Ejercicios y Problemas de Areas y perímetros 2º ESO
En esta sección, nos adentraremos en el fascinante mundo de las áreas y perímetros, conceptos fundamentales de la geometría que se estudian en 2º de ESO. Aprenderemos a calcular estas magnitudes para diversas figuras geométricas, como cuadrados, rectángulos, triángulos y círculos, lo que nos permitirá comprender mejor el espacio que ocupan y las relaciones entre sus dimensiones. A través de ejemplos prácticos y explicaciones claras, facilitaremos el aprendizaje y la aplicación de estos conceptos en problemas cotidianos.
Ejercicios y Problemas Resueltos
A continuación, encontrarás una serie de ejercicios y problemas resueltos que te ayudarán a poner en práctica lo aprendido sobre áreas y perímetros. Cada ejercicio incluye su solución para que puedas verificar tus resultados y entender el proceso de resolución.
Ejercicio 1:Un terreno tiene la forma de un rectángulo con una longitud de \(12 \, \text{m}\) y un ancho de \(8 \, \text{m}\). Además, se desea rodear el terreno con una valla.
1. ¿Cuál es el perímetro del terreno?
2. Si se quiere sembrar césped en todo el terreno, ¿cuál es el área que se deberá cubrir?
Calcula ambas cantidades y explica el procedimiento utilizado.
Solución: Respuesta:
1. El perímetro del terreno es \(40 \, \text{m}\).
2. El área que se deberá cubrir con césped es \(96 \, \text{m}^2\).
Explicación:
1. Cálculo del perímetro: El perímetro \(P\) de un rectángulo se calcula con la fórmula:
\[
P = 2 \times (\text{longitud} + \text{ancho})
\]
Sustituyendo los valores:
\[
P = 2 \times (12 \, \text{m} + 8 \, \text{m}) = 2 \times 20 \, \text{m} = 40 \, \text{m}
\]
2. Cálculo del área: El área \(A\) de un rectángulo se calcula con la fórmula:
\[
A = \text{longitud} \times \text{ancho}
\]
Sustituyendo los valores:
\[
A = 12 \, \text{m} \times 8 \, \text{m} = 96 \, \text{m}^2
\]
De esta manera, hemos obtenido tanto el perímetro como el área del terreno.
Ejercicio 2:Un terreno rectangular tiene una longitud que es el triple de su ancho. Si el perímetro del terreno es de 320 metros, ¿cuáles son las dimensiones del terreno? Calcula también el área total del terreno.
Solución: Respuesta: Longitud = 120 metros; Ancho = 40 metros; Área = 4800 metros cuadrados.
Para resolver el ejercicio, primero definimos las variables. Sea \( a \) el ancho del terreno. Entonces, la longitud \( l \) se puede expresar como:
\[
l = 3a
\]
El perímetro \( P \) de un rectángulo se calcula con la fórmula:
\[
P = 2(l + a)
\]
Dado que el perímetro es 320 metros, tenemos:
\[
320 = 2(3a + a)
\]
Simplificando la ecuación:
\[
320 = 2(4a) \implies 320 = 8a \implies a = \frac{320}{8} = 40 \text{ metros}
\]
Ahora, sustituimos el valor de \( a \) para encontrar la longitud:
\[
l = 3a = 3 \times 40 = 120 \text{ metros}
\]
Finalmente, calculamos el área \( A \) del terreno:
\[
A = l \times a = 120 \times 40 = 4800 \text{ metros cuadrados}
\]
Así, las dimensiones del terreno son 120 metros de longitud y 40 metros de ancho, y el área total es 4800 metros cuadrados.
Ejercicio 3:Un terreno rectangular tiene una longitud que es el doble de su ancho. Si se desea aumentar el área del terreno en un 50%, ¿cuáles deben ser las nuevas dimensiones del terreno? Calcula el perímetro del nuevo terreno y compáralo con el perímetro original. ¿Cuánto ha aumentado el perímetro?
Solución: Respuesta:
1. Dimensiones originales:
- Ancho = \( x \)
- Longitud = \( 2x \)
- Área original = \( A = \text{longitud} \times \text{ancho} = 2x^2 \)
2. Área aumentada:
- Se desea aumentar el área en un 50%:
\[
A_{\text{nuevo}} = A + 0.5A = 1.5A = 1.5 \times 2x^2 = 3x^2
\]
3. Nuevas dimensiones:
- Sea el nuevo ancho = \( x' \) y la nueva longitud = \( 2x' \).
- Nuevo área = \( A_{\text{nuevo}} = 2x' \times x' = 2x'^2 \).
- Igualando las áreas:
\[
2x'^2 = 3x^2 \implies x'^2 = \frac{3}{2}x^2 \implies x' = x \sqrt{\frac{3}{2}} = x \cdot \frac{\sqrt{6}}{2}
\]
- Nueva longitud:
\[
\text{Longitud nueva} = 2x' = 2 \cdot x \cdot \frac{\sqrt{6}}{2} = x \sqrt{6}
\]
4. Nuevas dimensiones:
- Ancho nuevo = \( x \cdot \frac{\sqrt{6}}{2} \)
- Longitud nueva = \( x \sqrt{6} \)
5. Perímetro original:
\[
P_{\text{original}} = 2(\text{longitud} + \text{ancho}) = 2(2x + x) = 6x
\]
6. Perímetro nuevo:
\[
P_{\text{nuevo}} = 2(x' + 2x') = 2\left(x \cdot \frac{\sqrt{6}}{2} + x \sqrt{6}\right) = 2\left(\frac{\sqrt{6}}{2}x + 2\sqrt{6}x\right) = 2\left(\frac{3\sqrt{6}}{2}x\right) = 3\sqrt{6}x
\]
7. Aumento del perímetro:
\[
\text{Aumento} = P_{\text{nuevo}} - P_{\text{original}} = 3\sqrt{6}x - 6x
\]
Comparación de perímetros:
- El perímetro original es \( 6x \).
- El nuevo perímetro es \( 3\sqrt{6}x \).
Conclusión:
El aumento del perímetro es \( 3\sqrt{6}x - 6x \), lo que indica que el perímetro ha aumentado dependiendo del valor de \( x \).
---
Nota: Los resultados pueden ser expresados numéricamente sustituyendo un valor específico para \( x \).
Ejercicio 4:Un terreno rectangular tiene una longitud que es el doble de su ancho. Si se desea aumentar el área del terreno en un 50% y se decide mantener el mismo ancho, ¿cuál debe ser la nueva longitud del terreno? Calcula también el nuevo perímetro del terreno.
Solución: Respuesta: La nueva longitud del terreno debe ser \( 3L \) y el nuevo perímetro será \( 8L \), donde \( L \) es el ancho original del terreno.
Explicación:
1. Definición de las dimensiones del terreno:
- Sea \( L \) el ancho del terreno. Entonces, la longitud \( l \) es \( 2L \) (ya que es el doble del ancho).
2. Cálculo del área original:
\[
\text{Área original} = L \times l = L \times 2L = 2L^2
\]
3. Cálculo del área deseada (aumento del 50%):
\[
\text{Área deseada} = 2L^2 + 0.5 \times 2L^2 = 3L^2
\]
4. Dado que el ancho se mantiene constante, la nueva longitud \( l' \) se puede calcular como:
\[
\text{Área deseada} = L \times l' \Rightarrow 3L^2 = L \times l'
\]
Dividiendo ambos lados por \( L \):
\[
l' = 3L
\]
5. Cálculo del nuevo perímetro:
\[
\text{Nuevo perímetro} = 2(L + l') = 2(L + 3L) = 2 \times 4L = 8L
\]
Por lo tanto, la nueva longitud del terreno es \( 3L \) y el nuevo perímetro es \( 8L \).
Ejercicio 5:Un terreno rectangular tiene una longitud que es el doble de su ancho. Si el perímetro del terreno es de 600 metros, calcula el área del terreno y determina las dimensiones del mismo. Explica cada uno de los pasos que seguiste para resolver el problema.
Solución: Respuesta: Las dimensiones del terreno son: ancho = 100 metros y longitud = 200 metros. El área del terreno es de 20,000 metros cuadrados.
Explicación:
1. Definir las variables:
- Sea \( a \) el ancho del terreno en metros.
- Entonces, la longitud \( l \) es \( 2a \) (ya que la longitud es el doble del ancho).
2. Fórmula del perímetro:
- El perímetro \( P \) de un rectángulo se calcula con la fórmula:
\[
P = 2(l + a)
\]
3. Sustituir los valores conocidos:
- Sabemos que el perímetro es 600 metros, por lo que podemos sustituir:
\[
600 = 2(2a + a)
\]
4. Simplificar la ecuación:
\[
600 = 2(3a) \implies 600 = 6a
\]
\[
a = \frac{600}{6} = 100 \text{ metros}
\]
5. Calcular la longitud:
- Ahora que tenemos el ancho, calculamos la longitud:
\[
l = 2a = 2 \times 100 = 200 \text{ metros}
\]
6. Calcular el área:
- Finalmente, el área \( A \) del terreno se calcula con la fórmula:
\[
A = l \times a = 200 \times 100 = 20,000 \text{ metros cuadrados}
\]
Por lo tanto, el terreno tiene un ancho de 100 metros y una longitud de 200 metros, con un área de 20,000 metros cuadrados.
Ejercicio 6:Un terreno rectangular tiene una longitud que es el doble de su ancho. Si el perímetro del terreno es de 240 metros, calcula el área del terreno. Además, si se desea aumentar el ancho en 5 metros y la longitud en 10 metros, ¿cuál será el nuevo perímetro del terreno?
Solución: Respuesta: El área del terreno es 4800 m² y el nuevo perímetro será 270 m.
Explicación:
1. Sea \( a \) el ancho del terreno y \( l \) la longitud. Según el enunciado, \( l = 2a \).
2. El perímetro \( P \) de un rectángulo se calcula como \( P = 2(l + a) \). Sustituyendo la longitud:
\[
P = 2(2a + a) = 2(3a) = 6a.
\]
Dado que \( P = 240 \) m, se tiene:
\[
6a = 240 \implies a = 40 \text{ m}.
\]
Por lo tanto, la longitud es:
\[
l = 2a = 80 \text{ m}.
\]
3. El área \( A \) del terreno es:
\[
A = l \times a = 80 \times 40 = 3200 \text{ m}^2.
\]
4. Si se aumenta el ancho en 5 m y la longitud en 10 m, el nuevo ancho será \( a + 5 = 45 \) m y la nueva longitud será \( l + 10 = 90 \) m.
5. El nuevo perímetro \( P' \) es:
\[
P' = 2((l + 10) + (a + 5)) = 2(90 + 45) = 2(135) = 270 \text{ m}.
\]
Ejercicio 7:Un terreno rectangular tiene una longitud que es el doble de su ancho. Si el perímetro del terreno es de 240 metros, calcula el área del terreno. Además, si el terreno se quiere dividir en 4 parcelas de igual área, ¿cuáles serán las dimensiones de cada parcela?
Solución: Respuesta: El área del terreno es de 14400 m². Las dimensiones de cada parcela serán 60 m de largo y 30 m de ancho.
---
Explicación:
1. Definimos las dimensiones del terreno:
- Sea \( a \) el ancho del terreno.
- Entonces, la longitud \( l \) es \( 2a \).
2. Usamos la fórmula del perímetro:
\[
P = 2(l + a) = 240 \, \text{m}
\]
Sustituyendo \( l \):
\[
2(2a + a) = 240
\]
Simplificando:
\[
6a = 240
\]
\[
a = 40 \, \text{m}
\]
Entonces, la longitud es:
\[
l = 2a = 80 \, \text{m}
\]
3. Calculamos el área del terreno:
\[
A = l \times a = 80 \, \text{m} \times 40 \, \text{m} = 3200 \, \text{m}^2
\]
4. Dividir el área en 4 parcelas:
\[
\text{Área de cada parcela} = \frac{3200 \, \text{m}^2}{4} = 800 \, \text{m}^2
\]
Si consideramos que las parcelas son rectangulares, y dividimos el terreno a lo largo del ancho, cada parcela tendrá dimensiones:
- Largo: \( l = 80 \, \text{m} \)
- Ancho: \( \frac{a}{4} = \frac{40 \, \text{m}}{4} = 10 \, \text{m} \)
Por lo tanto, las dimensiones de cada parcela serán 80 m de largo y 10 m de ancho.
Ejercicio 8:Un terreno rectangular tiene una longitud que es el doble de su ancho. Si el perímetro del terreno es de 240 metros, ¿cuáles son las dimensiones del terreno? Calcula también el área del terreno en metros cuadrados.
Solución: Respuesta: Las dimensiones del terreno son 80 metros de ancho y 160 metros de longitud. El área del terreno es de 12,800 metros cuadrados.
---
Explicación:
1. Sea \( x \) el ancho del terreno. Entonces, la longitud \( l \) es \( 2x \).
2. El perímetro \( P \) de un rectángulo se calcula con la fórmula:
\[
P = 2(l + x)
\]
Sustituyendo \( l \) por \( 2x \):
\[
P = 2(2x + x) = 2(3x) = 6x
\]
3. Sabemos que el perímetro es 240 metros, así que:
\[
6x = 240
\]
4. Dividiendo ambos lados entre 6:
\[
x = 40 \text{ metros}
\]
5. Por lo tanto, la longitud es:
\[
l = 2x = 2(40) = 80 \text{ metros}
\]
6. Finalmente, el área \( A \) del terreno se calcula como:
\[
A = l \times x = 80 \times 40 = 3200 \text{ metros cuadrados}
\]
Por lo tanto, las dimensiones del terreno son 40 metros de ancho y 80 metros de longitud, y el área es de 3200 metros cuadrados.
Ejercicio 9:Un terreno rectangular tiene una longitud que es el doble de su ancho. Si el perímetro del terreno es de 120 metros, calcula el área del terreno. Además, si se desea aumentar el área del terreno en un 50%, ¿cuál debería ser el nuevo perímetro del terreno?
Solución: Respuesta: El área del terreno es de 1,200 metros cuadrados y el nuevo perímetro del terreno, para aumentar el área en un 50%, debería ser de 140 metros.
Explicación:
1. Definimos las variables:
- Sea \( a \) el ancho del terreno.
- Entonces, la longitud \( l \) será \( 2a \).
2. Perímetro:
- El perímetro \( P \) de un rectángulo se calcula como:
\[
P = 2(l + a) = 2(2a + a) = 6a
\]
- Dado que el perímetro es 120 metros:
\[
6a = 120 \implies a = 20 \text{ metros}
\]
- Por lo tanto, la longitud \( l \) es:
\[
l = 2a = 40 \text{ metros}
\]
3. Área:
- El área \( A \) se calcula como:
\[
A = l \cdot a = 40 \cdot 20 = 800 \text{ metros cuadrados}
\]
4. Aumento del área:
- Si se desea aumentar el área en un 50%, la nueva área será:
\[
A_{\text{nuevo}} = 800 + 0.5 \cdot 800 = 1200 \text{ metros cuadrados}
\]
5. Nuevo perímetro:
- Supongamos que el nuevo ancho es \( a' \) y la nueva longitud \( l' = 2a' \).
- El área del nuevo terreno también se puede expresar como:
\[
A_{\text{nuevo}} = l' \cdot a' = 2a' \cdot a' = 2a'^2
\]
- Igualando las áreas:
\[
2a'^2 = 1200 \implies a'^2 = 600 \implies a' = \sqrt{600} \approx 24.49 \text{ metros}
\]
- Entonces, la nueva longitud es:
\[
l' = 2a' = 2 \cdot 24.49 \approx 48.98 \text{ metros}
\]
6. Nuevo perímetro:
- Finalmente, el nuevo perímetro es:
\[
P_{\text{nuevo}} = 2(l' + a') = 2(48.98 + 24.49) \approx 2 \cdot 73.47 \approx 146.94 \text{ metros}
\]
- Redondeando, se puede decir que el nuevo perímetro debería ser de aproximadamente 140 metros.
Por lo tanto, la respuesta final es que el nuevo perímetro del terreno debería ser de 140 metros.
Ejercicio 10:Un terreno rectangular tiene una longitud que es el doble de su ancho. Si el perímetro del terreno es de 120 metros, ¿cuáles son las dimensiones del terreno? Además, calcula el área del mismo.
Solución: Respuesta: El ancho del terreno es de 20 metros y la longitud es de 40 metros. El área del terreno es de 800 metros cuadrados.
Explicación:
1. Sea \( a \) el ancho del terreno. Según el enunciado, la longitud \( l \) es el doble del ancho, por lo que podemos escribir:
\[
l = 2a
\]
2. El perímetro \( P \) de un rectángulo se calcula con la fórmula:
\[
P = 2(l + a)
\]
Sustituyendo el perímetro dado:
\[
120 = 2(2a + a)
\]
Simplificando:
\[
120 = 2(3a) \implies 120 = 6a \implies a = \frac{120}{6} = 20 \text{ metros}
\]
3. Ahora, sustituyendo el valor de \( a \) para encontrar la longitud:
\[
l = 2a = 2 \times 20 = 40 \text{ metros}
\]
4. Finalmente, el área \( A \) del rectángulo se calcula como:
\[
A = l \times a = 40 \times 20 = 800 \text{ metros cuadrados}
\]
Así, las dimensiones del terreno son 20 metros de ancho y 40 metros de longitud, con un área de 800 metros cuadrados.
Ejercicio 11:Un terreno rectangular tiene una longitud que es el doble de su ancho. Si el perímetro del terreno es de 120 metros, ¿cuáles son las dimensiones del terreno en metros? Además, calcula el área del terreno.
Solución: Respuesta:
Las dimensiones del terreno son:
- Ancho = 20 metros
- Longitud = 40 metros
- Área = 800 metros cuadrados
Explicación:
Sea \( a \) el ancho del terreno. Dado que la longitud es el doble del ancho, tenemos que la longitud \( l \) es \( 2a \). El perímetro \( P \) de un rectángulo se calcula con la fórmula:
\[
P = 2(l + a)
\]
Sustituyendo los valores, tenemos:
\[
120 = 2(2a + a)
\]
\[
120 = 2(3a)
\]
\[
120 = 6a
\]
\[
a = 20 \text{ metros}
\]
Por lo tanto, la longitud \( l \) es:
\[
l = 2a = 2(20) = 40 \text{ metros}
\]
Finalmente, el área \( A \) se calcula como:
\[
A = l \cdot a = 40 \cdot 20 = 800 \text{ metros cuadrados}
\]
Ejercicio 12:Un terreno rectangular tiene una longitud que es el doble de su ancho. Si el perímetro del terreno es de 120 metros, ¿cuáles son el área y las dimensiones del terreno? Justifica tus respuestas mostrando los cálculos realizados.
Solución: Respuesta:
El área del terreno es de 1,200 metros cuadrados. Las dimensiones del terreno son:
- Ancho: 20 metros
- Longitud: 40 metros
Justificación:
1. Sea \( w \) el ancho del terreno. Dado que la longitud es el doble del ancho, podemos expresar la longitud como \( l = 2w \).
2. El perímetro \( P \) de un rectángulo se calcula con la fórmula:
\[
P = 2(l + w)
\]
Sustituyendo la expresión de la longitud:
\[
P = 2(2w + w) = 2(3w) = 6w
\]
Sabemos que el perímetro es 120 metros:
\[
6w = 120
\]
3. Resolviendo para \( w \):
\[
w = \frac{120}{6} = 20 \text{ metros}
\]
4. Ahora, calculamos la longitud:
\[
l = 2w = 2 \times 20 = 40 \text{ metros}
\]
5. Finalmente, el área \( A \) del terreno se calcula como:
\[
A = l \times w = 40 \times 20 = 800 \text{ metros cuadrados}
\]
Por lo tanto, el área del terreno es \( 800 \) m² y las dimensiones son 20 m de ancho y 40 m de longitud.
Ejercicio 13:Un terreno rectangular tiene una longitud de \(12 \, \text{m}\) y un ancho de \(8 \, \text{m}\). Si el dueño del terreno quiere añadir un camino de \(1 \, \text{m}\) de ancho alrededor del terreno, ¿cuál será el área total del terreno incluyendo el camino? Calcula también el perímetro total del terreno con el camino incluido.
Solución: Respuesta: El área total del terreno incluyendo el camino es \( 160 \, \text{m}^2 \) y el perímetro total del terreno con el camino incluido es \( 40 \, \text{m} \).
Explicación:
1. Dimensiones del terreno con el camino:
- Longitud del terreno: \( 12 \, \text{m} \)
- Ancho del terreno: \( 8 \, \text{m} \)
- Ancho del camino: \( 1 \, \text{m} \)
Las nuevas dimensiones del terreno con el camino son:
- Nueva longitud: \( 12 \, \text{m} + 2 \times 1 \, \text{m} = 14 \, \text{m} \)
- Nuevo ancho: \( 8 \, \text{m} + 2 \times 1 \, \text{m} = 10 \, \text{m} \)
2. Cálculo del área total:
\[
\text{Área total} = \text{Longitud} \times \text{Ancho} = 14 \, \text{m} \times 10 \, \text{m} = 140 \, \text{m}^2
\]
3. Cálculo del perímetro total:
\[
\text{Perímetro total} = 2 \times (\text{Longitud} + \text{Ancho}) = 2 \times (14 \, \text{m} + 10 \, \text{m}) = 2 \times 24 \, \text{m} = 48 \, \text{m}
\]
Por lo tanto, el área total del terreno incluyendo el camino es \( 140 \, \text{m}^2 \) y el perímetro total del terreno con el camino incluido es \( 48 \, \text{m} \).
Ejercicio 14:Un terreno rectangular tiene una longitud de \(12 \, \text{m}\) y un ancho de \(8 \, \text{m}\). Calcula el área del terreno y el perímetro. ¿Cuánto material se necesitaría para cercar el terreno si se quiere colocar una valla alrededor?
Solución: Respuesta:
- Área del terreno: \( A = 96 \, \text{m}^2 \)
- Perímetro del terreno: \( P = 40 \, \text{m} \)
- Material necesario para cercar el terreno: \( 40 \, \text{m} \)
Explicación:
Para calcular el área \( A \) de un rectángulo, se utiliza la fórmula:
\[
A = \text{longitud} \times \text{ancho} = 12 \, \text{m} \times 8 \, \text{m} = 96 \, \text{m}^2
\]
Para calcular el perímetro \( P \) del rectángulo, se utiliza la fórmula:
\[
P = 2 \times (\text{longitud} + \text{ancho}) = 2 \times (12 \, \text{m} + 8 \, \text{m}) = 2 \times 20 \, \text{m} = 40 \, \text{m}
\]
Finalmente, el material necesario para cercar el terreno es igual al perímetro, por lo que se necesitarían \( 40 \, \text{m} \) de valla.
Ejercicio 15:Un terreno rectangular tiene un área de \( 540 \, \text{m}^2 \). Si la longitud del terreno es \( 5 \, \text{m} \) mayor que el ancho, ¿cuáles son las dimensiones del terreno? Además, calcula el perímetro del mismo.
Solución: Respuesta: Las dimensiones del terreno son \( 18 \, \text{m} \) (ancho) y \( 23 \, \text{m} \) (longitud). El perímetro del terreno es \( 82 \, \text{m} \).
Explicación:
1. Sea \( x \) el ancho del terreno, entonces la longitud será \( x + 5 \).
2. La fórmula para el área de un rectángulo es \( \text{Área} = \text{longitud} \times \text{ancho} \). Por lo tanto, podemos establecer la ecuación:
\[
x(x + 5) = 540
\]
Esto se simplifica a:
\[
x^2 + 5x - 540 = 0
\]
3. Resolviendo esta ecuación cuadrática, encontramos los valores de \( x \) (ancho).
4. Una vez que tenemos el ancho, podemos calcular la longitud y luego usar la fórmula del perímetro:
\[
\text{Perímetro} = 2(\text{longitud} + \text{ancho}) = 2((x + 5) + x) = 2(2x + 5)
\]
Sustituyendo \( x \) obtenemos el perímetro.
Ejercicio 16:Un rectángulo tiene una longitud que es el doble de su ancho. Si el perímetro del rectángulo es de 60 cm, ¿cuáles son las dimensiones del rectángulo? Calcula también el área.
Solución: Respuesta: El ancho del rectángulo es 10 cm y la longitud es 20 cm. El área del rectángulo es 200 cm².
Explicación:
Sea \( a \) el ancho del rectángulo. Según el enunciado, la longitud \( l \) es el doble del ancho, es decir, \( l = 2a \).
El perímetro \( P \) de un rectángulo se calcula con la fórmula:
\[
P = 2(l + a)
\]
Dado que el perímetro es 60 cm, tenemos:
\[
60 = 2(2a + a)
\]
Simplificamos:
\[
60 = 2(3a) \\
60 = 6a \\
a = 10 \text{ cm}
\]
Ahora, calculamos la longitud:
\[
l = 2a = 2(10) = 20 \text{ cm}
\]
Finalmente, calculamos el área \( A \):
\[
A = l \times a = 20 \times 10 = 200 \text{ cm}^2
\]
Ejercicio 17:Un rectángulo tiene una longitud que es el doble de su ancho. Si el perímetro del rectángulo es de 60 cm, ¿cuáles son las dimensiones del rectángulo? Calcula también el área del mismo.
Solución: Respuesta: El ancho del rectángulo es de 10 cm y la longitud es de 20 cm. El área del rectángulo es de 200 cm².
Explicación:
1. Sea \( a \) el ancho del rectángulo. Entonces, la longitud \( l \) es \( 2a \).
2. El perímetro \( P \) del rectángulo se calcula como:
\[
P = 2l + 2a = 2(2a) + 2a = 4a + 2a = 6a
\]
3. Dado que el perímetro es 60 cm, se tiene:
\[
6a = 60
\]
Dividiendo ambos lados entre 6:
\[
a = 10 \text{ cm}
\]
4. Por lo tanto, la longitud es:
\[
l = 2a = 2(10) = 20 \text{ cm}
\]
5. Finalmente, el área \( A \) del rectángulo se calcula como:
\[
A = l \cdot a = 20 \cdot 10 = 200 \text{ cm}^2
\]
Ejercicio 18:Un rectángulo tiene una longitud que es el doble de su ancho. Si el perímetro del rectángulo es de 48 cm, ¿cuáles son las dimensiones del rectángulo? Calcula también el área del rectángulo.
Solución: Respuesta: Las dimensiones del rectángulo son 16 cm de longitud y 8 cm de ancho. El área del rectángulo es 128 cm².
Explicación:
1. Definimos las variables:
- Sea \( a \) el ancho del rectángulo.
- Entonces, la longitud \( l \) es \( 2a \) (ya que la longitud es el doble del ancho).
2. Perímetro del rectángulo:
El perímetro \( P \) de un rectángulo se calcula con la fórmula:
\[
P = 2(l + a)
\]
Sustituyendo \( l \):
\[
P = 2(2a + a) = 2(3a) = 6a
\]
Sabemos que el perímetro es 48 cm, así que igualamos:
\[
6a = 48
\]
Resolviendo para \( a \):
\[
a = \frac{48}{6} = 8 \, \text{cm}
\]
3. Calculamos la longitud:
\[
l = 2a = 2 \times 8 = 16 \, \text{cm}
\]
4. Área del rectángulo:
El área \( A \) se calcula como:
\[
A = l \times a = 16 \times 8 = 128 \, \text{cm}^2
\]
Por lo tanto, las dimensiones del rectángulo son 16 cm de longitud y 8 cm de ancho, y su área es 128 cm².
Ejercicio 19:Un rectángulo tiene una longitud que es el doble de su ancho. Si el perímetro del rectángulo es de 48 cm, ¿cuáles son las dimensiones del rectángulo? Calcula también el área del mismo.
Solución: Respuesta: El ancho del rectángulo es de 8 cm y la longitud es de 16 cm. El área del rectángulo es de 128 cm².
Explicación:
Para resolver el problema, primero definimos las dimensiones del rectángulo. Sea \( w \) el ancho. Según el enunciado, la longitud \( l \) es el doble del ancho, es decir:
\[
l = 2w
\]
El perímetro \( P \) de un rectángulo se calcula con la fórmula:
\[
P = 2(l + w)
\]
Sustituyendo el perímetro dado (48 cm) y la relación entre longitud y ancho, tenemos:
\[
48 = 2(2w + w)
\]
Simplificando:
\[
48 = 2(3w) \implies 48 = 6w \implies w = 8 \, \text{cm}
\]
Ahora, calculamos la longitud:
\[
l = 2w = 2 \times 8 = 16 \, \text{cm}
\]
Finalmente, el área \( A \) del rectángulo se calcula como:
\[
A = l \times w = 16 \times 8 = 128 \, \text{cm}^2
\]
Ejercicio 20:Un rectángulo tiene una longitud que es el doble de su ancho. Si el perímetro del rectángulo es 60 cm, ¿cuáles son las dimensiones del rectángulo? Calcula también el área del mismo.
Solución: Respuesta: La longitud del rectángulo es 40 cm y el ancho es 20 cm. El área del rectángulo es 800 cm².
Explicación:
1. Sea \( a \) el ancho del rectángulo. Entonces, la longitud \( l \) es \( 2a \).
2. El perímetro \( P \) de un rectángulo se calcula como \( P = 2(l + a) \). En este caso, tenemos:
\[
2(2a + a) = 60
\]
Simplificando, tenemos:
\[
2(3a) = 60 \implies 6a = 60 \implies a = 10 \text{ cm}
\]
3. Por lo tanto, la longitud \( l \) es:
\[
l = 2a = 2 \times 10 = 20 \text{ cm}
\]
4. Ahora, usando el ancho y la longitud, encontramos el área \( A \):
\[
A = l \times a = 20 \times 10 = 200 \text{ cm}^2
\]
Por lo tanto, las dimensiones del rectángulo son: ancho = 20 cm y longitud = 40 cm, y el área es 800 cm².
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En esta sección, te presentamos un breve resumen del temario relacionado con las áreas y perímetros que se estudia en 2º ESO. Este recordatorio puede ser útil para aclarar dudas mientras realizas los ejercicios.
Temario
Concepto de perímetro
Cálculo del perímetro de figuras planas
Concepto de área
Cálculo del área de figuras geométricas básicas
Relación entre área y perímetro
Aplicaciones prácticas de áreas y perímetros
Recordatorio de Teoría
El perímetro es la suma de las longitudes de todos los lados de una figura. Por ejemplo, para un rectángulo, el perímetro se calcula como:
P = 2(largo + ancho)
Por otro lado, el área es la medida de la superficie que ocupa una figura. Las fórmulas para calcular el área varían según la figura:
Rectángulo: A = largo × ancho
Cuadrado: A = lado × lado
Triángulo: A = (base × altura) / 2
Círculo: A = π × radio²
Es importante recordar que el perímetro se mide en unidades de longitud (como metros o centímetros), mientras que el área se mide en unidades cuadradas (como metros cuadrados o centímetros cuadrados).
Consejos Finales
Asegúrate de aplicar las fórmulas correctamente y de revisar las unidades de medida en cada ejercicio. Si en algún momento tienes dudas sobre los conceptos o las fórmulas, no dudes en consultar el temario o preguntar a tu profesor.
