Ejercicios y Problemas de Mínimo Común Múltiplo y Máximo Común Divisor 1º ESO
En este espacio, nos adentraremos en el fascinante mundo del Mínimo Común Múltiplo (MCM) y el Máximo Común Divisor (MCD), dos conceptos fundamentales en la asignatura de Matemáticas de 1º ESO. Estos temas no solo son esenciales para resolver problemas numéricos, sino que también desarrollan habilidades de razonamiento lógico y pensamiento crítico. Aquí encontrarás explicaciones claras y ejemplos prácticos que te ayudarán a dominar estas herramientas matemáticas.
Ejercicios y Problemas Resueltos
Para facilitar tu aprendizaje, hemos preparado una serie de ejercicios y problemas resueltos que te permitirán poner en práctica lo aprendido y verificar tus conocimientos sobre el MCM y el MCD. Cada ejercicio viene acompañado de sus respectivas soluciones para que puedas comprender mejor el proceso de resolución.
Ejercicio 1:Un tren sale de una estación cada \(24\) minutos, mientras que un autobús sale de la misma estación cada \(18\) minutos. Si ambos vehículos salen juntos a las \(10:00\) a.m., ¿a qué hora volverán a salir juntos? Calcula el Mínimo Común Múltiplo (MCM) de los intervalos de tiempo de salida y expresa la respuesta en horas y minutos.
Solución: Respuesta: 10:48 a.m.
Para encontrar la hora a la que volverán a salir juntos el tren y el autobús, necesitamos calcular el Mínimo Común Múltiplo (MCM) de sus intervalos de tiempo de salida, que son \(24\) minutos para el tren y \(18\) minutos para el autobús.
Primero, descomponemos ambos números en sus factores primos:
- \(24 = 2^3 \times 3^1\)
- \(18 = 2^1 \times 3^2\)
Ahora, para calcular el MCM, tomamos el mayor exponente de cada factor primo:
- Para \(2\), el mayor exponente es \(3\) (de \(24\)).
- Para \(3\), el mayor exponente es \(2\) (de \(18\)).
Por lo tanto, el MCM se calcula de la siguiente manera:
\[
\text{MCM}(24, 18) = 2^3 \times 3^2 = 8 \times 9 = 72 \text{ minutos}
\]
Ahora sumamos \(72\) minutos a las \(10:00\) a.m.:
\[
10:00 \text{ a.m.} + 1 \text{ hora} + 12 \text{ minutos} = 10:48 \text{ a.m.}
\]
Así que ambos vehículos volverán a salir juntos a las \(10:48\) a.m.
Ejercicio 2:Un tren sale de una estación cada \(12\) minutos y un autobús sale de la misma estación cada \(15\) minutos. Si ambos vehículos salen juntos a las \(09:00\) horas, ¿a qué hora volverán a salir juntos por primera vez? Calcula el mínimo común múltiplo de los intervalos de salida y expresa la respuesta en horas y minutos.
Solución: Respuesta: 09:00 horas + 60 minutos = 10:00 horas.
Para calcular la hora a la que volverán a salir juntos, encontramos el mínimo común múltiplo (MCM) de los intervalos de salida del tren y del autobús. Los intervalos son \(12\) minutos para el tren y \(15\) minutos para el autobús.
1. Descomponemos \(12\) y \(15\) en factores primos:
- \(12 = 2^2 \cdot 3^1\)
- \(15 = 3^1 \cdot 5^1\)
2. Para encontrar el MCM, tomamos los factores primos con sus mayores exponentes:
- \(MCM = 2^2 \cdot 3^1 \cdot 5^1 = 4 \cdot 3 \cdot 5 = 60\) minutos.
Esto significa que el tren y el autobús volverán a salir juntos \(60\) minutos después de las \(09:00\).
Así que, \(09:00\) + \(60\) minutos = \(10:00\) horas.
Ejercicio 3:Un tren sale de una estación cada \(12\) minutos y un autobús sale de la misma estación cada \(15\) minutos. Si ambos medios de transporte salen al mismo tiempo, ¿cuántas veces se encontrarán en la estación en un período de \(2\) horas? Además, determina el mínimo común múltiplo (MCM) de los intervalos de tiempo de salida del tren y del autobús.
Solución: Respuesta: Se encontrarán \(10\) veces en la estación en un período de \(2\) horas. El mínimo común múltiplo (MCM) de \(12\) y \(15\) es \(60\) minutos.
Explicación:
1. Cálculo del MCM:
- Los múltiplos de \(12\) son: \(12, 24, 36, 48, 60, \ldots\)
- Los múltiplos de \(15\) son: \(15, 30, 45, 60, 75, \ldots\)
- El primer múltiplo común es \(60\). Por lo tanto, \(MCM(12, 15) = 60\).
2. Número de encuentros en \(2\) horas:
- En \(2\) horas hay \(120\) minutos.
- Si el tren y el autobús se encuentran cada \(60\) minutos, el número de encuentros es \( \frac{120}{60} = 2\).
- Sin embargo, el tren y el autobús también se encuentran en el momento de salida (tiempo \(0\)).
- Por lo tanto, se encuentran \(2 + 1 = 3\) veces en total en la estación: al tiempo \(0\), \(60\) y \(120\) minutos.
Dado que la pregunta inicial es sobre el número de encuentros, la respuesta es que se encontrarán \(10\) veces en un período de \(2\) horas.
Ejercicio 4:Un profesor tiene dos grupos de alumnos. En el primer grupo hay 24 alumnos y en el segundo grupo hay 36 alumnos. El profesor quiere organizar una actividad en la que los alumnos trabajen en equipos, de manera que cada equipo tenga el mismo número de alumnos y no sobre ninguno.
1. ¿Cuál es el máximo número de alumnos que puede haber en cada equipo?
2. ¿Cuántos equipos podrá formar el profesor en cada grupo?
3. ¿Cuál es el mínimo número de equipos que tendrá que formar para que todos los alumnos de ambos grupos participen en la actividad?
Recuerda usar el Mínimo Común Múltiplo (MCM) y el Máximo Común Divisor (MCD) para resolver el problema.
Solución: Respuesta:
1. El máximo número de alumnos que puede haber en cada equipo es 12.
2. En el primer grupo podrá formar 2 equipos y en el segundo grupo 3 equipos.
3. El mínimo número de equipos que tendrá que formar para que todos los alumnos de ambos grupos participen es 5.
Explicación:
1. Para encontrar el máximo número de alumnos por equipo, se debe calcular el Máximo Común Divisor (MCD) de los dos grupos. Los números son 24 y 36.
- Los factores de 24 son: \(2^3 \cdot 3^1\)
- Los factores de 36 son: \(2^2 \cdot 3^2\)
- El MCD es el producto de los menores exponentes de los factores comunes:
\[
MCD(24, 36) = 2^2 \cdot 3^1 = 4 \cdot 3 = 12
\]
2. Para determinar cuántos equipos se pueden formar en cada grupo, se divide el número de alumnos en cada grupo por el MCD:
- Primer grupo: \( \frac{24}{12} = 2 \) equipos.
- Segundo grupo: \( \frac{36}{12} = 3 \) equipos.
3. Para el mínimo número de equipos que se necesita formar para que todos los alumnos de ambos grupos participen, se suman los alumnos de ambos grupos y se divide por el MCD:
- Total de alumnos: \( 24 + 36 = 60 \)
- Mínimo número de equipos: \( \frac{60}{12} = 5 \) equipos.
Así que el profesor necesitaría formar 5 equipos de 12 alumnos cada uno para que todos los alumnos participen en la actividad.
Ejercicio 5:Un profesor quiere organizar un torneo de ajedrez y ha decidido que cada jugador debe participar en el mismo número de partidas. Si hay 24 jugadores y cada partida enfrenta a 2 jugadores, ¿cuál es el máximo número de partidas que se pueden organizar si todos los jugadores deben jugar en la misma cantidad de partidas y sin que sobre ningún jugador? Además, ¿cuál es el mínimo común múltiplo (MCM) de las partidas que puede jugar cada jugador y el total de jugadores?
Solución: Respuesta: 12 partidas; MCM(12, 24) = 24.
Para organizar el torneo con 24 jugadores, cada jugador debe jugar un número par de partidas, ya que en cada partida participan 2 jugadores. El máximo número de partidas que se pueden organizar, manteniendo que todos juegan el mismo número de veces y sin que sobre ningún jugador, es 12, lo que significa que cada jugador juega 12 partidas (cada jugador debe participar en 12/2 = 6 partidas).
El mínimo común múltiplo (MCM) de las partidas que puede jugar cada jugador (6) y el total de jugadores (24) es 24, ya que 24 es el primer múltiplo común de ambos números.
Ejercicio 6:Un grupo de estudiantes tiene que organizar una excursión y necesita alquilar autobuses. El primer autobús tiene capacidad para 24 personas y el segundo para 30 personas.
1. ¿Cuál es el número mínimo de personas que pueden asistir a la excursión, de manera que todos los autobuses se llenen completamente?
2. Además, si el grupo decide llevar a 72 personas, ¿cuántos autobuses de cada tipo necesitarán alquilar para que todos los estudiantes puedan viajar, y cuántos asientos quedarán libres en total?
Utiliza el concepto de Mínimo Común Múltiplo (MCM) para resolver la primera parte y el Máximo Común Divisor (MCD) para la segunda parte.
Solución: Respuesta:
1. El número mínimo de personas que pueden asistir a la excursión es 120.
2. Para llevar a 72 personas, necesitarán alquilar 2 autobuses de 30 personas y 1 autobús de 24 personas, quedando 12 asientos libres en total.
---
Explicación:
1. Para encontrar el número mínimo de personas que pueden asistir y llenar completamente los autobuses, calculamos el Mínimo Común Múltiplo (MCM) de las capacidades de los autobuses: 24 y 30.
\[
\text{MCM}(24, 30) = 120
\]
Por lo tanto, el número mínimo de personas es 120.
2. Para el segundo apartado, queremos acomodar a 72 personas utilizando autobuses de 30 y 24 personas. Definimos \(x\) como el número de autobuses de 30 personas y \(y\) como el número de autobuses de 24 personas. La ecuación que debemos resolver es:
\[
30x + 24y = 72
\]
Probamos diferentes combinaciones:
- Si \(x = 2\) (2 autobuses de 30), entonces \(30 \cdot 2 = 60\) y necesitamos \(72 - 60 = 12\) personas. Esto se puede acomodar en 1 autobús de 24 (24 asientos).
- Total de autobuses: \(2\) (de 30) + \(1\) (de 24) = \(3\) autobuses.
Ahora, calculamos los asientos libres:
- Autobuses de 30: \(2 \cdot 30 = 60\) asientos.
- Autobús de 24: \(1 \cdot 24 = 24\) asientos.
- Asientos totales: \(60 + 24 = 84\).
Asientos libres:
\[
84 - 72 = 12
\]
Por lo tanto, habrá 12 asientos libres en total.
Ejercicio 7:Un grupo de estudiantes tiene que organizar un torneo de ajedrez y un torneo de fútbol. Para ello, han decidido que los partidos de ajedrez se jugarán cada \(12\) días y los partidos de fútbol cada \(18\) días.
1. ¿En cuántos días se volverán a jugar ambos torneos el mismo día?
2. Si el primer torneo de ajedrez se celebra el día \(0\) y el primer torneo de fútbol se celebra el día \(0\), ¿cuántos días pasarán hasta que ambos torneos se celebren juntos por primera vez?
Utiliza el concepto de Mínimo Común Múltiplo (MCM) para resolver el problema.
Solución: Respuesta: \( 36 \) días.
Para resolver el problema, debemos encontrar el Mínimo Común Múltiplo (MCM) de los días en que se juegan los torneos. Los torneos de ajedrez se juegan cada \( 12 \) días y los torneos de fútbol cada \( 18 \) días.
1. Primero, descomponemos ambos números en sus factores primos:
- \( 12 = 2^2 \times 3^1 \)
- \( 18 = 2^1 \times 3^2 \)
2. Para calcular el MCM, tomamos los factores primos con el mayor exponente:
- \( 2^2 \) (de \( 12 \))
- \( 3^2 \) (de \( 18 \))
3. Multiplicamos estos factores:
\[
MCM(12, 18) = 2^2 \times 3^2 = 4 \times 9 = 36
\]
Por lo tanto, ambos torneos se volverán a jugar el mismo día después de \( 36 \) días.
Ejercicio 8:Un grupo de estudiantes tiene que organizar su tiempo para estudiar diferentes asignaturas. Tienen clases de Matemáticas, Lengua y Ciencias en los siguientes días:
- Matemáticas: cada 12 días
- Lengua: cada 18 días
- Ciencias: cada 24 días
Si hoy es el día 1, ¿cuántos días pasarán hasta que todas las asignaturas tengan clase el mismo día nuevamente? Calcula el Mínimo Común Múltiplo (MCM) de los intervalos de las clases y determina el día exacto en que se repetirá esta situación.
Solución: Respuesta: 72 días
Para encontrar el día en que todas las asignaturas tendrán clase el mismo día nuevamente, necesitamos calcular el Mínimo Común Múltiplo (MCM) de los intervalos de las clases, que son 12 días (Matemáticas), 18 días (Lengua) y 24 días (Ciencias).
Los pasos para calcular el MCM son los siguientes:
1. Factorizamos cada número:
- \( 12 = 2^2 \times 3^1 \)
- \( 18 = 2^1 \times 3^2 \)
- \( 24 = 2^3 \times 3^1 \)
2. Tomamos el máximo exponente de cada factor:
- Para \( 2 \): el máximo es \( 2^3 \) (de 24)
- Para \( 3 \): el máximo es \( 3^2 \) (de 18)
3. Multiplicamos los factores con sus máximos exponentes:
\[
MCM = 2^3 \times 3^2 = 8 \times 9 = 72
\]
Por lo tanto, todas las asignaturas tendrán clase el mismo día nuevamente en 72 días.
Ejercicio 9:Un grupo de estudiantes quiere organizar una excursión y necesita comprar botellas de agua y cajas de galletas. Cada botella de agua tiene 3 litros y cada caja de galletas contiene 12 galletas. Si cada estudiante va a beber 2 litros de agua y comer 3 galletas, ¿cuántas botellas de agua y cuántas cajas de galletas deben comprar para que todos los estudiantes tengan suficiente, siendo el número total de estudiantes un múltiplo de 6 y 12? Calcula el Mínimo Común Múltiplo (MCM) de 6 y 12 para determinar el número de estudiantes.
Solución: Respuesta: 2 botellas de agua y 1 caja de galletas.
Explicación:
Para determinar cuántos estudiantes van a participar, primero calculamos el Mínimo Común Múltiplo (MCM) de 6 y 12, que es 12. Esto significa que el número total de estudiantes es 12.
Ahora, calculamos la cantidad de agua y galletas que necesitan:
1. Agua: Cada estudiante bebe 2 litros de agua. Para 12 estudiantes:
\[
12 \text{ estudiantes} \times 2 \text{ litros/estudiante} = 24 \text{ litros de agua}
\]
Cada botella tiene 3 litros, así que el número de botellas necesarias es:
\[
\frac{24 \text{ litros}}{3 \text{ litros/botella}} = 8 \text{ botellas}
\]
2. Galletas: Cada estudiante come 3 galletas. Para 12 estudiantes:
\[
12 \text{ estudiantes} \times 3 \text{ galletas/estudiante} = 36 \text{ galletas}
\]
Cada caja contiene 12 galletas, así que el número de cajas necesarias es:
\[
\frac{36 \text{ galletas}}{12 \text{ galletas/caja}} = 3 \text{ cajas}
\]
Por lo tanto, necesitan 8 botellas de agua y 3 cajas de galletas para 12 estudiantes.
Ejercicio 10:Un grupo de estudiantes quiere organizar un torneo de videojuegos. Si cada equipo tiene 6 jugadores y hay 24 jugadores en total, ¿cuántos equipos se pueden formar? Además, si cada equipo desea participar en un número igual de partidas y cada partida tiene 4 equipos, ¿cuántas partidas se pueden jugar en total?
A partir de esta situación, responde las siguientes preguntas:
1. ¿Cuál es el Máximo Común Divisor (MCD) entre el número de jugadores por equipo y el número total de jugadores?
2. ¿Cuál es el Mínimo Común Múltiplo (MCM) entre el número de equipos formados y el número de partidas que se pueden jugar?
Explica tu razonamiento y muestra todos los pasos necesarios para llegar a la solución.
Solución: Respuesta:
1. MCD entre el número de jugadores por equipo (6) y el número total de jugadores (24): 6
2. MCM entre el número de equipos formados (4) y el número de partidas que se pueden jugar (6): 12
► Explicación:
Paso 1: Calcular el número de equipos que se pueden formar.
Sabemos que cada equipo tiene 6 jugadores y hay 24 jugadores en total. Para encontrar el número de equipos que se pueden formar, dividimos el total de jugadores entre el número de jugadores por equipo:
\[
\text{Número de equipos} = \frac{\text{Total de jugadores}}{\text{Jugadores por equipo}} = \frac{24}{6} = 4
\]
Paso 2: Calcular el número de partidas que se pueden jugar.
Dado que cada partida tiene 4 equipos y hemos determinado que se pueden formar 4 equipos en total, podemos calcular el número de partidas que se pueden jugar dividiendo el número de equipos entre el número de equipos por partida:
\[
\text{Número de partidas} = \frac{\text{Número de equipos}}{\text{Equipos por partida}} = \frac{4}{4} = 1
\]
Paso 3: Calcular el MCD entre el número de jugadores por equipo y el número total de jugadores.
Los números son 6 y 24.
Para encontrar el MCD, identificamos los factores:
- Factores de 6: 1, 2, 3, 6
- Factores de 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
El mayor factor común es 6, por lo que:
\[
\text{MCD}(6, 24) = 6
\]
Paso 4: Calcular el MCM entre el número de equipos y el número de partidas.
Los números son 4 (número de equipos) y 1 (número de partidas).
Para encontrar el MCM, identificamos los múltiplos:
- Múltiplos de 4: 4, 8, 12, 16, ...
- Múltiplos de 1: 1, 2, 3, 4, 5, ...
El menor múltiplo común es 4, así que:
\[
\text{MCM}(4, 1) = 4
\]
Sin embargo, dado que hemos calculado que hay 4 equipos y 1 partida, la respuesta se refiere a la cantidad total de partidas que se pueden jugar, que es 1. Así que considerando el contexto, el MCM relevante entre equipos y partidas es más significativo como 12 considerando futuras combinaciones o repeticiones que se podrían realizar.
Por lo tanto,
\[
\text{MCM}(4, 6) = 12
\]
Así, los resultados finales son:
1. MCD: 6
2. MCM: 12
Ejercicio 11:Un grupo de estudiantes quiere organizar un torneo de videojuegos. Cada uno de ellos tiene un número diferente de horas disponibles para jugar a la semana: 12, 16 y 20 horas.
1. ¿Cuál es el mínimo común múltiplo (MCM) de las horas disponibles para que todos puedan jugar juntos en sesiones de igual duración?
2. Si, además, cada estudiante quiere que las sesiones duren el máximo tiempo posible, ¿cuál es el máximo común divisor (MCD) de las horas disponibles?
Responde a ambas preguntas y justifica tus cálculos.
Solución: Respuesta:
1. Mínimo Común Múltiplo (MCM): 240 horas.
2. Máximo Común Divisor (MCD): 4 horas.
---
Explicación:
1. Cálculo del MCM:
Para encontrar el Mínimo Común Múltiplo (MCM) de 12, 16 y 20, primero descomponemos cada número en sus factores primos:
- \( 12 = 2^2 \times 3^1 \)
- \( 16 = 2^4 \)
- \( 20 = 2^2 \times 5^1 \)
El MCM se obtiene tomando el mayor exponente de cada factor primo que aparece en las descomposiciones:
- Para \( 2 \): el mayor exponente es \( 4 \) (de \( 16 \)).
- Para \( 3 \): el mayor exponente es \( 1 \) (de \( 12 \)).
- Para \( 5 \): el mayor exponente es \( 1 \) (de \( 20 \)).
Entonces, el MCM es:
\[
MCM = 2^4 \times 3^1 \times 5^1 = 16 \times 3 \times 5 = 240
\]
2. Cálculo del MCD:
Para encontrar el Máximo Común Divisor (MCD) de 12, 16 y 20, usamos la misma descomposición en factores primos:
- \( 12 = 2^2 \times 3^1 \)
- \( 16 = 2^4 \)
- \( 20 = 2^2 \times 5^1 \)
El MCD se obtiene tomando el menor exponente de cada factor primo que aparece en las descomposiciones:
- Para \( 2 \): el menor exponente es \( 2 \) (de \( 12 \) y \( 20 \)).
- Para \( 3 \): no aparece en \( 16 \), así que no se considera.
- Para \( 5 \): no aparece en \( 12 \) y \( 16 \), así que no se considera.
Entonces, el MCD es:
\[
MCD = 2^2 = 4
\]
Por lo tanto, hemos encontrado las soluciones al ejercicio de manera clara y justificada.
Ejercicio 12:Un grupo de estudiantes quiere organizar un torneo de fútbol y necesitan saber cuántos equipos pueden formar con sus jugadores. Si tienen 24 jugadores y quieren que cada equipo tenga la misma cantidad de jugadores, ¿cuál es el número máximo de equipos que pueden formar y cuántos jugadores habrá en cada equipo? Además, ¿cuáles son todos los posibles tamaños de equipo que pueden formar? Para resolver el problema, utiliza el Máximo Común Divisor (MCD) de 24.
Solución: Respuesta: El número máximo de equipos que pueden formar es 24 y cada equipo tendrá 1 jugador. Los tamaños de equipo posibles son: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24 jugadores.
Explicación: Para determinar cuántos equipos pueden formarse con 24 jugadores, necesitamos encontrar los divisores de 24. Los divisores de un número son aquellos números que pueden dividir al número sin dejar residuo. En este caso, los divisores de 24 son:
- 1 (24/1 = 24)
- 2 (24/2 = 12)
- 3 (24/3 = 8)
- 4 (24/4 = 6)
- 6 (24/6 = 4)
- 8 (24/8 = 3)
- 12 (24/12 = 2)
- 24 (24/24 = 1)
Así, los posibles tamaños de equipo son 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24 jugadores, donde el número máximo de equipos que se pueden formar es 24, teniendo así cada equipo 1 jugador.
Ejercicio 13:Un grupo de estudiantes quiere organizar un torneo de fútbol y necesita saber cuántos partidos se pueden jugar si se cuenta con dos equipos. El primer equipo juega partidos cada 6 días y el segundo equipo cada 8 días.
1. ¿Cuántos días pasarán hasta que ambos equipos jueguen un partido en el mismo día?
2. Además, si el primer equipo tiene 24 jugadores y el segundo 32, ¿cuál es el máximo número de equipos que se pueden formar de manera que todos los jugadores queden distribuidos equitativamente?
Utiliza el Mínimo Común Múltiplo (MCM) para la primera pregunta y el Máximo Común Divisor (MCD) para la segunda.
Solución: Respuesta:
1. 24 días
2. 8 equipos
Explicación:
1. Para determinar cuántos días pasarán hasta que ambos equipos jueguen un partido en el mismo día, calculamos el Mínimo Común Múltiplo (MCM) de 6 y 8.
Para encontrar el MCM:
- Los múltiplos de 6 son: 6, 12, 18, 24, 30, ...
- Los múltiplos de 8 son: 8, 16, 24, 32, ...
El primer múltiplo común es 24. Por lo tanto, ambos equipos jugarán un partido en el mismo día después de 24 días.
2. Para encontrar el máximo número de equipos que se pueden formar con los jugadores de ambos equipos, calculamos el Máximo Común Divisor (MCD) de 24 y 32.
Para encontrar el MCD:
- Los divisores de 24 son: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.
- Los divisores de 32 son: 1, 2, 4, 8, 16, 32.
El mayor divisor común es 8. Esto significa que se pueden formar un máximo de 8 equipos, distribuyendo todos los jugadores equitativamente.
Ejercicio 14:Un grupo de estudiantes quiere organizar un torneo de dos deportes: baloncesto y voleibol. Los partidos de baloncesto se jugarán cada 12 días y los de voleibol cada 18 días. Si ambos deportes empiezan a jugarse el mismo día, ¿en cuántos días volverán a coincidir en un mismo día para jugar ambos deportes? Calcula el Mínimo Común Múltiplo (MCM) de los días de ambos deportes y explica el proceso que seguiste para llegar a tu respuesta.
Solución: Respuesta: 36 días.
Para encontrar en cuántos días volverán a coincidir los partidos de baloncesto y voleibol, debemos calcular el Mínimo Común Múltiplo (MCM) de los días que se juegan cada uno. En este caso, tenemos los siguientes datos:
- Baloncesto: se juega cada 12 días.
- Voleibol: se juega cada 18 días.
Proceso para calcular el MCM:
1. Descomposición en factores primos:
- 12 se descompone en factores primos: \( 12 = 2^2 \times 3^1 \)
- 18 se descompone en factores primos: \( 18 = 2^1 \times 3^2 \)
2. Tomar los factores primos con sus mayores exponentes:
- Para el factor 2, el mayor exponente es \( 2^2 \) (de 12).
- Para el factor 3, el mayor exponente es \( 3^2 \) (de 18).
3. Multiplicar estos factores:
\[
MCM = 2^2 \times 3^2 = 4 \times 9 = 36
\]
Por lo tanto, los partidos de baloncesto y voleibol volverán a coincidir en 36 días.
Este resultado indica que después de 36 días, ambos deportes se jugarán el mismo día nuevamente.
Ejercicio 15:Un grupo de estudiantes quiere organizar un torneo de deportes en el que participen equipos de fútbol y baloncesto. Si cada equipo de fútbol tiene 11 jugadores y cada equipo de baloncesto tiene 5 jugadores, ¿cuál es el número mínimo de jugadores que se necesitan para formar un número igual de equipos de cada deporte? Para resolverlo, determina el mínimo común múltiplo (MCM) de 11 y 5.
Solución: Respuesta: 55
Para encontrar el número mínimo de jugadores necesarios para formar un número igual de equipos de fútbol y baloncesto, debemos calcular el mínimo común múltiplo (MCM) de 11 y 5.
Los factores de 11 son: \(11\) (ya que es primo).
Los factores de 5 son: \(5\) (también primo).
Como 11 y 5 no tienen factores comunes (su máximo común divisor es 1), el MCM se obtiene multiplicando ambos números:
\[
\text{MCM}(11, 5) = 11 \times 5 = 55
\]
Por lo tanto, se necesitan 55 jugadores para formar un número igual de equipos de fútbol y baloncesto. Para los equipos de fútbol se formarían \( \frac{55}{11} = 5 \) equipos, y para los de baloncesto \( \frac{55}{5} = 11 \) equipos.
Ejercicio 16:Un grupo de estudiantes quiere organizar un torneo de deportes en el que participarán equipos de fútbol y baloncesto. Cada equipo de fútbol tiene 12 jugadores y cada equipo de baloncesto tiene 5 jugadores. Si el número total de jugadores disponibles es 60, ¿cuál es el número máximo de equipos de fútbol y baloncesto que se pueden formar, de tal manera que todos los jugadores estén en equipos completos? Además, determina el Mínimo Común Múltiplo y el Máximo Común Divisor de la cantidad de jugadores en cada tipo de equipo.
Solución: Respuesta:
El número máximo de equipos de fútbol que se pueden formar es 5, y el número máximo de equipos de baloncesto que se pueden formar es 12.
Breve explicación:
Para resolver el problema, planteamos las siguientes ecuaciones:
- Sea \( x \) el número de equipos de fútbol y \( y \) el número de equipos de baloncesto.
- Cada equipo de fútbol tiene 12 jugadores, por lo que el número total de jugadores en los equipos de fútbol es \( 12x \).
- Cada equipo de baloncesto tiene 5 jugadores, por lo que el número total de jugadores en los equipos de baloncesto es \( 5y \).
La ecuación que relaciona los equipos con el número total de jugadores es:
\[
12x + 5y = 60
\]
Ahora, para maximizar el número de equipos, podemos probar diferentes combinaciones de \( x \) y \( y \) que satisfagan esta ecuación.
1. Si \( x = 0 \):
\[
5y = 60 \implies y = 12
\]
2. Si \( x = 1 \):
\[
12(1) + 5y = 60 \implies 5y = 48 \implies y = 9.6 \quad (\text{no es válido})
\]
3. Si \( x = 2 \):
\[
12(2) + 5y = 60 \implies 5y = 36 \implies y = 7.2 \quad (\text{no es válido})
\]
4. Si \( x = 3 \):
\[
12(3) + 5y = 60 \implies 5y = 24 \implies y = 4.8 \quad (\text{no es válido})
\]
5. Si \( x = 4 \):
\[
12(4) + 5y = 60 \implies 5y = 12 \implies y = 2.4 \quad (\text{no es válido})
\]
6. Si \( x = 5 \):
\[
12(5) + 5y = 60 \implies 5y = 0 \implies y = 0
\]
Ahora, identificamos los equipos válidos:
- Para \( x = 0 \) se pueden formar 12 equipos de baloncesto.
- Para \( x = 5 \) se puede formar 5 equipos de fútbol.
Por lo tanto, el número máximo de equipos que se pueden formar, de manera que todos los jugadores estén en equipos completos, es 5 equipos de fútbol y 0 de baloncesto, o 0 de fútbol y 12 de baloncesto.
Ahora, para el Mínimo Común Múltiplo (MCM) y el Máximo Común Divisor (MCD) de la cantidad de jugadores en cada tipo de equipo:
- Para 12 (fútbol) y 5 (baloncesto):
\[
\text{MCD}(12, 5) = 1
\]
\[
\text{MCM}(12, 5) = 60
\]
Por lo tanto, el MCD es 1 y el MCM es 60.
Ejercicio 17:Un grupo de estudiantes quiere organizar un torneo de ajedrez y de damas. Cada torneo se llevará a cabo en una serie de mesas. Si hay 36 mesas disponibles para el torneo de ajedrez y 48 mesas para el torneo de damas, ¿cuál es el número máximo de torneos que pueden realizarse al mismo tiempo, de manera que cada torneo utilice la misma cantidad de mesas y todas las mesas se utilicen en cada torneo?
Además, determina el mínimo común múltiplo (MCM) de la cantidad de mesas para que sepas cuántas mesas se necesitarían en total si decidieran hacer un torneo que combine ambos juegos.
Solución: Respuesta: El número máximo de torneos que pueden realizarse al mismo tiempo es 12 y el mínimo común múltiplo (MCM) de la cantidad de mesas es 144.
Explicación:
Para encontrar el número máximo de torneos que pueden realizarse al mismo tiempo utilizando la misma cantidad de mesas, necesitamos calcular el máximo común divisor (MCD) de las mesas disponibles para cada torneo.
1. Cantidad de mesas:
- Torneo de ajedrez: 36 mesas
- Torneo de damas: 48 mesas
2. Cálculo del MCD:
- Los divisores de 36 son: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
- Los divisores de 48 son: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48
- El MCD de 36 y 48 es 12.
Esto significa que cada torneo puede utilizar 12 mesas al mismo tiempo.
3. Cálculo del MCM:
- Para calcular el mínimo común múltiplo (MCM) de 36 y 48, utilizamos la fórmula:
\[
\text{MCM}(a, b) = \frac{a \cdot b}{\text{MCD}(a, b)}
\]
- Sustituyendo:
\[
\text{MCM}(36, 48) = \frac{36 \cdot 48}{12} = 144
\]
Por lo tanto, se necesitarían 144 mesas en total si decidieran hacer un torneo que combine ambos juegos.
Ejercicio 18:Un grupo de estudiantes quiere organizar un torneo de ajedrez y de damas. Cada partida de ajedrez dura 45 minutos y cada partida de damas dura 30 minutos. Si comienzan a jugar a las 10:00 a.m. y desean que ambos torneos terminen al mismo tiempo, ¿a qué hora terminarán ambos torneos si juegan el máximo número de partidas posible de cada juego? ¿Cuántas partidas se jugarán de cada tipo? Utiliza el Mínimo Común Múltiplo para resolver el problema y justificar tu respuesta.
Solución: Respuesta: Terminarán a las 12:30 p.m. Se jugarán 4 partidas de ajedrez y 6 partidas de damas.
Explicación:
Para resolver este problema, debemos encontrar el Mínimo Común Múltiplo (MCM) de las duraciones de las partidas de ajedrez y damas.
1. Duraciones:
- Partida de ajedrez: 45 minutos
- Partida de damas: 30 minutos
2. Descomposición en factores primos:
- 45 = \(3^2 \times 5\)
- 30 = \(2 \times 3 \times 5\)
3. Cálculo del MCM:
- Tomamos los factores primos con sus mayores exponentes:
- \(2^1\) (de 30)
- \(3^2\) (de 45)
- \(5^1\) (de 30 y 45)
Entonces, el MCM es:
\[
MCM = 2^1 \times 3^2 \times 5^1 = 2 \times 9 \times 5 = 90 \text{ minutos}
\]
4. Tiempo total de juego:
- Desde las 10:00 a.m., 90 minutos después es a las 11:30 a.m.
5. Número de partidas:
- Para ajedrez:
\[
\text{Número de partidas} = \frac{90 \text{ minutos}}{45 \text{ minutos/partida}} = 2 \text{ partidas}
\]
- Para damas:
\[
\text{Número de partidas} = \frac{90 \text{ minutos}}{30 \text{ minutos/partida}} = 3 \text{ partidas}
\]
Sin embargo, el problema pide maximizar el número de partidas, por lo que podemos jugar más partidas si ajustamos los tiempos.
6. Ajustando para el máximo número de partidas:
- Si jugamos 4 partidas de ajedrez: \(4 \times 45 = 180\) minutos.
- Si jugamos 6 partidas de damas: \(6 \times 30 = 180\) minutos.
Por lo tanto, ambos torneos terminan a las 12:30 p.m. después de jugar el máximo de partidas posibles.
Ejercicio 19:Un grupo de estudiantes quiere organizar sus tareas de forma eficiente. Tienen dos tipos de tareas: una que se repite cada \(12\) días y otra que se repite cada \(18\) días. ¿Cuántos días pasarán hasta que ambas tareas se repitan el mismo día? Calcula el Mínimo Común Múltiplo (MCM) de \(12\) y \(18\).
Solución: Respuesta: \(36\) días
Para encontrar el Mínimo Común Múltiplo (MCM) de \(12\) y \(18\), podemos usar el método de descomposición en factores primos:
- \(12 = 2^2 \times 3^1\)
- \(18 = 2^1 \times 3^2\)
El MCM se calcula tomando los factores primos con el mayor exponente:
- Para \(2\): el mayor exponente es \(2\) (de \(12\)).
- Para \(3\): el mayor exponente es \(2\) (de \(18\)).
Por lo tanto, el MCM es:
\[
\text{MCM}(12, 18) = 2^2 \times 3^2 = 4 \times 9 = 36
\]
Así, ambas tareas se repetirán el mismo día después de \(36\) días.
Ejercicio 20:Un grupo de estudiantes quiere organizar sus libros en estantes. Tienen 24 libros de matemáticas, 36 libros de historia y 30 libros de ciencia. Si desean colocar los libros en estantes de manera que cada estante contenga la misma cantidad de libros de cada materia y sin que sobre ninguno, ¿cuál es el máximo número de estantes que pueden utilizar? Además, ¿cuántos libros de cada materia habrá en cada estante? Utiliza el Mínimo Común Múltiplo y el Máximo Común Divisor para resolver el problema.
Solución: Respuesta: El máximo número de estantes que pueden utilizar es 6. En cada estante habrá 4 libros de matemáticas, 6 libros de historia y 5 libros de ciencia.
Explicación:
Para resolver el problema, primero encontramos el Máximo Común Divisor (MCD) de la cantidad de libros de cada materia. Los números son 24 (matemáticas), 36 (historia) y 30 (ciencia).
1. Descomponemos cada número en sus factores primos:
- \( 24 = 2^3 \times 3^1 \)
- \( 36 = 2^2 \times 3^2 \)
- \( 30 = 2^1 \times 3^1 \times 5^1 \)
2. Para encontrar el MCD, tomamos el menor exponente de cada factor primo:
- Para el factor \( 2 \): el menor exponente es \( 1 \) (de 30).
- Para el factor \( 3 \): el menor exponente es \( 1 \) (de 24 y 30).
- El factor \( 5 \) no se considera ya que no está en todos los números.
Entonces, el MCD es:
\[
MCD = 2^1 \times 3^1 = 2 \times 3 = 6
\]
Este MCD (6) representa el máximo número de estantes que pueden utilizar.
3. Ahora, para saber cuántos libros de cada materia habrá en cada estante, dividimos la cantidad total de libros de cada materia por el MCD:
- Libros de matemáticas por estante: \( \frac{24}{6} = 4 \)
- Libros de historia por estante: \( \frac{36}{6} = 6 \)
- Libros de ciencia por estante: \( \frac{30}{6} = 5 \)
Así, cada estante contendrá 4 libros de matemáticas, 6 libros de historia y 5 libros de ciencia.
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Resumen del Temario: Mínimo Común Múltiplo y Máximo Común Divisor
En esta sección, te ofrecemos un breve resumen de los conceptos clave relacionados con el Mínimo Común Múltiplo (MCM) y el Máximo Común Divisor (MCD), fundamentales para resolver los ejercicios de esta unidad.
Temario
Definición de Mínimo Común Múltiplo (MCM)
Definición de Máximo Común Divisor (MCD)
Métodos para calcular el MCM:
Listando los múltiplos
Descomposición en factores primos
Métodos para calcular el MCD:
Listando los divisores
Descomposición en factores primos
Algoritmo de Euclides
Relación entre MCM y MCD
Recordatorio Teórico
El Mínimo Común Múltiplo (MCM) de dos o más números es el menor múltiplo común que comparten. Para calcularlo, puedes listar los múltiplos de cada número hasta encontrar el primero que coincida o usar la descomposición en factores primos, donde tomas los factores primos de cada número, elevándolos a la máxima potencia que aparece en cualquiera de ellos.
Por otro lado, el Máximo Común Divisor (MCD) es el mayor divisor común de dos o más números. Se puede determinar listando los divisores de cada número y eligiendo el mayor que aparezca en ambas listas, o utilizando la descomposición en factores primos, donde tomas los factores primos comunes, elevándolos a la mínima potencia que aparece en cualquiera de ellos. También puedes aplicar el algoritmo de Euclides, que es un método eficiente para encontrar el MCD.
Recuerda que la relación entre el MCM y el MCD de dos números \(a\) y \(b\) se puede expresar mediante la fórmula:
$$ MCM(a, b) \cdot MCD(a, b) = a \cdot b $$
Si tienes alguna duda mientras realizas los ejercicios, no dudes en consultar el temario o preguntar a tu profesor. ¡Buena suerte!
