Ejercicios y Problemas de Coordenadas cartesianas 1º ESO
Las coordenadas cartesianas son una herramienta fundamental en el estudio de la geometría y el análisis matemático. A través de un sistema de ejes, podemos ubicar puntos en el plano y comprender mejor sus relaciones espaciales. En esta sección, exploraremos los conceptos básicos de las coordenadas cartesianas, así como ejemplos prácticos que facilitarán a los alumnos de 1º ESO la comprensión de este tema esencial en sus estudios de matemáticas.
Ejercicios y problemas resueltos
Para consolidar el aprendizaje sobre las coordenadas cartesianas, hemos preparado una serie de ejercicios y problemas resueltos. Estos ejemplos permitirán a los estudiantes practicar y verificar su comprensión del tema, ofreciendo soluciones que servirán como guía para resolver sus propias actividades.
Ejercicio 1:Encuentra las intersecciones de las rectas \(y = 2x + 3\) y \(y = -\frac{1}{2}x + 1\) en el plano cartesiano. Una vez que hayas hallado los puntos de intersección, determina si las rectas son paralelas, perpendiculares o se cruzan. Justifica tu respuesta utilizando las pendientes de ambas rectas.
Solución: Respuesta: Las rectas se cruzan en el punto \((-\frac{2}{5}, \frac{11}{5})\).
Para encontrar el punto de intersección, igualamos las dos ecuaciones:
\[
2x + 3 = -\frac{1}{2}x + 1
\]
Multiplicamos todo por 2 para eliminar el denominador:
\[
4x + 6 = -x + 2
\]
Sumamos \(x\) a ambos lados:
\[
5x + 6 = 2
\]
Restamos 6 de ambos lados:
\[
5x = -4
\]
Dividimos entre 5:
\[
x = -\frac{4}{5}
\]
Ahora sustituimos \(x\) en una de las ecuaciones para encontrar \(y\). Usamos la primera ecuación:
\[
y = 2\left(-\frac{4}{5}\right) + 3 = -\frac{8}{5} + \frac{15}{5} = \frac{7}{5}
\]
Así que el punto de intersección es \(\left(-\frac{4}{5}, \frac{7}{5}\right)\).
Ahora, para determinar la relación entre las rectas, calculamos las pendientes:
- La pendiente de la primera recta \(y = 2x + 3\) es \(m_1 = 2\).
- La pendiente de la segunda recta \(y = -\frac{1}{2}x + 1\) es \(m_2 = -\frac{1}{2}\).
Para comprobar si son paralelas, perpendiculares o se cruzan, utilizamos las pendientes:
- Dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente.
- Dos rectas son perpendiculares si el producto de sus pendientes es \(-1\).
Calculamos el producto de las pendientes:
\[
m_1 \times m_2 = 2 \times \left(-\frac{1}{2}\right) = -1
\]
Como el producto de las pendientes es \(-1\), podemos concluir que las rectas son perpendiculares.
Ejercicio 2:Encuentra las coordenadas del punto de intersección entre las dos rectas dadas por las ecuaciones \( y = 2x + 3 \) y \( y = -\frac{1}{2}x + 1 \). Además, determina si el punto de intersección se encuentra en el primer cuadrante, en el segundo cuadrante, en el tercer cuadrante o en el cuarto cuadrante del plano cartesiano.
Solución: Respuesta: Las coordenadas del punto de intersección son \( \left( -\frac{2}{5}, \frac{11}{5} \right) \) y se encuentra en el segundo cuadrante.
Explicación: Para encontrar el punto de intersección, igualamos las dos ecuaciones:
\[
2x + 3 = -\frac{1}{2}x + 1
\]
Resolviendo esta ecuación, primero sumamos \(\frac{1}{2}x\) a ambos lados:
\[
2x + \frac{1}{2}x + 3 = 1
\]
Multiplicamos todo por 2 para eliminar el denominador:
\[
4x + x + 6 = 2 \implies 5x + 6 = 2
\]
Restamos 6 de ambos lados:
\[
5x = -4 \implies x = -\frac{4}{5}
\]
Ahora sustituimos \(x\) en una de las ecuaciones para encontrar \(y\):
\[
y = 2\left(-\frac{4}{5}\right) + 3 = -\frac{8}{5} + \frac{15}{5} = \frac{7}{5}
\]
Por lo tanto, el punto de intersección es \( \left(-\frac{4}{5}, \frac{7}{5}\right) \).
Finalmente, como \(x\) es negativo y \(y\) es positivo, el punto se encuentra en el segundo cuadrante.
Ejercicio 3:En un plano cartesiano, los puntos \( A(2, 3) \), \( B(5, 7) \) y \( C(8, 3) \) forman un triángulo. Calcula las longitudes de los lados del triángulo \( AB \), \( BC \) y \( AC \). Luego, determina si el triángulo es rectángulo, obtusángulo o acutángulo. Justifica tu respuesta utilizando el teorema de Pitágoras o la relación entre los lados.
Solución: Respuesta: Las longitudes de los lados del triángulo son: \( AB = \sqrt{(5-2)^2 + (7-3)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \), \( BC = \sqrt{(8-5)^2 + (3-7)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \), \( AC = \sqrt{(8-2)^2 + (3-3)^2} = \sqrt{36 + 0} = \sqrt{36} = 6 \).
El triángulo es acutángulo.
Explicación: Para determinar el tipo de triángulo, utilizamos la relación entre los lados: \( AB^2 + BC^2 = 5^2 + 5^2 = 25 + 25 = 50 \) y \( AC^2 = 6^2 = 36 \). Como \( AB^2 + BC^2 > AC^2 \), el triángulo es acutángulo.
Ejercicio 4:En un plano cartesiano, considera los puntos \( A(2, 3) \), \( B(-4, 5) \) y \( C(-1, -2) \).
1. Calcula la distancia entre los puntos \( A \) y \( B \).
2. Determina la pendiente de la recta que une los puntos \( B \) y \( C \).
3. Encuentra la ecuación de la recta que pasa por los puntos \( A \) y \( C \) en la forma \( y = mx + b \).
4. ¿En qué cuadrante se encuentra el punto \( D(3, -4) \) y cómo se relaciona con la recta que has encontrado en el punto 3?
Solución: Respuesta:
1. La distancia entre los puntos \( A(2, 3) \) y \( B(-4, 5) \) es \( \sqrt{(2 - (-4))^2 + (3 - 5)^2} = \sqrt{(2 + 4)^2 + (3 - 5)^2} = \sqrt{6^2 + (-2)^2} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10} \).
2. La pendiente de la recta que une los puntos \( B(-4, 5) \) y \( C(-1, -2) \) se calcula como \( m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-2 - 5}{-1 - (-4)} = \frac{-7}{3} \).
3. La ecuación de la recta que pasa por los puntos \( A(2, 3) \) y \( C(-1, -2) \) se encuentra primero calculando la pendiente: \( m = \frac{-2 - 3}{-1 - 2} = \frac{-5}{-3} = \frac{5}{3} \). Luego, usando la forma punto-pendiente \( y - y_1 = m(x - x_1) \):
\[
y - 3 = \frac{5}{3}(x - 2)
\]
Despejando \( y \):
\[
y - 3 = \frac{5}{3}x - \frac{10}{3}
\]
\[
y = \frac{5}{3}x - \frac{10}{3} + 3
\]
\[
y = \frac{5}{3}x - \frac{10}{3} + \frac{9}{3}
\]
\[
y = \frac{5}{3}x - \frac{1}{3}
\]
Por lo tanto, la ecuación es \( y = \frac{5}{3}x - \frac{1}{3} \).
4. El punto \( D(3, -4) \) se encuentra en el cuarto cuadrante, ya que su coordenada \( y \) es negativa y \( x \) es positiva. Para saber cómo se relaciona con la recta que hemos encontrado, sustituimos \( x = 3 \) en la ecuación \( y = \frac{5}{3}(3) - \frac{1}{3} \):
\[
y = 5 - \frac{1}{3} = \frac{15}{3} - \frac{1}{3} = \frac{14}{3} \approx 4.67
\]
Como \( -4 < \frac{14}{3} \), el punto \( D \) se encuentra por debajo de la recta.
Ejercicio 5:Dibuja un plano cartesiano y localiza los siguientes puntos: A(3, 2), B(-1, -3) y C(0, 4). A continuación, responde las siguientes preguntas:
1. ¿En qué cuadrante se encuentra cada uno de los puntos A, B y C?
2. Calcula la distancia entre los puntos A y B utilizando la fórmula de la distancia entre dos puntos en el plano cartesiano: \(d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\).
3. Si el punto D se encuentra en la posición (x, y) tal que está a la misma distancia del punto A que del punto B, ¿cuáles podrían ser las coordenadas de D?
Solución: Respuesta:
1. Cuadrantes:
- El punto A(3, 2) se encuentra en el cuadrante I (x > 0, y > 0).
- El punto B(-1, -3) se encuentra en el cuadrante III (x < 0, y < 0).
- El punto C(0, 4) se encuentra sobre el eje y (no pertenece a ningún cuadrante).
2. Distancia entre los puntos A y B:
Utilizando la fórmula de la distancia:
\[
d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}
\]
donde \(A(3, 2)\) y \(B(-1, -3)\).
Aplicamos la fórmula:
\[
d = \sqrt{((-1) - 3)^2 + ((-3) - 2)^2} = \sqrt{(-4)^2 + (-5)^2} = \sqrt{16 + 25} = \sqrt{41}
\]
Por lo tanto, la distancia entre A y B es \(\sqrt{41}\).
3. Coordenadas del punto D:
Para que el punto D esté a la misma distancia del punto A que del punto B, se puede utilizar el concepto de la mediatriz del segmento AB. Las coordenadas del punto D pueden ser cualquiera a lo largo de esta mediatriz.
Para encontrar un punto D en la mediatriz, primero se calcula el punto medio M de A y B:
\[
M = \left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}\right) = \left(\frac{3 + (-1)}{2}, \frac{2 + (-3)}{2}\right) = \left(1, -\frac{1}{2}\right)
\]
La ecuación de la mediatriz puede ser encontrada considerando la pendiente del segmento AB y tomando la negativa de su recíproco. El segmento AB tiene una pendiente de \(\frac{-5}{-4} = \frac{5}{4}\), así que la pendiente de la mediatriz es \(-\frac{4}{5}\).
Usando la forma punto-pendiente de la ecuación de la recta:
\[
y - y_M = m(x - x_M)
\]
Sustituyendo \(M(1, -\frac{1}{2})\) y \(m = -\frac{4}{5}\):
\[
y + \frac{1}{2} = -\frac{4}{5}(x - 1)
\]
De esta manera, cualquier punto en esta línea será una posible coordenada para D. Por ejemplo, si \(x = 1\), entonces:
\[
y = -\frac{1}{2}
\]
Así que D(1, -0.5) es un punto que cumple la condición. Sin embargo, hay infinitos puntos que se pueden obtener al sustituir diferentes valores de \(x\) en la ecuación de la mediatriz.
Conclusión: Las coordenadas del punto D pueden ser cualquier punto a lo largo de la mediatriz del segmento AB. Un ejemplo es D(1, -0.5).
Ejercicio 6:Dibuja un plano cartesiano y localiza los siguientes puntos: A(2, 3), B(-1, 4), C(0, -2) y D(-3, -1). Luego, indica en qué cuadrante se encuentra cada punto.
Solución: Respuesta:
- A(2, 3) se encuentra en el Cuadrante I.
- B(-1, 4) se encuentra en el Cuadrante II.
- C(0, -2) se encuentra en el Eje Y (no está en ningún cuadrante).
- D(-3, -1) se encuentra en el Cuadrante III.
Explicación:
En el plano cartesiano, los cuadrantes se definen de la siguiente manera:
- Cuadrante I: Ambos valores son positivos (x > 0, y > 0).
- Cuadrante II: x es negativo y y es positivo (x < 0, y > 0).
- Cuadrante III: Ambos valores son negativos (x < 0, y < 0).
- Cuadrante IV: x es positivo y y es negativo (x > 0, y < 0).
- El Eje Y se encuentra donde x = 0 y puede tener valores de y positivos o negativos, como en el caso de C(0, -2).
Puedes utilizar el script de MathJax si deseas mostrar alguna fórmula o ecuación matemática relacionada con este tema.
Ejercicio 7:Dibuja un plano cartesiano y localiza los siguientes puntos: A(2, 3), B(-1, -4), C(0, 0) y D(-3, 2). Luego, responde las siguientes preguntas:
1. ¿Cuál es la distancia entre los puntos A y B?
2. ¿En qué cuadrante se encuentra cada uno de los puntos A, B, C y D?
3. ¿Qué coordenadas tendría el punto E si se encuentra a la mitad de la distancia entre A y B?
Recuerda utilizar la fórmula de la distancia entre dos puntos \(d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\) para resolver el primer apartado.
Solución: Respuesta:
1. La distancia entre los puntos A(2, 3) y B(-1, -4) es \(d = \sqrt{(2 - (-1))^2 + (3 - (-4))^2} = \sqrt{(2 + 1)^2 + (3 + 4)^2} = \sqrt{3^2 + 7^2} = \sqrt{9 + 49} = \sqrt{58} \approx 7.62\).
2. Los cuadrantes en los que se encuentran los puntos son:
- A(2, 3): Cuadrante I
- B(-1, -4): Cuadrante III
- C(0, 0): Origen
- D(-3, 2): Cuadrante II
3. Las coordenadas del punto E, que se encuentra a la mitad de la distancia entre A y B, se calculan como:
\[
E\left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}\right) = E\left(\frac{2 + (-1)}{2}, \frac{3 + (-4)}{2}\right) = E\left(\frac{1}{2}, \frac{-1}{2}\right) = E\left(0.5, -0.5\right)
\]
Explicación: Para la distancia se utiliza la fórmula de la distancia entre dos puntos en el plano cartesiano. Los cuadrantes se determinan según la combinación de signos de las coordenadas \(x\) e \(y\). Para encontrar el punto E, se promedian las coordenadas \(x\) e \(y\) de A y B.
Ejercicio 8:Dibuja un plano cartesiano y localiza los siguientes puntos: A(2, 3), B(-1, -2) y C(4, -1). Luego, responde: ¿cuál es la distancia entre los puntos A y B? Utiliza la fórmula de la distancia entre dos puntos \[d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\].
Solución: Respuesta: La distancia entre los puntos A(2, 3) y B(-1, -2) es \( d = \sqrt{(2 - (-1))^2 + (3 - (-2))^2} = \sqrt{(2 + 1)^2 + (3 + 2)^2} = \sqrt{(3)^2 + (5)^2} = \sqrt{9 + 25} = \sqrt{34} \approx 5.83 \).
Explicación: Para calcular la distancia entre dos puntos en el plano cartesiano, utilizamos la fórmula de la distancia, que se basa en las coordenadas de los puntos. En este caso, hemos sustituido las coordenadas de A y B en la fórmula, simplificado y finalmente obtenido el resultado.
Ejercicio 9:Dibuja un plano cartesiano y localiza los siguientes puntos: A(2, 3), B(-1, -2) y C(4, -1). Luego, responde: ¿Cuál es la distancia entre los puntos A y B? Usa la fórmula de la distancia entre dos puntos, que es \(d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\).
Solución: Respuesta: La distancia entre los puntos A(2, 3) y B(-1, -2) es \(d = \sqrt{(2 - (-1))^2 + (3 - (-2))^2} = \sqrt{(2 + 1)^2 + (3 + 2)^2} = \sqrt{3^2 + 5^2} = \sqrt{9 + 25} = \sqrt{34} \approx 5.83\).
---
Explicación: Para calcular la distancia entre dos puntos en un plano cartesiano, utilizamos la fórmula de distancia \(d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\), donde \((x_1, y_1)\) y \((x_2, y_2)\) son las coordenadas de los puntos A y B, respectivamente. En este caso, los puntos son A(2, 3) y B(-1, -2). Al sustituir las coordenadas en la fórmula, obtenemos la distancia como resultado.
Ejercicio 10:Dibuja un plano cartesiano y localiza los siguientes puntos: \( A(2, 3) \), \( B(-1, 4) \), \( C(0, -2) \) y \( D(3, -1) \). Luego, responde: ¿Cuál es el punto más cercano al eje \( x \)?
Solución: Respuesta: \( C(0, -2) \)
Para determinar cuál es el punto más cercano al eje \( x \), debemos observar las coordenadas de cada punto y fijarnos en el valor de la coordenada \( y \), ya que la distancia del punto al eje \( x \) es equivalente al valor absoluto de su coordenada \( y \).
Los puntos son:
- \( A(2, 3) \) tiene \( |y| = 3 \)
- \( B(-1, 4) \) tiene \( |y| = 4 \)
- \( C(0, -2) \) tiene \( |y| = 2 \)
- \( D(3, -1) \) tiene \( |y| = 1 \)
El punto \( D(3, -1) \) tiene la menor distancia al eje \( x \) con \( |y| = 1 \). Por lo tanto, el punto más cercano al eje \( x \) es \( D(3, -1) \).
Si necesitas modificar la respuesta o la explicación, házmelo saber.
Ejercicio 11:Dibuja un plano cartesiano y coloca los siguientes puntos: A(2, 3), B(-1, -2) y C(4, -1). Luego, responde: ¿En qué cuadrante se encuentra cada uno de los puntos?
Solución: Respuesta:
- Punto A(2, 3): Cuadrante I
- Punto B(-1, -2): Cuadrante III
- Punto C(4, -1): Cuadrante IV
Explicación:
En un plano cartesiano, el eje horizontal representa las coordenadas x y el eje vertical representa las coordenadas y. Los cuadrantes se dividen de la siguiente manera:
1. Cuadrante I: Donde x > 0 e y > 0. Aquí se encuentra el punto A(2, 3).
2. Cuadrante II: Donde x < 0 e y > 0. No hay puntos en este ejercicio.
3. Cuadrante III: Donde x < 0 e y < 0. Aquí se encuentra el punto B(-1, -2).
4. Cuadrante IV: Donde x > 0 e y < 0. Aquí se encuentra el punto C(4, -1).
Por lo tanto, cada punto se ubica en el cuadrante correspondiente según sus coordenadas.
Ejercicio 12:Dibuja un plano cartesiano y coloca los siguientes puntos: A(2, 3), B(-1, -2) y C(4, -1). Luego, responde las siguientes preguntas:
1. ¿En qué cuadrante se encuentra cada uno de los puntos A, B y C?
2. ¿Cuál es la distancia entre los puntos A y B? Usa la fórmula de la distancia: \(d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\).
3. ¿Qué punto está más cerca del origen (0, 0)? Justifica tu respuesta.
Solución: Respuesta:
1. Cuadrantes:
- El punto A(2, 3) se encuentra en el cuadrante I (donde \(x\) y \(y\) son positivos).
- El punto B(-1, -2) se encuentra en el cuadrante III (donde \(x\) es negativo y \(y\) es negativo).
- El punto C(4, -1) se encuentra en el cuadrante IV (donde \(x\) es positivo y \(y\) es negativo).
2. Distancia entre los puntos A y B:
Usando la fórmula de la distancia \(d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\):
- Para los puntos A(2, 3) y B(-1, -2):
\[
d = \sqrt{((-1) - 2)^2 + ((-2) - 3)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-5)^2} = \sqrt{9 + 25} = \sqrt{34}
\]
Por lo tanto, la distancia entre A y B es \(\sqrt{34}\).
3. Punto más cercano al origen (0, 0):
Para determinar qué punto está más cerca del origen, calculamos la distancia de cada punto al origen usando la misma fórmula de la distancia:
- Distancia del punto A(2, 3):
\[
d_A = \sqrt{(2 - 0)^2 + (3 - 0)^2} = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}
\]
- Distancia del punto B(-1, -2):
\[
d_B = \sqrt{(-1 - 0)^2 + (-2 - 0)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}
\]
- Distancia del punto C(4, -1):
\[
d_C = \sqrt{(4 - 0)^2 + (-1 - 0)^2} = \sqrt{4^2 + (-1)^2} = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17}
\]
Comparando las distancias:
- \(\sqrt{13} \approx 3.61\)
- \(\sqrt{5} \approx 2.24\)
- \(\sqrt{17} \approx 4.12\)
El punto B(-1, -2) está más cerca del origen, ya que su distancia \(\sqrt{5}\) es menor que las de A y C.
Explicación: En un plano cartesiano, los cuadrantes son cuatro áreas divididas por los ejes \(x\) e \(y\). La distancia entre dos puntos se calcula mediante la fórmula que utiliza las diferencias en las coordenadas \(x\) e \(y\). Para encontrar qué punto está más cerca del origen, se calcula la distancia de cada punto al origen (0, 0) y se compara.
Ejercicio 13:Dibuja el sistema de ejes coordenados y localiza los siguientes puntos: A(2, 3), B(-1, -2), C(4, -1) y D(-3, 2). Luego, indica en qué cuadrante se encuentra cada uno de los puntos.
Solución: Respuesta:
Los puntos se localizan en el sistema de ejes coordenados de la siguiente manera:
- A(2, 3) se encuentra en el cuadrante I.
- B(-1, -2) se encuentra en el cuadrante III.
- C(4, -1) se encuentra en el cuadrante IV.
- D(-3, 2) se encuentra en el cuadrante II.
Explicación:
- El cuadrante I contiene los puntos donde tanto las coordenadas \( x \) como \( y \) son positivas.
- El cuadrante II tiene coordenadas \( x \) negativas y \( y \) positivas.
- El cuadrante III incluye puntos con ambas coordenadas negativas.
- El cuadrante IV tiene coordenadas \( x \) positivas y \( y \) negativas.
Al graficar el sistema de ejes, puedes visualizar la posición de cada punto y su correspondiente cuadrante.
Ejercicio 14:Dibuja el sistema de ejes coordenados y coloca los siguientes puntos en el plano: A(2, 3), B(-1, -2), C(0, 4) y D(-3, 1). Luego, responde: ¿en qué cuadrante se encuentra cada punto?
Solución: Respuesta:
- Punto A(2, 3) se encuentra en el primer cuadrante.
- Punto B(-1, -2) se encuentra en el tercer cuadrante.
- Punto C(0, 4) se encuentra en el eje Y.
- Punto D(-3, 1) se encuentra en el segundo cuadrante.
Explicación:
En el plano cartesiano, los cuadrantes se distribuyen de la siguiente manera:
1. Primer cuadrante: donde tanto las coordenadas \(x\) como \(y\) son positivas.
2. Segundo cuadrante: donde \(x\) es negativo y \(y\) es positivo.
3. Tercer cuadrante: donde ambas coordenadas son negativas.
4. Cuarto cuadrante: donde \(x\) es positivo y \(y\) es negativo.
- El punto A(2, 3) tiene \(x = 2\) y \(y = 3\), así que está en el primer cuadrante.
- El punto B(-1, -2) tiene \(x = -1\) y \(y = -2\), así que está en el tercer cuadrante.
- El punto C(0, 4) está sobre el eje Y, ya que su coordenada \(x\) es 0.
- El punto D(-3, 1) tiene \(x = -3\) y \(y = 1\), así que está en el segundo cuadrante.
Ejercicio 15:Dibuja el sistema de ejes cartesianos y coloca los siguientes puntos en el plano: A(2, 3), B(-1, -2) y C(4, -1). Luego, indica en qué cuadrante se encuentra cada punto y si alguno de ellos está sobre un eje.
Solución: Respuesta:
1. A(2, 3) se encuentra en el Cuadrante I.
2. B(-1, -2) se encuentra en el Cuadrante III.
3. C(4, -1) se encuentra en el Cuadrante IV.
Ninguno de los puntos A, B o C está sobre un eje.
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Explicación:
- El punto A(2, 3) tiene coordenadas positivas en ambos ejes (x y y), por lo que está en el Cuadrante I.
- El punto B(-1, -2) tiene coordenadas negativas en ambos ejes, ubicándose en el Cuadrante III.
- El punto C(4, -1) tiene una coordenada positiva en x y negativa en y, lo que lo sitúa en el Cuadrante IV.
Recuerda que:
- El Cuadrante I corresponde a (x, y) positivo.
- El Cuadrante II corresponde a (x negativo, y positivo).
- El Cuadrante III corresponde a (x, y) negativos.
- El Cuadrante IV corresponde a (x positivo, y negativo.
Ninguno de los puntos está sobre un eje porque todos tienen valores diferentes de cero en ambas coordenadas.
Ejercicio 16:Dibuja el sistema de coordenadas cartesianas y ubica los siguientes puntos: A(2, 3), B(-1, -2), C(0, 4) y D(-3, 1). Luego, identifica en qué cuadrante se encuentra cada uno de los puntos.
Solución: Respuesta:
1. A(2, 3) se encuentra en el cuadrante I.
2. B(-1, -2) se encuentra en el cuadrante III.
3. C(0, 4) se encuentra en el eje Y, específicamente en el punto (0, 4).
4. D(-3, 1) se encuentra en el cuadrante II.
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Explicación:
- En el sistema de coordenadas cartesianas, el plano se divide en cuatro cuadrantes:
- Cuadrante I: donde \( x > 0 \) y \( y > 0 \).
- Cuadrante II: donde \( x < 0 \) y \( y > 0 \).
- Cuadrante III: donde \( x < 0 \) y \( y < 0 \).
- Cuadrante IV: donde \( x > 0 \) y \( y < 0 \).
El punto C(0, 4) se sitúa en el eje Y, ya que su coordenada \( x \) es 0.
Si necesitas visualizar los puntos, puedes dibujar un plano cartesiano y marcar los puntos según sus coordenadas.
Ejercicio 17:Dibuja el sistema de coordenadas cartesianas y ubica los siguientes puntos en el plano: A(2, 3), B(-1, -2) y C(0, 4). Luego, indica en qué cuadrante se encuentra cada punto y explica cómo lo determinaste.
Solución: Respuesta:
1. Punto A(2, 3): Se encuentra en el Primer Cuadrante.
2. Punto B(-1, -2): Se encuentra en el Tercer Cuadrante.
3. Punto C(0, 4): Se encuentra en el Eje Y.
Explicación:
Para determinar en qué cuadrante se encuentra cada punto, se utiliza el sistema de coordenadas cartesianas, que se divide en cuatro cuadrantes:
- Primer Cuadrante: (x, y) donde x > 0 y y > 0.
- Segundo Cuadrante: (x, y) donde x < 0 y y > 0.
- Tercer Cuadrante: (x, y) donde x < 0 y y < 0.
- Cuarto Cuadrante: (x, y) donde x > 0 y y < 0.
- Para el punto A(2, 3), ambos valores son positivos, por lo que está en el Primer Cuadrante.
- Para el punto B(-1, -2), ambos valores son negativos, por lo que está en el Tercer Cuadrante.
- Para el punto C(0, 4), la coordenada x es cero, lo que indica que está sobre el eje Y, no en ningún cuadrante específico.
Nota: Es importante también representar gráficamente los puntos para una mejor comprensión visual.
Ejercicio 18:Dibuja el sistema de coordenadas cartesianas y localiza los siguientes puntos: A(3, 2), B(-1, -4), C(0, 5) y D(-3, 1). Luego, determina la distancia entre los puntos A y B, y entre C y D. Utiliza la fórmula de la distancia entre dos puntos \(d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\) para calcular las distancias.
Solución: Respuesta: La distancia entre los puntos A y B es \( d_{AB} = 5 \) y la distancia entre los puntos C y D es \( d_{CD} = 5 \).
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Explicación:
1. Localización de los puntos en el sistema de coordenadas cartesianas:
- A(3, 2) está en el primer cuadrante.
- B(-1, -4) está en el tercer cuadrante.
- C(0, 5) está en el eje y.
- D(-3, 1) está en el segundo cuadrante.
2. Cálculo de la distancia entre A y B:
\[
d_{AB} = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}
\]
Sustituyendo \( A(3, 2) \) y \( B(-1, -4) \):
\[
d_{AB} = \sqrt{((-1) - 3)^2 + ((-4) - 2)^2} = \sqrt{(-4)^2 + (-6)^2} = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} \approx 5.66
\]
3. Cálculo de la distancia entre C y D:
\[
d_{CD} = \sqrt{(x_D - x_C)^2 + (y_D - y_C)^2}
\]
Sustituyendo \( C(0, 5) \) y \( D(-3, 1) \):
\[
d_{CD} = \sqrt{((-3) - 0)^2 + (1 - 5)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5
\]
Así, las distancias son \( d_{AB} \approx 5.66 \) y \( d_{CD} = 5 \).
Ejercicio 19:Dibuja el sistema de coordenadas cartesianas y localiza los siguientes puntos: A(2, 3), B(-1, 4), C(0, -2) y D(-3, -1). Luego, indica en qué cuadrante se encuentra cada uno de los puntos.
Solución: Respuesta:
Los puntos se localizan en el sistema de coordenadas cartesianas de la siguiente manera:
- A(2, 3) se encuentra en el Segundo Cuadrante.
- B(-1, 4) se encuentra en el Segundo Cuadrante.
- C(0, -2) se encuentra en el Eje Y (no pertenece a ningún cuadrante).
- D(-3, -1) se encuentra en el Tercer Cuadrante.
Explicación:
El sistema de coordenadas cartesianas se divide en cuatro cuadrantes:
1. Primer Cuadrante: (x, y) donde x > 0 y y > 0.
2. Segundo Cuadrante: (x, y) donde x < 0 y y > 0.
3. Tercer Cuadrante: (x, y) donde x < 0 y y < 0.
4. Cuarto Cuadrante: (x, y) donde x > 0 y y < 0.
El punto C(0, -2) está sobre el eje Y, lo que significa que no se encuentra en ningún cuadrante.
Ejercicio 20:Dibuja el sistema de coordenadas cartesianas y localiza los siguientes puntos: A(2, 3), B(-1, 2), C(0, -4) y D(3, -1). Luego, responde: ¿Cuál de los puntos está más alejado del origen (0,0)?
Solución: Respuesta: El punto C(0, -4) está más alejado del origen (0,0).
Explicación: Para determinar qué punto está más alejado del origen, calculamos la distancia de cada punto al origen utilizando la fórmula de la distancia en el plano cartesiano:
\[
d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}
\]
donde \((x_1, y_1)\) son las coordenadas del origen (0,0) y \((x_2, y_2)\) son las coordenadas de cada uno de los puntos:
1. Para A(2, 3):
\[
d_A = \sqrt{(2 - 0)^2 + (3 - 0)^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13} \approx 3.61
\]
2. Para B(-1, 2):
\[
d_B = \sqrt{(-1 - 0)^2 + (2 - 0)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5} \approx 2.24
\]
3. Para C(0, -4):
\[
d_C = \sqrt{(0 - 0)^2 + (-4 - 0)^2} = \sqrt{0 + 16} = \sqrt{16} = 4
\]
4. Para D(3, -1):
\[
d_D = \sqrt{(3 - 0)^2 + (-1 - 0)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10} \approx 3.16
\]
Comparando las distancias, vemos que \(d_C = 4\) es la más grande, por lo que el punto C(0, -4) está más alejado del origen.
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Resumen del Temario: Coordenadas Cartesianas – 1º ESO
En esta sección, hemos cubierto los conceptos fundamentales relacionados con las coordenadas cartesianas, un tema esencial para entender el plano y la ubicación de puntos en él. A continuación, se presenta un resumen del temario que hemos estudiado:
Definición de coordenadas cartesianas.
El sistema de ejes: eje X y eje Y.
Localización de puntos en el plano: notación (x, y).
Cuadrantes del plano cartesiano.
Distancia entre dos puntos en el plano.
Identificación de puntos en coordenadas positivas y negativas.
Breve Explicación/Recordatorio de la Teoría
Las coordenadas cartesianas se utilizan para determinar la ubicación de un punto en un plano, utilizando dos valores: la coordenada X (horizontal) y la coordenada Y (vertical). La intersección de estos dos ejes forma cuatro cuadrantes, que son fundamentales para localizar puntos en diferentes regiones del plano.
La notación para un punto se expresa como (x, y), donde ‘x’ representa la posición horizontal y ‘y’ la posición vertical. Es importante recordar que los valores pueden ser positivos o negativos, dependiendo del cuadrante en el que se encuentre el punto.
Para calcular la distancia entre dos puntos, se puede utilizar la fórmula:
\[
d = \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2}
\]
donde \( (x_1, y_1) \) y \( (x_2, y_2) \) son los puntos en cuestión.
Consejos Finales
Si encuentras dificultades al resolver los ejercicios, no dudes en consultar el temario o preguntar a tu profesor para obtener más aclaraciones. ¡Practica y refuerza tus conocimientos sobre las coordenadas cartesianas!
