En este espacio, nos enfocamos en las escalas como un concepto fundamental dentro de la asignatura de Matemáticas para 1º de ESO. A través de la comprensión y aplicación de las escalas, los alumnos podrán desarrollar habilidades esenciales para resolver problemas relacionados con la geometría y la representación gráfica. Aquí encontrarás recursos que te ayudarán a dominar este tema de manera efectiva.
Ejercicios y Problemas Resueltos
Para facilitar el aprendizaje, hemos preparado una serie de ejercicios y problemas resueltos sobre escalas. Estos materiales están diseñados para ayudar a los alumnos a practicar y comprender mejor el tema, proporcionando ejemplos claros y soluciones detalladas que les permitirán consolidar sus conocimientos.
Ejercicio 1:Una ciudad tiene un plano a escala 1:500. Si la distancia entre dos edificios en el plano es de 4 cm, ¿cuál es la distancia real entre esos edificios? Expresa tu respuesta en metros.
Solución: Respuesta: 20 metros
Explicación:
La escala 1:500 significa que 1 cm en el plano representa 500 cm en la realidad. Si la distancia entre los edificios en el plano es de 4 cm, para encontrar la distancia real, multiplicamos la distancia en el plano por el factor de escala:
\[
\text{Distancia real} = \text{Distancia en el plano} \times \text{Factor de escala}
\]
\[
\text{Distancia real} = 4 \, \text{cm} \times 500 = 2000 \, \text{cm}
\]
Para convertir de centímetros a metros, dividimos entre 100:
\[
\text{Distancia real en metros} = \frac{2000 \, \text{cm}}{100} = 20 \, \text{m}
\]
Ejercicio 2:Una ciudad quiere construir un nuevo parque que será representado en un plano con una escala de 1:500. Si el área total del parque es de 10,000 m², ¿cuál será el área del parque en el plano? Además, si el parque tiene una forma rectangular con una longitud de 40 m y un ancho de 25 m en la realidad, ¿cuáles serán las dimensiones del rectángulo en el plano?
Recuerda que puedes utilizar la fórmula de área y la relación de escalas para resolver el problema.
Solución: Respuesta: El área del parque en el plano es de 20 m². Las dimensiones del rectángulo en el plano son 8 cm de longitud y 5 cm de ancho.
Explicación:
1. Para calcular el área del parque en el plano, utilizamos la escala 1:500. Esto significa que 1 m en la realidad corresponde a 0.002 m (o 2 mm) en el plano. Por lo tanto, el área real de 10,000 m² se transforma en el plano como sigue:
\[
\text{Área en el plano} = \frac{10,000 \, \text{m}^2}{(500)^2} = \frac{10,000}{250,000} = 0.04 \, \text{m}^2 = 20 \, \text{cm}^2
\]
2. Para las dimensiones del rectángulo:
- Longitud real: 40 m, que en el plano sería:
\[
\text{Longitud en el plano} = \frac{40 \, \text{m}}{500} = 0.08 \, \text{m} = 8 \, \text{cm}
\]
- Ancho real: 25 m, que en el plano sería:
\[
\text{Ancho en el plano} = \frac{25 \, \text{m}}{500} = 0.05 \, \text{m} = 5 \, \text{cm}
\]
Por lo tanto, el área en el plano es de 20 cm² y las dimensiones del rectángulo son 8 cm de longitud y 5 cm de ancho.
Ejercicio 3:Un plano de una ciudad tiene una escala de 1:5000. Si la distancia entre dos puntos en el plano es de 3 cm, ¿cuál es la distancia real entre esos dos puntos en la ciudad?
Solución: Respuesta: 15000 cm (o 150 m).
Para calcular la distancia real entre dos puntos en la ciudad, debemos multiplicar la distancia medida en el plano por el factor de la escala. En este caso, la escala es de 1:5000, lo que significa que 1 cm en el plano representa 5000 cm en la realidad.
Si la distancia en el plano es de 3 cm, la distancia real se calcula de la siguiente manera:
\[
\text{Distancia real} = \text{Distancia en el plano} \times \text{Factor de la escala}
\]
\[
\text{Distancia real} = 3 \, \text{cm} \times 5000 \, \text{cm/cm} = 15000 \, \text{cm}
\]
Finalmente, 15000 cm se puede convertir a metros dividiendo entre 100, lo que da 150 m.
Ejercicio 4:Un plano de una ciudad tiene una escala de 1:5000. Esto significa que 1 cm en el plano representa 5000 cm en la realidad. Si la distancia entre dos parques en el plano es de 3 cm, ¿cuál es la distancia real entre esos dos parques en metros?
Solución: Respuesta: 150 metros.
Explicación: Para encontrar la distancia real entre los dos parques, utilizamos la escala del plano. Sabemos que 1 cm en el plano representa 5000 cm en la realidad. Por lo tanto, si la distancia en el plano es de 3 cm, la distancia real se calcula así:
\[
\text{Distancia real} = 3 \, \text{cm} \times 5000 \, \text{cm/cm} = 15000 \, \text{cm}
\]
Ahora, convertimos centímetros a metros, sabiendo que 1 metro = 100 cm:
\[
\text{Distancia real en metros} = \frac{15000 \, \text{cm}}{100 \, \text{cm/m}} = 150 \, \text{m}
\]
Por lo tanto, la distancia real entre los dos parques es de 150 metros.
Ejercicio 5:Un plano de una ciudad tiene una escala de 1:500. Si la distancia entre dos edificios en el plano es de 8 cm, ¿cuál es la distancia real entre esos dos edificios en metros?
Solución: Respuesta: 400 m
La escala del plano es de 1:500, lo que significa que 1 cm en el plano equivale a 500 cm en la realidad. Si la distancia entre los dos edificios en el plano es de 8 cm, podemos calcular la distancia real multiplicando:
\[
\text{Distancia real} = \text{Distancia en el plano} \times \text{Escala} = 8 \, \text{cm} \times 500 = 4000 \, \text{cm}
\]
Para convertir centímetros a metros, dividimos entre 100:
\[
\text{Distancia real en metros} = \frac{4000 \, \text{cm}}{100} = 40 \, \text{m}
\]
Por lo tanto, la distancia real entre los dos edificios es de 400 m.
Ejercicio 6:Un plano de una ciudad tiene una escala de 1:10000. Si la distancia entre dos parques en el plano es de 5 cm, ¿cuál es la distancia real entre los dos parques en kilómetros?
Solución: Respuesta: 0.5 km
Para calcular la distancia real entre los dos parques, utilizamos la escala del plano. La escala 1:10000 significa que 1 cm en el plano corresponde a 10000 cm en la realidad.
Dado que la distancia entre los parques en el plano es de 5 cm, podemos convertir esa distancia a la realidad así:
\[
\text{Distancia real} = \text{Distancia en el plano} \times \text{Escala}
\]
\[
\text{Distancia real} = 5 \, \text{cm} \times 10000 \, \text{cm/cm} = 50000 \, \text{cm}
\]
Ahora, convertimos los centímetros a kilómetros. Sabemos que 1 km = 100000 cm, por lo que:
\[
\text{Distancia real en km} = \frac{50000 \, \text{cm}}{100000 \, \text{cm/km}} = 0.5 \, \text{km}
\]
Por lo tanto, la distancia real entre los dos parques es de 0.5 km.
Ejercicio 7:Un plano de una ciudad tiene una escala de 1:10,000. Si la distancia entre dos parques en el plano es de 3 cm, ¿cuál es la distancia real entre esos dos parques en kilómetros?
Solución: Respuesta: 300 km
Explicación: Para encontrar la distancia real entre los dos parques, utilizamos la escala del plano. La escala de 1:10,000 significa que 1 cm en el plano representa 10,000 cm en la realidad.
Dado que la distancia entre los parques en el plano es de 3 cm, calculamos la distancia real multiplicando:
\[
\text{Distancia real} = \text{Distancia en el plano} \times \text{Escala}
\]
\[
\text{Distancia real} = 3 \, \text{cm} \times 10,000 \, \text{cm/cm} = 30,000 \, \text{cm}
\]
Ahora convertimos de centímetros a kilómetros, sabiendo que 1 km = 100,000 cm:
\[
\text{Distancia real en km} = \frac{30,000 \, \text{cm}}{100,000 \, \text{cm/km}} = 0.3 \, \text{km}
\]
Parece que hubo un error en el cálculo inicial. Entonces la distancia real es 0.3 km.
Ejercicio 8:Un plano de una ciudad está hecho a escala 1:2000. Si la distancia entre dos puntos en el plano es de 5 cm, ¿cuál es la distancia real entre esos dos puntos en la ciudad? Expresa tu respuesta en metros.
Solución: Respuesta: 100 m
Para calcular la distancia real entre dos puntos en la ciudad, usamos la escala del plano. La escala 1:2000 significa que 1 cm en el plano representa 2000 cm en la realidad.
Dado que la distancia en el plano es de 5 cm, multiplicamos esta distancia por la escala:
\[
\text{Distancia real} = \text{Distancia en el plano} \times 2000
\]
\[
\text{Distancia real} = 5 \, \text{cm} \times 2000 = 10000 \, \text{cm}
\]
Como queremos la respuesta en metros, convertimos centímetros a metros dividiendo entre 100:
\[
\text{Distancia real en metros} = \frac{10000 \, \text{cm}}{100} = 100 \, \text{m}
\]
Por lo tanto, la distancia real entre los dos puntos es de 100 metros.
Ejercicio 9:Un plano de una casa tiene una escala de 1:100. Si las dimensiones de la sala en el plano son 8 cm de ancho y 12 cm de largo, ¿cuáles son las dimensiones reales de la sala en metros? Además, si se quiere añadir una extensión de 3 metros de ancho a la sala, ¿cuál sería el nuevo ancho de la sala en el plano?
Solución: Respuesta: Las dimensiones reales de la sala son 8 metros de ancho y 12 metros de largo. El nuevo ancho de la sala en el plano sería 6 cm.
Explicación:
1. Para calcular las dimensiones reales de la sala, utilizamos la escala de 1:100. Esto significa que 1 cm en el plano representa 100 cm en la realidad (1 metro).
- Ancho real: \( 8 \, \text{cm} \times 100 \, \text{cm/cm} = 800 \, \text{cm} = 8 \, \text{m} \)
- Largo real: \( 12 \, \text{cm} \times 100 \, \text{cm/cm} = 1200 \, \text{cm} = 12 \, \text{m} \)
2. Si se añade una extensión de 3 metros de ancho a la sala, el nuevo ancho real sería:
- Ancho nuevo: \( 8 \, \text{m} + 3 \, \text{m} = 11 \, \text{m} \)
3. Para encontrar el nuevo ancho en el plano, convertimos 11 metros a centímetros y luego a la escala del plano:
- Ancho nuevo en cm: \( 11 \, \text{m} = 1100 \, \text{cm} \)
- Nuevo ancho en el plano: \( \frac{1100 \, \text{cm}}{100} = 11 \, \text{cm} \)
Por lo tanto, el nuevo ancho de la sala en el plano sería 11 cm.
Ejercicio 10:Un plano de una casa tiene una escala de 1:100. Si la longitud de una pared en el plano mide 8 cm, ¿cuántos metros mide realmente esa pared en la casa?
Solución: Respuesta: 8 metros
Explicación: La escala 1:100 significa que 1 cm en el plano representa 100 cm en la realidad. Por lo tanto, si la longitud de la pared en el plano mide 8 cm, la longitud real se calcula multiplicando 8 cm por 100 cm:
\[
\text{Longitud real} = 8 \, \text{cm} \times 100 \, \text{cm/cm} = 800 \, \text{cm}
\]
Para convertir centímetros a metros, dividimos entre 100:
\[
800 \, \text{cm} \div 100 = 8 \, \text{m}
\]
Por lo tanto, la longitud real de la pared es de 8 metros.
Ejercicio 11:Un plano de una casa tiene una escala de 1:100. Si la longitud de una habitación en el plano mide 5 cm, ¿cuánto mide realmente esa habitación en la realidad?
Solución: Respuesta: 5 m
Explicación: La escala de 1:100 significa que 1 cm en el plano representa 100 cm en la realidad. Si la longitud de la habitación en el plano mide 5 cm, para encontrar la medida real, multiplicamos la medida en el plano por 100:
\[
\text{Longitud real} = \text{Longitud en el plano} \times 100 = 5 \, \text{cm} \times 100 = 500 \, \text{cm}
\]
Como 500 cm equivalen a 5 m, la longitud real de la habitación es de 5 metros.
Ejercicio 12:Un plano de una casa tiene una escala de 1:100. Esto significa que 1 cm en el plano representa 100 cm en la realidad. Si la longitud de una pared en el plano mide 5 cm, ¿cuántos metros mide la pared en la realidad?
Solución: Respuesta: 5 metros
Explicación: Para convertir la medida del plano a la medida real, utilizamos la escala proporcionada. La escala indica que 1 cm en el plano equivale a 100 cm en la realidad.
Si la pared mide 5 cm en el plano, multiplicamos esa medida por 100 cm:
\[
5 \, \text{cm} \times 100 \, \text{cm/cm} = 500 \, \text{cm}
\]
Como 1 metro equivale a 100 cm, para convertir 500 cm a metros, dividimos entre 100:
\[
500 \, \text{cm} \div 100 \, \text{cm/m} = 5 \, \text{m}
\]
Por lo tanto, la longitud de la pared en la realidad es de 5 metros.
Ejercicio 13:Un plano de una casa se ha dibujado a escala 1:100. Si la longitud de una habitación en el plano es de 15 cm, ¿cuál es la longitud real de la habitación en metros? Además, si la habitación tiene forma rectangular y sus lados miden en el plano 15 cm y 12 cm, ¿cuáles son las dimensiones reales de la habitación en metros?
Solución: Respuesta: La longitud real de la habitación es de 15 metros y las dimensiones reales de la habitación son 15 metros y 12 metros.
Para calcular la longitud real de la habitación, utilizamos la escala 1:100. Esto significa que 1 cm en el plano equivale a 100 cm en la realidad. Por lo tanto, si la longitud en el plano es de 15 cm, la longitud real se calcula multiplicando por 100:
\[
\text{Longitud real} = 15 \, \text{cm} \times 100 \, \text{cm/cm} = 1500 \, \text{cm}
\]
Para convertir centímetros a metros, dividimos entre 100:
\[
1500 \, \text{cm} \div 100 = 15 \, \text{m}
\]
Ahora, para la otra dimensión de la habitación que mide 12 cm en el plano:
\[
\text{Dimensión real} = 12 \, \text{cm} \times 100 \, \text{cm/cm} = 1200 \, \text{cm}
\]
Convertimos a metros:
\[
1200 \, \text{cm} \div 100 = 12 \, \text{m}
\]
Por lo tanto, las dimensiones reales de la habitación son 15 metros y 12 metros.
Ejercicio 14:Un plano de una casa se ha dibujado a escala 1:100. Si en el plano, la distancia entre la cocina y el salón es de 8 cm, ¿cuál es la distancia real entre ambos espacios en la casa? Expresa tu respuesta en metros.
Solución: Respuesta: 8 m
Explicación: La escala 1:100 significa que 1 cm en el plano representa 100 cm (1 m) en la realidad. Si la distancia en el plano es de 8 cm, para encontrar la distancia real, multiplicamos:
\[
\text{Distancia real} = \text{distancia en el plano} \times 100
\]
\[
\text{Distancia real} = 8 \, \text{cm} \times 100 = 800 \, \text{cm} = 8 \, \text{m}
\]
Por lo tanto, la distancia real entre la cocina y el salón es de 8 metros.
Ejercicio 15:Un plano de una casa está dibujado a una escala de 1:100. Si la longitud de una habitación en el plano mide 5 cm, ¿cuál es la longitud real de la habitación en metros?
Solución: Respuesta: 5 metros
Explicación: Para convertir la medida del plano a la longitud real, utilizamos la escala dada. La escala 1:100 significa que 1 cm en el plano representa 100 cm en la realidad. Si la longitud de la habitación en el plano es de 5 cm, entonces la longitud real se calcula multiplicando por 100:
\[
\text{Longitud real} = 5 \, \text{cm} \times 100 = 500 \, \text{cm}
\]
Para convertir centímetros a metros, dividimos entre 100:
\[
500 \, \text{cm} \div 100 = 5 \, \text{m}
\]
Por lo tanto, la longitud real de la habitación es de 5 metros.
Ejercicio 16:Un plano arquitectónico de una casa tiene una escala de 1:100. Si la longitud de una habitación en el plano es de 6 cm, ¿cuál será la longitud real de esa habitación en metros? Además, si la altura de la habitación es de 3 metros, ¿cuál será su altura en el plano en centímetros?
Solución: Respuesta:
La longitud real de la habitación es de 6 metros y la altura en el plano es de 3 cm.
Explicación:
1. Longitud real de la habitación:
- La escala del plano es de 1:100, lo que significa que 1 cm en el plano representa 100 cm en la realidad.
- Si la longitud de la habitación en el plano es de 6 cm, para encontrar la longitud real multiplicamos:
\[
\text{Longitud real} = 6 \, \text{cm} \times 100 \, \text{cm/cm} = 600 \, \text{cm}
\]
- Convertimos centímetros a metros:
\[
600 \, \text{cm} = \frac{600}{100} = 6 \, \text{m}
\]
2. Altura en el plano:
- La altura real de la habitación es de 3 metros. Para convertir esto a centímetros:
\[
3 \, \text{m} = 3 \times 100 \, \text{cm} = 300 \, \text{cm}
\]
- Como la escala es de 1:100, para encontrar la altura en el plano, dividimos la altura real entre 100:
\[
\text{Altura en el plano} = \frac{300 \, \text{cm}}{100} = 3 \, \text{cm}
\]
Así, la longitud real de la habitación es de 6 metros y su altura en el plano es de 3 cm.
Ejercicio 17:Un mapa tiene una escala de 1:50000. Si la distancia entre dos ciudades en el mapa es de 8 cm, ¿cuál es la distancia real entre estas dos ciudades en kilómetros? Explica el procedimiento que utilizaste para llegar a la respuesta.
Solución: Respuesta: 4 km
Para calcular la distancia real entre las dos ciudades, utilizamos la escala del mapa, que es de 1:50000. Esto significa que 1 cm en el mapa representa 50000 cm en la realidad.
1. Primero, convertimos la distancia en el mapa (8 cm) a distancia real utilizando la escala:
\[
\text{Distancia real (cm)} = \text{Distancia en el mapa (cm)} \times \text{Escala}
\]
\[
\text{Distancia real (cm)} = 8 \, \text{cm} \times 50000 = 400000 \, \text{cm}
\]
2. Luego, convertimos la distancia de centímetros a kilómetros. Sabemos que 1 km equivale a 100000 cm:
\[
\text{Distancia real (km)} = \frac{\text{Distancia real (cm)}}{100000}
\]
\[
\text{Distancia real (km)} = \frac{400000 \, \text{cm}}{100000} = 4 \, \text{km}
\]
Por lo tanto, la distancia real entre las dos ciudades es de 4 km.
Ejercicio 18:Un mapa tiene una escala de 1:50000. Si la distancia entre dos ciudades en el mapa es de 8 cm, ¿cuál es la distancia real entre ambas ciudades en kilómetros? Recuerda que 1 km = 100000 cm.
Solución: Respuesta: 4 km
Explicación: Para calcular la distancia real entre las dos ciudades, utilizamos la escala del mapa. La escala 1:50000 significa que 1 cm en el mapa equivale a 50000 cm en la realidad. Si la distancia en el mapa es de 8 cm, la distancia real se calcula de la siguiente manera:
\[
\text{Distancia real} = \text{Distancia en el mapa} \times \text{Escala}
\]
\[
\text{Distancia real} = 8 \, \text{cm} \times 50000 \, \text{cm/cm} = 400000 \, \text{cm}
\]
Ahora convertimos la distancia de centímetros a kilómetros:
\[
\text{Distancia en km} = \frac{400000 \, \text{cm}}{100000 \, \text{cm/km}} = 4 \, \text{km}
\]
Por lo tanto, la distancia real entre ambas ciudades es de 4 km.
Ejercicio 19:Un mapa tiene una escala de 1:50000. Si la distancia entre dos ciudades en el mapa es de 7 cm, ¿cuál es la distancia real entre estas dos ciudades en kilómetros?
Solución: Respuesta: 3.5 km
Para calcular la distancia real entre las dos ciudades, utilizamos la escala del mapa. La escala 1:50000 significa que 1 cm en el mapa equivale a 50000 cm en la realidad.
Dado que la distancia en el mapa es de 7 cm, multiplicamos esta medida por la escala:
\[
\text{Distancia real} = 7 \, \text{cm} \times 50000 \, \text{cm/cm} = 350000 \, \text{cm}
\]
Para convertir centímetros a kilómetros, recordamos que 1 km = 100000 cm. Por lo tanto:
\[
\text{Distancia real en km} = \frac{350000 \, \text{cm}}{100000 \, \text{cm/km}} = 3.5 \, \text{km}
\]
Así que la distancia real entre las dos ciudades es de 3.5 km.
Ejercicio 20:Un mapa tiene una escala de 1:50000. Si la distancia entre dos ciudades en el mapa es de 3 cm, ¿cuál es la distancia real entre las dos ciudades en kilómetros?
Solución: Respuesta: 150 km
Para calcular la distancia real entre las dos ciudades, utilizamos la escala del mapa. La escala de 1:50000 significa que 1 cm en el mapa equivale a 50000 cm en la realidad.
Dado que la distancia en el mapa es de 3 cm, la distancia real se calcula de la siguiente manera:
\[
\text{Distancia real} = \text{distancia en el mapa} \times \text{escala}
\]
Sustituyendo los valores:
\[
\text{Distancia real} = 3 \, \text{cm} \times 50000 \, \text{cm} = 150000 \, \text{cm}
\]
Para convertir centímetros a kilómetros, sabemos que:
\[
1 \, \text{km} = 100000 \, \text{cm}
\]
Por lo tanto, convertimos 150000 cm a kilómetros:
\[
\text{Distancia real} = \frac{150000 \, \text{cm}}{100000 \, \text{cm/km}} = 1.5 \, \text{km}
\]
Finalmente, para expresar correctamente la respuesta en kilómetros:
\[
\text{Distancia real} = 150 \, \text{km}
\]
Por lo tanto, la distancia real entre las dos ciudades es de 150 km.
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En esta sección, hemos abordado el tema de escalas, un concepto fundamental en la asignatura de Matemáticas de 1º de ESO. A continuación, se presenta un resumen del temario y los conceptos clave que debes recordar mientras realizas los ejercicios.
Temario
Definición de escalas
Tipos de escalas (escala numérica y escala gráfica)
Relación entre la escala y las dimensiones reales
Cálculo de distancias utilizando escalas
Transformaciones de escalas (ampliar y reducir)
Recordatorio de la Teoría
La escala es una relación que se establece entre las dimensiones de un objeto real y su representación en un plano o un mapa. Es esencial comprender que:
Una escala numérica se expresa como una fracción o un cociente (por ejemplo, 1:100), lo que indica que 1 unidad en el dibujo equivale a 100 unidades en la realidad.
Una escala gráfica se representa mediante una línea dividida en segmentos que muestran las distancias reales.
Para calcular las distancias en la realidad, es necesario multiplicar la longitud medida en el plano por el factor de la escala.
El proceso de ampliar o reducir una escala implica cambiar el factor de la escala, lo que puede afectar la representación del objeto.
Recuerda que practicar estos conceptos te ayudará a resolver los ejercicios con mayor facilidad. Si tienes dudas o necesitas más aclaraciones sobre algún tema, no dudes en consultar el temario o hablar con tu profesor.
