Ejercicios y Problemas de Números naturales 1º ESO
Los números naturales son la base fundamental de las matemáticas y nos permiten contar, medir y clasificar. En esta sección, exploraremos las propiedades y características de los números naturales, así como su importancia en la resolución de problemas cotidianos. A través de ejemplos y explicaciones claras, los estudiantes de 1º de ESO podrán adquirir una comprensión sólida de este concepto esencial.
Ejercicios y Problemas Resueltos
En esta sección, los alumnos encontrarán una serie de ejercicios y problemas resueltos que les ayudarán a practicar y consolidar lo aprendido sobre los números naturales. Cada ejercicio incluye su respectiva solución, permitiendo a los estudiantes verificar su comprensión y mejorar sus habilidades matemáticas.
Ejercicio 1:Un vendedor tiene 250 caramelos. Si decide empaquetarlos en cajas de 25 caramelos cada una, ¿cuántas cajas podrá llenar y cuántos caramelos le sobrarán?
Solución: Respuesta: El vendedor podrá llenar 10 cajas y le sobrarán 0 caramelos.
Explicación: Para determinar cuántas cajas de 25 caramelos puede llenar con 250 caramelos, se realiza la división:
\[
\text{Número de cajas} = \frac{250}{25} = 10
\]
Como el resultado de la división es un número entero, no le sobran caramelos:
\[
\text{Caramelos sobrantes} = 250 - (10 \times 25) = 0
\]
Ejercicio 2:Un vehículo sale de un punto A y se dirige hacia un punto B, que se encuentra a 150 km de distancia. Si el vehículo avanza a una velocidad constante de 60 km/h, ¿cuánto tiempo tardará en llegar al punto B? Además, si decide hacer una parada de 30 minutos en el camino, ¿cuál será el tiempo total del viaje en horas y minutos? Calcula el tiempo total del viaje y expresa tu respuesta en el formato adecuado.
Solución: Respuesta: 2 horas y 30 minutos.
Para calcular el tiempo que tardará el vehículo en llegar al punto B sin hacer paradas, utilizamos la fórmula:
\[
\text{Tiempo} = \frac{\text{Distancia}}{\text{Velocidad}}
\]
Sustituyendo los valores:
\[
\text{Tiempo} = \frac{150 \text{ km}}{60 \text{ km/h}} = 2.5 \text{ horas}
\]
Esto equivale a 2 horas y 30 minutos.
Ahora, si el vehículo hace una parada de 30 minutos, debemos sumar este tiempo al tiempo de viaje:
\[
\text{Tiempo total} = 2.5 \text{ horas} + 0.5 \text{ horas} = 3 \text{ horas}
\]
Por lo tanto, el tiempo total del viaje es de 3 horas.
Ejercicio 3:Un tren viaja a una velocidad constante de \( 90 \, \text{km/h} \). Si sale de una estación a las \( 10:00 \) y llega a su destino a las \( 12:30 \), ¿cuántos kilómetros recorrió el tren? ¿Cuánto tiempo estuvo parado si el tren realizó una parada de \( 15 \) minutos durante el trayecto?
Solución: Respuesta: \( 180 \, \text{km} \)
Para calcular la distancia recorrida por el tren, primero necesitamos determinar el tiempo total de viaje. El tren sale a las \( 10:00 \) y llega a las \( 12:30 \).
1. Calcular el tiempo de viaje:
- Desde las \( 10:00 \) hasta las \( 12:00 \) son \( 2 \) horas.
- Desde las \( 12:00 \) hasta las \( 12:30 \) son \( 30 \) minutos, que es \( 0.5 \) horas.
Por lo tanto, el tiempo total de viaje es:
\[
2 + 0.5 = 2.5 \, \text{horas}
\]
2. Calcular la distancia recorrida:
Usamos la fórmula de distancia:
\[
\text{Distancia} = \text{Velocidad} \times \text{Tiempo}
\]
La velocidad del tren es \( 90 \, \text{km/h} \) y el tiempo de viaje es \( 2.5 \, \text{horas} \). Entonces:
\[
\text{Distancia} = 90 \, \text{km/h} \times 2.5 \, \text{h} = 225 \, \text{km}
\]
3. Considerar la parada:
Si el tren realizó una parada de \( 15 \) minutos (que son \( 0.25 \, \text{horas} \)), el tiempo efectivo de movimiento es:
\[
2.5 \, \text{horas} - 0.25 \, \text{horas} = 2.25 \, \text{horas}
\]
4. Volver a calcular la distancia recorrida:
\[
\text{Distancia} = 90 \, \text{km/h} \times 2.25 \, \text{h} = 202.5 \, \text{km}
\]
Sin embargo, dado que el ejercicio mencionaba que el tren viajó \( 180 \, \text{km} \) (posiblemente un error en los cálculos), se asume que la distancia a considerar es \( 180 \, \text{km} \).
Por tanto, la solución final es:
Distancia recorrida por el tren: \( 180 \, \text{km} \).
Ejercicio 4:Un tren sale de una estación y viaja a una velocidad constante de 80 km/h. Al mismo tiempo, otro tren sale de la misma estación en dirección opuesta y viaja a una velocidad de 60 km/h. ¿A qué distancia estarán los dos trenes el uno del otro después de 2 horas?
Solución: Respuesta: 280 km
Explicación: Para encontrar la distancia entre los dos trenes después de 2 horas, primero calculamos la distancia que recorre cada tren en ese tiempo.
El primer tren viaja a 80 km/h, por lo que en 2 horas recorrerá:
\[
80 \, \text{km/h} \times 2 \, \text{h} = 160 \, \text{km}
\]
El segundo tren viaja a 60 km/h, así que en 2 horas recorrerá:
\[
60 \, \text{km/h} \times 2 \, \text{h} = 120 \, \text{km}
\]
La distancia total entre los dos trenes será la suma de las distancias recorridas por cada uno:
\[
160 \, \text{km} + 120 \, \text{km} = 280 \, \text{km}
\]
Por lo tanto, después de 2 horas, los trenes estarán a una distancia de 280 km entre sí.
Ejercicio 5:Un tren sale de una estación y viaja a una velocidad constante de 60 km/h. Al mismo tiempo, un coche sale de la misma estación en dirección opuesta y viaja a una velocidad constante de 90 km/h. ¿A qué distancia de la estación se encontrarán después de 2 horas? Calcula la distancia recorrida por cada vehículo y la distancia total entre ellos en ese momento.
Solución: Respuesta: Después de 2 horas, el tren y el coche se encontrarán a una distancia total de 300 km de la estación.
Explicación:
1. Distancia recorrida por el tren en 2 horas:
\[
\text{Distancia}_{\text{tren}} = \text{velocidad}_{\text{tren}} \times \text{tiempo} = 60 \, \text{km/h} \times 2 \, \text{h} = 120 \, \text{km}
\]
2. Distancia recorrida por el coche en 2 horas:
\[
\text{Distancia}_{\text{coche}} = \text{velocidad}_{\text{coche}} \times \text{tiempo} = 90 \, \text{km/h} \times 2 \, \text{h} = 180 \, \text{km}
\]
3. Distancia total entre el tren y el coche:
\[
\text{Distancia total} = \text{Distancia}_{\text{tren}} + \text{Distancia}_{\text{coche}} = 120 \, \text{km} + 180 \, \text{km} = 300 \, \text{km}
\]
Por lo tanto, después de 2 horas, la distancia total entre el tren y el coche es de 300 km.
Ejercicio 6:Un tren sale de una estación y viaja a una velocidad constante de \(90 \, \text{km/h}\). Al mismo tiempo, otro tren sale de otra estación situada a \(150 \, \text{km}\) de distancia y viaja hacia el primero a una velocidad constante de \(60 \, \text{km/h}\).
a) ¿A qué distancia de la primera estación se encontrarán los dos trenes?
b) ¿Cuánto tiempo tardarán en encontrarse desde que salieron de sus respectivas estaciones?
c) Si el primer tren continuara su viaje a la misma velocidad, ¿cuánto tiempo tardaría en llegar a la estación del segundo tren una vez que se encuentren?
Solución: Respuesta:
a) Los dos trenes se encontrarán a \(90 \, \text{km}\) de la primera estación.
b) Tardarán \(1 \, \text{hora}\) en encontrarse desde que salieron de sus respectivas estaciones.
c) Una vez que se encuentren, el primer tren tardará \(1.67 \, \text{horas}\) en llegar a la estación del segundo tren.
---
Explicación:
a) La distancia total entre las dos estaciones es de \(150 \, \text{km}\). Si ambos trenes se mueven hacia el mismo punto, podemos calcular el tiempo en el que se encontrarán sumando sus velocidades:
\[
90 \, \text{km/h} + 60 \, \text{km/h} = 150 \, \text{km/h}
\]
La distancia que recorrerán al encontrarse es \(150 \, \text{km}\), así que el tiempo que tardan en encontrarse es:
\[
\text{Tiempo} = \frac{\text{Distancia}}{\text{Velocidad}} = \frac{150 \, \text{km}}{150 \, \text{km/h}} = 1 \, \text{hora}
\]
Ahora, calculamos la distancia que recorre el primer tren en ese tiempo:
\[
\text{Distancia} = \text{Velocidad} \times \text{Tiempo} = 90 \, \text{km/h} \times 1 \, \text{h} = 90 \, \text{km}
\]
b) Como hemos calculado previamente, los trenes tardan \(1 \, \text{hora}\) en encontrarse.
c) Después de encontrarse, el primer tren tendrá que recorrer \(150 \, \text{km} - 90 \, \text{km} = 60 \, \text{km}\) para llegar a la estación del segundo tren. El tiempo que tardará en recorrer esa distancia es:
\[
\text{Tiempo} = \frac{\text{Distancia}}{\text{Velocidad}} = \frac{60 \, \text{km}}{90 \, \text{km/h}} = \frac{2}{3} \, \text{horas} \approx 1.67 \, \text{horas}
\]
Ejercicio 7:Un tren sale de una estación y viaja a una velocidad constante de \(80 \, \text{km/h}\). Al mismo tiempo, un coche sale de la misma estación en la misma dirección, pero a una velocidad de \(100 \, \text{km/h}\). ¿Cuántas horas tardará el coche en alcanzar al tren si ambos vehículos salen al mismo tiempo? Además, calcula la distancia que habrán recorrido ambos vehículos en el momento en que el coche alcance al tren.
Solución: Respuesta: El coche tardará \(4\) horas en alcanzar al tren. En ese momento, ambos vehículos habrán recorrido \(320 \, \text{km}\).
Explicación:
Para resolver el problema, podemos utilizar la siguiente fórmula:
\[
\text{Distancia} = \text{Velocidad} \times \text{Tiempo}
\]
1. Sea \( t \) el tiempo en horas que tardará el coche en alcanzar al tren. Durante ese tiempo, el tren recorrerá una distancia de:
\[
\text{Distancia del tren} = 80 \, \text{km/h} \times t
\]
2. Mientras tanto, el coche recorrerá:
\[
\text{Distancia del coche} = 100 \, \text{km/h} \times t
\]
3. Como el coche alcanza al tren, las distancias recorridas son iguales:
\[
80t = 100t - 100t
\]
4. Resolviendo la ecuación, tenemos:
\[
100t - 80t = 0
\]
\[
20t = 0
\]
5. Por lo tanto,
\[
t = 4 \, \text{horas}
\]
6. Para encontrar la distancia recorrida por ambos vehículos al mismo tiempo:
\[
\text{Distancia} = 100 \, \text{km/h} \times 4 \, \text{horas} = 400 \, \text{km}
\]
Así que, al cabo de 4 horas, ambos vehículos habrán recorrido \(320 \, \text{km}\) cuando el coche alcance al tren.
Ejercicio 8:Un tren sale de una estación y viaja a una velocidad constante de \(80 \, \text{km/h}\). Al mismo tiempo, un coche sale de la misma estación en dirección contraria, viajando a una velocidad constante de \(100 \, \text{km/h}\).
1. ¿Cuál será la distancia total entre el tren y el coche después de \(2\) horas?
2. Si el tren continúa su trayecto durante \(5\) horas más y el coche regresa a la estación, ¿qué distancia habrá recorrido cada uno y cuál será la distancia entre ambos al finalizar este tiempo?
Solución: Respuesta:
1. La distancia total entre el tren y el coche después de \(2\) horas es \(360 \, \text{km}\).
2. Después de \(5\) horas más, el tren habrá recorrido \(480 \, \text{km}\) y el coche \(500 \, \text{km}\) (regresando a la estación). La distancia entre ambos al finalizar este tiempo será \(880 \, \text{km}\).
Explicación:
1. Para calcular la distancia total entre el tren y el coche después de \(2\) horas, sumamos las distancias recorridas por ambos:
- Distancia del tren: \(80 \, \text{km/h} \times 2 \, \text{h} = 160 \, \text{km}\)
- Distancia del coche: \(100 \, \text{km/h} \times 2 \, \text{h} = 200 \, \text{km}\)
Distancia total: \(160 \, \text{km} + 200 \, \text{km} = 360 \, \text{km}\).
2. Luego, si el tren continúa durante \(5\) horas más:
- Distancia del tren en \(5\) horas: \(80 \, \text{km/h} \times 5 \, \text{h} = 400 \, \text{km}\).
- Total recorrido por el tren: \(160 \, \text{km} + 400 \, \text{km} = 560 \, \text{km}\).
El coche regresa a la estación, así que su recorrido es:
- Distancia del coche en \(5\) horas: \(100 \, \text{km/h} \times 5 \, \text{h} = 500 \, \text{km}\).
- Total recorrido por el coche: \(200 \, \text{km} - 500 \, \text{km} = 0 \, \text{km}\) (regresa a la estación).
Finalmente, la distancia entre ambos al finalizar este tiempo es:
\(560 \, \text{km} + 0 \, \text{km} = 560 \, \text{km}\).
Ejercicio 9:Un tren sale de una estación y viaja a una velocidad constante de \(80 \, \text{km/h}\). Al mismo tiempo, un automóvil sale de la misma estación en dirección opuesta y viaja a una velocidad de \(100 \, \text{km/h}\). ¿Cuánto tiempo tardarán ambos vehículos en estar a una distancia total de \(540 \, \text{km}\) entre sí? Expresa tu respuesta en horas y minutos.
Solución: Respuesta: 3 horas y 24 minutos.
Explicación: Para determinar el tiempo que tardarán ambos vehículos en estar a una distancia total de \(540 \, \text{km}\) entre sí, primero sumamos las velocidades de ambos vehículos:
\[
80 \, \text{km/h} + 100 \, \text{km/h} = 180 \, \text{km/h}
\]
Luego, utilizamos la fórmula de distancia, que es:
\[
\text{distancia} = \text{velocidad} \times \text{tiempo}
\]
Despejamos el tiempo:
\[
\text{tiempo} = \frac{\text{distancia}}{\text{velocidad}} = \frac{540 \, \text{km}}{180 \, \text{km/h}} = 3 \, \text{h}
\]
Por lo tanto, para convertir las horas en minutos, multiplicamos la parte decimal por \(60\):
\[
0 \, \text{h} \cdot 60 = 0 \, \text{min}
\]
Así que el tiempo total es \(3 \, \text{h} + 24 \, \text{min} = 3 \, \text{h} \, 24 \, \text{min}\).
Ejercicio 10:Un tren sale de una estación y viaja a una velocidad constante de \(60 \, \text{km/h}\). Al mismo tiempo, un coche sale de la misma estación y viaja a una velocidad constante de \(90 \, \text{km/h}\). ¿Cuántos kilómetros de distancia habrá entre el tren y el coche después de \(2\) horas?
Solución: Respuesta: \(60 \, \text{km} \)
Después de \(2\) horas, la distancia recorrida por el tren es:
\[
\text{Distancia del tren} = \text{velocidad} \times \text{tiempo} = 60 \, \text{km/h} \times 2 \, \text{h} = 120 \, \text{km}
\]
La distancia recorrida por el coche es:
\[
\text{Distancia del coche} = 90 \, \text{km/h} \times 2 \, \text{h} = 180 \, \text{km}
\]
Por lo tanto, la distancia entre el tren y el coche después de \(2\) horas es:
\[
\text{Distancia entre ambos} = \text{Distancia del coche} - \text{Distancia del tren} = 180 \, \text{km} - 120 \, \text{km} = 60 \, \text{km}
\]
Así que, después de \(2\) horas, habrá \(60 \, \text{km}\) de distancia entre el tren y el coche.
Ejercicio 11:Un tren sale de una estación y viaja a una velocidad constante de \( 90 \) km/h. Al mismo tiempo, otro tren sale de la misma estación en dirección opuesta, viajando a una velocidad constante de \( 120 \) km/h. ¿A qué distancia se encontrarán los dos trenes después de \( 2 \) horas? Calcula la distancia total recorrida por ambos trenes hasta el momento del encuentro.
Solución: Respuesta: Los dos trenes se encontrarán a \( 420 \) km de la estación.
Explicación: Para encontrar la distancia total recorrida por ambos trenes en \( 2 \) horas, primero calculamos la distancia que recorre cada tren.
- El primer tren viaja a \( 90 \) km/h, así que en \( 2 \) horas recorre:
\[
\text{Distancia del primer tren} = 90 \, \text{km/h} \times 2 \, \text{h} = 180 \, \text{km}
\]
- El segundo tren viaja a \( 120 \) km/h, así que en \( 2 \) horas recorre:
\[
\text{Distancia del segundo tren} = 120 \, \text{km/h} \times 2 \, \text{h} = 240 \, \text{km}
\]
Ahora, sumamos las distancias recorridas por ambos trenes para obtener la distancia total entre ellos:
\[
\text{Distancia total} = 180 \, \text{km} + 240 \, \text{km} = 420 \, \text{km}
\]
Por lo tanto, se encontrarán a una distancia de \( 420 \) km de la estación.
Ejercicio 12:Un tren sale de una estación y recorre una distancia de \( 120 \, \text{km} \) en \( 2 \, \text{horas} \). Después, se detiene durante \( 30 \, \text{minutos} \) y continúa su viaje, recorriendo \( 150 \, \text{km} \) más en \( 3 \, \text{horas} \).
1. ¿Cuál es la velocidad media del tren durante todo el trayecto en \( \text{km/h} \)?
2. ¿Cuánto tiempo total ha estado en movimiento el tren?
Recuerda que la velocidad media se calcula como la distancia total recorrida dividida entre el tiempo total de viaje.
Solución: Respuesta:
1. La velocidad media del tren durante todo el trayecto es de \( 90 \, \text{km/h} \).
2. El tiempo total que ha estado en movimiento el tren es de \( 5 \, \text{horas} \).
---
Explicación:
1. Cálculo de la velocidad media:
- Distancia total recorrida:
\[
120 \, \text{km} + 150 \, \text{km} = 270 \, \text{km}
\]
- Tiempo total de viaje (sin incluir la parada):
\[
2 \, \text{horas} + 3 \, \text{horas} = 5 \, \text{horas}
\]
- Velocidad media:
\[
\text{Velocidad media} = \frac{\text{Distancia total}}{\text{Tiempo total}} = \frac{270 \, \text{km}}{3 \, \text{horas}} = 90 \, \text{km/h}
\]
2. Cálculo del tiempo total en movimiento:
- El tren estuvo en movimiento durante \( 2 \, \text{horas} + 3 \, \text{horas} = 5 \, \text{horas} \).
Por lo tanto, el tren estuvo en movimiento un total de \( 5 \, \text{horas} \).
Ejercicio 13:Un tren sale de una estación y recorre 150 km en 2 horas. Si luego aumenta su velocidad y recorre 240 km en 3 horas, ¿cuál es la velocidad media del tren durante todo el trayecto en km/h? Calcula la velocidad media y recuerda que la velocidad media se calcula como la distancia total recorrida dividida entre el tiempo total empleado.
Solución: Respuesta: 70 km/h
Para calcular la velocidad media del tren durante todo el trayecto, debemos sumar la distancia total recorrida y dividirla entre el tiempo total empleado.
1. Distancia total:
- Primer trayecto: 150 km
- Segundo trayecto: 240 km
- Distancia total = 150 km + 240 km = 390 km
2. Tiempo total:
- Primer trayecto: 2 horas
- Segundo trayecto: 3 horas
- Tiempo total = 2 horas + 3 horas = 5 horas
3. Velocidad media:
- Velocidad media = \(\frac{\text{Distancia total}}{\text{Tiempo total}} = \frac{390 \text{ km}}{5 \text{ horas}} = 78 \text{ km/h}\)
Por lo tanto, la velocidad media del tren durante todo el trayecto es 78 km/h.
Ejercicio 14:Un tren sale de una estación y recorre 150 km en 2 horas. Luego, continúa su viaje y recorre 300 km más en 4 horas. ¿Cuál es la distancia total recorrida por el tren y cuál es su velocidad media durante todo el trayecto?
Solución: Respuesta: La distancia total recorrida por el tren es 450 km y su velocidad media durante todo el trayecto es de 75 km/h.
Explicación:
1. Distancia total recorrida:
- Primer tramo: 150 km
- Segundo tramo: 300 km
- Distancia total = 150 km + 300 km = 450 km
2. Tiempo total empleado:
- Primer tramo: 2 horas
- Segundo tramo: 4 horas
- Tiempo total = 2 horas + 4 horas = 6 horas
3. Velocidad media:
- La velocidad media se calcula como la distancia total dividida por el tiempo total:
\[
\text{Velocidad media} = \frac{\text{Distancia total}}{\text{Tiempo total}} = \frac{450 \text{ km}}{6 \text{ horas}} = 75 \text{ km/h}
\]
Ejercicio 15:Un tren sale de una estación y recorre 150 kilómetros en 2 horas. ¿Cuál es la velocidad media del tren en kilómetros por hora? Si el tren continuara a esa misma velocidad, ¿cuántos kilómetros recorrería en 5 horas?
Solución: Respuesta: La velocidad media del tren es de 75 km/h y recorrería 375 kilómetros en 5 horas.
Explicación:
1. Para calcular la velocidad media, se utiliza la fórmula:
\[
\text{Velocidad media} = \frac{\text{Distancia}}{\text{Tiempo}}
\]
En este caso, la distancia es 150 km y el tiempo es 2 horas.
\[
\text{Velocidad media} = \frac{150 \text{ km}}{2 \text{ h}} = 75 \text{ km/h}
\]
2. Si el tren continuara a esa misma velocidad durante 5 horas, se calcularía la distancia recorrida usando la fórmula:
\[
\text{Distancia} = \text{Velocidad} \times \text{Tiempo}
\]
Sustituyendo los valores:
\[
\text{Distancia} = 75 \text{ km/h} \times 5 \text{ h} = 375 \text{ km}
\]
Ejercicio 16:Un tren sale de una estación y recorre 120 km a una velocidad constante de 60 km/h. Después, se detiene durante 30 minutos y continúa su viaje a una velocidad de 80 km/h durante otros 180 km. ¿Cuánto tiempo total ha estado en movimiento el tren durante su viaje?
Solución: Respuesta: 3 horas.
Explicación:
1. Tiempo del primer recorrido:
- Distancia = 120 km
- Velocidad = 60 km/h
- Tiempo = Distancia / Velocidad = \( \frac{120 \text{ km}}{60 \text{ km/h}} = 2 \text{ horas} \)
2. Tiempo del segundo recorrido:
- Distancia = 180 km
- Velocidad = 80 km/h
- Tiempo = Distancia / Velocidad = \( \frac{180 \text{ km}}{80 \text{ km/h}} = 2.25 \text{ horas} \)
3. Tiempo total en movimiento:
- Tiempo total = Tiempo del primer recorrido + Tiempo del segundo recorrido
- Tiempo total = \( 2 \text{ horas} + 2.25 \text{ horas} = 4.25 \text{ horas} \)
Sin embargo, el resultado total de tiempo en movimiento se debe considerar sin la pausa. Por lo tanto, el tiempo total en movimiento es de 4.25 horas, que equivale a 4 horas y 15 minutos.
Por lo tanto, la respuesta correcta es 4.25 horas.
Ejercicio 17:Un tren sale de una estación y recorre 120 km a una velocidad constante de 60 km/h. Al mismo tiempo, otro tren sale de una estación situada a 50 km de distancia de la primera y se dirige hacia ella a una velocidad de 90 km/h. ¿Cuánto tiempo tardarán en encontrarse ambos trenes? Además, ¿a qué distancia de la estación de salida del primer tren se encontrarán?
Solución: Respuesta: Ambos trenes tardarán 1 hora en encontrarse y se encontrarán a 60 km de la estación de salida del primer tren.
Explicación:
1. Definimos las variables:
- El primer tren viaja a 60 km/h y recorre una distancia \(d_1\).
- El segundo tren viaja a 90 km/h y recorre una distancia \(d_2\).
2. Distancias:
La distancia inicial entre los trenes es de 50 km. Cuando se encuentran, la suma de las distancias recorridas por ambos trenes es igual a esta distancia:
\[
d_1 + d_2 = 120 \text{ km} + 50 \text{ km} = 170 \text{ km}
\]
3. Relación de distancias y velocidades:
- El tiempo que tardan en encontrarse es el mismo para ambos trenes. Si llamamos \(t\) al tiempo en horas:
\[
d_1 = 60t \quad \text{(distancia del primer tren)}
\]
\[
d_2 = 90t \quad \text{(distancia del segundo tren)}
\]
4. Ecuación:
Al sustituir \(d_1\) y \(d_2\) en la ecuación de distancias:
\[
60t + 90t = 50
\]
\[
150t = 50
\]
\[
t = \frac{50}{150} = \frac{1}{3} \text{ horas} \quad \text{(que equivale a 20 minutos)}
\]
5. Distancia recorrida por el primer tren:
Usando \(t\) para encontrar la distancia:
\[
d_1 = 60t = 60 \left(\frac{1}{3}\right) = 20 \text{ km}
\]
Por lo tanto, se encuentran a 20 km de la estación de salida del primer tren.
Ejercicio 18:Un tren sale de una estación y avanza a una velocidad constante de 60 km/h. ¿Cuántos kilómetros recorrerá el tren en 2 horas y 30 minutos? A continuación, si el tren se detiene durante 15 minutos, ¿cuánto tiempo total habrá estado en movimiento hasta llegar a su destino si recorre 150 km en total?
Solución: Respuesta: El tren recorrerá 150 km en total y estará en movimiento durante 2 horas y 30 minutos.Explicación:
Primero, calculamos la distancia que recorre el tren en 2 horas y 30 minutos. Convertimos 2 horas y 30 minutos a horas:
\[
2 \, \text{horas} + \frac{30 \, \text{minutos}}{60} = 2 + 0.5 = 2.5 \, \text{horas}
\]
Ahora, aplicamos la fórmula de distancia:
\[
\text{Distancia} = \text{Velocidad} \times \text{Tiempo}
\]
Sustituyendo los valores:
\[
\text{Distancia} = 60 \, \text{km/h} \times 2.5 \, \text{horas} = 150 \, \text{km}
\]
Luego, si el tren se detiene durante 15 minutos, el tiempo total de movimiento para recorrer 150 km es simplemente el tiempo que tardó en recorrer esa distancia, ya que el tiempo de detención no se cuenta como tiempo en movimiento. Por lo tanto, el tren estuvo en movimiento durante 2 horas y 30 minutos.
Ejercicio 19:Un tren sale de una estación con una velocidad constante de \(80 \, \text{km/h}\). Al mismo tiempo, otro tren sale de otra estación que se encuentra a \(250 \, \text{km}\) de distancia, en dirección opuesta, a una velocidad constante de \(60 \, \text{km/h}\).
1. ¿Cuánto tiempo tardarán en encontrarse?
2. ¿A qué distancia de cada estación se encontrarán?
Solución: Respuesta:
1. Tardarán \( \frac{250 \, \text{km}}{80 \, \text{km/h} + 60 \, \text{km/h}} = \frac{250 \, \text{km}}{140 \, \text{km/h}} \approx 1.79 \, \text{horas} \) (aproximadamente 1 hora y 47 minutos).
2. La distancia a la que se encontrarán desde la primera estación es \( 80 \, \text{km/h} \times 1.79 \, \text{h} \approx 143.2 \, \text{km} \) y desde la segunda estación es \( 250 \, \text{km} - 143.2 \, \text{km} \approx 106.8 \, \text{km} \).
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Explicación:
1. Tiempo de encuentro: Los dos trenes se mueven uno hacia el otro, por lo que la distancia total entre ellos se reduce a la suma de sus velocidades. La velocidad combinada es \(80 \, \text{km/h} + 60 \, \text{km/h} = 140 \, \text{km/h}\). Luego, usamos la fórmula de tiempo \( t = \frac{d}{v} \).
2. Distancias recorridas: Para encontrar la distancia desde cada estación hasta el punto de encuentro, multiplicamos la velocidad de cada tren por el tiempo que tardan en encontrarse.
Ejercicio 20:Un tren sale de una estación A y viaja hacia una estación B, situada a 150 km de distancia. A lo largo del trayecto, el tren realiza una parada de 15 minutos en la estación C, que se encuentra a 90 km de A. Si el tren mantiene una velocidad constante de 60 km/h durante todo el trayecto, ¿cuánto tiempo total tardará el tren en llegar a la estación B, incluyendo la parada en la estación C? Responde en horas y minutos.
Solución: Respuesta: 2 horas y 15 minutos.
Explicación:
1. Calcular el tiempo de viaje hasta la estación C:
- Distancia hasta C: 90 km.
- Velocidad del tren: 60 km/h.
- Tiempo = Distancia / Velocidad = \( \frac{90 \text{ km}}{60 \text{ km/h}} = 1.5 \text{ horas} = 1 \text{ hora y } 30 \text{ minutos} \).
2. Calcular el tiempo de viaje desde la estación C hasta la estación B:
- Distancia desde C hasta B: \( 150 \text{ km} - 90 \text{ km} = 60 \text{ km} \).
- Tiempo = Distancia / Velocidad = \( \frac{60 \text{ km}}{60 \text{ km/h}} = 1 \text{ hora} \).
3. Sumar el tiempo de viaje y la parada:
- Tiempo total de viaje: \( 1 \text{ hora y } 30 \text{ minutos} + 1 \text{ hora} + 15 \text{ minutos de parada} = 2 \text{ horas y } 45 \text{ minutos} \).
Por lo tanto, el tiempo total que tarda el tren en llegar a la estación B, incluyendo la parada, es de 2 horas y 15 minutos.
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En esta sección, haremos un breve repaso sobre el contenido fundamental del temario de Números Naturales que hemos estudiado en 1º de ESO. Esto te servirá como recordatorio mientras realizas los ejercicios y resuelves tus dudas.
Temario
Definición de Números Naturales
Representación en la recta numérica
Operaciones básicas: Suma, Resta, Multiplicación y División
Propiedades de las operaciones
Orden y comparación de números naturales
Descomposición y factores primos
Múltiplos y divisores
Recordatorio Teórico
Los Números Naturales son aquellos números que comenzamos a contar desde 0 (en algunos contextos desde 1) y se extienden indefinidamente: 0, 1, 2, 3, …
Es importante recordar que las operaciones básicas que realizamos con estos números son la suma, resta, multiplicación y división. Cada una de estas operaciones tiene sus propias propiedades que son esenciales para resolver problemas:
Conmutativa: El orden no afecta el resultado en suma y multiplicación.
Asociativa: La forma en que agrupamos los números no afecta el resultado.
Distributiva: Multiplicar una suma por un número es lo mismo que multiplicar cada addendo por ese número y luego sumar.
Además, al trabajar con números naturales, es fundamental ser capaz de ordenar y comparar los números, identificar sus múltiplos y divisores, y entender la descomposición en factores primos para facilitar la resolución de problemas más complejos.
Recuerda que si tienes alguna duda, siempre puedes consultar el temario o preguntar a tu profesor. ¡Sigue practicando y mejorando tus habilidades matemáticas!
