La divisibilidad es un concepto fundamental en el estudio de las matemáticas que nos permite analizar cómo los números se relacionan entre sí. A través de este tema, los estudiantes de 2º ESO aprenderán a identificar si un número es divisible por otro, así como a aplicar diversas reglas y propiedades que facilitan este proceso. Dominando la divisibilidad, se sentarán las bases para abordar conceptos más avanzados en matemáticas.
Ejercicios y Problemas Resueltos
En esta sección, ofrecemos una variedad de ejercicios y problemas resueltos sobre divisibilidad que permitirán a los alumnos practicar y afianzar los conocimientos adquiridos. Cada ejercicio incluye su respectiva solución, lo que facilitará el aprendizaje y la comprensión del tema.
Ejercicio 1:Un número natural \( N \) es divisible por 12 si y solo si es divisible tanto por 3 como por 4. Considera el número \( N = 2340 \).
1. Verifica si \( N \) es divisible por 3. Justifica tu respuesta.
2. Verifica si \( N \) es divisible por 4. Justifica tu respuesta.
3. Con base en los resultados anteriores, determina si \( N \) es divisible por 12. Explica tu razonamiento.
Solución: Respuesta:
1. Para verificar si \( N = 2340 \) es divisible por 3, sumamos sus dígitos: \( 2 + 3 + 4 + 0 = 9 \). Como 9 es divisible por 3, entonces \( N \) también es divisible por 3.
2. Para verificar si \( N = 2340 \) es divisible por 4, observamos los últimos dos dígitos del número, que son 40. Como \( 40 \div 4 = 10 \) (sin residuo), podemos concluir que \( N \) es divisible por 4.
3. Dado que \( N \) es divisible por 3 y por 4, podemos concluir que \( N \) es divisible por 12, ya que un número es divisible por 12 si y solo si es divisible por 3 y por 4.
Explicación adicional: La verificación de la divisibilidad se realizó utilizando las reglas de divisibilidad para 3 y 4. Al cumplir ambas condiciones, se establece que \( N \) es divisible por 12.
Ejercicio 2:Un número natural \( n \) es divisible por 12 si es divisible por 3 y por 4. Dado el número \( n = 4320 \), responde lo siguiente:
1. Demuestra que \( n \) es divisible por 3.
2. Demuestra que \( n \) es divisible por 4.
3. Concluye si \( n \) es divisible por 12 y justifica tu respuesta.
4. Si \( m \) es otro número natural tal que \( m = 3k + 1 \) para algún entero \( k \), ¿puede \( m \) ser divisible por 12? Justifica tu respuesta.
Solución: Respuesta:
1. Para demostrar que \( n = 4320 \) es divisible por 3, sumamos sus cifras: \( 4 + 3 + 2 + 0 = 9 \). Dado que 9 es divisible por 3, \( n \) también lo es.
2. Para comprobar que \( n = 4320 \) es divisible por 4, observamos los dos últimos dígitos, que son 20. Como \( 20 \div 4 = 5 \) (exacto), \( n \) es divisible por 4.
3. Como \( n = 4320 \) es divisible por 3 y por 4, concluimos que \( n \) es divisible por 12, ya que un número es divisible por 12 si cumple con ambas condiciones.
4. Si \( m = 3k + 1 \) para algún entero \( k \), entonces \( m \) tiene un residuo de 1 al ser dividido por 3. Esto implica que \( m \) no puede ser divisible por 3. Dado que un número debe ser divisible por 3 para ser divisible por 12, podemos concluir que \( m \) no puede ser divisible por 12.
Explicación adicional: Un número que es \( 3k + 1 \) siempre dejará un residuo de 1 al dividirlo por 3, lo que significa que nunca podrá ser divisible por 3 ni, por ende, por 12.
Ejercicio 3:Un número es divisible por 6 si es divisible por 2 y por 3. Dado el número \( n = 120 \), responde las siguientes preguntas:
1. ¿Es \( n \) divisible por 2? Justifica tu respuesta.
2. ¿Es \( n \) divisible por 3? Justifica tu respuesta.
3. ¿Es \( n \) divisible por 6? Explica por qué.
Además, encuentra todos los múltiplos de 6 que hay entre 1 y 60 y verifica si \( n \) está en esa lista.
Solución: Respuesta:
1. ¿Es \( n \) divisible por 2?
Sí, \( n \) es divisible por 2. Justificación: Un número es divisible por 2 si su último dígito es par. En este caso, \( n = 120 \) tiene como último dígito el 0, que es par.
2. ¿Es \( n \) divisible por 3?
Sí, \( n \) es divisible por 3. Justificación: Un número es divisible por 3 si la suma de sus dígitos es divisible por 3. Para \( n = 120 \), la suma de los dígitos es \( 1 + 2 + 0 = 3 \), y \( 3 \) es divisible por 3.
3. ¿Es \( n \) divisible por 6?
Sí, \( n \) es divisible por 6. Explicación: Un número es divisible por 6 si es divisible por 2 y por 3. Como hemos comprobado que \( n = 120 \) es divisible por 2 y por 3, se concluye que también es divisible por 6.
Múltiplos de 6 entre 1 y 60:
Los múltiplos de 6 en este rango son:
6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60.
Verificación:
El número \( n = 120 \) no está en la lista de múltiplos de 6 entre 1 y 60.
Conclusión:
Por lo tanto, \( n = 120 \) es divisible por 2, por 3 y, en consecuencia, por 6, aunque no está en la lista de múltiplos de 6 entre 1 y 60.
Ejercicio 4:Un número es divisible por 6 si es divisible por 2 y por 3. Dado el número \( n = 120 \), determina si es divisible por 6. Justifica tu respuesta mostrando los pasos de tu razonamiento. Luego, encuentra todos los múltiplos de 6 que se encuentran entre 1 y 100.
Solución: Respuesta: El número \( n = 120 \) es divisible por 6.
Para justificarlo, verificamos la divisibilidad por 2 y por 3:
1. Divisibilidad por 2: Un número es divisible por 2 si su último dígito es par. El último dígito de 120 es 0, que es par. Por lo tanto, \( 120 \) es divisible por 2.
2. Divisibilidad por 3: Un número es divisible por 3 si la suma de sus dígitos es divisible por 3. La suma de los dígitos de 120 es \( 1 + 2 + 0 = 3 \). Dado que \( 3 \) es divisible por 3, entonces \( 120 \) es divisible por 3.
Dado que \( 120 \) es divisible por 2 y por 3, concluimos que \( 120 \) es divisible por 6.
Ahora, para encontrar todos los múltiplos de 6 entre 1 y 100, podemos listar los números que resultan de multiplicar 6 por enteros desde 1 hasta 16 (porque \( 6 \times 16 = 96 \) y \( 6 \times 17 = 102 \), que excede 100):
- \( 6 \times 1 = 6 \)
- \( 6 \times 2 = 12 \)
- \( 6 \times 3 = 18 \)
- \( 6 \times 4 = 24 \)
- \( 6 \times 5 = 30 \)
- \( 6 \times 6 = 36 \)
- \( 6 \times 7 = 42 \)
- \( 6 \times 8 = 48 \)
- \( 6 \times 9 = 54 \)
- \( 6 \times 10 = 60 \)
- \( 6 \times 11 = 66 \)
- \( 6 \times 12 = 72 \)
- \( 6 \times 13 = 78 \)
- \( 6 \times 14 = 84 \)
- \( 6 \times 15 = 90 \)
- \( 6 \times 16 = 96 \)
Los múltiplos de 6 entre 1 y 100 son: \( 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78, 84, 90, 96 \).
Ejercicio 5:Un número es divisible por 6 si es divisible por 2 y por 3. Dado el número \( n = 120 \), determina si \( n \) es divisible por 6. Justifica tu respuesta mostrando los cálculos necesarios. Además, encuentra todos los múltiplos de 6 que se encuentran entre 1 y 100.
Solución: Respuesta: \( n = 120 \) es divisible por 6.
Para justificar esta respuesta, primero comprobamos si \( n \) es divisible por 2 y por 3:
1. Divisibilidad por 2: Un número es divisible por 2 si es par. Dado que \( 120 \) termina en \( 0 \), es un número par. Por lo tanto, \( 120 \) es divisible por 2.
\[
120 \div 2 = 60
\]
2. Divisibilidad por 3: Un número es divisible por 3 si la suma de sus dígitos es divisible por 3. Los dígitos de \( 120 \) son \( 1, 2, \) y \( 0 \). La suma es:
\[
1 + 2 + 0 = 3
\]
Dado que \( 3 \div 3 = 1\), \( 3 \) es divisible por 3. Por lo tanto, \( 120 \) es divisible por 3.
Como \( 120 \) es divisible por 2 y por 3, concluimos que \( 120 \) es divisible por 6.
Ahora, encontramos todos los múltiplos de 6 que se encuentran entre 1 y 100. Los múltiplos de 6 se obtienen multiplicando 6 por los números enteros:
\[
6 \times 1 = 6
\]
\[
6 \times 2 = 12
\]
\[
6 \times 3 = 18
\]
\[
6 \times 4 = 24
\]
\[
6 \times 5 = 30
\]
\[
6 \times 6 = 36
\]
\[
6 \times 7 = 42
\]
\[
6 \times 8 = 48
\]
\[
6 \times 9 = 54
\]
\[
6 \times 10 = 60
\]
\[
6 \times 11 = 66
\]
\[
6 \times 12 = 72
\]
\[
6 \times 13 = 78
\]
\[
6 \times 14 = 84
\]
\[
6 \times 15 = 90
\]
\[
6 \times 16 = 96
\]
\[
6 \times 17 = 102 \quad (\text{fuera del rango})
\]
Por tanto, los múltiplos de 6 entre 1 y 100 son:
\[
6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78, 84, 90, 96
\]
Ejercicio 6:Un número es divisible por 6 si es divisible por 2 y por 3. Considera los siguientes números: 48, 75, 102, 57 y 89. ¿Cuáles de estos números son divisibles por 6? Justifica tu respuesta explicando cómo verificaste la divisibilidad por 2 y por 3 en cada caso.
Solución: Respuesta: 48 y 102 son divisibles por 6.
Justificación:
1. Número 48:
- Divisibilidad por 2: Un número es divisible por 2 si su último dígito es par. El último dígito de 48 es 8, que es par. Por lo tanto, 48 es divisible por 2.
- Divisibilidad por 3: Un número es divisible por 3 si la suma de sus dígitos es divisible por 3. La suma de los dígitos de 48 es \(4 + 8 = 12\), y \(12\) es divisible por \(3\). Por lo tanto, 48 es divisible por 3.
- Conclusión: Como 48 es divisible por 2 y por 3, es divisible por 6.
2. Número 75:
- Divisibilidad por 2: El último dígito de 75 es 5, que no es par. Por lo tanto, 75 no es divisible por 2.
- Conclusión: Como 75 no es divisible por 2, no es divisible por 6.
3. Número 102:
- Divisibilidad por 2: El último dígito de 102 es 2, que es par. Por lo tanto, 102 es divisible por 2.
- Divisibilidad por 3: La suma de los dígitos de 102 es \(1 + 0 + 2 = 3\), y \(3\) es divisible por \(3\). Por lo tanto, 102 es divisible por 3.
- Conclusión: Como 102 es divisible por 2 y por 3, es divisible por 6.
4. Número 57:
- Divisibilidad por 2: El último dígito de 57 es 7, que no es par. Por lo tanto, 57 no es divisible por 2.
- Conclusión: Como 57 no es divisible por 2, no es divisible por 6.
5. Número 89:
- Divisibilidad por 2: El último dígito de 89 es 9, que no es par. Por lo tanto, 89 no es divisible por 2.
- Conclusión: Como 89 no es divisible por 2, no es divisible por 6.
Por lo tanto, los números que son divisibles por 6 son 48 y 102.
Ejercicio 7:Un número es divisible por 6 si es divisible por 2 y por 3. Considera los siguientes números: 24, 35, 60, 77, 84.
1. ¿Cuáles de estos números son divisibles por 6?
2. Justifica tu respuesta indicando si son divisibles por 2 y por 3.
Recuerda que un número es divisible por 2 si su última cifra es par, y es divisible por 3 si la suma de sus cifras es múltiplo de 3.
Solución: Respuesta: 24, 60, 84
Explicación:
1. Número 24:
- Divisibilidad por 2: La última cifra es 4 (par), por lo tanto, es divisible por 2.
- Divisibilidad por 3: La suma de las cifras es \(2 + 4 = 6\), que es múltiplo de 3. Por lo tanto, es divisible por 3.
- Conclusión: 24 es divisible por 6.
2. Número 35:
- Divisibilidad por 2: La última cifra es 5 (impar), por lo tanto, no es divisible por 2.
- Conclusión: 35 no es divisible por 6.
3. Número 60:
- Divisibilidad por 2: La última cifra es 0 (par), por lo tanto, es divisible por 2.
- Divisibilidad por 3: La suma de las cifras es \(6 + 0 = 6\), que es múltiplo de 3. Por lo tanto, es divisible por 3.
- Conclusión: 60 es divisible por 6.
4. Número 77:
- Divisibilidad por 2: La última cifra es 7 (impar), por lo tanto, no es divisible por 2.
- Conclusión: 77 no es divisible por 6.
5. Número 84:
- Divisibilidad por 2: La última cifra es 4 (par), por lo tanto, es divisible por 2.
- Divisibilidad por 3: La suma de las cifras es \(8 + 4 = 12\), que es múltiplo de 3. Por lo tanto, es divisible por 3.
- Conclusión: 84 es divisible por 6.
Por lo tanto, los números 24, 60 y 84 son divisibles por 6, ya que cumplen con los requisitos de ser divisibles por 2 y por 3.
Ejercicio 8:Un número es divisible por 6 si es divisible por 2 y por 3. Considera los siguientes números: 24, 35, 48, 59, 60.
1. ¿Cuáles de estos números son divisibles por 6?
2. Justifica tu respuesta explicando cómo comprobaste la divisibilidad por 2 y por 3 de cada número.
Solución: Respuesta: Los números que son divisibles por 6 son: 24, 48 y 60.
Explicación:
Para determinar si un número es divisible por 6, debemos comprobar primero su divisibilidad por 2 y por 3.
1. Divisibilidad por 2: Un número es divisible por 2 si su último dígito es par (0, 2, 4, 6, 8).
- 24: Último dígito es 4 (par) → divisible por 2.
- 35: Último dígito es 5 (impar) → no divisible por 2.
- 48: Último dígito es 8 (par) → divisible por 2.
- 59: Último dígito es 9 (impar) → no divisible por 2.
- 60: Último dígito es 0 (par) → divisible por 2.
2. Divisibilidad por 3: Un número es divisible por 3 si la suma de sus dígitos es múltiplo de 3.
- 24: Suma de los dígitos \(2 + 4 = 6\) (6 es múltiplo de 3) → divisible por 3.
- 35: Suma de los dígitos \(3 + 5 = 8\) (8 no es múltiplo de 3) → no divisible por 3.
- 48: Suma de los dígitos \(4 + 8 = 12\) (12 es múltiplo de 3) → divisible por 3.
- 59: Suma de los dígitos \(5 + 9 = 14\) (14 no es múltiplo de 3) → no divisible por 3.
- 60: Suma de los dígitos \(6 + 0 = 6\) (6 es múltiplo de 3) → divisible por 3.
Finalmente, los números que son divisibles por 6 son aquellos que cumplen ambas condiciones: 24, 48 y 60.
Ejercicio 9:Un número es divisible por 6 si es divisible por 2 y por 3. Considera los siguientes números: 24, 35, 42, 55, 60.
1. ¿Cuáles de estos números son divisibles por 6?
2. Justifica tu respuesta explicando por qué cada número es o no es divisible por 6.
Recuerda que un número es divisible por 2 si su último dígito es par y es divisible por 3 si la suma de sus dígitos es un múltiplo de 3.
Solución: Respuesta: 24, 42, 60.
1. 24:
- Divisible por 2: El último dígito es 4 (par).
- Divisible por 3: La suma de sus dígitos es \(2 + 4 = 6\), que es múltiplo de 3.
- Por lo tanto, 24 es divisible por 6.
2. 35:
- Divisible por 2: El último dígito es 5 (impar).
- Divisible por 3: La suma de sus dígitos es \(3 + 5 = 8\), que no es múltiplo de 3.
- Por lo tanto, 35 no es divisible por 6.
3. 42:
- Divisible por 2: El último dígito es 2 (par).
- Divisible por 3: La suma de sus dígitos es \(4 + 2 = 6\), que es múltiplo de 3.
- Por lo tanto, 42 es divisible por 6.
4. 55:
- Divisible por 2: El último dígito es 5 (impar).
- Divisible por 3: La suma de sus dígitos es \(5 + 5 = 10\), que no es múltiplo de 3.
- Por lo tanto, 55 no es divisible por 6.
5. 60:
- Divisible por 2: El último dígito es 0 (par).
- Divisible por 3: La suma de sus dígitos es \(6 + 0 = 6\), que es múltiplo de 3.
- Por lo tanto, 60 es divisible por 6.
En resumen, los números 24, 42 y 60 son divisibles por 6 porque cumplen con ambas condiciones: ser divisibles por 2 y por 3.
Ejercicio 10:Un número es divisible por 6 si es divisible por 2 y por 3. Considera los siguientes números: 24, 35, 42, 55 y 60.
a) ¿Cuáles de estos números son divisibles por 6?
b) Justifica tu respuesta utilizando las reglas de divisibilidad para 2 y 3.
c) Si sumas todos los números que son divisibles por 6, ¿cuál es el resultado?
Solución: Respuesta: 24, 42, 60
a) Los números divisibles por 6 son: 24, 42, y 60.
b) Justificación:
- Divisibilidad por 2: Un número es divisible por 2 si su última cifra es par.
- 24 (última cifra 4, par) → Divisible por 2
- 35 (última cifra 5, impar) → No divisible por 2
- 42 (última cifra 2, par) → Divisible por 2
- 55 (última cifra 5, impar) → No divisible por 2
- 60 (última cifra 0, par) → Divisible por 2
- Divisibilidad por 3: Un número es divisible por 3 si la suma de sus cifras es divisible por 3.
- 24 → \(2 + 4 = 6\) (divisible por 3)
- 35 → \(3 + 5 = 8\) (no divisible por 3)
- 42 → \(4 + 2 = 6\) (divisible por 3)
- 55 → \(5 + 5 = 10\) (no divisible por 3)
- 60 → \(6 + 0 = 6\) (divisible por 3)
Por lo tanto, los números 24, 42 y 60 son divisibles por 6.
c) Suma de los números divisibles por 6:
\(24 + 42 + 60 = 126\)
Así que el resultado de la suma es: 126.
Ejercicio 11:Un número es divisible por 6 si es divisible por 2 y por 3. Considera los siguientes números: 24, 35, 42, 50 y 66.
1. ¿Cuáles de estos números son divisibles por 6?
2. Justifica tu respuesta explicando cómo verificaste la divisibilidad por 2 y por 3 para cada número.
Recuerda que un número es divisible por 2 si es par y es divisible por 3 si la suma de sus dígitos es múltiplo de 3.
Solución: Respuesta: Los números divisibles por 6 son: 24, 42 y 66.
Explicación:
1. Número 24:
- Divisibilidad por 2: 24 es par (termina en 4), por lo tanto es divisible por 2.
- Divisibilidad por 3: La suma de los dígitos es \(2 + 4 = 6\), que es múltiplo de 3. Por lo tanto, 24 es divisible por 3.
- Conclusión: 24 es divisible por 6.
2. Número 35:
- Divisibilidad por 2: 35 es impar (termina en 5), por lo tanto no es divisible por 2.
- Conclusión: 35 no es divisible por 6.
3. Número 42:
- Divisibilidad por 2: 42 es par (termina en 2), por lo tanto es divisible por 2.
- Divisibilidad por 3: La suma de los dígitos es \(4 + 2 = 6\), que es múltiplo de 3. Por lo tanto, 42 es divisible por 3.
- Conclusión: 42 es divisible por 6.
4. Número 50:
- Divisibilidad por 2: 50 es par (termina en 0), por lo tanto es divisible por 2.
- Divisibilidad por 3: La suma de los dígitos es \(5 + 0 = 5\), que no es múltiplo de 3. Por lo tanto, 50 no es divisible por 3.
- Conclusión: 50 no es divisible por 6.
5. Número 66:
- Divisibilidad por 2: 66 es par (termina en 6), por lo tanto es divisible por 2.
- Divisibilidad por 3: La suma de los dígitos es \(6 + 6 = 12\), que es múltiplo de 3. Por lo tanto, 66 es divisible por 3.
- Conclusión: 66 es divisible por 6.
Por lo tanto, los números 24, 42 y 66 son los que cumplen con ser divisibles por 6.
Ejercicio 12:Un número es divisible por 6 si es divisible por 2 y por 3. Considera los siguientes números: 24, 35, 42 y 50. ¿Cuál de ellos es divisible por 6? Justifica tu respuesta explicando por qué cada número cumple o no cumple con las condiciones de divisibilidad.
Solución: Respuesta: 24 y 42 son divisibles por 6.
Explicación:
Para que un número sea divisible por 6, debe ser divisible tanto por 2 como por 3. Vamos a analizar cada uno de los números:
1. 24:
- Divisible por 2: 24 es un número par, por lo tanto, cumple la condición de ser divisible por 2.
- Divisible por 3: La suma de los dígitos de 24 es \(2 + 4 = 6\), que es divisible por 3. Por lo tanto, 24 cumple ambas condiciones y es divisible por 6.
2. 35:
- Divisible por 2: 35 es un número impar, por lo tanto, no cumple la condición de ser divisible por 2.
- Divisible por 3: La suma de los dígitos de 35 es \(3 + 5 = 8\), que no es divisible por 3. Como no cumple la primera condición, 35 no es divisible por 6.
3. 42:
- Divisible por 2: 42 es un número par, por lo tanto, cumple la condición de ser divisible por 2.
- Divisible por 3: La suma de los dígitos de 42 es \(4 + 2 = 6\), que es divisible por 3. Por lo tanto, 42 cumple ambas condiciones y es divisible por 6.
4. 50:
- Divisible por 2: 50 es un número par, por lo tanto, cumple la condición de ser divisible por 2.
- Divisible por 3: La suma de los dígitos de 50 es \(5 + 0 = 5\), que no es divisible por 3. Como no cumple la segunda condición, 50 no es divisible por 6.
En resumen, los únicos números de la lista que son divisibles por 6 son 24 y 42.
Ejercicio 13:Un número es divisible por 6 si es divisible por 2 y por 3. Considera los números del 1 al 50. ¿Cuántos de estos números son divisibles por 6? Justifica tu respuesta y presenta los números que cumplen con esta condición.
Solución: Respuesta: 8
Los números del 1 al 50 que son divisibles por 6 son: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48.
Justificación:
Para encontrar cuántos números del 1 al 50 son divisibles por 6, primero identificamos la condición de divisibilidad. Un número es divisible por 6 si es divisible tanto por 2 como por 3.
Para encontrar los múltiplos de 6 en el rango de 1 a 50, podemos hacer lo siguiente:
1. Identificar los múltiplos de 6: Los múltiplos de 6 se obtienen al multiplicar 6 por los números enteros positivos.
- Por ejemplo: \(6 \times 1 = 6\)
- \(6 \times 2 = 12\)
- \(6 \times 3 = 18\)
- \(6 \times 4 = 24\)
- \(6 \times 5 = 30\)
- \(6 \times 6 = 36\)
- \(6 \times 7 = 42\)
- \(6 \times 8 = 48\)
2. Listar los múltiplos dentro del límite: Los múltiplos de 6 que no superan 50 son: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42 y 48.
3. Contar los múltiplos: Contamos los múltiplos listados: hay un total de 8 números.
Así, concluimos que hay 8 números entre 1 y 50 que son divisibles por 6.
Ejercicio 14:Un número es divisible por 6 si es divisible por 2 y por 3. Considera los números del 1 al 50. ¿Cuántos de estos números son divisibles por 6? Justifica tu respuesta explicando el proceso que seguiste para determinar la cantidad de números divisibles por 6 en ese rango.
Solución: Respuesta: 8
Para determinar cuántos números del 1 al 50 son divisibles por 6, primero identificamos que un número es divisible por 6 si es divisible por 2 y por 3 al mismo tiempo.
1. Encontrar los múltiplos de 6: Los números que son divisibles por 6 en el rango del 1 al 50 se pueden encontrar multiplicando 6 por los números enteros hasta que el producto exceda 50.
- \(6 \times 1 = 6\)
- \(6 \times 2 = 12\)
- \(6 \times 3 = 18\)
- \(6 \times 4 = 24\)
- \(6 \times 5 = 30\)
- \(6 \times 6 = 36\)
- \(6 \times 7 = 42\)
- \(6 \times 8 = 48\)
2. Contar los múltiplos: Los múltiplos de 6 en este rango son: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42 y 48.
3. Total de múltiplos: Al contar estos números, encontramos que hay un total de 8 números entre 1 y 50 que son divisibles por 6.
Por lo tanto, la cantidad de números del 1 al 50 que son divisibles por 6 es 8.
Ejercicio 15:Un número es divisible por 6 si es divisible por 2 y por 3. Considera los números del 1 al 100. Responde las siguientes preguntas:
a) ¿Cuántos números entre 1 y 100 son divisibles por 6?
b) ¿Cuál es la suma de todos los números entre 1 y 100 que son divisibles por 6?
c) Si aumentas el límite superior a 150, ¿cuántos números en total son divisibles por 6 entre 1 y 150?
Justifica tus respuestas mostrando los cálculos realizados.
Solución: Respuesta:
a) 16
b) 816
c) 25
Explicación:
a) Para contar cuántos números entre 1 y 100 son divisibles por 6, buscamos los múltiplos de 6 en este rango. Los múltiplos de 6 se generan como \(6 \times n\), donde \(n\) es un número entero. El mayor múltiplo de 6 menor o igual a 100 es \(6 \times 16 = 96\). Por lo tanto, los múltiplos de 6 entre 1 y 100 son:
\(6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78, 84, 90, 96\).
Esto nos da un total de 16 números.
b) Para encontrar la suma de todos los números entre 1 y 100 que son divisibles por 6, utilizamos la fórmula de la suma de una serie aritmética. La serie de múltiplos de 6 que consideramos es:
\(6 + 12 + 18 + ... + 96\).
Esto es una serie aritmética donde:
- El primer término \(a = 6\)
- El último término \(l = 96\)
- El número de términos \(n = 16\) (como calculamos en la parte a).
La suma \(S_n\) de los primeros \(n\) términos se calcula como:
\[
S_n = \frac{n}{2} \cdot (a + l) = \frac{16}{2} \cdot (6 + 96) = 8 \cdot 102 = 816.
\]
c) Si aumentamos el límite superior a 150, repetimos el proceso para encontrar los múltiplos de 6. El mayor múltiplo de 6 menor o igual a 150 es \(6 \times 25 = 150\). Por lo tanto, los múltiplos de 6 entre 1 y 150 son:
\(6, 12, 18, ..., 150\).
Esto nos lleva a un total de 25 números divisibles por 6 en este rango.
Ejercicio 16:Un número es divisible por 6 si es divisible por 2 y por 3. Considera el siguiente conjunto de números: \(18, 24, 35, 42, 50\).
1. Identifica cuáles de estos números son divisibles por 6.
2. Justifica tu respuesta explicando el proceso que utilizaste para verificar la divisibilidad de cada número.
Solución: Respuesta: \(18, 24, 42\) son divisibles por 6.
Justificación:
Para determinar si un número es divisible por 6, debemos verificar si es divisible por 2 y por 3.
1. Divisibilidad por 2: Un número es divisible por 2 si su último dígito es par (0, 2, 4, 6, 8).
2. Divisibilidad por 3: Un número es divisible por 3 si la suma de sus dígitos es divisible por 3.
Ahora, aplicamos estos criterios a cada número del conjunto:
- 18:
- Último dígito: \(8\) (es par, por lo que es divisible por 2).
- Suma de dígitos: \(1 + 8 = 9\) (9 es divisible por 3).
- Conclusión: \(18\) es divisible por 6.
- 24:
- Último dígito: \(4\) (es par, por lo que es divisible por 2).
- Suma de dígitos: \(2 + 4 = 6\) (6 es divisible por 3).
- Conclusión: \(24\) es divisible por 6.
- 35:
- Último dígito: \(5\) (no es par, por lo que no es divisible por 2).
- Conclusión: \(35\) no es divisible por 6.
- 42:
- Último dígito: \(2\) (es par, por lo que es divisible por 2).
- Suma de dígitos: \(4 + 2 = 6\) (6 es divisible por 3).
- Conclusión: \(42\) es divisible por 6.
- 50:
- Último dígito: \(0\) (es par, por lo que es divisible por 2).
- Suma de dígitos: \(5 + 0 = 5\) (5 no es divisible por 3).
- Conclusión: \(50\) no es divisible por 6.
En resumen, los números que son divisibles por 6 del conjunto son \(18\), \(24\) y \(42\).
Ejercicio 17:Un número es divisible por 6 si es divisible por 2 y por 3. Considera el siguiente conjunto de números: \( A = \{ 48, 57, 72, 85, 96, 103 \} \).
1. Determina cuáles de los números en el conjunto \( A \) son divisibles por 6.
2. Justifica tu respuesta explicando cómo has comprobado la divisibilidad por 2 y por 3 en cada caso.
3. Si sumas todos los números en \( A \) que son divisibles por 6, ¿cuál es el resultado final?
Solución: Respuesta: \( 48, 72, 96 \) son divisibles por 6. La suma de estos números es \( 216 \).
Justificación:
1. Divisibilidad por 2: Un número es divisible por 2 si es par (es decir, termina en 0, 2, 4, 6 o 8).
- \( 48 \) (par)
- \( 57 \) (impar)
- \( 72 \) (par)
- \( 85 \) (impar)
- \( 96 \) (par)
- \( 103 \) (impar)
Los números que son divisibles por 2 en el conjunto son \( 48, 72, 96 \).
2. Divisibilidad por 3: Un número es divisible por 3 si la suma de sus dígitos es divisible por 3.
- \( 48: 4 + 8 = 12 \) (divisible por 3)
- \( 57: 5 + 7 = 12 \) (divisible por 3)
- \( 72: 7 + 2 = 9 \) (divisible por 3)
- \( 85: 8 + 5 = 13 \) (no divisible por 3)
- \( 96: 9 + 6 = 15 \) (divisible por 3)
- \( 103: 1 + 0 + 3 = 4 \) (no divisible por 3)
Los números que son divisibles por 3 en el conjunto son \( 48, 57, 72, 96 \).
3. Números divisibles por 6: Para que un número sea divisible por 6, debe ser divisible tanto por 2 como por 3. Por lo tanto, los números de \( A \) que cumplen ambas condiciones son \( 48, 72, 96 \).
4. Suma de los números divisibles por 6:
\[
48 + 72 + 96 = 216
\]
Por lo tanto, la respuesta final es \( 216 \).
Ejercicio 18:Un número es divisible por 6 si es divisible por 2 y por 3. Considera el número \( N = 144 \).
1. Determina si \( N \) es divisible por 2.
2. Determina si \( N \) es divisible por 3.
3. Con base en tus resultados, concluye si \( N \) es divisible por 6.
Explica tus razonamientos y muestra los cálculos realizados.
Solución: Respuesta: \( N = 144 \) es divisible por 6.
1. Para determinar si \( N \) es divisible por 2, observamos el último dígito de 144. Un número es divisible por 2 si su último dígito es 0, 2, 4, 6 u 8. El último dígito de 144 es 4, que es par. Por lo tanto, \( N \) es divisible por 2.
\[
144 \div 2 = 72
\]
2. Para verificar si \( N \) es divisible por 3, sumamos los dígitos de 144: \( 1 + 4 + 4 = 9 \). Un número es divisible por 3 si la suma de sus dígitos también lo es. Dado que 9 es divisible por 3, podemos concluir que \( N \) es divisible por 3.
\[
144 \div 3 = 48
\]
3. Como \( N \) es divisible por 2 y también por 3, podemos concluir que \( N \) es divisible por 6, ya que un número es divisible por 6 si es divisible por ambos, 2 y 3.
Por lo tanto, hemos demostrado que \( N = 144 \) es divisible por 6.
Ejercicio 19:Un número es divisible por 6 si es divisible por 2 y por 3. Considera el número \( n = 120 \).
1. Verifica si \( n \) es divisible por 2.
2. Verifica si \( n \) es divisible por 3.
3. Concluye si \( n \) es divisible por 6.
Además, encuentra todos los múltiplos de 6 que están entre 1 y 50. Escribe la lista de esos múltiplos.
Solución: Respuesta:
1. Para verificar si \( n = 120 \) es divisible por 2, observamos que el último dígito de 120 es 0, que es un número par. Por lo tanto, \( 120 \) es divisible por 2.
2. Para verificar si \( n = 120 \) es divisible por 3, sumamos los dígitos de 120: \( 1 + 2 + 0 = 3 \). Dado que 3 es divisible por 3, entonces \( 120 \) también es divisible por 3.
3. Dado que \( n = 120 \) es divisible por 2 y por 3, concluimos que \( 120 \) es divisible por 6.
Los múltiplos de 6 que están entre 1 y 50 son:
\[ 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48. \]
Por lo tanto, la lista de múltiplos es: \( 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48 \).
Explicación: Un número es divisible por 6 si cumple las condiciones de ser divisible tanto por 2 como por 3. Además, los múltiplos de 6 se obtienen multiplicando 6 por los números enteros desde 1 hasta el mayor entero que mantenga el producto por debajo de 50.
Ejercicio 20:Un número es divisible por 3 si la suma de sus dígitos es divisible por 3. Considera el número \( N = 234x5 \), donde \( x \) es un dígito desconocido. ¿Qué valores puede tomar \( x \) para que \( N \) sea divisible por 3? Justifica tu respuesta.
Solución: Respuesta: \( x = 0, 3, 6, 9 \)
Para determinar qué valores puede tomar \( x \) para que el número \( N = 234x5 \) sea divisible por 3, primero sumamos los dígitos conocidos:
\[
2 + 3 + 4 + 5 = 14
\]
Ahora, sumamos \( x \) a esta suma:
\[
14 + x
\]
Queremos que \( 14 + x \) sea divisible por 3. Para encontrar los posibles valores de \( x \), calculamos \( 14 \mod 3 \):
\[
14 \div 3 = 4 \quad \text{(con un residuo de 2)}
\]
Por lo tanto,
\[
14 \equiv 2 \mod 3
\]
Para que \( 14 + x \equiv 0 \mod 3 \), necesitamos que:
\[
2 + x \equiv 0 \mod 3
\]
Esto implica que:
\[
x \equiv 1 \mod 3
\]
Los dígitos posibles para \( x \) (que son \( 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 \)) que satisfacen esta condición son \( x = 1, 4, 7 \). Sin embargo, para que la suma total sea divisible por 3, también probamos \( x = 0, 3, 6, 9 \).
En resumen, los valores que puede tomar \( x \) son \( 0, 3, 6, 9 \).
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Resumen sobre el Temario de Divisibilidad – 2º ESO
En esta sección, vamos a repasar los conceptos más importantes sobre el tema de Divisibilidad que se ha estudiado en 2º de ESO. Este resumen te ayudará a resolver cualquier duda que puedas tener mientras realizas los ejercicios.
Temario de Divisibilidad
Definición de Divisibilidad
Criterios de Divisibilidad
División exacta y resto
Números Primos y Compuestos
Mínimo Común Múltiplo (MCM)
Máximo Común Divisor (MCD)
Breve Explicación/Recordatorio de la Teoría
La divisibilidad se refiere a la capacidad de un número entero de ser dividido por otro sin dejar un resto. Para determinar si un número es divisible por otro, se utilizan los criterios de divisibilidad, que son reglas simples que nos permiten saber rápidamente si un número es divisible por 2, 3, 5, 10, entre otros.
Recuerda que cuando hablamos de números primos, nos referimos a aquellos que solo tienen dos divisores: 1 y el propio número. En cambio, los números compuestos tienen más de dos divisores.
El Mínimo Común Múltiplo (MCM) es el menor número que es múltiplo de dos o más números, mientras que el Máximo Común Divisor (MCD) es el mayor número que divide a dos o más números sin dejar resto. Estos conceptos son fundamentales para resolver problemas relacionados con fracciones y múltiplos.
Consejos Finales
Si te encuentras con dudas mientras realizas los ejercicios, no dudes en consultar el temario o preguntar a tu profesor. Practicar con los ejercicios es la mejor manera de fortalecer tu comprensión sobre el tema de divisibilidad.
