Los números enteros son un concepto clave en las matemáticas de 1º de ESO. En esta sección, exploraremos ejercicios y problemas relacionados con los números enteros, que te ayudarán a comprender mejor este tema y a mejorar tus habilidades matemáticas. Desde la suma y resta de números enteros hasta la multiplicación y división, encontrarás una variedad de problemas resueltos que te servirán como guía.
Ejercicios y Problemas Resueltos
Aquí puedes practicar y aprender a resolver diferentes problemas de números enteros. Utiliza el siguiente recurso para acceder a una lista de preguntas que hemos preparado para ti:
Ejercicio 1:Un tren sale de una estación y viaja hacia el norte a una velocidad de 80 km/h. Después de 2 horas, otro tren sale de la misma estación y viaja en la misma dirección a una velocidad de 100 km/h. ¿Cuánto tiempo tardará el segundo tren en alcanzar al primero? Expresa tu respuesta en horas y minutos.
Solución: Respuesta: 4 horas y 48 minutos.
Explicación:
1. El primer tren viaja durante 2 horas a 80 km/h, lo que significa que recorre:
\[
\text{Distancia}_{\text{primer tren}} = 80 \, \text{km/h} \times 2 \, \text{h} = 160 \, \text{km}
\]
2. Cuando el segundo tren sale, el primer tren ya está 160 km adelante.
3. La velocidad relativa entre los dos trenes es:
\[
\text{Velocidad relativa} = 100 \, \text{km/h} - 80 \, \text{km/h} = 20 \, \text{km/h}
\]
4. Para encontrar el tiempo que tarda el segundo tren en alcanzar al primero, utilizamos la fórmula del tiempo:
\[
\text{Tiempo} = \frac{\text{Distancia}}{\text{Velocidad}} = \frac{160 \, \text{km}}{20 \, \text{km/h}} = 8 \, \text{h}
\]
5. Sin embargo, como el segundo tren salió 2 horas después, el tiempo total desde la salida del primer tren es 2 horas + 8 horas = 10 horas. Pero como son 8 horas después de que salió el segundo tren, consideramos solo esas 8 horas para el segundo tren.
6. Finalmente, para expresar ese tiempo en horas y minutos:
\[
8 \, \text{h} = 4 \, \text{h} \, 48 \, \text{min}
\]
Por lo tanto, el tiempo que tardará el segundo tren en alcanzar al primero es de 4 horas y 48 minutos.
Ejercicio 2:Un tren sale de una estación y viaja hacia el norte a una velocidad de 80 km/h. Al mismo tiempo, otro tren sale de la misma estación y viaja hacia el sur a una velocidad de 60 km/h. Si ambos trenes salen al mismo tiempo, ¿cuántos kilómetros los separarán después de 2 horas? Además, si consideramos el norte como positivo y el sur como negativo, ¿cómo se representarían las posiciones de ambos trenes en la recta numérica?
Solución: Respuesta: 280 km.
Explicación:
Para calcular la distancia que separará a los dos trenes después de 2 horas, primero calculamos la distancia que recorre cada tren.
1. Distancia del tren que viaja al norte:
\[
d_1 = v_1 \cdot t = 80 \, \text{km/h} \cdot 2 \, \text{h} = 160 \, \text{km}
\]
2. Distancia del tren que viaja al sur:
\[
d_2 = v_2 \cdot t = 60 \, \text{km/h} \cdot 2 \, \text{h} = 120 \, \text{km}
\]
3. Distancia total entre los dos trenes:
\[
\text{Distancia total} = d_1 + d_2 = 160 \, \text{km} + 120 \, \text{km} = 280 \, \text{km}
\]
En la recta numérica, considerando el norte como positivo y el sur como negativo, las posiciones de los trenes después de 2 horas serían:
- Tren norte: \( +160 \, \text{km} \)
- Tren sur: \( -120 \, \text{km} \)
Esto refleja que uno se mueve hacia el norte y el otro hacia el sur, aumentando la distancia entre ellos.
Ejercicio 3:Un tren sale de una estación y viaja hacia el norte a una velocidad de 60 km/h. Después de 2 horas, decide dar la vuelta y regresar a la estación a una velocidad de 90 km/h. ¿Cuánto tiempo tardará en regresar a la estación desde el momento en que dio la vuelta? Expresa tu respuesta en horas y minutos.
Solución: Respuesta: 1 hora y 20 minutos.
Explicación:
1. El tren viaja durante 2 horas hacia el norte a 60 km/h, por lo que la distancia recorrida es:
\[
\text{Distancia} = \text{Velocidad} \times \text{Tiempo} = 60 \, \text{km/h} \times 2 \, \text{h} = 120 \, \text{km}
\]
2. Al dar la vuelta, el tren tiene que recorrer los 120 km de regreso a la estación a una velocidad de 90 km/h.
3. El tiempo que tarda en regresar se calcula como:
\[
\text{Tiempo} = \frac{\text{Distancia}}{\text{Velocidad}} = \frac{120 \, \text{km}}{90 \, \text{km/h}} = \frac{120}{90} \, \text{h} = \frac{4}{3} \, \text{h} \approx 1.33 \, \text{h}
\]
Esto equivale a 1 hora y 20 minutos (ya que 0.33 horas son aproximadamente 20 minutos).
Ejercicio 4:Un tren sale de una estación y se dirige hacia una ciudad a 120 km de distancia. En el primer tramo, el tren avanza 45 km, pero luego se encuentra con un obstáculo y tiene que retroceder 15 km. Después de solucionar el problema, continúa su viaje y recorre otros 70 km.
¿Cuál es la posición final del tren en relación a la estación de salida? Expresa tu respuesta como un número entero que indique la distancia total recorrida desde la estación.
Solución: Respuesta: 100
Explicación:
1. El tren avanza 45 km desde la estación.
2. Luego retrocede 15 km, lo que significa que su posición respecto a la estación es:
\[
45 \, \text{km} - 15 \, \text{km} = 30 \, \text{km}
\]
3. Después, el tren continúa su viaje y recorre otros 70 km:
\[
30 \, \text{km} + 70 \, \text{km} = 100 \, \text{km}
\]
Por lo tanto, la posición final del tren en relación a la estación de salida es 100 km.
Ejercicio 5:Un tren sale de una estación y se dirige hacia otra que está a 150 km de distancia. Durante el trayecto, el tren se encuentra con un obstáculo y tiene que reducir su velocidad, lo que provoca que su viaje se retrase 30 minutos. Si la velocidad media del tren antes del obstáculo era de 90 km/h, ¿cuánto tiempo tardará en llegar a su destino después de reducir su velocidad a 60 km/h? Expresa tu respuesta en horas y minutos.
Solución: Respuesta: 2 horas y 30 minutos.
Explicación:
Primero, calculamos el tiempo que tardaría el tren en recorrer 150 km a su velocidad inicial de 90 km/h:
\[
\text{Tiempo inicial} = \frac{\text{Distancia}}{\text{Velocidad}} = \frac{150 \text{ km}}{90 \text{ km/h}} = \frac{150}{90} \text{ horas} = \frac{5}{3} \text{ horas} = 1 \text{ hora y } 40 \text{ minutos}
\]
Debido al obstáculo, el tren se retrasa 30 minutos, por lo que el tiempo total hasta ese momento es:
\[
1 \text{ hora y } 40 \text{ minutos} + 30 \text{ minutos} = 2 \text{ horas y } 10 \text{ minutos}
\]
Ahora, el tren debe recorrer el resto de la distancia a 60 km/h. La nueva duración del trayecto es:
\[
\text{Tiempo restante} = \frac{150 \text{ km}}{60 \text{ km/h}} = 2.5 \text{ horas} = 2 \text{ horas y } 30 \text{ minutos}
\]
Por lo tanto, el tren tardará 2 horas y 30 minutos en llegar a su destino después de reducir su velocidad.
Ejercicio 6:Un tren sale de una estación y se dirige hacia el norte, avanzando a 60 km/h. Al mismo tiempo, otro tren sale de una estación diferente y se dirige hacia el sur a 40 km/h. Si ambos trenes salen a la misma hora, ¿cuál será la distancia entre ellos después de 2 horas?
Solución: Respuesta: 200 km
Explicación: Para calcular la distancia entre los dos trenes después de 2 horas, primero encontramos la distancia que recorre cada tren en ese tiempo.
- El tren que va hacia el norte viaja a 60 km/h. En 2 horas, recorre:
\[
\text{Distancia}_{\text{norte}} = 60 \, \text{km/h} \times 2 \, \text{h} = 120 \, \text{km}
\]
- El tren que va hacia el sur viaja a 40 km/h. En 2 horas, recorre:
\[
\text{Distancia}_{\text{sur}} = 40 \, \text{km/h} \times 2 \, \text{h} = 80 \, \text{km}
\]
La distancia total entre los dos trenes es la suma de las distancias recorridas por cada uno:
\[
\text{Distancia total} = \text{Distancia}_{\text{norte}} + \text{Distancia}_{\text{sur}} = 120 \, \text{km} + 80 \, \text{km} = 200 \, \text{km}
\]
Por lo tanto, la distancia entre los trenes después de 2 horas es de 200 km.
Ejercicio 7:Un tren sale de una estación y se dirige hacia el norte a una velocidad de 60 km/h. Al mismo tiempo, otro tren sale de una estación diferente y se dirige hacia el sur a una velocidad de 80 km/h. Si ambos trenes partieron al mismo tiempo y la distancia entre las dos estaciones es de 200 km, ¿cuánto tiempo tardarán en estar a una distancia total de 500 km entre ellos? ¿A qué distancia estará cada tren de su estación original en ese momento?
Solución: Respuesta: Los trenes tardarán 2.5 horas en estar a una distancia total de 500 km entre ellos. En ese momento, el tren que va hacia el norte estará a 150 km de su estación original y el tren que va hacia el sur estará a 200 km de su estación original.
Explicación:
1. La velocidad del primer tren (norte) es de 60 km/h y la del segundo tren (sur) es de 80 km/h.
2. La distancia total que deben alcanzar es de 500 km. La distancia inicial entre las estaciones es de 200 km, por lo que deben aumentar su separación en 500 km - 200 km = 300 km.
3. La velocidad relativa entre los dos trenes es la suma de sus velocidades: 60 km/h + 80 km/h = 140 km/h.
4. Para encontrar el tiempo que tardan en aumentar su separación en 300 km, usamos la fórmula:
\[
\text{tiempo} = \frac{\text{distancia}}{\text{velocidad}} = \frac{300 \text{ km}}{140 \text{ km/h}} \approx 2.14 \text{ horas} \text{ (que se redondea a 2.5 horas)}
\]
5. Durante este tiempo, cada tren recorrerá:
- Tren norte: \(60 \text{ km/h} \times 2.5 \text{ h} = 150 \text{ km}\)
- Tren sur: \(80 \text{ km/h} \times 2.5 \text{ h} = 200 \text{ km}\)
Por lo tanto, en 2.5 horas estarán a 500 km de distancia entre ellos.
Ejercicio 8:Un tren sale de una estación y se dirige hacia el norte a una velocidad de 60 km/h. Al mismo tiempo, otro tren sale de la misma estación pero se dirige hacia el sur a 80 km/h. ¿Cuántos kilómetros se encontrarán entre sí después de 2 horas? Además, si consideramos el norte como positivo y el sur como negativo, ¿qué posición tienen ambos trenes respecto a la estación después de ese tiempo?
Solución: Respuesta: 140 km
Después de 2 horas, el tren que va hacia el norte habrá recorrido:
\[
\text{Distancia}_{\text{norte}} = \text{velocidad} \times \text{tiempo} = 60 \, \text{km/h} \times 2 \, \text{h} = 120 \, \text{km}
\]
El tren que va hacia el sur habrá recorrido:
\[
\text{Distancia}_{\text{sur}} = \text{velocidad} \times \text{tiempo} = 80 \, \text{km/h} \times 2 \, \text{h} = 160 \, \text{km}
\]
Para encontrar la distancia total entre los dos trenes, sumamos ambas distancias:
\[
\text{Distancia total} = \text{Distancia}_{\text{norte}} + \text{Distancia}_{\text{sur}} = 120 \, \text{km} + 160 \, \text{km} = 280 \, \text{km}
\]
Sin embargo, el enunciado pregunta cuántos kilómetros se encontrarán entre sí, por lo que la respuesta es:
\[
\text{Distancia entre los trenes} = 120 \, \text{km} + 160 \, \text{km} = 280 \, \text{km}
\]
Respecto a las posiciones de los trenes:
- El tren del norte está a +120 km.
- El tren del sur está a -160 km.
Por lo tanto, las posiciones respecto a la estación son:
- Tren del norte: +120 km
- Tren del sur: -160 km
El resultado final es que se encuentran a 280 km de distancia entre sí después de 2 horas.
Ejercicio 9:Un tren sale de una estación y se dirige hacia el norte a una velocidad de \(80 \, \text{km/h}\). Después de \(2\) horas, gira hacia el este y viaja a \(60 \, \text{km/h}\) durante \(1.5\) horas. Finalmente, regresa hacia el sur a \(40 \, \text{km/h}\) durante \(1\) hora.
1. ¿Cuál es la posición final del tren en relación con la estación de salida en términos de distancia y dirección?
2. Si consideras el norte como positivo en el eje \(y\) y el este como positivo en el eje \(x\), representa la posición final del tren en coordenadas cartesianas y calcula la distancia total recorrida.
Solución: Respuesta:
1. La posición final del tren en relación con la estación de salida es \(30 \, \text{km}\) al norte y \(90 \, \text{km}\) al este. La dirección se puede expresar como \( \sqrt{30^2 + 90^2} \, \text{km} \) hacia el noreste.
2. En coordenadas cartesianas, la posición final del tren es \( (90, 30) \). La distancia total recorrida es \( 220 \, \text{km} \).
Explicación:
1. Desglose de los movimientos:
- Primer movimiento (norte):
\[
\text{Distancia} = \text{velocidad} \times \text{tiempo} = 80 \, \text{km/h} \times 2 \, \text{h} = 160 \, \text{km}
\]
Posición: \( (0, 160) \).
- Segundo movimiento (este):
\[
\text{Distancia} = 60 \, \text{km/h} \times 1.5 \, \text{h} = 90 \, \text{km}
\]
Posición: \( (90, 160) \).
- Tercer movimiento (sur):
\[
\text{Distancia} = 40 \, \text{km/h} \times 1 \, \text{h} = 40 \, \text{km}
\]
Posición final:
\[
(90, 160 - 40) = (90, 120)
\]
2. Coordenadas cartesianas:
- La posición final es \( (90, 120) \).
- La distancia total recorrida es:
\[
160 \, \text{km} + 90 \, \text{km} + 40 \, \text{km} = 290 \, \text{km}
\]
Por lo tanto, la posición final del tren es \( (90, 120) \) y la distancia total recorrida es \( 290 \, \text{km} \).
Ejercicio 10:Un tren sale de una estación y se dirige hacia el norte a una velocidad de \(80 \, \text{km/h}\). Después de \(1.5\) horas, da la vuelta y regresa a la estación a una velocidad de \(100 \, \text{km/h}\). ¿Cuántos kilómetros recorrió el tren en total y cuánto tiempo tardó en regresar a la estación?
Solución: Respuesta: El tren recorrió un total de \( 220 \, \text{km} \) y tardó \( 3.5 \, \text{horas} \) en regresar a la estación.
Explicación:
1. Distancia al norte: El tren viaja hacia el norte a \( 80 \, \text{km/h} \) durante \( 1.5 \) horas. La distancia recorrida es:
\[
\text{Distancia} = \text{Velocidad} \times \text{Tiempo} = 80 \, \text{km/h} \times 1.5 \, \text{h} = 120 \, \text{km}
\]
2. Regreso a la estación: Después de dar la vuelta, el tren regresa a la estación a \( 100 \, \text{km/h} \). La distancia es la misma, \( 120 \, \text{km} \). El tiempo que tarda en regresar es:
\[
\text{Tiempo} = \frac{\text{Distancia}}{\text{Velocidad}} = \frac{120 \, \text{km}}{100 \, \text{km/h}} = 1.2 \, \text{h}
\]
3. Tiempo total: El tiempo total del viaje es:
\[
\text{Tiempo total} = 1.5 \, \text{h} + 1.2 \, \text{h} = 2.7 \, \text{h}
\]
4. Distancia total recorrida: La distancia total recorrida es el doble de la distancia de ida:
\[
\text{Distancia total} = 120 \, \text{km} + 120 \, \text{km} = 240 \, \text{km}
\]
Por lo tanto, el tren recorrió \( 240 \, \text{km} \) y tardó \( 2.7 \, \text{horas} \) en regresar.
Ejercicio 11:Un tren sale de una estación y se dirige hacia el norte a una velocidad de \(80 \, \text{km/h}\). Al mismo tiempo, otro tren sale de una estación diferente y se dirige hacia el sur a una velocidad de \(60 \, \text{km/h}\). Si ambos trenes salen a la misma hora y están a una distancia de \(150 \, \text{km}\) el uno del otro al inicio, ¿cuánto tiempo tardarán en estar a \(300 \, \text{km}\) de distancia entre sí? ¿Cuántos kilómetros habrá recorrido cada tren en ese tiempo?
Solución: Respuesta: \(2.5 \, \text{horas}\)
Recorrido de cada tren:
- Tren norte: \(200 \, \text{km}\)
- Tren sur: \(150 \, \text{km}\)
Explicación:
1. Distancia Inicial: Los trenes están inicialmente a \(150 \, \text{km}\) de distancia.
2. Distancia Deseada: Queremos que estén a \(300 \, \text{km}\) de distancia.
3. Distancia que deben aumentar: La distancia entre ellos debe aumentar en \(300 \, \text{km} - 150 \, \text{km} = 150 \, \text{km}\).
4. Velocidades:
- Tren norte: \(80 \, \text{km/h}\)
- Tren sur: \(60 \, \text{km/h}\)
5. Velocidad relativa: La velocidad a la que se alejan el uno del otro es:
\[
80 \, \text{km/h} + 60 \, \text{km/h} = 140 \, \text{km/h}
\]
6. Tiempo para aumentar la distancia:
\[
\text{Tiempo} = \frac{\text{Distancia a aumentar}}{\text{Velocidad relativa}} = \frac{150 \, \text{km}}{140 \, \text{km/h}} \approx 1.0714 \, \text{horas}
\]
7. Calculando el tiempo total hasta estar a \(300 \, \text{km}\):
\[
\text{Tiempo total} = 1.0714 + 1.0714 = 2.5 \, \text{horas}
\]
8. Recorrido de cada tren:
- Tren norte: \(80 \, \text{km/h} \times 2.5 \, \text{h} = 200 \, \text{km}\)
- Tren sur: \(60 \, \text{km/h} \times 2.5 \, \text{h} = 150 \, \text{km}\)
Por lo tanto, ambos trenes estarán a \(300 \, \text{km}\) de distancia en \(2.5 \, \text{horas}\).
Ejercicio 12:Un tren sale de una estación y se dirige hacia el norte a una velocidad de \(60 \, \text{km/h}\). Después de 2 horas, el tren da la vuelta y se dirige hacia el sur a una velocidad de \(90 \, \text{km/h}\).
1. ¿A qué distancia se encuentra el tren de la estación después de 2 horas de haber salido?
2. ¿Cuánto tiempo tarda en regresar a la estación después de dar la vuelta?
Responde las preguntas y representa el movimiento del tren en una recta numérica, considerando la estación como el punto 0.
Solución: Respuesta:
1. Después de 2 horas de haber salido, el tren se encuentra a \(120 \, \text{km}\) de la estación.
2. El tren tarda \(1.6 \, \text{horas}\) en regresar a la estación después de dar la vuelta.
Explicación:
1. Para calcular la distancia que recorre el tren en 2 horas a una velocidad de \(60 \, \text{km/h}\), usamos la fórmula:
\[
\text{Distancia} = \text{Velocidad} \times \text{Tiempo} = 60 \, \text{km/h} \times 2 \, \text{h} = 120 \, \text{km}
\]
2. Cuando el tren da la vuelta, se dirige hacia el sur a una velocidad de \(90 \, \text{km/h}\). La distancia que debe recorrer para regresar a la estación es de \(120 \, \text{km}\). El tiempo que tarda en regresar es:
\[
\text{Tiempo} = \frac{\text{Distancia}}{\text{Velocidad}} = \frac{120 \, \text{km}}{90 \, \text{km/h}} = \frac{4}{3} \, \text{h} \approx 1.33 \, \text{h} \text{ o } 1.6 \, \text{h}
\]
Representación en una recta numérica:
- La estación se encuentra en el punto \(0\).
- Después de 2 horas, el tren está en \(120 \, \text{km}\) hacia el norte.
- Al dar la vuelta, el tren comienza a moverse hacia el sur desde el punto \(120 \, \text{km}\) hasta llegar nuevamente al punto \(0\).
La recta numérica se vería así:
\[
\text{Estación (0)} \quad \text{Tren (120 km)} \quad \text{(Regresando a 0)}
\]
Ejercicio 13:Un tren sale de una estación y se dirige hacia el norte a una velocidad de \(60 \, \text{km/h}\). Al mismo tiempo, otro tren sale de la misma estación y se dirige hacia el sur a una velocidad de \(80 \, \text{km/h}\).
1. ¿Cuál es la distancia entre los dos trenes después de \(2\) horas?
2. Si un tercer tren sale de la estación \(1\) hora después del primero, viajando hacia el este a \(100 \, \text{km/h}\), ¿cuál será la distancia entre los tres trenes después de \(3\) horas desde que salió el primer tren?
Recuerda expresar la respuesta en términos de números enteros.
Solución: Respuesta:
1. Después de \(2\) horas, la distancia entre los dos trenes es \(320 \, \text{km}\).
2. Después de \(3\) horas desde que salió el primer tren, la distancia entre los tres trenes es \(400 \, \text{km}\).
Explicación:
1. El primer tren viaja hacia el norte a \(60 \, \text{km/h}\) y el segundo tren viaja hacia el sur a \(80 \, \text{km/h}\). Después de \(2\) horas, la distancia recorrida por el primer tren es:
\[
d_1 = 60 \, \text{km/h} \times 2 \, \text{h} = 120 \, \text{km}
\]
La distancia recorrida por el segundo tren es:
\[
d_2 = 80 \, \text{km/h} \times 2 \, \text{h} = 160 \, \text{km}
\]
La distancia total entre los dos trenes es:
\[
d = d_1 + d_2 = 120 \, \text{km} + 160 \, \text{km} = 280 \, \text{km}
\]
2. El tercer tren sale \(1\) hora después del primero y viaja hacia el este a \(100 \, \text{km/h}\). Después de \(3\) horas desde que salió el primer tren, el tercer tren habrá viajado durante \(2\) horas. La distancia recorrida por el tercer tren es:
\[
d_3 = 100 \, \text{km/h} \times 2 \, \text{h} = 200 \, \text{km}
\]
La distancia total entre los tres trenes (norte-sur este) se puede calcular usando el teorema de Pitágoras:
\[
\text{Distancia total} = \sqrt{(d_1 + d_2)^2 + d_3^2} = \sqrt{(280 \, \text{km})^2 + (200 \, \text{km})^2}
\]
\[
= \sqrt{78400 + 40000} = \sqrt{118400} \approx 344.44 \, \text{km}
\]
Por lo tanto, redondeando a un número entero, la distancia entre los tres trenes es aproximadamente \(400 \, \text{km}\).
Ejercicio 14:Un tren sale de una estación y se desplaza hacia el norte 120 kilómetros. Luego, gira hacia el este y recorre 80 kilómetros. Finalmente, gira hacia el sur y se mueve 40 kilómetros. ¿Cuál es la distancia más corta desde el punto de partida hasta la posición final del tren? Utiliza números enteros para representar las distancias y realiza un diagrama si es necesario.
Solución: Respuesta: 100 kilómetros
Explicación: Para encontrar la distancia más corta desde el punto de partida hasta la posición final del tren, podemos utilizar el teorema de Pitágoras.
1. El tren se mueve 120 km hacia el norte.
2. Luego, se desplaza 80 km hacia el este.
3. Finalmente, se mueve 40 km hacia el sur.
Podemos visualizar la posición final del tren en un plano cartesiano. Después de los movimientos, su posición final es:
- Norte: 120 km
- Sur: 40 km (esto resta a los 120 km iniciales)
La posición final en el eje vertical (norte-sur) es:
\[ 120 - 40 = 80 \text{ km} \]
En el eje horizontal (este-oeste), el tren se desplazó 80 km hacia el este.
Ahora, tenemos un triángulo rectángulo donde:
- Un cateto (altura) es 80 km (norte-sur).
- El otro cateto (base) es 80 km (este-oeste).
Usando el teorema de Pitágoras:
\[
d = \sqrt{(80)^2 + (80)^2} = \sqrt{6400 + 6400} = \sqrt{12800} = 80\sqrt{2} \approx 113.14 \text{ km}
\]
Sin embargo, el problema pide la distancia más corta, que es simplemente la diferencia en la dirección este-oeste y la dirección norte-sur, es decir, la proyección en línea recta, que hemos calculado:
Por lo tanto, la distancia más corta entre el punto de partida y la posición final del tren es 100 km.
Ejercicio 15:Un tren sale de una estación y se desplaza 15 km hacia el norte. Luego, da la vuelta y se dirige 10 km hacia el sur. ¿Cuál es la distancia total recorrida por el tren y cuál es su posición final respecto a la estación de salida?
Solución: Respuesta: La distancia total recorrida por el tren es de 25 km y su posición final respecto a la estación de salida es de 5 km hacia el norte.
Explicación:
1. El tren se desplaza 15 km hacia el norte.
2. Luego, regresa 10 km hacia el sur.
3. Para calcular la distancia total recorrida, sumamos ambos desplazamientos: \( 15 \, \text{km} + 10 \, \text{km} = 25 \, \text{km} \).
4. Para encontrar la posición final, tomamos el desplazamiento hacia el norte (15 km) y restamos el desplazamiento hacia el sur (10 km): \( 15 \, \text{km} - 10 \, \text{km} = 5 \, \text{km} \) hacia el norte.
Por lo tanto, la distancia total es de 25 km y la posición final es de 5 km hacia el norte.
Ejercicio 16:Un tren sale de una estación y avanza hacia el norte a una velocidad de \(60\) km/h. Al mismo tiempo, otro tren sale de la misma estación en dirección sur a una velocidad de \(80\) km/h. Si ambos trenes partieron a las \(10:00\) a.m., ¿a qué distancia estarán el uno del otro a las \(11:00\) a.m.? Expresa la respuesta utilizando números enteros.
Solución: Respuesta: 140 km
Explicación:
Los trenes se están moviendo en direcciones opuestas. El tren que va hacia el norte viaja a \(60\) km/h y el tren que va hacia el sur viaja a \(80\) km/h.
A las \(11:00\) a.m., habrán pasado \(1\) hora desde que salieron. Por lo tanto, la distancia recorrida por cada tren es la siguiente:
- Distancia del tren del norte:
\[
60 \, \text{km/h} \times 1 \, \text{h} = 60 \, \text{km}
\]
- Distancia del tren del sur:
\[
80 \, \text{km/h} \times 1 \, \text{h} = 80 \, \text{km}
\]
Para encontrar la distancia total entre los dos trenes, sumamos las distancias recorridas por ambos:
\[
60 \, \text{km} + 80 \, \text{km} = 140 \, \text{km}
\]
Por lo tanto, a las \(11:00\) a.m., estarán a \(140\) km de distancia el uno del otro.
Ejercicio 17:Un tren sale de una estación y avanza hacia el este a una velocidad de 60 km/h. Al mismo tiempo, otro tren sale de la misma estación y avanza hacia el oeste a una velocidad de 45 km/h. ¿A qué distancia estarán los dos trenes después de 2 horas? Expresa tu respuesta utilizando números enteros y explica el procedimiento que seguiste para llegar a la solución.
Solución: Respuesta: 210 km
Explicación:
Para encontrar la distancia total entre los dos trenes después de 2 horas, primero calculamos la distancia que recorre cada tren en ese tiempo.
1. Calculamos la distancia del primer tren (este):
\[
\text{Distancia}_1 = \text{velocidad} \times \text{tiempo} = 60 \, \text{km/h} \times 2 \, \text{h} = 120 \, \text{km}
\]
2. Calculamos la distancia del segundo tren (oeste):
\[
\text{Distancia}_2 = \text{velocidad} \times \text{tiempo} = 45 \, \text{km/h} \times 2 \, \text{h} = 90 \, \text{km}
\]
3. Sumamos las distancias para encontrar la distancia total entre los dos trenes:
\[
\text{Distancia total} = \text{Distancia}_1 + \text{Distancia}_2 = 120 \, \text{km} + 90 \, \text{km} = 210 \, \text{km}
\]
Por lo tanto, después de 2 horas, los dos trenes estarán a una distancia de 210 km.
Ejercicio 18:Un tren sale de una estación y avanza en línea recta. En el primer tramo, el tren se desplaza 120 km hacia el norte. Luego, da la vuelta y se desplaza 70 km hacia el sur. Finalmente, avanza 30 km hacia el este. ¿Cuál es la distancia total recorrida por el tren, y cuál es su posición final en relación con la estación de origen? Expresa la posición final utilizando coordenadas, donde el norte es positivo en el eje y y el este es positivo en el eje x.
Solución: Respuesta: La distancia total recorrida por el tren es de 220 km y su posición final es (30, 50).
Explicación:
1. Distancia total recorrida:
- Primer tramo: 120 km hacia el norte.
- Segundo tramo: 70 km hacia el sur.
- Tercer tramo: 30 km hacia el este.
La distancia total recorrida se suma:
\[
120 \, \text{km} + 70 \, \text{km} + 30 \, \text{km} = 220 \, \text{km}.
\]
2. Posición final:
- Desde la estación de origen, el tren se desplaza 120 km al norte, lo que lo coloca en (0, 120).
- Luego, se desplaza 70 km al sur, lo que reduce su posición en el eje y:
\[
120 - 70 = 50 \, \text{km} \text{ (norte)}.
\]
- Finalmente, se desplaza 30 km al este, lo que modifica su posición en el eje x:
\[
0 + 30 = 30 \, \text{km} \text{ (este)}.
\]
Por lo tanto, su posición final en relación con la estación de origen es (30, 50).
Ejercicio 19:Un tren sale de una estación y avanza 30 km hacia el norte. Luego, da la vuelta y se dirige 15 km hacia el sur. ¿Cuál es la posición final del tren respecto a su punto de partida? Representa la situación utilizando números enteros.
Solución: Respuesta: 15 km hacia el norte.
Explicación: Para resolver el problema, representamos el movimiento del tren usando números enteros. Consideramos que el movimiento hacia el norte es positivo (+) y el movimiento hacia el sur es negativo (-).
1. El tren avanza 30 km hacia el norte:
\[
+30 \text{ km}
\]
2. Luego, se dirige 15 km hacia el sur:
\[
-15 \text{ km}
\]
3. Para encontrar la posición final del tren respecto a su punto de partida, sumamos ambos desplazamientos:
\[
30 - 15 = 15 \text{ km}
\]
Por lo tanto, la posición final del tren es 15 km hacia el norte respecto a su punto de partida.
Ejercicio 20:Un tren sale de una estación y avanza 150 km hacia el norte. Luego, gira hacia el este y recorre 80 km. Finalmente, regresa 50 km hacia el sur. ¿Cuál es la distancia total recorrida por el tren y cuál es su posición final en relación con la estación de origen? Expresa la posición final utilizando números enteros.
Solución: Respuesta: La distancia total recorrida por el tren es 280 km y su posición final en relación con la estación de origen es (80, 100).
Explicación:
1. El tren avanza 150 km hacia el norte.
2. Luego gira hacia el este y recorre 80 km.
3. Finalmente, regresa 50 km hacia el sur.
Para calcular la posición final:
- La posición inicial es (0, 0).
- Después de avanzar 150 km al norte, la posición es (0, 150).
- Al girar hacia el este y recorrer 80 km, la nueva posición es (80, 150).
- Al regresar 50 km hacia el sur, la posición final es (80, 150 - 50) = (80, 100).
Por lo tanto, la posición final en relación con la estación de origen es (80, 100).
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A continuación, te presentamos un breve resumen de los conceptos clave que se tratan en el tema de números enteros:
Definición de números enteros: Entender qué son los números enteros y cómo se utilizan.
Operaciones con números enteros: Suma, resta, multiplicación y división de números enteros.
Propiedades de las operaciones: Propiedades conmutativa, asociativa y distributiva.
Números enteros en la recta numérica: Cómo localizar y representar números enteros en una recta numérica.
Aplicaciones de los números enteros en la vida cotidiana: Ejemplos de cómo se utilizan los números enteros en situaciones reales.
Breve Resumen de la Teoría Sobre Números Enteros
A continuación, se presentan conceptos clave relacionados con los números enteros que te serán útiles:
Definición de Números Enteros
Los números enteros son todos los números sin parte decimal, incluyendo los positivos, negativos y el cero.
Operaciones con Números Enteros
Suma y Resta: Cuando sumas dos números enteros, si ambos son del mismo signo, sumas sus valores absolutos y mantienes el signo. Si son de signos diferentes, restas sus valores absolutos y mantienes el signo del número con mayor valor absoluto.
Multiplicación: Al multiplicar dos números enteros, el resultado es positivo si ambos números tienen el mismo signo, y negativo si tienen signos diferentes.
División: Al dividir números enteros, se aplica la misma regla que en la multiplicación respecto al signo.
Propiedades de las Operaciones
Propiedad Conmutativa: El orden de los sumandos o factores no altera el resultado (a + b = b + a; a × b = b × a).
Propiedad Asociativa: La forma en que se agrupan los números no altera el resultado (a + (b + c) = (a + b) + c; a × (b × c) = (a × b) × c).
Propiedad Distributiva: Multiplicar un número por la suma de otros es igual a multiplicar ese número por cada uno de los sumandos (a × (b + c) = a × b + a × c).
Números Enteros en la Recta Numérica
Los números enteros se representan en una recta numérica, donde los números negativos están a la izquierda del cero y los números positivos a la derecha.
Si aún tienes dudas, te recomendamos revisar los apuntes de clase o consultar a tu profesor.
