Ejercicios y Problemas 3º ESO

Solución:
Respuesta: El cociente es \( 2x^2 - 2x + 1 \) y el residuo es \( -3 \). Para resolver el ejercicio utilizando la regla de Ruffini, seguimos estos pasos: 1. Identificamos el polinomio \( P(x) = 2x^3 - 6x^2 + 3x - 5 \) y el divisor \( x - 2 \). Aquí, tomamos \( 2 \) como el valor que vamos a usar en la regla de Ruffini. 2. Escribimos los coeficientes del polinomio: \( 2, -6, 3, -5 \). 3. Realizamos la división siguiendo los pasos de Ruffini: - Bajamos el primer coeficiente: \( 2 \). - Multiplicamos \( 2 \) por \( 2 \) (el número que estamos usando) y sumamos al siguiente coeficiente: \( -6 + 4 = -2 \). - Multiplicamos \( -2 \) por \( 2 \) y sumamos al siguiente coeficiente: \( 3 - 4 = -1 \). - Multiplicamos \( -1 \) por \( 2 \) y sumamos al siguiente coeficiente: \( -5 + 2 = -3 \). 4. Al final, obtenemos el cociente \( 2x^2 - 2x + 1 \) y el residuo \( -3 \). Así que el resultado final de la división es el cociente y el residuo mencionados.

Solución:
Respuesta: Los factores restantes de \( P(x) \) son \( 2x^3 - x^2 + 3x - 6 \). Las raíces del polinomio factorizado son \( x = 1 \) y \( x = 2 \) (con multiplicidad 1), \( x = -3 \) (con multiplicidad 1) y \( x = 1 \) (con multiplicidad 2). Explicación: 1. Aplicamos la regla de Ruffini para dividir el polinomio \( P(x) = 2x^4 - 3x^3 + 5x^2 - 4x + 6 \) entre \( x - 1 \): \[ \begin{array}{r|rrrrr} 1 & 2 & -3 & 5 & -4 & 6 \\ & & 2 & -1 & 4 & 0 \\ \hline & 2 & -1 & 4 & 0 & 6 \\ \end{array} \] El resultado es \( 2x^3 - x^2 + 4x + 6 \) con un residuo de 0. 2. Factorizamos el polinomio: \[ P(x) = (x - 1)(2x^3 - x^2 + 4x + 6) \] 3. Buscamos las raíces del polinomio de grado 3 \( 2x^3 - x^2 + 4x + 6 \) utilizando la regla de Ruffini nuevamente, probando con \( x = 2 \): \[ \begin{array}{r|rrrr} 2 & 2 & -1 & 4 & 6 \\ & & 4 & 6 & 20 \\ \hline & 2 & 3 & 10 & 26 \\ \end{array} \] Su residuo es diferente de 0, por lo que probamos con \( x = -3 \): \[ \begin{array}{r|rrrr} -3 & 2 & -1 & 4 & 6 \\ & & -6 & 21 & -15 \\ \hline & 2 & -7 & 25 & 0 \\ \end{array} \] Por lo tanto, \( x = -3 \) también es una raíz, y se puede factorizar como: \[ 2x^3 - x^2 + 4x + 6 = (x + 3)(2x^2 - 7x + 2) \] 4. Finalmente, resolvemos \( 2x^2 - 7x + 2 = 0 \) usando la fórmula cuadrática: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{7 \pm \sqrt{(-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2}}{2 \cdot 2} = \frac{7 \pm \sqrt{33}}{4} \] Por lo tanto, las raíces del polinomio original son \( x = 1 \), \( x = 2 \), \( x = -3 \), y las raíces de \( 2x^2 - 7x + 2 \) son \( x = \frac{7 + \sqrt{33}}{4} \) y \( x = \frac{7 - \sqrt{33}}{4} \).

Solución:
Respuesta: El cociente es \( 4x^3 + 5x^2 + 12x + 23 \) y el residuo es \( 51 \). Para realizar la división del polinomio \( P(x) = 4x^4 - 3x^3 + 2x^2 - x + 5 \) entre \( x - 2 \) utilizando la regla de Ruffini, seguimos estos pasos: 1. Identificamos los coeficientes del polinomio: \( 4, -3, 2, -1, 5 \). 2. Colocamos el valor \( 2 \) (que es el cero de \( x - 2 \)) en la parte izquierda. 3. Llevamos a cabo el proceso de Ruffini: - Bajamos el primer coeficiente: \( 4 \). - Multiplicamos \( 4 \) por \( 2 \) y sumamos al siguiente coeficiente: \( -3 + 8 = 5 \). - Multiplicamos \( 5 \) por \( 2 \) y sumamos al siguiente coeficiente: \( 2 + 10 = 12 \). - Multiplicamos \( 12 \) por \( 2 \) y sumamos al siguiente coeficiente: \( -1 + 24 = 23 \). - Multiplicamos \( 23 \) por \( 2 \) y sumamos al último coeficiente: \( 5 + 46 = 51 \). 4. Resultados: El cociente es \( 4x^3 + 5x^2 + 12x + 23 \) y el residuo es \( 51 \). Como el residuo no es cero, \( x - 2 \) no es un factor del polinomio \( P(x) \).

Solución:
Respuesta: \( 2x^3 + 1x^2 + 3x + 1 \) con residuo \( 4 \). Explicación: Para realizar la división del polinomio \( P(x) = 2x^4 - 3x^3 + x^2 - 5x + 6 \) entre el binomio \( x - 2 \) utilizando la regla de Ruffini, seguimos los siguientes pasos: 1. Escribimos los coeficientes del polinomio: \( 2, -3, 1, -5, 6 \). 2. Usamos el valor \( 2 \) (que es la raíz del binomio \( x - 2 \)). 3. Aplicamos el procedimiento de la regla de Ruffini para obtener los coeficientes del cociente y el residuo. Al final, obtenemos el polinomio de grado 3 \( 2x^3 + 1x^2 + 3x + 1 \) y un residuo de \( 4 \).

Solución:
Respuesta: Cociente: \( 2x^3 + 1x^2 + 7x + 7 \) Residuo: \( 18 \) Para realizar la división de \( P(x) = 2x^4 - 3x^3 + 5x^2 - 7x + 4 \) entre \( x - 2 \) utilizando la regla de Ruffini, seguimos estos pasos: 1. Identificamos los coeficientes del polinomio: \( 2, -3, 5, -7, 4 \). 2. Colocamos 2 (la raíz que corresponde a \( x - 2 \)) en el lado izquierdo de la tabla de Ruffini. 3. Bajamos el primer coeficiente (2) y lo escribimos en la fila de abajo. 4. Multiplicamos este número por 2 y lo sumamos al siguiente coeficiente (-3). Repetimos este proceso para todos los coeficientes. Al final, obtenemos el cociente y el residuo. El residuo \( 18 \) indica que \( x = 2 \) no es una raíz del polinomio \( P(x) \) porque, para que lo fuera, el residuo tendría que ser 0. Por lo tanto, \( P(2) = 18 \), lo que confirma que \( x = 2 \) no es raíz.

Solución:
Respuesta: El cociente es \( 2x^3 + 1x^2 + 7x + 8 \) y el residuo es \( 20 \). Por lo tanto, \( x = 2 \) no es una raíz del polinomio. Explicación: Para realizar la división de \( P(x) = 2x^4 - 3x^3 + 5x^2 - 6x + 4 \) entre \( x - 2 \) utilizando la regla de Ruffini, seguimos estos pasos: 1. Escribimos los coeficientes del polinomio: \( 2, -3, 5, -6, 4 \). 2. Usamos \( 2 \) (la raíz potencial) y realizamos la operación de Ruffini: - Bajamos el primer coeficiente: \( 2 \). - Multiplicamos por \( 2 \) y sumamos: \( -3 + 4 = 1 \). - Continuamos el proceso hasta obtener el cociente y el residuo: - \( 2 \times 1 = 2 \) y \( 5 + 2 = 7 \). - \( 2 \times 7 = 14 \) y \( -6 + 14 = 8 \). - \( 2 \times 8 = 16 \) y \( 4 + 16 = 20 \). Por lo tanto, el residuo es \( 20 \), lo que indica que \( x = 2 \) no es una raíz del polinomio, ya que el residuo no es cero.

Solución:
Respuesta: \( Q(x) = 2x^3 + 1x^2 + 7x + 10 \), \( R = 21 \), \( \text{Grado de } Q(x) = 3 \). Para realizar la división del polinomio \( P(x) = 2x^4 - 3x^3 + 5x^2 - 4x + 1 \) entre el binomio \( x - 2 \) utilizando la regla de Ruffini, seguimos estos pasos: 1. Identificamos el valor de \( c \): En este caso, \( c = 2 \). 2. Escribimos los coeficientes de \( P(x) \): \( [2, -3, 5, -4, 1] \). 3. Colocamos \( c \) en la parte izquierda y realizamos la división: \[ \begin{array}{r|rrrrr} 2 & 2 & -3 & 5 & -4 & 1 \\ & & 4 & 2 & 14 & 20 \\ \hline & 2 & 1 & 7 & 10 & 21 \\ \end{array} \] 4. Interpretamos los resultados: El cociente \( Q(x) \) es \( 2x^3 + 1x^2 + 7x + 10 \) y el residuo \( R \) es 21. Así, podemos expresar el resultado de la división como: \[ P(x) = (x - 2)(2x^3 + 1x^2 + 7x + 10) + 21 \] Por lo tanto, el residuo \( R \) es 21 y el grado del polinomio \( Q(x) \) es 3.

Solución:
Respuesta: El cociente es \( 2x^2 - 2x + 0 \) y el residuo es \( 0 \). --- Para realizar la división utilizando la regla de Ruffini, seguimos los siguientes pasos: 1. Identificamos los coeficientes del polinomio \( P(x) = 2x^3 - 6x^2 + 4x - 8 \): - Coeficientes: \( 2, -6, 4, -8 \) 2. Tomamos la raíz del binomio \( x - 2 \), que es \( 2 \). 3. Colocamos los coeficientes en una línea y comenzamos el proceso de Ruffini: \[ \begin{array}{r|rrrr} 2 & 2 & -6 & 4 & -8 \\ & & 4 & -4 & 0 \\ \hline & 2 & -2 & 0 & 0 \\ \end{array} \] 4. Calculamos: - Bajamos el primer coeficiente \( 2 \). - Multiplicamos \( 2 \) por \( 2 \) (la raíz) y sumamos al siguiente coeficiente: \( -6 + 4 = -2 \). - Multiplicamos \( -2 \) por \( 2 \) y sumamos al siguiente coeficiente: \( 4 - 4 = 0 \). - Finalmente, multiplicamos \( 0 \) por \( 2 \) y sumamos al último coeficiente: \( -8 + 0 = -8 \) (residuo). El resultado final nos da el cociente \( 2x^2 - 2x + 0 \) y el residuo \( 0 \).

Solución:
Respuesta: El cociente es \( 2x^2 + 1x + 6 \) y el residuo es \( 7 \). Para realizar la división utilizando la regla de Ruffini, seguimos estos pasos: 1. Identificamos el polinomio a dividir \( P(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 5 \) y el valor de \( x \) que hace cero el binomio \( x - 2 \). En este caso, \( x = 2 \). 2. Escribimos los coeficientes del polinomio: \( 2, -3, 4, -5 \). 3. Colocamos el número \( 2 \) a la izquierda y los coeficientes a la derecha: ``` 2 | 2 -3 4 -5 | 4 2 12 ------------------- 2 1 6 7 ``` 4. Bajamos el primer coeficiente \( 2 \) directamente. Multiplicamos \( 2 \) por \( 2 \) y sumamos al siguiente coeficiente: - \( 2 \times 2 = 4 \); \( -3 + 4 = 1 \) - \( 1 \times 2 = 2 \); \( 4 + 2 = 6 \) - \( 6 \times 2 = 12 \); \( -5 + 12 = 7 \) 5. El resultado que obtenemos en la última fila es el cociente \( 2x^2 + 1x + 6 \) y el residuo \( 7 \). Así, la división de \( P(x) \) entre \( x - 2 \) da un cociente de \( 2x^2 + 1x + 6 \) y un residuo de \( 7 \).

Solución:
Respuesta: El cociente es \( 2x^2 + 1x + 6 \) y el residuo es \( 7 \). Para realizar la división de \( P(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 5 \) entre \( x - 2 \) utilizando la regla de Ruffini, seguimos estos pasos: 1. Identificamos el valor de \( c \): En este caso, \( x - 2 = 0 \) implica que \( c = 2 \). 2. Escribimos los coeficientes de \( P(x) \): Los coeficientes son \( 2, -3, 4, -5 \). 3. Aplicamos la regla de Ruffini: \[ \begin{array}{r|rrrr} 2 & 2 & -3 & 4 & -5 \\ & & 4 & 2 & 12 \\ \hline & 2 & 1 & 6 & 7 \\ \end{array} \] - Bajamos el primer coeficiente \( 2 \). - Multiplicamos \( 2 \) por \( 2 \) (el valor de \( c \)) y sumamos al siguiente coeficiente: \( -3 + 4 = 1 \). - Repetimos el proceso: \( 1 \cdot 2 = 2 \), y \( 4 + 2 = 6 \). - Finalmente, \( 6 \cdot 2 = 12 \) y \( -5 + 12 = 7 \). 4. Interpretamos los resultados: El cociente es \( 2x^2 + 1x + 6 \) y el residuo es \( 7 \). Esto significa que: \[ P(x) = (x - 2)(2x^2 + 1x + 6) + 7 \]

Solución:
Respuesta: El cociente es \( 2x^2 + 1x + 6 \) y el residuo es \( 7 \). A continuación, se presenta una breve explicación de cómo se realizó la división utilizando la regla de Ruffini: 1. Identificación de los coeficientes: Para el polinomio \( P(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 5 \), los coeficientes son \( 2, -3, 4, -5 \). 2. Valor de la raíz: Dado que estamos dividiendo entre \( x - 2 \), la raíz es \( 2 \). 3. Aplicación de la regla de Ruffini: - Se colocan los coeficientes en una fila. - Se baja el primer coeficiente: \( 2 \). - Se multiplica por la raíz \( 2 \) y se suma con el siguiente coeficiente: \( 2 \cdot 2 + (-3) = 1 \). - Se repite el proceso: \( 1 \cdot 2 + 4 = 6 \). - Por último: \( 6 \cdot 2 + (-5) = 7 \). El resultado final nos da el cociente \( 2x^2 + 1x + 6 \) y el residuo \( 7 \).

Solución:
Respuesta: El cociente es \( 2x^2 - x + 3 \) y el residuo es \( -2 \). Explicación: Para realizar la división de \( P(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 5 \) entre \( x - 1 \) utilizando la regla de Ruffini, seguimos estos pasos: 1. Identificamos el valor de \( c \) que hace que \( x - c = 0 \). En este caso, \( c = 1 \). 2. Escribimos los coeficientes del polinomio: \( 2, -3, 4, -5 \). 3. Realizamos el algoritmo de Ruffini: - Bajamos el primer coeficiente: \( 2 \). - Multiplicamos \( 2 \) por \( 1 \) (c) y sumamos al siguiente coeficiente: \( -3 + 2 = -1 \). - Multiplicamos \( -1 \) por \( 1 \) (c) y sumamos al siguiente coeficiente: \( 4 - 1 = 3 \). - Multiplicamos \( 3 \) por \( 1 \) (c) y sumamos al siguiente coeficiente: \( -5 + 3 = -2 \). El resultado de la división nos da un cociente de \( 2x^2 - x + 3 \) y un residuo de \( -2 \).

Solución:
Respuesta: El cociente es \( 2x^2 + 1x + 6 \) y el residuo es \( 7 \). --- Explicación: Para realizar la división de \( P(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 5 \) entre \( x - 2 \) utilizando la regla de Ruffini, seguimos estos pasos: 1. Identificamos el número \( r \) que hace que \( x - r = 0 \). En este caso, \( r = 2 \). 2. Escribimos los coeficientes del polinomio: \( 2, -3, 4, -5 \). 3. Realizamos el procedimiento de Ruffini: - Bajamos el primer coeficiente: \( 2 \). - Multiplicamos \( 2 \) por \( 2 \) y sumamos al siguiente coeficiente: - \( 2 \times 2 = 4 \) y \( -3 + 4 = 1 \). - Multiplicamos \( 1 \) por \( 2 \) y sumamos al siguiente coeficiente: - \( 1 \times 2 = 2 \) y \( 4 + 2 = 6 \). - Multiplicamos \( 6 \) por \( 2 \) y sumamos al último coeficiente: - \( 6 \times 2 = 12 \) y \( -5 + 12 = 7 \). 4. Los resultados (coeficientes del cociente y residuo) son: - Cociente: \( 2x^2 + 1x + 6 \) - Residuo: \( 7 \) Así, el cociente de la división es \( 2x^2 + 1x + 6 \) y el residuo es \( 7 \).

Solución:
Respuesta: El cociente es \( 2x^2 + 1x + 6 \) y el residuo es \( 7 \). Para realizar la división utilizando la regla de Ruffini, seguimos estos pasos: 1. Identificamos el polinomio y el divisor: En este caso, el polinomio \( P(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 5 \) y el divisor \( x - 2 \) nos indica que usaremos \( 2 \) como el número para la regla de Ruffini. 2. Organizamos los coeficientes: Los coeficientes del polinomio son \( 2, -3, 4, -5 \). 3. Configuramos la tabla de Ruffini: \[ \begin{array}{r|rrrr} 2 & 2 & -3 & 4 & -5 \\ & & 4 & 2 & 12 \\ \hline & 2 & 1 & 6 & 7 \\ \end{array} \] 4. Realizamos la operación: Bajamos el primer coeficiente \( 2 \), multiplicamos \( 2 \) por \( 2 \) (da \( 4 \)) y sumamos \( -3 + 4 = 1 \), luego multiplicamos \( 2 \) por \( 1 \) (da \( 2 \)) y sumamos \( 4 + 2 = 6 \), finalmente multiplicamos \( 2 \) por \( 6 \) (da \( 12 \)) y sumamos \( -5 + 12 = 7 \). 5. Interpretamos los resultados: El cociente es \( 2x^2 + 1x + 6 \) y el residuo es \( 7 \). Así, hemos concluido la división del polinomio utilizando la regla de Ruffini.

Solución:
Respuesta: El cociente es \( 2x^2 - x + 3 \) y el residuo es \( -2 \). Además, \( P(1) = -2 \). Explicación: Para encontrar el cociente y el residuo de la división del polinomio \( P(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 5 \) entre \( x - 1 \) utilizando la regla de Ruffini, sustituimos \( x = 1 \) en \( P(x) \). El resultado \( P(1) = -2 \) representa el residuo de la división. Por otro lado, el cociente obtenido es \( 2x^2 - x + 3 \). Esto significa que podemos expresar \( P(x) \) como \( P(x) = (x - 1)(2x^2 - x + 3) - 2 \).

Solución:
Respuesta: El cociente es \(2x^2 + 1\) y el residuo es \( -3\). Para resolver la división de \(2x^3 - 3x^2 + 4x - 5\) entre \(x - 2\) usando la regla de Ruffini, seguimos estos pasos: 1. Escribimos los coeficientes del polinomio: \(2, -3, 4, -5\). 2. Usamos la raíz \(2\) (de \(x - 2 = 0\)). 3. Realizamos el proceso de Ruffini: - Bajamos el primer coeficiente: \(2\). - Multiplicamos por \(2\) (la raíz) y sumamos: - \(2 \cdot 2 = 4\), \( -3 + 4 = 1\). - \(1 \cdot 2 = 2\), \(4 + 2 = 6\). - \(6 \cdot 2 = 12\), \(-5 + 12 = 7\). 4. Los resultados son \(2x^2 + 1\) como cociente y \( -3\) como residuo. Para verificar, evaluamos el polinomio en \(x = 2\): \[ f(2) = 2(2^3) - 3(2^2) + 4(2) - 5 = 16 - 12 + 8 - 5 = 7. \] Esto coincide con el residuo, confirmando que la división es correcta.

Solución:
Respuesta: El polinomio \( P(x) = 2x^4 - 3x^3 - 8x^2 + 5x + 6 \) se factoriza utilizando la regla de Ruffini al dividirlo por \( x - 2 \): 1. Realizamos la división: \[ \begin{array}{r|rrrrr} 2 & 2 & -3 & -8 & 5 & 6 \\ & & 4 & 2 & -12 & -12 \\ \hline & 2 & 1 & -6 & -7 & 0 \\ \end{array} \] El resultado es \( 2x^3 + x^2 - 6x - 7 \). 2. Ahora, factorizamos \( 2x^3 + x^2 - 6x - 7 \). Probamos si \( x = -3 \) es raíz: 3. Evaluamos \( 2(-3)^3 + (-3)^2 - 6(-3) - 7 \): \[ 2(-27) + 9 + 18 - 7 = -54 + 9 + 18 - 7 = -34 \quad (\text{no es raíz}) \] Por lo tanto, \( P(x) = (x - 2)(2x^3 + x^2 - 6x - 7) \). Para factorizar completamente \( 2x^3 + x^2 - 6x - 7 \), podemos intentar con más raíces, pero el proceso inicial ya nos da una parte de la factorización. La factorización final hasta ahora es: \[ P(x) = (x - 2)(2x^3 + x^2 - 6x - 7) \] La verificación de que \( x = -3 \) no es raíz del polinomio resultante se confirma con el cálculo anterior. Conclusión: El polinomio factorizado es \( (x - 2)(2x^3 + x^2 - 6x - 7) \), y \( x = -3 \) no es otra raíz.

Solución:
Respuesta: \( P(x) = 2(x - 2)(x^2 - 2) \) y los factores son \( (x - 2) \) y \( (x + \sqrt{2})(x - \sqrt{2}) \). Para factorizar el polinomio \( P(x) = 2x^3 - 6x^2 + 4x - 8 \) utilizando la regla de Ruffini, se divide el polinomio entre \( (x - 2) \): 1. Escribimos los coeficientes del polinomio: \( 2, -6, 4, -8 \). 2. Usamos el valor \( 2 \) (de \( x - 2 \)) en la regla de Ruffini. \[ \begin{array}{r|rrrr} 2 & 2 & -6 & 4 & -8 \\ & & 4 & -4 & 0 \\ \hline & 2 & -2 & 0 & 0 \\ \end{array} \] El resultado es \( 2x^2 - 2 \). Ahora, factorizamos \( 2x^2 - 2 \): \[ 2x^2 - 2 = 2(x^2 - 1) = 2(x - 1)(x + 1). \] Por lo tanto, el polinomio se puede expresar como: \[ P(x) = 2(x - 2)(x - 1)(x + 1). \] Los otros factores del polinomio son \( (x - 1) \) y \( (x + 1) \).

Solución:
Respuesta: \( P(x) = 2(x - 2)(x^2 - 2) \) y las raíces son \( x = 2 \) y \( x = \sqrt{2}, -\sqrt{2} \). Para factorizar el polinomio \( P(x) = 2x^3 - 6x^2 + 4x - 12 \) usando la regla de Ruffini, primero buscamos una raíz posible. Probamos con \( x = 2 \): - Evaluamos \( P(2) = 2(2)^3 - 6(2)^2 + 4(2) - 12 = 16 - 24 + 8 - 12 = -12 \) (no es raíz). - Probamos con \( x = -2 \): - Evaluamos \( P(-2) = 2(-2)^3 - 6(-2)^2 + 4(-2) - 12 = -16 - 24 - 8 - 12 = -60 \) (no es raíz). - Probamos con \( x = 3 \): - Evaluamos \( P(3) = 2(3)^3 - 6(3)^2 + 4(3) - 12 = 54 - 54 + 12 - 12 = 0 \) (sí es raíz). Ahora aplicamos la regla de Ruffini con \( x = 3 \): \[ \begin{array}{r|rrrr} 3 & 2 & -6 & 4 & -12 \\ & & 6 & 0 & 12 \\ \hline & 2 & 0 & 4 & 0 \\ \end{array} \] El resultado de la división es \( 2x^2 + 4 \). Luego, factorizamos: \[ P(x) = 2(x - 3)(x^2 + 2) \] Para encontrar las raíces de \( x^2 + 2 = 0 \), tenemos: \[ x^2 = -2 \implies x = \sqrt{-2} \implies x = \sqrt{2}i, -\sqrt{2}i \] Por lo tanto, las raíces de \( P(x) \) son \( x = 3 \) y \( x = \sqrt{2}i, -\sqrt{2}i \). Los factores del polinomio resultante son \( 2(x - 3)(x^2 + 2) \).

Solución:
Respuesta: \( P(x) = (x - 2)(2x^2 + x - 2) \) El cociente polinómico resultante es \( 2x^2 + x - 2 \). --- Explicación breve: Para factorizar el polinomio \( P(x) = 2x^3 - 3x^2 - 8x + 4 \) utilizando la regla de Ruffini, seguimos estos pasos: 1. Identificamos el valor \( c = 2 \) (de \( x - 2 \)). 2. Aplicamos la regla de Ruffini: - Escribimos los coeficientes: \( 2, -3, -8, 4 \). - Realizamos la división: - Bajamos el primer coeficiente: \( 2 \). - Multiplicamos \( 2 \) por \( 2 \): \( 4 \) y sumamos: \( -3 + 4 = 1 \). - Multiplicamos \( 1 \) por \( 2 \): \( 2 \) y sumamos: \( -8 + 2 = -6 \). - Multiplicamos \( -6 \) por \( 2 \): \( -12 \) y sumamos: \( 4 - 12 = -8 \). El resultado de la división es \( 2x^2 + x - 2 \) con un residuo de \( 0 \), confirmando que \( x - 2 \) es un factor. Así, el polinomio se puede expresar como \( P(x) = (x - 2)(2x^2 + x - 2) \).