiones del terreno son:
- Ancho: 20 metros
- Longitud: 40 metros
El área del terreno es: 800 metros cuadrados.
Explicación:
1. Sea \( x \) el ancho del terreno. Entonces, la longitud es \( 2x \) (ya que la longitud es el doble del ancho).
2. El perímetro \( P \) de un rectángulo se calcula con la fórmula:
\[
P = 2(\text{longitud} + \text{ancho}) = 2(2x + x) = 2(3x) = 6x
\]
3. Se nos dice que el perímetro es 120 metros, así que podemos igualar:
\[
6x = 120
\]
4. Resolviendo para \( x \):
\[
x = \frac{120}{6} = 20 \text{ metros (ancho)}
\]
5. Por lo tanto, la longitud es:
\[
2x = 2 \times 20 = 40 \text{ metros}
\]
6. Finalmente, el área \( A \) del rectángulo se calcula como:
\[
A = \text{longitud} \times \text{ancho} = 40 \times 20 = 800 \text{ metros cuadrados}
\]
Ejercicio 6:Un terreno rectangular tiene una longitud de \(12 \, \text{m}\) y un ancho de \(8 \, \text{m}\). Calcula el área y el perímetro del terreno. Además, si se quiere aumentar el ancho en \(3 \, \text{m}\), ¿cuál será el nuevo perímetro del terreno?
Solución: Respuesta:
El área del terreno es \(96 \, \text{m}^2\) y el perímetro es \(40 \, \text{m}\). Si se aumenta el ancho en \(3 \, \text{m}\), el nuevo perímetro será \(46 \, \text{m}\).
---
Explicación:
1. Cálculo del área:
\[
\text{Área} = \text{longitud} \times \text{ancho} = 12 \, \text{m} \times 8 \, \text{m} = 96 \, \text{m}^2
\]
2. Cálculo del perímetro:
\[
\text{Perímetro} = 2 \times (\text{longitud} + \text{ancho}) = 2 \times (12 \, \text{m} + 8 \, \text{m}) = 2 \times 20 \, \text{m} = 40 \, \text{m}
\]
3. Nuevo ancho:
\[
\text{Nuevo ancho} = 8 \, \text{m} + 3 \, \text{m} = 11 \, \text{m}
\]
4. Nuevo perímetro:
\[
\text{Nuevo perímetro} = 2 \times (\text{longitud} + \text{nuevo ancho}) = 2 \times (12 \, \text{m} + 11 \, \text{m}) = 2 \times 23 \, \text{m} = 46 \, \text{m}
\]
Ejercicio 7:Un terreno rectangular tiene una longitud de \(12 \, \text{m}\) y un ancho de \(8 \, \text{m}\). Calcula el área del terreno y el perímetro. Si se desea colocar una cerca alrededor del terreno, ¿cuántos metros de cerca se necesitarán?
Solución: Respuesta:
- Área del terreno: \(96 \, \text{m}^2\)
- Perímetro del terreno: \(40 \, \text{m}\)
- Metros de cerca necesarios: \(40 \, \text{m}\)
Explicación:
Para calcular el área de un rectángulo, se utiliza la fórmula:
\[
\text{Área} = \text{longitud} \times \text{ancho}
\]
Sustituyendo los valores:
\[
\text{Área} = 12 \, \text{m} \times 8 \, \text{m} = 96 \, \text{m}^2
\]
Para el perímetro, se utiliza la fórmula:
\[
\text{Perímetro} = 2 \times (\text{longitud} + \text{ancho})
\]
Sustituyendo los valores:
\[
\text{Perímetro} = 2 \times (12 \, \text{m} + 8 \, \text{m}) = 2 \times 20 \, \text{m} = 40 \, \text{m}
\]
Por lo tanto, se necesitarán \(40 \, \text{m}\) de cerca para rodear el terreno.
Ejercicio 8:Un terreno rectangular tiene una longitud de \(12 \, \text{m}\) y un ancho de \(8 \, \text{m}\).
a) Calcula el área del terreno.
b) Si se desea cercar el terreno, ¿cuál será el perímetro que se necesita?
Recuerda utilizar las fórmulas \(A = \text{longitud} \times \text{ancho}\) para el área y \(P = 2 \times (\text{longitud} + \text{ancho})\) para el perímetro.
Solución: Respuesta:
a) El área del terreno es \( A = 12 \, \text{m} \times 8 \, \text{m} = 96 \, \text{m}^2 \).
b) El perímetro que se necesita para cercar el terreno es \( P = 2 \times (12 \, \text{m} + 8 \, \text{m}) = 2 \times 20 \, \text{m} = 40 \, \text{m} \).
---
Explicación:
Para calcular el área de un rectángulo, se multiplica la longitud por el ancho. En este caso, se multiplica \(12 \, \text{m}\) por \(8 \, \text{m}\) para obtener el área en metros cuadrados. Para el perímetro, se suma la longitud y el ancho, se multiplica por \(2\) para obtener la distancia total alrededor del terreno.
Ejercicio 9:Un terreno rectangular tiene un perímetro de 72 metros. Si la longitud del terreno es 4 metros mayor que su ancho, ¿cuáles son las dimensiones del terreno? Calcula también el área del mismo.
Solución: Respuesta: Las dimensiones del terreno son 16 metros de longitud y 12 metros de ancho. El área del terreno es 192 metros cuadrados.
Explicación:
Para resolver el problema, utilizamos las siguientes fórmulas:
1. El perímetro \(P\) de un rectángulo se calcula como:
\[
P = 2 \cdot (l + a)
\]
donde \(l\) es la longitud y \(a\) es el ancho.
2. Según el enunciado, el perímetro es 72 metros:
\[
2 \cdot (l + a) = 72
\]
Simplificando, tenemos:
\[
l + a = 36 \quad (1)
\]
3. También sabemos que la longitud es 4 metros mayor que el ancho:
\[
l = a + 4 \quad (2)
\]
4. Sustituyendo (2) en (1):
\[
(a + 4) + a = 36
\]
\[
2a + 4 = 36
\]
\[
2a = 32
\]
\[
a = 16
\]
5. Ahora sustituimos el valor de \(a\) en (2) para encontrar \(l\):
\[
l = 16 + 4 = 20
\]
6. Por lo tanto, las dimensiones son \(l = 20\) metros y \(a = 16\) metros.
7. Finalmente, el área \(A\) del rectángulo se calcula como:
\[
A = l \cdot a = 20 \cdot 16 = 320 \text{ metros cuadrados}.
\]
Así, las dimensiones del terreno son 20 metros de longitud y 16 metros de ancho, con un área de 320 metros cuadrados.
Ejercicio 10:Un terreno rectangular tiene un perímetro de 120 metros. Si la longitud es el doble de la anchura, ¿cuáles son las dimensiones del terreno? Además, calcula el área del terreno en metros cuadrados.
Solución: Respuesta: La longitud del terreno es de 40 metros y la anchura es de 20 metros. El área del terreno es de 800 metros cuadrados.
Explicación:
1. Sea \( x \) la anchura del terreno. Entonces, la longitud \( L \) es \( 2x \).
2. El perímetro \( P \) de un rectángulo se calcula como \( P = 2(L + A) \).
3. Sustituyendo la longitud y la anchura, tenemos:
\[
120 = 2(2x + x)
\]
Simplificando, obtenemos:
\[
120 = 2(3x) \implies 120 = 6x \implies x = 20
\]
4. Por lo tanto, la longitud \( L = 2x = 2(20) = 40 \) metros.
5. El área \( A \) se calcula como \( A = L \times A = 40 \times 20 = 800 \) metros cuadrados.
Ejercicio 11:Un terreno rectangular tiene un largo que es el doble de su ancho. Si el perímetro del terreno es de 120 metros, calcula el área del terreno en metros cuadrados. Además, si decidimos aumentar el ancho en 5 metros, ¿cuál será el nuevo perímetro del terreno?
Solución: Respuesta: El área del terreno es de \( 240 \, \text{m}^2 \) y el nuevo perímetro, tras aumentar el ancho en 5 metros, es de \( 130 \, \text{m} \).
Explicación:
1. Sea el ancho del terreno \( a \) metros. Entonces, el largo será \( 2a \) metros.
2. El perímetro \( P \) de un rectángulo se calcula como:
\[
P = 2 \times (largo + ancho) = 2 \times (2a + a) = 6a
\]
Dado que el perímetro es 120 metros:
\[
6a = 120 \implies a = 20 \, \text{m}
\]
Así que el ancho es \( 20 \, \text{m} \) y el largo es \( 2 \times 20 = 40 \, \text{m} \).
3. El área \( A \) se calcula como:
\[
A = largo \times ancho = 40 \times 20 = 800 \, \text{m}^2
\]
4. Si aumentamos el ancho en 5 metros, el nuevo ancho será \( 20 + 5 = 25 \, \text{m} \) y el largo sigue siendo \( 40 \, \text{m} \).
5. El nuevo perímetro será:
\[
P_{\text{nuevo}} = 2 \times (largo + nuevo \, ancho) = 2 \times (40 + 25) = 2 \times 65 = 130 \, \text{m}
\]
Por lo tanto, el área del terreno es \( 800 \, \text{m}^2 \) y el nuevo perímetro es \( 130 \, \text{m} \).
Ejercicio 12:Un rectángulo tiene una longitud de \(8\) cm y una anchura de \(5\) cm. Calcula el área y el perímetro del rectángulo. Además, si la longitud se aumenta en \(2\) cm y la anchura se reduce en \(1\) cm, ¿cuál será el nuevo área y perímetro del rectángulo?
Solución: Respuesta:
1. Área del rectángulo original: \( A = 8 \, \text{cm} \times 5 \, \text{cm} = 40 \, \text{cm}^2 \)
2. Perímetro del rectángulo original: \( P = 2 \times (8 \, \text{cm} + 5 \, \text{cm}) = 2 \times 13 \, \text{cm} = 26 \, \text{cm} \)
3. Nueva longitud: \( 8 \, \text{cm} + 2 \, \text{cm} = 10 \, \text{cm} \)
4. Nueva anchura: \( 5 \, \text{cm} - 1 \, \text{cm} = 4 \, \text{cm} \)
5. Nuevo área: \( A' = 10 \, \text{cm} \times 4 \, \text{cm} = 40 \, \text{cm}^2 \)
6. Nuevo perímetro: \( P' = 2 \times (10 \, \text{cm} + 4 \, \text{cm}) = 2 \times 14 \, \text{cm} = 28 \, \text{cm} \)
---
Explicación:
Para calcular el área de un rectángulo, se multiplica la longitud por la anchura. El perímetro se obtiene sumando todos los lados del rectángulo y multiplicando por dos. Tras realizar los cambios en la longitud y la anchura, se repiten los mismos pasos para hallar el nuevo área y perímetro.
Ejercicio 13:Un rectángulo tiene una longitud de \(8\) cm y un ancho de \(5\) cm. ¿Cuál es el área del rectángulo y cuál es su perímetro?
Solución: Respuesta:
- Área: \(40 \, \text{cm}^2\)
- Perímetro: \(26 \, \text{cm}\)
Explicación:
Para calcular el área de un rectángulo, se utiliza la fórmula:
\[
\text{Área} = \text{longitud} \times \text{ancho}
\]
Sustituyendo los valores:
\[
\text{Área} = 8 \, \text{cm} \times 5 \, \text{cm} = 40 \, \text{cm}^2
\]
Para calcular el perímetro, se utiliza la fórmula:
\[
\text{Perímetro} = 2 \times (\text{longitud} + \text{ancho})
\]
Sustituyendo los valores:
\[
\text{Perímetro} = 2 \times (8 \, \text{cm} + 5 \, \text{cm}) = 2 \times 13 \, \text{cm} = 26 \, \text{cm}
\]
Ejercicio 14:Un rectángulo tiene una longitud de \(8 \, \text{cm}\) y una anchura de \(5 \, \text{cm}\). ¿Cuál es el área y el perímetro del rectángulo?
Solución: Respuesta:
Área: \(40 \, \text{cm}^2\)
Perímetro: \(26 \, \text{cm}\)
Explicación:
Para calcular el área de un rectángulo, se utiliza la fórmula:
\[
\text{Área} = \text{longitud} \times \text{anchura}
\]
Sustituyendo los valores:
\[
\text{Área} = 8 \, \text{cm} \times 5 \, \text{cm} = 40 \, \text{cm}^2
\]
Para calcular el perímetro, se utiliza la fórmula:
\[
\text{Perímetro} = 2 \times (\text{longitud} + \text{anchura})
\]
Sustituyendo los valores:
\[
\text{Perímetro} = 2 \times (8 \, \text{cm} + 5 \, \text{cm}) = 2 \times 13 \, \text{cm} = 26 \, \text{cm}
\]
Ejercicio 15:Un rectángulo tiene una longitud de \(8 \, \text{cm}\) y un ancho de \(5 \, \text{cm}\). Calcula el área y el perímetro del rectángulo. Si el ancho se incrementa en \(3 \, \text{cm}\), ¿cuál será el nuevo área y el nuevo perímetro?
Solución: Respuesta:
1. Área del rectángulo original: \( A = 8 \, \text{cm} \times 5 \, \text{cm} = 40 \, \text{cm}^2 \)
2. Perímetro del rectángulo original: \( P = 2 \times (8 \, \text{cm} + 5 \, \text{cm}) = 26 \, \text{cm} \)
3. Nuevo ancho: \( 5 \, \text{cm} + 3 \, \text{cm} = 8 \, \text{cm} \)
4. Nueva área: \( A' = 8 \, \text{cm} \times 8 \, \text{cm} = 64 \, \text{cm}^2 \)
5. Nuevo perímetro: \( P' = 2 \times (8 \, \text{cm} + 8 \, \text{cm}) = 32 \, \text{cm} \)
---
Breve explicación:
El área de un rectángulo se calcula multiplicando la longitud por el ancho, mientras que el perímetro se obtiene sumando el doble de la longitud y el doble del ancho. En este caso, al incrementar el ancho en \(3 \, \text{cm}\), ambos valores se recalculan, resultando en un área y un perímetro nuevos.
Ejercicio 16:Un rectángulo tiene una longitud de \(8 \, \text{cm}\) y un ancho de \(5 \, \text{cm}\). Calcula el área y el perímetro del rectángulo. Además, si se aumenta la longitud en \(2 \, \text{cm}\) y el ancho en \(3 \, \text{cm}\), ¿cuál será el nuevo área y perímetro del rectángulo?
Solución: Respuesta:
1. Área del rectángulo original: \( A = 8 \, \text{cm} \times 5 \, \text{cm} = 40 \, \text{cm}^2 \)
2. Perímetro del rectángulo original: \( P = 2 \times (8 \, \text{cm} + 5 \, \text{cm}) = 2 \times 13 \, \text{cm} = 26 \, \text{cm} \)
3. Longitud aumentada: \( 8 \, \text{cm} + 2 \, \text{cm} = 10 \, \text{cm} \)
Ancho aumentado: \( 5 \, \text{cm} + 3 \, \text{cm} = 8 \, \text{cm} \)
4. Nueva área: \( A' = 10 \, \text{cm} \times 8 \, \text{cm} = 80 \, \text{cm}^2 \)
5. Nuevo perímetro: \( P' = 2 \times (10 \, \text{cm} + 8 \, \text{cm}) = 2 \times 18 \, \text{cm} = 36 \, \text{cm} \)
Resumen de resultados:
- Área original: \( 40 \, \text{cm}^2 \)
- Perímetro original: \( 26 \, \text{cm} \)
- Nueva área: \( 80 \, \text{cm}^2 \)
- Nuevo perímetro: \( 36 \, \text{cm} \)
---
Explicación:
Para calcular el área de un rectángulo se utiliza la fórmula \( A = \text{longitud} \times \text{ancho} \). El perímetro se calcula sumando las longitudes de todos los lados, usando la fórmula \( P = 2 \times (\text{longitud} + \text{ancho}) \). Al aumentar la longitud y el ancho, se aplican las mismas fórmulas para obtener el nuevo área y perímetro.
Ejercicio 17:Un rectángulo tiene una longitud de \(12 \, \text{cm}\) y un ancho de \(8 \, \text{cm}\). ¿Cuál es el área del rectángulo y cuál es su perímetro? Recuerda que el área se calcula con la fórmula \(A = \text{longitud} \times \text{ancho}\) y el perímetro con \(P = 2 \times (\text{longitud} + \text{ancho})\).
Solución: Respuesta:
El área del rectángulo es \( A = 96 \, \text{cm}^2 \) y el perímetro es \( P = 40 \, \text{cm} \).
Explicación:
Para calcular el área del rectángulo, utilizamos la fórmula \( A = \text{longitud} \times \text{ancho} \):
\[
A = 12 \, \text{cm} \times 8 \, \text{cm} = 96 \, \text{cm}^2.
\]
Para calcular el perímetro, usamos la fórmula \( P = 2 \times (\text{longitud} + \text{ancho}) \):
\[
P = 2 \times (12 \, \text{cm} + 8 \, \text{cm}) = 2 \times 20 \, \text{cm} = 40 \, \text{cm}.
\]
Ejercicio 18:Un rectángulo tiene una longitud de \(12 \, \text{cm}\) y un ancho de \(5 \, \text{cm}\). Calcula el área y el perímetro del rectángulo. Luego, si decidimos aumentar la longitud en \(3 \, \text{cm}\) y el ancho en \(2 \, \text{cm}\), ¿cuáles serán el nuevo área y el nuevo perímetro?
Solución: Respuesta:
1. El área del rectángulo original es \(60 \, \text{cm}^2\) y el perímetro es \(34 \, \text{cm}\).
2. El nuevo área del rectángulo es \(78 \, \text{cm}^2\) y el nuevo perímetro es \(38 \, \text{cm}\).
---
Explicación:
Para calcular el área \(A\) de un rectángulo, utilizamos la fórmula:
\[
A = \text{longitud} \times \text{ancho}
\]
Sustituyendo los valores originales:
\[
A = 12 \, \text{cm} \times 5 \, \text{cm} = 60 \, \text{cm}^2
\]
Para el perímetro \(P\), la fórmula es:
\[
P = 2 \times (\text{longitud} + \text{ancho})
\]
Sustituyendo los valores originales:
\[
P = 2 \times (12 \, \text{cm} + 5 \, \text{cm}) = 2 \times 17 \, \text{cm} = 34 \, \text{cm}
\]
Ahora, si aumentamos la longitud en \(3 \, \text{cm}\) y el ancho en \(2 \, \text{cm}\), los nuevos valores son:
- Nueva longitud: \(12 \, \text{cm} + 3 \, \text{cm} = 15 \, \text{cm}\)
- Nuevo ancho: \(5 \, \text{cm} + 2 \, \text{cm} = 7 \, \text{cm}\)
Calculamos el nuevo área:
\[
A_{\text{nuevo}} = 15 \, \text{cm} \times 7 \, \text{cm} = 105 \, \text{cm}^2
\]
Y el nuevo perímetro:
\[
P_{\text{nuevo}} = 2 \times (15 \, \text{cm} + 7 \, \text{cm}) = 2 \times 22 \, \text{cm} = 44 \, \text{cm}
\]
Por lo tanto, el nuevo área y el nuevo perímetro son \(105 \, \text{cm}^2\) y \(44 \, \text{cm}\), respectivamente.
Ejercicio 19:Un rectángulo tiene una longitud de \(12 \, \text{cm}\) y un ancho de \(5 \, \text{cm}\). Calcula el área y el perímetro del rectángulo. Además, si el ancho se incrementa en \(3 \, \text{cm}\), ¿cuál será el nuevo área del rectángulo?
Solución: Respuesta:
El área del rectángulo es \(60 \, \text{cm}^2\) y el perímetro es \(34 \, \text{cm}\). Si el ancho se incrementa en \(3 \, \text{cm}\), el nuevo área será \(84 \, \text{cm}^2\).
---
Explicación:
1. Cálculo del área:
\[
\text{Área} = \text{longitud} \times \text{ancho} = 12 \, \text{cm} \times 5 \, \text{cm} = 60 \, \text{cm}^2
\]
2. Cálculo del perímetro:
\[
\text{Perímetro} = 2 \times (\text{longitud} + \text{ancho}) = 2 \times (12 \, \text{cm} + 5 \, \text{cm}) = 2 \times 17 \, \text{cm} = 34 \, \text{cm}
\]
3. Nuevo ancho:
\[
\text{Nuevo ancho} = 5 \, \text{cm} + 3 \, \text{cm} = 8 \, \text{cm}
\]
4. Nuevo área:
\[
\text{Nuevo área} = \text{longitud} \times \text{nuevo ancho} = 12 \, \text{cm} \times 8 \, \text{cm} = 96 \, \text{cm}^2
\]
Por lo tanto, el área inicial es \(60 \, \text{cm}^2\) y el nuevo área después del incremento en el ancho es \(96 \, \text{cm}^2\).
Ejercicio 20:Un rectángulo tiene una longitud de \(12 \, \text{cm}\) y un ancho de \(5 \, \text{cm}\). Calcula el área del rectángulo y el perímetro. Además, si el ancho se incrementa en \(3 \, \text{cm}\), ¿cuál será el nuevo área y el nuevo perímetro del rectángulo?
Solución: Respuesta:
1. Área del rectángulo original:
\[
A = \text{longitud} \times \text{ancho} = 12 \, \text{cm} \times 5 \, \text{cm} = 60 \, \text{cm}^2
\]
2. Perímetro del rectángulo original:
\[
P = 2 \times (\text{longitud} + \text{ancho}) = 2 \times (12 \, \text{cm} + 5 \, \text{cm}) = 2 \times 17 \, \text{cm} = 34 \, \text{cm}
\]
3. Nuevo ancho del rectángulo:
\[
\text{nuevo ancho} = 5 \, \text{cm} + 3 \, \text{cm} = 8 \, \text{cm}
\]
4. Nuevo área del rectángulo:
\[
A_{\text{nuevo}} = 12 \, \text{cm} \times 8 \, \text{cm} = 96 \, \text{cm}^2
\]
5. Nuevo perímetro del rectángulo:
\[
P_{\text{nuevo}} = 2 \times (12 \, \text{cm} + 8 \, \text{cm}) = 2 \times 20 \, \text{cm} = 40 \, \text{cm}
\]
Resumen de resultados:
- Área original: \(60 \, \text{cm}^2\)
- Perímetro original: \(34 \, \text{cm}\)
- Nuevo área: \(96 \, \text{cm}^2\)
- Nuevo perímetro: \(40 \, \text{cm}\)
---
Explicación:
Para calcular el área de un rectángulo, se multiplica la longitud por el ancho. El perímetro se obtiene sumando los lados y multiplicando por dos. Al incrementar el ancho, se repiten los cálculos para determinar el nuevo área y perímetro.
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En esta sección, encontrarás un breve resumen sobre los conceptos fundamentales relacionados con las áreas y perímetros que has estudiado en 1º de ESO. Este recordatorio te ayudará a resolver cualquier duda al realizar los ejercicios.
Temario
Definición de perímetro
Cálculo del perímetro de figuras planas
Definición de área
Cálculo del área de figuras planas
Relación entre área y perímetro
Aplicaciones prácticas de áreas y perímetros
Conceptos Clave
El perímetro es la suma de todos los lados de una figura. Para calcular el perímetro de figuras comunes, como el cuadrado, el rectángulo o el triángulo, puedes utilizar las siguientes fórmulas:
Cuadrado: \( P = 4 \times l \), donde \( l \) es la longitud de un lado.
Rectángulo: \( P = 2 \times (l + a) \), donde \( l \) es la longitud y \( a \) es la anchura.
Triángulo: \( P = a + b + c \), donde \( a, b, c \) son las longitudes de los lados.
El área es la medida de la superficie que ocupa una figura. Las fórmulas más utilizadas son:
Cuadrado: \( A = l^2 \)
Rectángulo: \( A = l \times a \)
Triángulo: \( A = \frac{b \times h}{2} \), donde \( b \) es la base y \( h \) es la altura.
Recuerda que hay una relación importante entre área y perímetro: dos figuras pueden tener el mismo perímetro pero diferentes áreas, y viceversa. Esto es fundamental para resolver problemas prácticos.
Si tienes dudas sobre algún concepto o ejercicio, no dudes en consultar el temario o preguntar a tu profesor. ¡Sigue practicando y mejorando tus habilidades en matemáticas!
