Ejercicios y Problemas de Proporcionalidad Directa e Inversa 2º ESO
La proporcionalidad directa y la proporcionalidad inversa son conceptos fundamentales en matemáticas que nos permiten entender la relación entre dos variables. En esta página, exploraremos cómo se comportan estas relaciones y cómo aplicarlas en diferentes situaciones. Aprenderemos a identificar cuándo una relación es directa o inversa, así como a resolver problemas prácticos que nos ayudarán a consolidar estos conocimientos.
Ejercicios y Problemas Resueltos
A continuación, presentamos una serie de ejercicios y problemas resueltos que facilitarán la comprensión de la proporcionalidad directa e inversa. A través de estos ejemplos, los alumnos podrán practicar y verificar sus habilidades en el tema.
Ejercicio 1:Un vendedor de frutas tiene 120 manzanas y 80 peras. Si decide repartirlas entre varios cestos de forma que cada cesto tenga la misma cantidad de manzanas y la misma cantidad de peras, ¿cuál es el número máximo de cestos que puede hacer? ¿Cuántas manzanas y peras habrá en cada cesto? Utiliza la proporcionalidad para resolver el problema.
Solución: Respuesta: El número máximo de cestos que puede hacer es 40, y en cada cesto habrá 3 manzanas y 2 peras.
Explicación:
Para resolver el problema, debemos encontrar el máximo número de cestos en los que se pueden repartir las 120 manzanas y las 80 peras de manera equitativa. Para esto, buscamos el máximo común divisor (MCD) de 120 y 80.
1. Encontrar el MCD:
- Los divisores de 120 son: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120.
- Los divisores de 80 son: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 40, 80.
- El MCD de 120 y 80 es 40.
2. Calcular la cantidad de manzanas y peras por cesto:
- Manzanas por cesto: \( \frac{120}{40} = 3 \)
- Peras por cesto: \( \frac{80}{40} = 2 \)
Por lo tanto, el vendedor puede hacer un máximo de 40 cestos, con 3 manzanas y 2 peras en cada uno.
Ejercicio 2:Un tren viaja a una velocidad constante de 60 km/h. Si el tren recorre 240 km, ¿cuánto tiempo tardará en llegar a su destino? Utiliza la relación de proporcionalidad directa entre la distancia, la velocidad y el tiempo.
Solución: Respuesta: 4 horas
Para calcular el tiempo que tardará el tren en recorrer 240 km a una velocidad constante de 60 km/h, podemos utilizar la fórmula de la relación entre distancia, velocidad y tiempo:
\[
\text{Tiempo} = \frac{\text{Distancia}}{\text{Velocidad}}
\]
Sustituyendo los valores:
\[
\text{Tiempo} = \frac{240 \text{ km}}{60 \text{ km/h}} = 4 \text{ horas}
\]
Por lo tanto, el tren tardará 4 horas en llegar a su destino.
Ejercicio 3:Un tren viaja a una velocidad constante de 60 km/h. ¿Cuánto tiempo tardará en recorrer 180 km? Calcula el tiempo utilizando la proporcionalidad directa.
Solución: Respuesta: 3 horas
Para calcular el tiempo que tardará el tren en recorrer 180 km a una velocidad constante de 60 km/h, podemos utilizar la fórmula de la proporcionalidad directa, que relaciona la distancia (d), la velocidad (v) y el tiempo (t) de la siguiente manera:
\[
t = \frac{d}{v}
\]
Sustituyendo los valores que tenemos:
\[
t = \frac{180 \text{ km}}{60 \text{ km/h}} = 3 \text{ h}
\]
Por lo tanto, el tren tardará 3 horas en recorrer 180 km.
Ejercicio 4:Un tren tarda 3 horas en recorrer 240 km. Si la velocidad del tren se incrementa en un 20%, ¿cuánto tiempo tardará en recorrer la misma distancia? Utiliza la proporcionalidad directa para resolver el problema.
Solución: Respuesta: 2.5 horas
Para resolver el ejercicio, primero calculamos la velocidad inicial del tren. Sabemos que:
\[
\text{Velocidad} = \frac{\text{Distancia}}{\text{Tiempo}} = \frac{240 \text{ km}}{3 \text{ h}} = 80 \text{ km/h}
\]
Luego, al incrementar la velocidad en un 20%, la nueva velocidad será:
\[
\text{Nueva Velocidad} = 80 \text{ km/h} + (20\% \text{ de } 80 \text{ km/h}) = 80 \text{ km/h} + 16 \text{ km/h} = 96 \text{ km/h}
\]
Ahora, para encontrar el tiempo que tardará en recorrer la misma distancia de 240 km a la nueva velocidad, utilizamos la fórmula del tiempo:
\[
\text{Tiempo} = \frac{\text{Distancia}}{\text{Velocidad}} = \frac{240 \text{ km}}{96 \text{ km/h}} = 2.5 \text{ horas}
\]
Por lo tanto, el tren tardará 2.5 horas en recorrer 240 km a la nueva velocidad.
Ejercicio 5:Un tren tarda 3 horas en recorrer 240 km a una velocidad constante. Si el tren aumenta su velocidad en un 25%, ¿cuánto tiempo tardará en recorrer la misma distancia? Calcula el tiempo en horas y minutos y explica cómo se relacionan las velocidades y los tiempos en este caso.
Solución: Respuesta: El tren tardará 2 horas y 24 minutos en recorrer la misma distancia.
Explicación:
Para resolver este ejercicio, primero determinamos la velocidad inicial del tren. Sabemos que el tren recorre 240 km en 3 horas, así que su velocidad \( v \) es:
\[
v = \frac{240 \text{ km}}{3 \text{ h}} = 80 \text{ km/h}
\]
Si el tren aumenta su velocidad en un 25%, la nueva velocidad \( v' \) será:
\[
v' = v + 0.25v = 1.25v = 1.25 \times 80 \text{ km/h} = 100 \text{ km/h}
\]
Ahora, para encontrar el tiempo \( t' \) que tardará en recorrer los 240 km con la nueva velocidad, utilizamos la fórmula:
\[
t' = \frac{d}{v'}
\]
donde \( d \) es la distancia (240 km) y \( v' \) es la nueva velocidad (100 km/h):
\[
t' = \frac{240 \text{ km}}{100 \text{ km/h}} = 2.4 \text{ h}
\]
Para convertir 2.4 horas a horas y minutos, multiplicamos la parte decimal por 60:
\[
0.4 \text{ h} \times 60 \text{ min/h} = 24 \text{ min}
\]
Por lo tanto, el tiempo total es de 2 horas y 24 minutos.
Este ejercicio ilustra la relación entre velocidad y tiempo: cuando la velocidad aumenta, el tiempo necesario para recorrer la misma distancia disminuye, lo que es un ejemplo de proporcionalidad inversa.
Ejercicio 6:Un tren sale de una estación y viaja a una velocidad constante. Si el tren recorre 150 kilómetros en 2 horas, ¿cuántos kilómetros recorrerá en 5 horas manteniendo la misma velocidad? Además, si el tren aumenta su velocidad en un 20%, ¿cuánto tiempo tardará en recorrer 180 kilómetros?
Solución: Respuesta:
1. En 5 horas, el tren recorrerá 375 kilómetros.
2. Si el tren aumenta su velocidad en un 20%, tardará 1.5 horas en recorrer 180 kilómetros.
Explicación:
1. Primero, calculamos la velocidad del tren:
\[
\text{Velocidad} = \frac{\text{distancia}}{\text{tiempo}} = \frac{150 \text{ km}}{2 \text{ h}} = 75 \text{ km/h}
\]
Ahora, para encontrar la distancia recorrida en 5 horas:
\[
\text{Distancia} = \text{velocidad} \times \text{tiempo} = 75 \text{ km/h} \times 5 \text{ h} = 375 \text{ km}
\]
2. Si el tren aumenta su velocidad en un 20%, la nueva velocidad será:
\[
\text{Nueva velocidad} = 75 \text{ km/h} + (0.20 \times 75 \text{ km/h}) = 75 \text{ km/h} \times 1.20 = 90 \text{ km/h}
\]
Ahora, para encontrar el tiempo que tarda en recorrer 180 kilómetros:
\[
\text{Tiempo} = \frac{\text{distancia}}{\text{velocidad}} = \frac{180 \text{ km}}{90 \text{ km/h}} = 2 \text{ h}
\]
Por lo tanto, el tiempo es de 1.5 horas.
Ejercicio 7:Un tren sale de una estación y viaja a una velocidad constante de \(80 \, \text{km/h}\). Si el tren tarda \(3 \, \text{horas}\) en llegar a su destino, ¿cuántos kilómetros recorridos son? Además, si otro tren sale de la misma estación y viaja a una velocidad de \(60 \, \text{km/h}\), ¿cuánto tiempo tardará en llegar a su destino?
A) Calcula la distancia recorrida por el primer tren.
B) Utiliza la proporcionalidad inversa para determinar el tiempo que tardará el segundo tren en recorrer la misma distancia que el primero.
Solución: Respuesta:
A) Distancia recorrida por el primer tren: \(240 \, \text{km}\)
B) El segundo tren tardará \(4 \, \text{horas}\) en llegar a su destino.
---
Explicación:
A) Para calcular la distancia recorrida por el primer tren, utilizamos la fórmula de la distancia:
\[
\text{Distancia} = \text{Velocidad} \times \text{Tiempo}
\]
Sustituyendo los valores:
\[
\text{Distancia} = 80 \, \text{km/h} \times 3 \, \text{h} = 240 \, \text{km}
\]
B) Para encontrar el tiempo que tardará el segundo tren, aplicamos la proporcionalidad inversa. La relación entre velocidad y tiempo es inversa, es decir, si la velocidad disminuye, el tiempo aumenta. Así, si el primer tren viaja a \(80 \, \text{km/h}\) y tarda \(3 \, \text{h}\), para el segundo tren que viaja a \(60 \, \text{km/h}\) se puede calcular el tiempo \(t\) utilizando la fórmula:
\[
\text{Velocidad}_1 \times \text{Tiempo}_1 = \text{Velocidad}_2 \times \text{Tiempo}_2
\]
Sustituyendo los valores conocidos:
\[
80 \, \text{km/h} \times 3 \, \text{h} = 60 \, \text{km/h} \times t
\]
Despejamos \(t\):
\[
240 \, \text{km} = 60 \, \text{km/h} \times t
\]
\[
t = \frac{240 \, \text{km}}{60 \, \text{km/h}} = 4 \, \text{h}
\]
Por lo tanto, el segundo tren tarda \(4 \, \text{horas}\) en llegar a su destino.
Ejercicio 8:Un tren sale de una estación y se dirige hacia otra que se encuentra a 240 km de distancia. Si el tren viaja a una velocidad constante de 80 km/h, ¿cuánto tiempo tardará en llegar a su destino?
Además, si un segundo tren, que viaja a una velocidad de 120 km/h, sale de la misma estación 30 minutos después que el primer tren, ¿cuánto tiempo tardará en alcanzar al primer tren?
Responde a las dos preguntas utilizando la proporcionalidad directa.
Solución: Respuesta:
1. El primer tren tardará 3 horas en llegar a su destino.
2. El segundo tren tardará 1.5 horas en alcanzar al primer tren.
Explicación:
Para el primer tren:
La fórmula para calcular el tiempo es:
\[
\text{Tiempo} = \frac{\text{Distancia}}{\text{Velocidad}}
\]
Sustituyendo los valores:
\[
\text{Tiempo} = \frac{240 \text{ km}}{80 \text{ km/h}} = 3 \text{ horas}
\]
Para el segundo tren:
El primer tren sale primero y viaja durante 0.5 horas (30 minutos) antes de que el segundo tren inicie su viaje. En ese tiempo, el primer tren habrá recorrido:
\[
\text{Distancia recorrida por el primer tren} = \text{Velocidad} \times \text{Tiempo} = 80 \text{ km/h} \times 0.5 \text{ h} = 40 \text{ km}
\]
Ahora, ambos trenes se mueven. La diferencia de velocidades entre el segundo tren (120 km/h) y el primer tren (80 km/h) es:
\[
\text{Diferencia de velocidad} = 120 \text{ km/h} - 80 \text{ km/h} = 40 \text{ km/h}
\]
Ahora, el segundo tren necesita cubrir la distancia de 40 km para alcanzar al primer tren. El tiempo que tarda en hacerlo es:
\[
\text{Tiempo} = \frac{\text{Distancia}}{\text{Diferencia de velocidad}} = \frac{40 \text{ km}}{40 \text{ km/h}} = 1 \text{ hora}
\]
Entonces, como el segundo tren salió 30 minutos más tarde, el tiempo total desde que salió el segundo tren hasta que alcanza al primero es:
\[
0.5 \text{ horas} + 1 \text{ hora} = 1.5 \text{ horas}
\]
Por lo tanto, el segundo tren tardará 1.5 horas en alcanzar al primer tren.
Ejercicio 9:Un tren sale de una ciudad A hacia una ciudad B, que se encuentra a 240 km de distancia. Si el tren viaja a una velocidad constante de 60 km/h, ¿cuánto tiempo tardará en llegar a su destino? Si decidimos aumentar su velocidad a 80 km/h, ¿cuánto tiempo se ahorrará en comparación con la primera velocidad? Calcula el tiempo en horas y expresa tu respuesta en minutos. Además, reflexiona sobre cómo la proporcionalidad directa afecta el tiempo de viaje en función de la velocidad.
Solución: Respuesta:
1. Tiempo a 60 km/h:
\[
t_1 = \frac{d}{v_1} = \frac{240 \text{ km}}{60 \text{ km/h}} = 4 \text{ horas}
\]
En minutos:
\[
4 \text{ horas} \times 60 \text{ minutos/hora} = 240 \text{ minutos}
\]
2. Tiempo a 80 km/h:
\[
t_2 = \frac{d}{v_2} = \frac{240 \text{ km}}{80 \text{ km/h}} = 3 \text{ horas}
\]
En minutos:
\[
3 \text{ horas} \times 60 \text{ minutos/hora} = 180 \text{ minutos}
\]
3. Tiempo ahorrado:
\[
\text{Ahorro} = t_1 - t_2 = 4 \text{ horas} - 3 \text{ horas} = 1 \text{ hora}
\]
En minutos:
\[
1 \text{ hora} \times 60 \text{ minutos/hora} = 60 \text{ minutos}
\]
Explicación:
La relación entre velocidad y tiempo es un ejemplo de proporcionalidad inversa. A mayor velocidad, menor tiempo se tarda en realizar una misma distancia. En este ejercicio, al aumentar la velocidad de 60 km/h a 80 km/h, el tiempo de viaje disminuye, lo que se traduce en un ahorro de 60 minutos. Esto ilustra cómo la velocidad afecta directamente el tiempo requerido para recorrer una distancia fija.
Ejercicio 10:Un taller de carpintería produce 240 mesas en 6 horas. Si se desea aumentar la producción a 360 mesas, ¿cuántas horas necesitará trabajar el taller? Utiliza la proporcionalidad directa para resolver el problema y explica tu razonamiento.
Solución: Respuesta: 9 horas.
Para resolver el problema, utilizamos la proporcionalidad directa, que nos dice que si una magnitud aumenta, la otra también lo hará en la misma proporción.
1. Primero, determinamos cuántas mesas se producen por hora. Si el taller produce 240 mesas en 6 horas, la producción por hora es:
\[
\text{Producción por hora} = \frac{240 \text{ mesas}}{6 \text{ horas}} = 40 \text{ mesas/hora}
\]
2. Luego, calculamos cuántas horas se necesitarán para producir 360 mesas. Utilizando la producción por hora:
\[
\text{Horas necesarias} = \frac{360 \text{ mesas}}{40 \text{ mesas/hora}} = 9 \text{ horas}
\]
Por lo tanto, el taller necesitará trabajar 9 horas para producir 360 mesas.
Ejercicio 11:Un supermercado ofrece una promoción en la que el precio de un kilo de manzanas es de 2,50 € y el de peras es de 3,00 €. Si un cliente compra 4 kilos de manzanas y 3 kilos de peras, ¿cuánto pagará en total? Además, si el cliente decide comprar el doble de la cantidad de manzanas y peras, ¿cuánto deberá pagar en ese caso? Calcula el total en ambos casos y determina si la relación entre el precio y la cantidad es proporcional directa o inversamente.
Solución: Respuesta:
1. Total al comprar 4 kilos de manzanas y 3 kilos de peras:
\[
\text{Total} = (4 \, \text{kilos} \times 2.50 \, \text{€}) + (3 \, \text{kilos} \times 3.00 \, \text{€}) = 10.00 \, \text{€} + 9.00 \, \text{€} = 19.00 \, \text{€}
\]
2. Total al comprar el doble (8 kilos de manzanas y 6 kilos de peras):
\[
\text{Total} = (8 \, \text{kilos} \times 2.50 \, \text{€}) + (6 \, \text{kilos} \times 3.00 \, \text{€}) = 20.00 \, \text{€} + 18.00 \, \text{€} = 38.00 \, \text{€}
\]
La relación entre el precio y la cantidad es proporcional directa, ya que al aumentar la cantidad de manzanas y peras, el precio total también aumenta de manera constante.
Ejercicio 12:Un grupo de estudiantes está organizando un viaje escolar. Si 12 estudiantes se inscriben, el costo total del viaje es de \$600. Sin embargo, si se inscriben 18 estudiantes, el costo total se reduce a \$450.
1. ¿Cuál es el costo por estudiante cuando se inscriben 12 estudiantes?
2. ¿Cuál es el costo por estudiante cuando se inscriben 18 estudiantes?
3. Si se inscriben 24 estudiantes, ¿cuál sería el costo total del viaje, asumiendo que el costo sigue la misma proporcionalidad?
Recuerda que debes considerar la proporcionalidad directa entre el número de estudiantes y el costo total del viaje.
Solución: Respuesta:
1. Costo por estudiante con 12 estudiantes: \$50
2. Costo por estudiante con 18 estudiantes: \$25
3. Costo total del viaje con 24 estudiantes: \$600
Explicación:
1. Cuando se inscriben 12 estudiantes, el costo total es de \$600. Por lo tanto, el costo por estudiante se calcula como:
\[
\text{Costo por estudiante} = \frac{600}{12} = 50 \, \text{dólares}
\]
2. Con 18 estudiantes, el costo total es de \$450. El costo por estudiante es:
\[
\text{Costo por estudiante} = \frac{450}{18} = 25 \, \text{dólares}
\]
3. Si se inscriben 24 estudiantes, el costo total se puede determinar usando la relación de proporcionalidad. Si el costo por estudiante es de \$25 (como en el caso de 18 estudiantes), el costo total será:
\[
\text{Costo total} = 24 \times 25 = 600 \, \text{dólares}
\]
Por lo tanto, el costo total del viaje con 24 estudiantes, asumiendo que el costo por estudiante se mantiene, sería \$600.
Ejercicio 13:Un grupo de estudiantes está organizando un viaje escolar. Si 12 estudiantes pueden compartir un autobús que cuesta 240 euros, ¿cuánto costará el autobús si deciden ir 18 estudiantes?
Recuerda que el costo del autobús es proporcional al número de estudiantes. Calcula el costo por estudiante y el costo total para 18 estudiantes.
Solución: Respuesta: El costo del autobús para 18 estudiantes será de 360 euros.
Explicación:
Primero, calculamos el costo por estudiante cuando viajan 12 estudiantes:
\[
\text{Costo por estudiante} = \frac{\text{Costo total}}{\text{Número de estudiantes}} = \frac{240 \text{ euros}}{12 \text{ estudiantes}} = 20 \text{ euros por estudiante}.
\]
Ahora, para 18 estudiantes, multiplicamos el costo por estudiante por el nuevo número de estudiantes:
\[
\text{Costo total para 18 estudiantes} = \text{Costo por estudiante} \times \text{Número de estudiantes} = 20 \text{ euros por estudiante} \times 18 \text{ estudiantes} = 360 \text{ euros}.
\]
Por lo tanto, el costo del autobús para 18 estudiantes es de 360 euros.
Ejercicio 14:Un grupo de estudiantes decide realizar un experimento en el que estudian el tiempo que tarda un vehículo en recorrer una distancia determinada. Se observa que, si la velocidad del vehículo es de \(60 \, \text{km/h}\), tarda \(2\) horas en recorrer \(120 \, \text{km}\). Sin embargo, si aumenta su velocidad a \(90 \, \text{km/h}\), ¿cuánto tiempo tardará en recorrer la misma distancia? Además, si el vehículo se encuentra con un tráfico que reduce su velocidad a \(30 \, \text{km/h}\), ¿cuánto tiempo tardará en recorrer la misma distancia? Calcula el tiempo en ambos casos y determina la relación de proporcionalidad entre la velocidad y el tiempo.
Solución: Respuesta:
1. Si la velocidad del vehículo es de \(90 \, \text{km/h}\), tardará \(1.33\) horas (o \(1\) hora y \(20\) minutos) en recorrer \(120 \, \text{km}\).
2. Si la velocidad del vehículo se reduce a \(30 \, \text{km/h}\), tardará \(4\) horas en recorrer \(120 \, \text{km}\).
---
Explicación:
Para calcular el tiempo que tarda un vehículo en recorrer una distancia dada, utilizamos la fórmula:
\[
\text{Tiempo} = \frac{\text{Distancia}}{\text{Velocidad}}
\]
1. Caso de \(90 \, \text{km/h}\):
\[
\text{Tiempo} = \frac{120 \, \text{km}}{90 \, \text{km/h}} = \frac{120}{90} = \frac{4}{3} \text{ horas} \approx 1.33 \text{ horas}
\]
Esto equivale a \(1\) hora y \(20\) minutos.
2. Caso de \(30 \, \text{km/h}\):
\[
\text{Tiempo} = \frac{120 \, \text{km}}{30 \, \text{km/h}} = \frac{120}{30} = 4 \text{ horas}
\]
La relación de proporcionalidad entre la velocidad y el tiempo es inversa. Esto significa que, a medida que aumenta la velocidad, el tiempo de recorrido disminuye, y viceversa.
Ejercicio 15:Un grupo de estudiantes decide organizar una venta de pasteles para recaudar fondos. Si 5 estudiantes pueden vender 60 pasteles en 3 horas, ¿cuántos pasteles venderán 8 estudiantes en 4 horas? Justifica tu respuesta utilizando las propiedades de la proporcionalidad directa.
Solución: Respuesta: 96 pasteles
Explicación:
Para resolver este problema, utilizamos las propiedades de la proporcionalidad directa. Primero, determinamos cuántos pasteles puede vender un estudiante en una hora.
1. Calcular la tasa de venta por estudiante por hora:
- Si 5 estudiantes venden 60 pasteles en 3 horas, primero encontramos cuántos pasteles vende un estudiante en 1 hora:
\[
\text{Tasa por estudiante} = \frac{60 \text{ pasteles}}{5 \text{ estudiantes} \times 3 \text{ horas}} = \frac{60}{15} = 4 \text{ pasteles por estudiante por hora}
\]
2. Calcular cuántos pasteles venden 8 estudiantes en 4 horas:
- Ahora, multiplicamos la tasa de venta por el número de estudiantes y por el tiempo:
\[
\text{Pasteles vendidos} = 8 \text{ estudiantes} \times 4 \text{ horas} \times 4 \text{ pasteles por estudiante por hora} = 8 \times 4 \times 4 = 128 \text{ pasteles}
\]
Por lo tanto, 8 estudiantes podrán vender 128 pasteles en 4 horas.
Ejercicio 16:Un granjero tiene un terreno rectangular donde cultiva tomates. Si el largo del terreno es de \( 30 \, \text{m} \) y el ancho es de \( 20 \, \text{m} \), ¿cuántos metros de valla necesita para cercar todo el terreno? Si el granjero quiere dividir su terreno en 3 parcelas de igual tamaño, ¿cuál será el área de cada parcela? Calcula también la cantidad de tomates que podrá cultivar en cada parcela si sabe que puede cultivar \( 50 \, \text{kg} \) de tomates por metro cuadrado.
Solución: Respuesta:
1. Cantidad de valla necesaria: \( 100 \, \text{m} \)
2. Área de cada parcela: \( 200 \, \text{m}^2 \)
3. Cantidad de tomates por parcela: \( 10{,}000 \, \text{kg} \)
---
Explicación:
1. Cantidad de valla necesaria: Para calcular la cantidad de valla necesaria, se debe calcular el perímetro del terreno rectangular. El perímetro \( P \) se calcula con la fórmula:
\[
P = 2 \cdot (\text{largo} + \text{ancho}) = 2 \cdot (30 \, \text{m} + 20 \, \text{m}) = 2 \cdot 50 \, \text{m} = 100 \, \text{m}
\]
2. Área de cada parcela: El área total del terreno se calcula multiplicando el largo por el ancho:
\[
\text{Área total} = \text{largo} \cdot \text{ancho} = 30 \, \text{m} \cdot 20 \, \text{m} = 600 \, \text{m}^2
\]
Si el granjero divide su terreno en 3 parcelas de igual tamaño, el área de cada parcela es:
\[
\text{Área de cada parcela} = \frac{\text{Área total}}{3} = \frac{600 \, \text{m}^2}{3} = 200 \, \text{m}^2
\]
3. Cantidad de tomates por parcela: Sabiendo que puede cultivar \( 50 \, \text{kg} \) de tomates por metro cuadrado, la cantidad de tomates que podrá cultivar en cada parcela es:
\[
\text{Tomates por parcela} = \text{Área de cada parcela} \cdot 50 \, \text{kg/m}^2 = 200 \, \text{m}^2 \cdot 50 \, \text{kg/m}^2 = 10{,}000 \, \text{kg}
\]
Ejercicio 17:Un fabricante produce dos tipos de cajas: cajas grandes y cajas pequeñas. La relación entre el número de cajas grandes \( G \) y el número de cajas pequeñas \( P \) es de proporcionalidad inversa. Si el fabricante produce 12 cajas grandes, puede producir 48 cajas pequeñas. Si decide producir 8 cajas grandes, ¿cuántas cajas pequeñas podrá fabricar? Justifica tu respuesta y expresa la relación entre \( G \) y \( P \) utilizando la fórmula de proporcionalidad inversa.
Solución: Respuesta: 24
Para resolver el ejercicio, primero debemos expresar la relación de proporcionalidad inversa entre el número de cajas grandes \( G \) y el número de cajas pequeñas \( P \). La relación se puede expresar como:
\[
G \cdot P = k
\]
donde \( k \) es una constante.
Sabemos que cuando el fabricante produce 12 cajas grandes, puede producir 48 cajas pequeñas. Por lo tanto, podemos calcular \( k \):
\[
12 \cdot 48 = k \implies k = 576
\]
Ahora, si el fabricante decide producir 8 cajas grandes, podemos encontrar cuántas cajas pequeñas podrá fabricar al sustituir \( G \) en la fórmula:
\[
8 \cdot P = 576
\]
Resolviendo para \( P \):
\[
P = \frac{576}{8} = 72
\]
Por lo tanto, podrá fabricar 72 cajas pequeñas.
Ejercicio 18:Un fabricante de camisetas tiene dos tipos de telas: Tela A y Tela B. Si el fabricante utiliza 5 metros de Tela A, puede producir 20 camisetas. Por otro lado, si utiliza 8 metros de Tela B, puede producir 32 camisetas.
1. ¿Cuál es la relación de proporcionalidad directa entre los metros de Tela A utilizados y el número de camisetas producidas?
2. Si el fabricante decide usar exclusivamente Tela A, ¿cuántas camisetas podrá producir utilizando 15 metros de tela?
3. Si decide usar exclusivamente Tela B, ¿cuántas camisetas podrá producir con 12 metros de tela?
Resuelve los problemas y explica tu razonamiento.
Solución: Respuesta:
1. La relación de proporcionalidad directa entre los metros de Tela A utilizados y el número de camisetas producidas es de 4 camisetas por cada metro de tela utilizada. Esto se obtiene dividiendo el número de camisetas (20) por los metros de tela (5):
\[
\frac{20 \text{ camisetas}}{5 \text{ metros}} = 4 \text{ camisetas por metro}
\]
2. Si el fabricante decide usar exclusivamente Tela A, con 15 metros de tela podrá producir 60 camisetas. Esto se calcula multiplicando los 15 metros por la tasa de producción de 4 camisetas por metro:
\[
15 \text{ metros} \times 4 \text{ camisetas por metro} = 60 \text{ camisetas}
\]
3. Si decide usar exclusivamente Tela B, con 12 metros de tela podrá producir 48 camisetas. Esto se obtiene usando la relación de proporcionalidad directa de Tela B, que es de 4 camisetas por cada 1 metro de tela (dado que 32 camisetas se producen con 8 metros, lo que implica 4 camisetas por metro). Por lo tanto:
\[
12 \text{ metros} \times 4 \text{ camisetas por metro} = 48 \text{ camisetas}
\]
► Breve explicación:
En este ejercicio, se utilizan relaciones de proporcionalidad directa para determinar cuántas camisetas se pueden producir a partir de diferentes cantidades de tela. Al establecer la tasa de producción por metro de tela, podemos resolver los problemas de manera directa.
Ejercicio 19:Un fabricante de camisetas tiene dos tipos de tela: la tela A y la tela B. La tela A cuesta 12 euros por metro y la tela B cuesta 8 euros por metro. Si se quiere confeccionar camisetas de tal forma que el costo total de la tela sea de 240 euros, determina cuántos metros de cada tipo de tela se pueden comprar, sabiendo que la cantidad de tela A comprada debe ser el doble de la cantidad de tela B.
Plantea un sistema de ecuaciones y resuélvelo. Además, calcula el número total de camisetas que se pueden confeccionar si cada camiseta requiere 0.5 metros de tela A y 0.75 metros de tela B.
Solución: Respuesta: Se pueden comprar 10 metros de tela A y 5 metros de tela B.
Para resolver el problema, planteamos las siguientes variables:
- \( x \): cantidad de tela A (en metros)
- \( y \): cantidad de tela B (en metros)
Según el enunciado, tenemos las siguientes ecuaciones:
1. Ecuación de costos:
\[
12x + 8y = 240
\]
2. Relación entre las telas:
\[
x = 2y
\]
Sustituyendo la segunda ecuación en la primera:
\[
12(2y) + 8y = 240
\]
Esto simplifica a:
\[
24y + 8y = 240
\]
\[
32y = 240
\]
\[
y = \frac{240}{32} = 7.5
\]
Ahora sustituimos el valor de \( y \) en la ecuación \( x = 2y \):
\[
x = 2(7.5) = 15
\]
Por lo tanto, tenemos:
- Tela A: 15 metros
- Tela B: 7.5 metros
Sin embargo, parece que hemos cometido un error en la interpretación de la pregunta. Vamos a revisar y ajustar los cálculos.
Dado que la cantidad de tela A debe ser el doble de la cantidad de tela B, vamos a reescribir \( y \) en términos de \( x \):
\[
y = \frac{x}{2}
\]
Sustituyendo este valor de \( y \) en la ecuación de costos:
\[
12x + 8\left(\frac{x}{2}\right) = 240
\]
Simplificando:
\[
12x + 4x = 240
\]
\[
16x = 240
\]
\[
x = 15
\]
Sustituyendo \( x \) para encontrar \( y \):
\[
y = \frac{15}{2} = 7.5
\]
Por lo tanto, el resultado correcto es:
- Tela A: 15 metros
- Tela B: 7.5 metros
Ahora, para calcular el número total de camisetas que se pueden confeccionar:
Cada camiseta requiere 0.5 metros de tela A y 0.75 metros de tela B.
Calculamos cuántas camisetas se pueden confeccionar con cada tipo de tela:
\[
\text{Camisetas con tela A} = \frac{15}{0.5} = 30
\]
\[
\text{Camisetas con tela B} = \frac{7.5}{0.75} = 10
\]
El número total de camisetas que se pueden confeccionar está limitado por la tela B, que permite confeccionar 10 camisetas.
Por lo tanto, la respuesta final es:
Respuesta: Se pueden confeccionar 10 camisetas.
Ejercicio 20:Un fabricante de camisetas produce 120 camisetas en 3 horas. Si el fabricante decide aumentar su producción y ahora desea hacer 200 camisetas, ¿cuántas horas necesitará para completar la nueva producción manteniendo la misma tasa de trabajo? Además, si en vez de 3 horas, el fabricante decide trabajar 5 horas, ¿cuántas camisetas podrá producir en ese tiempo? Utiliza la proporcionalidad directa para resolver el problema y presenta tus respuestas.
Solución: Respuesta:
1. Para producir 200 camisetas, el fabricante necesitará 5 horas.
2. Si trabaja 5 horas, podrá producir 200 camisetas.
Explicación:
1. Cálculo del tiempo para 200 camisetas:
Sabemos que el fabricante produce 120 camisetas en 3 horas. Primero, encontramos la tasa de producción por hora:
\[
\text{Tasa de producción} = \frac{120 \text{ camisetas}}{3 \text{ horas}} = 40 \text{ camisetas/hora}
\]
Ahora, determinamos cuántas horas se necesitan para producir 200 camisetas:
\[
\text{Horas necesarias} = \frac{200 \text{ camisetas}}{40 \text{ camisetas/hora}} = 5 \text{ horas}
\]
2. Cálculo de producción en 5 horas:
Si el fabricante trabaja 5 horas, podemos encontrar cuántas camisetas producirá en ese tiempo:
\[
\text{Camisetas producidas} = 5 \text{ horas} \times 40 \text{ camisetas/hora} = 200 \text{ camisetas}
\]
Por lo tanto, las respuestas son correctas y reflejan la aplicación de la proporcionalidad directa.
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En esta sección, te ofrecemos un breve resumen del temario de Proporcionalidad Directa e Inversa que has estudiado en 2º ESO, para que puedas resolver cualquier duda que surja al realizar los ejercicios.
Temario
Definición de Proporcionalidad
Proporcionalidad Directa
Proporcionalidad Inversa
Representación Gráfica
Aplicaciones en Problemas Reales
Resolución de Ecuaciones Proporcionales
Recordatorio de Teoría
La Proporcionalidad Directa se establece cuando dos magnitudes aumentan o disminuyen al mismo tiempo. Esto significa que si una cantidad se duplica, la otra también lo hará. La relación se puede expresar mediante la fórmula:
y = kx, donde k es la constante de proporcionalidad.
Por otro lado, la Proporcionalidad Inversa ocurre cuando una magnitud aumenta mientras que la otra disminuye. En este caso, el producto de ambas magnitudes se mantiene constante. La relación se puede expresar como:
xy = k, donde k es también la constante de proporcionalidad.
Recuerda que en la representación gráfica, la Proporcionalidad Directa se presenta como una línea recta que pasa por el origen, mientras que la Proporcionalidad Inversa muestra una curva hiperbólica.
Para resolver ejercicios, es fundamental identificar correctamente si la situación planteada es de proporcionalidad directa o inversa, y aplicar las fórmulas adecuadas. No olvides que las unidades de medida son esenciales para obtener resultados correctos.
Si tienes alguna duda, no dudes en consultar el temario o preguntar a tu profesor. ¡Sigue practicando y mejorando tus habilidades en matemáticas!
