Ejercicios y Problemas de Teorema de Pitágoras 2º ESO
El Teorema de Pitágoras es uno de los principios fundamentales de la geometría que permite relacionar los lados de un triángulo rectángulo. Este teorema establece que en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los otros dos lados. Comprender y aplicar este teorema es esencial para resolver una amplia variedad de problemas matemáticos y prácticos, por lo que aquí te ofrecemos una completa guía para aprenderlo de manera efectiva.
Ejercicios y Problemas Resueltos
En esta sección encontrarás ejercicios y problemas resueltos relacionados con el Teorema de Pitágoras. Estos ejemplos están diseñados para ayudarte a consolidar tus conocimientos y mejorar tu habilidad para aplicar el teorema en diferentes situaciones. A continuación, se presentan varios problemas junto con sus respectivas soluciones para que puedas aprender de manera práctica.
Ejercicio 1:Un triángulo rectángulo tiene una hipotenusa de 10 cm y uno de sus catetos mide 6 cm. Calcula la longitud del otro cateto y determina si el triángulo es isósceles o escaleno. Justifica tu respuesta.
Solución: Respuesta: El otro cateto mide 8 cm. El triángulo es escaleno.
Explicación: Para encontrar la longitud del otro cateto, utilizamos el Teorema de Pitágoras, que establece que en un triángulo rectángulo se cumple la relación \( a^2 + b^2 = c^2 \), donde \( c \) es la hipotenusa y \( a \) y \( b \) son los catetos.
Dado:
- Hipotenusa \( c = 10 \) cm
- Un cateto \( a = 6 \) cm
- Buscamos el otro cateto \( b \).
Aplicamos el teorema:
\[
a^2 + b^2 = c^2
\]
Sustituyendo los valores:
\[
6^2 + b^2 = 10^2
\]
\[
36 + b^2 = 100
\]
Restamos 36 de ambos lados:
\[
b^2 = 100 - 36
\]
\[
b^2 = 64
\]
Ahora, sacamos la raíz cuadrada:
\[
b = \sqrt{64} = 8 \text{ cm}
\]
Por lo tanto, el otro cateto mide 8 cm.
Para determinar si el triángulo es isósceles o escaleno, observamos las longitudes de los lados:
- Cateto 1: 6 cm
- Cateto 2: 8 cm
- Hipotenusa: 10 cm
Como todos los lados son de diferente longitud, el triángulo es escaleno.
Ejercicio 2:Un triángulo rectángulo tiene un cateto que mide 6 cm y otro cateto que mide 8 cm. Calcula la longitud de la hipotenusa utilizando el Teorema de Pitágoras. Además, determina si este triángulo es un triángulo rectángulo isósceles.
Solución: Respuesta: La longitud de la hipotenusa es \( 10 \, \text{cm} \).
Para calcular la longitud de la hipotenusa \( c \) de un triángulo rectángulo, utilizamos el Teorema de Pitágoras, que establece que \( c^2 = a^2 + b^2 \), donde \( a \) y \( b \) son las longitudes de los catetos. En este caso, tenemos:
\[
c^2 = 6^2 + 8^2
\]
\[
c^2 = 36 + 64
\]
\[
c^2 = 100
\]
\[
c = \sqrt{100} = 10 \, \text{cm}
\]
Ahora, para determinar si este triángulo es isósceles, debemos verificar si dos de sus lados son de la misma longitud. En este caso, los catetos miden 6 cm y 8 cm, que son diferentes. Por lo tanto, el triángulo no es isósceles.
Ejercicio 3:Un triángulo rectángulo tiene un cateto que mide 6 cm y otro cateto que mide 8 cm. Calcula la longitud de la hipotenusa utilizando el Teorema de Pitágoras. ¿Cuál es el área del triángulo?
Solución: Respuesta: La longitud de la hipotenusa es \(10 \, \text{cm}\) y el área del triángulo es \(24 \, \text{cm}^2\).
Explicación:
Para calcular la longitud de la hipotenusa (\(c\)) en un triángulo rectángulo, utilizamos el Teorema de Pitágoras, que establece que:
\[
c^2 = a^2 + b^2
\]
donde \(a\) y \(b\) son los catetos. En este caso, \(a = 6 \, \text{cm}\) y \(b = 8 \, \text{cm}\).
Sustituyendo los valores, tenemos:
\[
c^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100
\]
Por lo tanto:
\[
c = \sqrt{100} = 10 \, \text{cm}
\]
Para calcular el área (\(A\)) del triángulo, usamos la fórmula:
\[
A = \frac{1}{2} \times a \times b
\]
Sustituyendo los valores:
\[
A = \frac{1}{2} \times 6 \times 8 = \frac{48}{2} = 24 \, \text{cm}^2
\]
Ejercicio 4:Un triángulo rectángulo tiene un cateto que mide 6 cm y otro cateto que mide 8 cm. ¿Cuál es la longitud de la hipotenusa? Utiliza el Teorema de Pitágoras para resolver el problema.
Solución: Respuesta: 10 cm
Para encontrar la longitud de la hipotenusa en un triángulo rectángulo, utilizamos el Teorema de Pitágoras, que establece que:
\[
c^2 = a^2 + b^2
\]
donde \(c\) es la hipotenusa, y \(a\) y \(b\) son los catetos. En este caso, tenemos:
- \(a = 6 \, \text{cm}\)
- \(b = 8 \, \text{cm}\)
Sustituyendo los valores en la fórmula:
\[
c^2 = 6^2 + 8^2
\]
\[
c^2 = 36 + 64
\]
\[
c^2 = 100
\]
Ahora, sacamos la raíz cuadrada de ambos lados:
\[
c = \sqrt{100} = 10 \, \text{cm}
\]
Por lo tanto, la longitud de la hipotenusa es de 10 cm.
Ejercicio 5:Un triángulo rectángulo tiene un cateto que mide 6 cm y otro cateto que mide 8 cm. ¿Cuál es la longitud de la hipotenusa? Utiliza el Teorema de Pitágoras para resolver el problema y proporciona la respuesta con dos decimales.
Solución: Respuesta: 10.00 cm
Para calcular la longitud de la hipotenusa \( c \) en un triángulo rectángulo, utilizamos el Teorema de Pitágoras, que establece que \( a^2 + b^2 = c^2 \), donde \( a \) y \( b \) son las longitudes de los catetos. En este caso, tenemos:
- \( a = 6 \, \text{cm} \)
- \( b = 8 \, \text{cm} \)
Sustituyendo los valores en la fórmula:
\[
c^2 = 6^2 + 8^2
\]
\[
c^2 = 36 + 64
\]
\[
c^2 = 100
\]
Ahora, tomamos la raíz cuadrada de ambos lados para encontrar \( c \):
\[
c = \sqrt{100} = 10 \, \text{cm}
\]
Por lo tanto, la longitud de la hipotenusa es 10.00 cm.
Ejercicio 6:Un triángulo rectángulo tiene un cateto que mide 6 cm y otro cateto que mide 8 cm. ¿Cuál es la longitud de la hipotenusa? Utiliza el Teorema de Pitágoras para resolver el problema y expresa tu respuesta en centímetros.
Solución: Respuesta: 10 cm
Para encontrar la longitud de la hipotenusa en un triángulo rectángulo, utilizamos el Teorema de Pitágoras, que establece que en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa (c) es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (a y b). La fórmula es:
\[
c^2 = a^2 + b^2
\]
En este caso, los catetos miden 6 cm y 8 cm, por lo que sustituyendo en la fórmula tenemos:
\[
c^2 = 6^2 + 8^2
\]
\[
c^2 = 36 + 64
\]
\[
c^2 = 100
\]
Ahora, para encontrar la hipotenusa (c), tomamos la raíz cuadrada de 100:
\[
c = \sqrt{100} = 10 \text{ cm}
\]
Por lo tanto, la longitud de la hipotenusa es 10 cm.
Ejercicio 7:Un triángulo rectángulo tiene un cateto que mide 3 cm y otro que mide 4 cm. ¿Cuál es la longitud de la hipotenusa? Utiliza el Teorema de Pitágoras para resolverlo.
Solución: Respuesta: La longitud de la hipotenusa es 5 cm.
Para encontrar la longitud de la hipotenusa \( c \) en un triángulo rectángulo, utilizamos el Teorema de Pitágoras, que establece que \( a^2 + b^2 = c^2 \), donde \( a \) y \( b \) son los catetos.
En este caso, los catetos miden 3 cm y 4 cm. Entonces:
\[
c^2 = 3^2 + 4^2
\]
Calculamos:
\[
c^2 = 9 + 16 = 25
\]
Por tanto, para encontrar \( c \):
\[
c = \sqrt{25} = 5 \text{ cm}
\]
Así, la hipotenusa mide 5 cm.
Ejercicio 8:Un triángulo rectángulo tiene un cateto que mide 3 cm y otro que mide 4 cm. ¿Cuál es la longitud de la hipotenusa? Utiliza el Teorema de Pitágoras para resolver el problema.
Solución: Respuesta: 5 cm
Para calcular la longitud de la hipotenusa \( c \) de un triángulo rectángulo, utilizamos el Teorema de Pitágoras, que establece que:
\[
c^2 = a^2 + b^2
\]
donde \( a \) y \( b \) son las longitudes de los catetos. En este caso, tenemos:
- \( a = 3 \, \text{cm} \)
- \( b = 4 \, \text{cm} \)
Sustituyendo los valores en la fórmula:
\[
c^2 = 3^2 + 4^2
\]
\[
c^2 = 9 + 16
\]
\[
c^2 = 25
\]
Ahora, para encontrar \( c \), tomamos la raíz cuadrada de ambos lados:
\[
c = \sqrt{25} = 5 \, \text{cm}
\]
Por lo tanto, la longitud de la hipotenusa es 5 cm.
Ejercicio 9:Un triángulo rectángulo tiene un cateto que mide 3 cm y otro cateto que mide 4 cm. ¿Cuál es la longitud de la hipotenusa? Utiliza el Teorema de Pitágoras para resolverlo.
Solución: Respuesta: 5 cm
Para encontrar la longitud de la hipotenusa \( c \) en un triángulo rectángulo, utilizamos el Teorema de Pitágoras, que establece que:
\[
c^2 = a^2 + b^2
\]
donde \( a \) y \( b \) son las longitudes de los catetos. En este caso, \( a = 3 \, \text{cm} \) y \( b = 4 \, \text{cm} \).
Sustituyendo los valores:
\[
c^2 = 3^2 + 4^2
\]
\[
c^2 = 9 + 16
\]
\[
c^2 = 25
\]
Al tomar la raíz cuadrada de ambos lados, obtenemos:
\[
c = \sqrt{25} = 5 \, \text{cm}
\]
Por lo tanto, la longitud de la hipotenusa es de 5 cm.
Ejercicio 10:Un triángulo rectángulo tiene un cateto que mide 3 cm y otro cateto que mide 4 cm. ¿Cuál es la longitud de la hipotenusa? Utiliza el Teorema de Pitágoras para resolver el problema.
Solución: Respuesta: La longitud de la hipotenusa es 5 cm.
Para encontrar la longitud de la hipotenusa en un triángulo rectángulo, utilizamos el Teorema de Pitágoras, que establece que:
\[
c^2 = a^2 + b^2
\]
donde \(c\) es la hipotenusa y \(a\) y \(b\) son los catetos. En este caso, uno de los catetos mide 3 cm y el otro 4 cm. Sustituyendo los valores:
\[
c^2 = 3^2 + 4^2
\]
\[
c^2 = 9 + 16
\]
\[
c^2 = 25
\]
Ahora, para encontrar \(c\), tomamos la raíz cuadrada de ambos lados:
\[
c = \sqrt{25} = 5
\]
Por lo tanto, la longitud de la hipotenusa es 5 cm.
Ejercicio 11:Un triángulo rectángulo tiene un cateto que mide 3 cm y otro cateto que mide 4 cm. ¿Cuál es la longitud de la hipotenusa del triángulo? Utiliza el Teorema de Pitágoras para resolver el problema.
Solución: Respuesta: \( 5 \, \text{cm} \)
Para encontrar la longitud de la hipotenusa (\(c\)) de un triángulo rectángulo, utilizamos el Teorema de Pitágoras, que establece que:
\[
c^2 = a^2 + b^2
\]
donde \(a\) y \(b\) son las longitudes de los catetos. En este caso, \(a = 3 \, \text{cm}\) y \(b = 4 \, \text{cm}\). Sustituyendo los valores:
\[
c^2 = 3^2 + 4^2
\]
\[
c^2 = 9 + 16
\]
\[
c^2 = 25
\]
Ahora, tomando la raíz cuadrada de ambos lados:
\[
c = \sqrt{25} = 5 \, \text{cm}
\]
Por lo tanto, la longitud de la hipotenusa es \(5 \, \text{cm}\).
Ejercicio 12:Un triángulo rectángulo tiene un cateto que mide \(a\) cm y otro cateto que mide \(b\) cm. Si el perímetro del triángulo es de 60 cm y la relación entre los catetos es \(a = 2b\), ¿cuál es la longitud de la hipotenusa \(c\) del triángulo? Utiliza el Teorema de Pitágoras para resolver el problema.
Solución: Respuesta: La longitud de la hipotenusa \(c\) del triángulo es \( \sqrt{(40)^2 + (20)^2} = \sqrt{1600 + 400} = \sqrt{2000} \approx 44.72 \, \text{cm} \).
---
Explicación:
1. Relación entre los catetos: Dado que \(a = 2b\), podemos expresar \(a\) en términos de \(b\).
2. Perímetro del triángulo: La fórmula del perímetro \(P\) de un triángulo rectángulo es \(P = a + b + c\). En este caso, tenemos:
\[
60 = a + b + c
\]
Reemplazando \(a\) por \(2b\):
\[
60 = 2b + b + c \implies 60 = 3b + c \implies c = 60 - 3b
\]
3. Aplicando el Teorema de Pitágoras: Sabemos que \(c^2 = a^2 + b^2\). Sustituyendo \(a\):
\[
c^2 = (2b)^2 + b^2 = 4b^2 + b^2 = 5b^2
\]
4. Sustituyendo \(c\) en la ecuación de Pitágoras:
\[
(60 - 3b)^2 = 5b^2
\]
Expandiendo:
\[
3600 - 360b + 9b^2 = 5b^2 \implies 4b^2 - 360b + 3600 = 0
\]
5. Resolviendo la ecuación cuadrática:
Utilizamos la fórmula cuadrática \(b = \frac{-B \pm \sqrt{B^2 - 4AC}}{2A}\) donde \(A = 4\), \(B = -360\), y \(C = 3600\):
\[
b = \frac{360 \pm \sqrt{(-360)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3600}}{2 \cdot 4}
\]
\[
b = \frac{360 \pm \sqrt{129600 - 57600}}{8} = \frac{360 \pm \sqrt{72000}}{8} = \frac{360 \pm 120 \sqrt{5}}{8}
\]
Simplificamos:
\[
b = 45 \pm 15\sqrt{5}
\]
6. Obteniendo \(a\) y \(c\):
Usando \(b\) en la relación \(a = 2b\) y sustituyendo en \(c = 60 - 3b\):
\[
c \approx \sqrt{(40)^2 + (20)^2} = \sqrt{1600 + 400} = \sqrt{2000} \approx 44.72 \, \text{cm}.
\]
Por lo tanto, la longitud de la hipotenusa \(c\) es aproximadamente \(44.72 \, \text{cm}\).
Ejercicio 13:Un triángulo rectángulo tiene un cateto que mide \(8\) cm y la hipotenusa mide \(10\) cm. Calcula la longitud del otro cateto y verifica si el triángulo cumple con el Teorema de Pitágoras. Luego, determina el área del triángulo y la longitud de la altura correspondiente al cateto de \(8\) cm.
Solución: Respuesta: La longitud del otro cateto es \(6\) cm. El área del triángulo es \(24\) cm² y la altura correspondiente al cateto de \(8\) cm es \(6\) cm.
Explicación:
1. Cálculo del otro cateto:
Usando el Teorema de Pitágoras, que establece que en un triángulo rectángulo se cumple la relación:
\[
a^2 + b^2 = c^2
\]
donde \(c\) es la hipotenusa, \(a\) y \(b\) son los catetos. En este caso, tenemos:
- Un cateto \(a = 8\) cm
- Hipotenusa \(c = 10\) cm
- Buscamos el otro cateto \(b\).
Sustituyendo en la fórmula:
\[
8^2 + b^2 = 10^2
\]
\[
64 + b^2 = 100
\]
\[
b^2 = 100 - 64
\]
\[
b^2 = 36
\]
\[
b = \sqrt{36} = 6 \text{ cm}
\]
2. Verificación del Teorema de Pitágoras:
Comprobamos:
\[
8^2 + 6^2 = 10^2
\]
\[
64 + 36 = 100
\]
\[
100 = 100 \quad \text{(verdadero)}
\]
El triángulo cumple con el Teorema de Pitágoras.
3. Cálculo del área del triángulo:
El área \(A\) de un triángulo rectángulo se calcula como:
\[
A = \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{altura}
\]
Usando \(8\) cm como base y \(6\) cm como altura:
\[
A = \frac{1}{2} \times 8 \times 6 = 24 \text{ cm}^2
\]
4. Cálculo de la altura correspondiente al cateto de \(8\) cm:
La altura desde el vértice opuesto al cateto de \(8\) cm es igual a la longitud del otro cateto, que es \(6\) cm.
Por lo tanto, la longitud del otro cateto es \(6\) cm, el área del triángulo es \(24\) cm² y la altura correspondiente al cateto de \(8\) cm es \(6\) cm.
Ejercicio 14:Un triángulo rectángulo tiene un cateto que mide \(8 \, \text{cm}\) y la hipotenusa mide \(10 \, \text{cm}\). Calcula la longitud del otro cateto. Luego, si se aumenta la longitud de ambos catetos en \(2 \, \text{cm}\), determina si el nuevo triángulo sigue siendo rectángulo y justifica tu respuesta utilizando el Teorema de Pitágoras.
Solución: Respuesta: La longitud del otro cateto es \(6 \, \text{cm}\) y el nuevo triángulo no es rectángulo.
Explicación:
Primero, aplicamos el Teorema de Pitágoras para encontrar la longitud del otro cateto. Según el teorema:
\[
c^2 = a^2 + b^2
\]
donde \(c\) es la hipotenusa y \(a\) y \(b\) son los catetos. En este caso, tenemos:
\[
10^2 = 8^2 + b^2
\]
Calculamos:
\[
100 = 64 + b^2
\]
Restamos \(64\) de ambos lados:
\[
b^2 = 100 - 64 = 36
\]
Tomamos la raíz cuadrada:
\[
b = \sqrt{36} = 6 \, \text{cm}
\]
Por lo tanto, la longitud del otro cateto es \(6 \, \text{cm}\).
Ahora, si aumentamos la longitud de ambos catetos en \(2 \, \text{cm}\), los nuevos catetos serán:
\[
8 + 2 = 10 \, \text{cm} \quad \text{y} \quad 6 + 2 = 8 \, \text{cm}
\]
La nueva hipotenusa, que llamaremos \(c'\), se puede calcular usando el Teorema de Pitágoras:
\[
c'^2 = 10^2 + 8^2
\]
Calculamos:
\[
c'^2 = 100 + 64 = 164
\]
Por lo tanto, la nueva hipotenusa es:
\[
c' = \sqrt{164} \approx 12.81 \, \text{cm}
\]
Para verificar si el nuevo triángulo sigue siendo rectángulo, comprobamos si se cumple la relación del Teorema de Pitágoras:
\[
c'^2 \stackrel{?}{=} (10 \, \text{cm})^2 + (8 \, \text{cm})^2
\]
Ya hemos encontrado que \(c'^2 = 164\) y \(10^2 + 8^2 = 164\).
Sin embargo, el nuevo triángulo es rectángulo pero no tiene la hipotenusa original de \(10 \, \text{cm}\). Por lo tanto, podemos concluir que el nuevo triángulo mantiene la propiedad de ser rectángulo, pero sus dimensiones han cambiado.
Así que, aunque ambos catetos aumentaron y el triángulo sigue siendo un triángulo rectángulo, la hipotenusa no se mantiene en la misma medida.
Ejercicio 15:Un triángulo rectángulo tiene un cateto que mide \(8 \, \text{cm}\) y la hipotenusa mide \(10 \, \text{cm}\). Calcula la longitud del otro cateto. Después, determina si este triángulo puede ser inscrito en un círculo de radio \(5 \, \text{cm}\) y justifica tu respuesta.
Solución: Respuesta: La longitud del otro cateto es \(6 \, \text{cm}\). El triángulo puede ser inscrito en un círculo de radio \(5 \, \text{cm}\).
Para calcular la longitud del otro cateto (\(b\)), utilizamos el Teorema de Pitágoras, que establece que en un triángulo rectángulo se cumple:
\[
a^2 + b^2 = c^2
\]
donde \(a\) y \(b\) son los catetos y \(c\) es la hipotenusa. En este caso, tenemos:
- \(a = 8 \, \text{cm}\)
- \(c = 10 \, \text{cm}\)
Sustituyendo en la fórmula:
\[
8^2 + b^2 = 10^2
\]
\[
64 + b^2 = 100
\]
\[
b^2 = 100 - 64
\]
\[
b^2 = 36
\]
\[
b = \sqrt{36} = 6 \, \text{cm}
\]
Ahora, para determinar si el triángulo puede ser inscrito en un círculo de radio \(5 \, \text{cm}\), recordamos que el radio del círculo circunscrito de un triángulo rectángulo es igual a la mitad de la hipotenusa:
\[
R = \frac{c}{2} = \frac{10}{2} = 5 \, \text{cm}
\]
Dado que el radio del círculo circunscrito es \(5 \, \text{cm}\), el triángulo puede ser inscrito en un círculo de ese radio.
Ejercicio 16:Un triángulo rectángulo tiene un cateto que mide \(8 \, \text{cm}\) y la hipotenusa mide \(10 \, \text{cm}\). Calcula la longitud del otro cateto. Después, determina si este triángulo es un triángulo especial (isósceles o escaleno) y justifica tu respuesta.
Solución: Respuesta: \(6 \, \text{cm}\)
Para encontrar la longitud del otro cateto en un triángulo rectángulo, podemos aplicar el Teorema de Pitágoras, que establece que:
\[
c^2 = a^2 + b^2
\]
donde \(c\) es la hipotenusa y \(a\) y \(b\) son los catetos. En este caso, sabemos que uno de los catetos mide \(8 \, \text{cm}\) y la hipotenusa mide \(10 \, \text{cm}\). Sustituyendo los valores:
\[
10^2 = 8^2 + b^2
\]
Esto se simplifica a:
\[
100 = 64 + b^2
\]
Restamos \(64\) de ambos lados:
\[
100 - 64 = b^2
\]
\[
36 = b^2
\]
Tomamos la raíz cuadrada de ambos lados:
\[
b = 6 \, \text{cm}
\]
Por lo tanto, el otro cateto mide \(6 \, \text{cm}\).
Ahora, para determinar si el triángulo es especial, observamos que los lados son \(8 \, \text{cm}\), \(6 \, \text{cm}\) y \(10 \, \text{cm}\). Como los tres lados son de diferentes longitudes, podemos concluir que el triángulo es escaleno, ya que un triángulo escaleno tiene todos sus lados de diferente longitud.
Ejercicio 17:Un triángulo rectángulo tiene un cateto que mide \(8 \, \text{cm}\) y la hipotenusa mide \(10 \, \text{cm}\). Calcula la longitud del otro cateto. Además, si se construye un cuadrado sobre el cateto de \(8 \, \text{cm}\) y otro cuadrado sobre el cateto que has calculado, ¿cuál es la relación entre las áreas de ambos cuadrados?
Solución: Respuesta: La longitud del otro cateto es \(6 \, \text{cm}\). La relación entre las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos es \( \frac{36}{64} = \frac{9}{16} \).
Explicación: Para encontrar la longitud del otro cateto, utilizamos el Teorema de Pitágoras, que establece que en un triángulo rectángulo se cumple la relación:
\[
c^2 = a^2 + b^2
\]
Donde \(c\) es la hipotenusa y \(a\) y \(b\) son los catetos. En este caso, tenemos:
\[
10^2 = 8^2 + b^2
\]
\[
100 = 64 + b^2
\]
\[
b^2 = 100 - 64 = 36
\]
\[
b = \sqrt{36} = 6 \, \text{cm}
\]
Ahora, el área del cuadrado sobre el cateto de \(8 \, \text{cm}\) es \(8^2 = 64 \, \text{cm}^2\) y el área del cuadrado sobre el cateto de \(6 \, \text{cm}\) es \(6^2 = 36 \, \text{cm}^2\). Por lo tanto, la relación entre las áreas es:
\[
\frac{36}{64} = \frac{9}{16}
\]
Ejercicio 18:Un triángulo rectángulo tiene un cateto que mide \(8 \, \text{cm}\) y la hipotenusa mide \(10 \, \text{cm}\). Calcula la longitud del otro cateto. Además, si se añade un triángulo isósceles en el que los dos lados iguales miden la misma longitud que el cateto encontrado, calcula el perímetro del triángulo isósceles resultante.
Solución: Respuesta: \( 6 \, \text{cm} \) (longitud del otro cateto) y el perímetro del triángulo isósceles es \( 18 \, \text{cm} \).
Explicación:
Para encontrar la longitud del otro cateto \( b \) en el triángulo rectángulo, utilizamos el Teorema de Pitágoras, que establece que:
\[
a^2 + b^2 = c^2
\]
donde \( a \) es un cateto, \( b \) es el otro cateto y \( c \) es la hipotenusa. Sustituyendo los valores:
\[
8^2 + b^2 = 10^2
\]
Esto se convierte en:
\[
64 + b^2 = 100
\]
Restamos 64 de ambos lados:
\[
b^2 = 100 - 64 = 36
\]
Tomamos la raíz cuadrada:
\[
b = \sqrt{36} = 6 \, \text{cm}
\]
Ahora, para el triángulo isósceles, los dos lados iguales miden \( 6 \, \text{cm} \). El perímetro \( P \) se calcula como:
\[
P = 2 \cdot \text{lado} + \text{base} = 2 \cdot 6 + 6 = 12 + 6 = 18 \, \text{cm}
\]
Por lo tanto, el perímetro del triángulo isósceles es \( 18 \, \text{cm} \).
Ejercicio 19:Un triángulo rectángulo tiene un cateto que mide \(8 \, \text{cm}\) y la hipotenusa mide \(10 \, \text{cm}\). Calcula la longitud del otro cateto y determina si el triángulo es un triángulo especial (isósceles o equilátero). Justifica tu respuesta utilizando el Teorema de Pitágoras.
Solución: Respuesta: El otro cateto mide \(6 \, \text{cm}\). El triángulo no es un triángulo especial, ya que sus lados son de diferentes longitudes.
Explicación: Para encontrar la longitud del otro cateto en un triángulo rectángulo, podemos aplicar el Teorema de Pitágoras, que establece que en un triángulo rectángulo:
\[
c^2 = a^2 + b^2
\]
donde \(c\) es la hipotenusa y \(a\) y \(b\) son los catetos. En este caso, tenemos:
- Un cateto \(a = 8 \, \text{cm}\)
- La hipotenusa \(c = 10 \, \text{cm}\)
Sustituyendo en la fórmula, tenemos:
\[
10^2 = 8^2 + b^2
\]
\[
100 = 64 + b^2
\]
Restamos \(64\) de ambos lados:
\[
b^2 = 100 - 64
\]
\[
b^2 = 36
\]
Tomamos la raíz cuadrada:
\[
b = \sqrt{36} = 6 \, \text{cm}
\]
Por lo tanto, el otro cateto mide \(6 \, \text{cm}\). Como los lados del triángulo son \(8 \, \text{cm}\), \(6 \, \text{cm}\) y \(10 \, \text{cm}\), y todos son diferentes, podemos concluir que no es un triángulo especial (ni isósceles ni equilátero).
Ejercicio 20:Un triángulo rectángulo tiene un cateto que mide \(7 \, \text{cm}\) y la hipotenusa mide \(25 \, \text{cm}\). Calcula la longitud del otro cateto. Luego, determina si este triángulo es un triángulo rectángulo isósceles. Justifica tu respuesta mostrando todos los pasos del cálculo y los resultados obtenidos.
Solución: Respuesta: La longitud del otro cateto es \(24 \, \text{cm}\). Este triángulo no es un triángulo rectángulo isósceles.
Justificación:
Para encontrar la longitud del otro cateto en un triángulo rectángulo, utilizamos el Teorema de Pitágoras, que establece que en un triángulo rectángulo:
\[
c^2 = a^2 + b^2
\]
donde \(c\) es la hipotenusa y \(a\) y \(b\) son los catetos. En este caso, tenemos:
- Un cateto \(a = 7 \, \text{cm}\)
- La hipotenusa \(c = 25 \, \text{cm}\)
Necesitamos encontrar el otro cateto \(b\). Sustituyendo en la fórmula:
\[
25^2 = 7^2 + b^2
\]
Calculamos \(25^2\) y \(7^2\):
\[
625 = 49 + b^2
\]
Restamos \(49\) de ambos lados:
\[
625 - 49 = b^2
\]
\[
576 = b^2
\]
Ahora, sacamos la raíz cuadrada de ambos lados para encontrar \(b\):
\[
b = \sqrt{576} = 24 \, \text{cm}
\]
Por lo tanto, la longitud del otro cateto es \(24 \, \text{cm}\).
Para determinar si el triángulo es isósceles, comparamos las longitudes de los catetos. Los catetos son \(7 \, \text{cm}\) y \(24 \, \text{cm}\), que son diferentes, por lo que el triángulo no es isósceles.
En conclusión, el triángulo tiene catetos de diferentes longitudes y por lo tanto no es isósceles.
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El Teorema de Pitágoras es un principio fundamental en la geometría que establece una relación entre los lados de un triángulo rectángulo. A continuación, se presenta un resumen de los aspectos clave que debes recordar al realizar los ejercicios correspondientes a este tema:
Temario del Teorema de Pitágoras
Definición del Teorema de Pitágoras
Elementos de un triángulo rectángulo
Aplicaciones del Teorema de Pitágoras
Resolución de problemas prácticos
Ejercicios de aplicación y ejemplos resueltos
Breve Explicación del Teorema
El Teorema de Pitágoras establece que en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa (el lado opuesto al ángulo recto) es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los otros dos lados, conocidos como catetos. Matemáticamente, esto se expresa como:
a² + b² = c²
donde a y b son las longitudes de los catetos y c es la longitud de la hipotenusa.
Factores Claves a Recordar
Triángulo rectángulo: Asegúrate de identificar correctamente el triángulo rectángulo en tus ejercicios.
Hipotenusa y catetos: Recuerda que la hipotenusa es siempre el lado más largo.
Aplicaciones: El Teorema se puede usar para encontrar distancias, alturas y resolver problemas de la vida real.
Ejercicios: Practica con diferentes problemas para afianzar tu comprensión.
Si tienes alguna duda mientras realizas los ejercicios, no dudes en consultar el temario o hablar con tu profesor para obtener ayuda. ¡Buena suerte!
