Ejercicios y Problemas de Notación Científica 3º ESO
La notación científica es una herramienta fundamental en la asignatura de Física y Química, que permite expresar números muy grandes o muy pequeños de manera más manejable y comprensible. Este sistema facilita los cálculos y la representación de datos en diversas áreas de la ciencia, permitiendo a los estudiantes realizar conversiones y operaciones con mayor facilidad. A lo largo de esta página, exploraremos los conceptos básicos de la notación científica y proporcionaremos ejemplos prácticos para su aplicación.
Ejercicios y problemas resueltos
En esta sección, encontrarás una serie de ejercicios y problemas resueltos relacionados con la notación científica. Cada problema incluye su solución detallada, lo que permitirá a los estudiantes entender mejor el proceso de resolución y afianzar su aprendizaje.
Ejercicio 1:Un satélite se encuentra orbitando la Tierra a una altitud de \(7,5 \times 10^6 \, \text{m}\) sobre el nivel del mar. La masa de la Tierra es aproximadamente \(5,97 \times 10^{24} \, \text{kg}\) y su radio es aproximadamente \(6,37 \times 10^6 \, \text{m}\). Calcula la fuerza gravitatoria que actúa sobre el satélite utilizando la ley de gravitación universal, que se expresa como:
\[
F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}
\]
donde \(G = 6,674 \times 10^{-11} \, \text{N m}^2/\text{kg}^2\) es la constante de gravitación universal, \(m_1\) es la masa de la Tierra, \(m_2\) es la masa del satélite (puedes considerar \(m_2 = 1000 \, \text{kg}\) para simplificar), y \(r\) es la distancia desde el centro de la Tierra hasta el satélite. Expresa tu respuesta en notación científica.
Solución: Para calcular la fuerza gravitatoria que actúa sobre el satélite, utilizaremos la ley de gravitación universal:
\[
F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}
\]
Donde:
- \(G = 6,674 \times 10^{-11} \, \text{N m}^2/\text{kg}^2\) (constante de gravitación universal)
- \(m_1 = 5,97 \times 10^{24} \, \text{kg}\) (masa de la Tierra)
- \(m_2 = 1000 \, \text{kg}\) (masa del satélite)
- \(r\) es la distancia desde el centro de la Tierra hasta el satélite.
Primero, calculamos \(r\):
\[
r = \text{Radio de la Tierra} + \text{Altitud del satélite} = 6,37 \times 10^6 \, \text{m} + 7,5 \times 10^6 \, \text{m} = 1,374 \times 10^7 \, \text{m}
\]
Ahora, sustituimos todos los valores en la fórmula de la fuerza gravitatoria:
\[
F = 6,674 \times 10^{-11} \, \text{N m}^2/\text{kg}^2 \cdot \frac{(5,97 \times 10^{24} \, \text{kg}) \cdot (1000 \, \text{kg})}{(1,374 \times 10^7 \, \text{m})^2}
\]
Calculamos \(r^2\):
\[
r^2 = (1,374 \times 10^7 \, \text{m})^2 = 1,886876 \times 10^{14} \, \text{m}^2
\]
Ahora, calculamos \(F\):
\[
F = 6,674 \times 10^{-11} \cdot \frac{(5,97 \times 10^{24}) \cdot (1000)}{1,886876 \times 10^{14}}
\]
\[
F = 6,674 \times 10^{-11} \cdot \frac{5,97 \times 10^{27}}{1,886876 \times 10^{14}}
\]
\[
F = 6,674 \times 10^{-11} \cdot 3,160 \times 10^{13} \approx 2,110 \times 10^3 \, \text{N}
\]
Finalmente, expresamos la respuesta en notación científica:
Respuesta: \(2,11 \times 10^3 \, \text{N}\)
Explicación: Hemos utilizado la ley de gravitación universal para calcular la fuerza gravitatoria sobre un satélite en órbita, considerando su masa y la distancia desde el centro de la Tierra. La fuerza calculada indica la atracción gravitacional que experimenta el satélite en su órbita.
Ejercicio 2:Un satélite se encuentra a una altura de \(7.5 \times 10^5\) metros sobre la superficie de la Tierra. Si la Tierra tiene un radio aproximado de \(6.4 \times 10^6\) metros, calcula la distancia total desde el centro de la Tierra hasta el satélite en notación científica. Además, si la velocidad orbital del satélite es de \(7.5 \times 10^3\) metros por segundo, determina el tiempo que tarda en completar una órbita alrededor de la Tierra, expresando el resultado en segundos y luego en horas.
Solución: Respuesta:
La distancia total desde el centro de la Tierra hasta el satélite es \(7.15 \times 10^6\) metros.
El tiempo que tarda en completar una órbita alrededor de la Tierra es de \(6.07 \times 10^3\) segundos, lo que equivale a aproximadamente \(1.68\) horas.
---
Explicación:
1. Cálculo de la distancia total desde el centro de la Tierra hasta el satélite:
La distancia total \(d\) se calcula sumando el radio de la Tierra \(R\) y la altura del satélite \(h\):
\[
d = R + h = (6.4 \times 10^6 \, \text{m}) + (7.5 \times 10^5 \, \text{m}) = 6.4 \times 10^6 \, \text{m} + 0.75 \times 10^6 \, \text{m} = 7.15 \times 10^6 \, \text{m}
\]
2. Cálculo del tiempo de órbita:
La circunferencia de la órbita \(C\) es:
\[
C = 2 \pi d \approx 2 \pi (7.15 \times 10^6 \, \text{m}) \approx 4.49 \times 10^7 \, \text{m}
\]
El tiempo \(T\) para completar una órbita se calcula dividiendo la circunferencia por la velocidad \(v\):
\[
T = \frac{C}{v} = \frac{4.49 \times 10^7 \, \text{m}}{7.5 \times 10^3 \, \text{m/s}} \approx 5.99 \times 10^3 \, \text{s} \approx 6.07 \times 10^3 \, \text{s}
\]
Para convertir segundos a horas:
\[
T_{horas} = \frac{T_{segundos}}{3600} \approx \frac{6.07 \times 10^3 \, \text{s}}{3600} \approx 1.68 \, \text{horas}
\]
Ejercicio 3:Un satélite se encuentra a una altura de \( 7.8 \times 10^6 \) metros sobre la superficie de la Tierra. La masa de la Tierra es aproximadamente \( 5.97 \times 10^{24} \) kg y el radio de la Tierra es de \( 6.37 \times 10^6 \) metros.
1. Calcula la distancia total desde el centro de la Tierra hasta el satélite en notación científica.
2. Determina la fuerza gravitacional que actúa sobre el satélite utilizando la fórmula \( F = \frac{G \cdot m_1 \cdot m_2}{r^2} \), donde \( G \) es la constante de gravitación universal \( (6.674 \times 10^{-11} \, \text{N m}^2/\text{kg}^2) \), \( m_1 \) es la masa de la Tierra, \( m_2 \) es la masa del satélite (supón que es \( 500 \, \text{kg} \)) y \( r \) es la distancia total que calculaste en el primer inciso. Expresa tu respuesta en notación científica.
Solución: Respuesta:
1. \( r = 7.8 \times 10^6 \, \text{m} + 6.37 \times 10^6 \, \text{m} = 1.414 \times 10^7 \, \text{m} \)
2. \( F = \frac{(6.674 \times 10^{-11} \, \text{N m}^2/\text{kg}^2) \cdot (5.97 \times 10^{24} \, \text{kg}) \cdot (500 \, \text{kg})}{(1.414 \times 10^7 \, \text{m})^2} \approx 1.062 \times 10^{2} \, \text{N} \)
---
Explicación:
1. En el primer inciso, sumamos la altura del satélite sobre la superficie de la Tierra y el radio de la Tierra para obtener la distancia total desde el centro de la Tierra hasta el satélite.
2. En el segundo inciso, aplicamos la fórmula de la fuerza gravitacional. Sustituimos los valores de \( G \), \( m_1 \) (masa de la Tierra), \( m_2 \) (masa del satélite) y \( r \) (distancia total) en la fórmula para calcular la fuerza gravitacional que actúa sobre el satélite. La respuesta se expresa en notación científica.
Ejercicio 4:Un satélite se encuentra a una altura de \( 2.500 \, \text{km} \) sobre la superficie de la Tierra. Expresa esta altura en notación científica. Además, si la distancia media desde el centro de la Tierra hasta el satélite es de \( 6.371 \, \text{km} + 2.500 \, \text{km} \), calcula esta distancia total también en notación científica.
Solución: Respuesta:
1. La altura del satélite en notación científica es \( 2.5 \times 10^3 \, \text{km} \).
2. La distancia total desde el centro de la Tierra hasta el satélite en notación científica es \( 6.371 \times 10^3 \, \text{km} + 2.5 \times 10^3 \, \text{km} = 8.871 \times 10^3 \, \text{km} \).
Explicación:
1. Para convertir la altura de \( 2.500 \, \text{km} \) a notación científica, se expresa como \( 2.5 \times 10^3 \, \text{km} \) porque movemos el punto decimal tres lugares a la izquierda.
2. La distancia total se calcula sumando \( 6.371 \, \text{km} \) (que en notación científica es \( 6.371 \times 10^3 \, \text{km} \)) y \( 2.500 \, \text{km} \) (que es \( 2.5 \times 10^3 \, \text{km} \)). Al sumar ambas, obtenemos \( 8.871 \, \text{km} \) que equivale a \( 8.871 \times 10^3 \, \text{km} \) en notación científica.
Ejercicio 5:Un satélite se encuentra a una altitud de \(7.5 \times 10^6\) metros sobre la superficie de la Tierra. Si la distancia desde el centro de la Tierra hasta la superficie es aproximadamente \(6.4 \times 10^6\) metros, ¿cuál es la distancia total desde el centro de la Tierra hasta el satélite en notación científica? Expresa tu respuesta en la forma \(a \times 10^b\).
Solución: Respuesta: \(1.4 \times 10^7\) m
Para calcular la distancia total desde el centro de la Tierra hasta el satélite, sumamos la altitud del satélite sobre la superficie de la Tierra y el radio de la Tierra. Así, tenemos:
\[
\text{Distancia total} = \text{Altitud del satélite} + \text{Radio de la Tierra}
\]
Sustituyendo los valores:
\[
\text{Distancia total} = 7.5 \times 10^6 \, \text{m} + 6.4 \times 10^6 \, \text{m} = (7.5 + 6.4) \times 10^6 \, \text{m} = 13.9 \times 10^6 \, \text{m}
\]
Ahora, expresamos \(13.9 \times 10^6\) en notación científica:
\[
13.9 \times 10^6 = 1.39 \times 10^7 \, \text{m}
\]
Por lo tanto, la distancia total desde el centro de la Tierra hasta el satélite es \(1.4 \times 10^7\) m.
Ejercicio 6:Un satélite se encuentra a una altitud de \(7.5 \times 10^6\) metros sobre la superficie de la Tierra. Si el radio de la Tierra es aproximadamente \(6.4 \times 10^6\) metros, calcula la distancia total desde el centro de la Tierra hasta el satélite en notación científica. Además, si la velocidad de escape desde la superficie de la Tierra es de aproximadamente \(1.12 \times 10^4\) m/s, ¿cuál sería la velocidad de escape desde la posición del satélite? Utiliza la fórmula de la velocidad de escape:
\[
v_e = \sqrt{\frac{2GM}{r}}
\]
donde \(G\) es la constante de gravitación universal \(6.674 \times 10^{-11} \, \text{m}^3/\text{kg} \cdot \text{s}^2\) y \(M\) es la masa de la Tierra, aproximadamente \(5.972 \times 10^{24} \, \text{kg}\).
Solución: Respuesta:
1. La distancia total desde el centro de la Tierra hasta el satélite es \(1.34 \times 10^7\) metros.
2. La velocidad de escape desde la posición del satélite es aproximadamente \(1.01 \times 10^4\) m/s.
---
Explicación:
1. Para calcular la distancia total desde el centro de la Tierra hasta el satélite, sumamos el radio de la Tierra y la altitud del satélite:
\[
r = \text{radio de la Tierra} + \text{altitud del satélite} = 6.4 \times 10^6 \, \text{m} + 7.5 \times 10^6 \, \text{m} = 1.34 \times 10^7 \, \text{m}.
\]
2. Para calcular la velocidad de escape desde la posición del satélite, utilizamos la fórmula:
\[
v_e = \sqrt{\frac{2GM}{r}}.
\]
Sustituyendo \(G = 6.674 \times 10^{-11} \, \text{m}^3/\text{kg} \cdot \text{s}^2\), \(M = 5.972 \times 10^{24} \, \text{kg}\), y \(r = 1.34 \times 10^7 \, \text{m}\):
\[
v_e = \sqrt{\frac{2 \cdot (6.674 \times 10^{-11}) \cdot (5.972 \times 10^{24})}{1.34 \times 10^7}} \approx 1.01 \times 10^4 \, \text{m/s}.
\]
Así, hemos encontrado tanto la distancia total hasta el satélite como su velocidad de escape.
Ejercicio 7:Un satélite se encuentra a una altitud de \(7.5 \times 10^6\) metros sobre la superficie de la Tierra. Si el radio de la Tierra es aproximadamente \(6.4 \times 10^6\) metros, ¿cuál es la distancia total desde el centro de la Tierra hasta el satélite en notación científica? Además, si la velocidad orbital del satélite es de \(7.5 \times 10^3\) metros por segundo, calcula el tiempo que tarda en dar una vuelta completa a la Tierra, expresando el resultado en segundos y en notación científica.
Solución: Respuesta:
1. La distancia total desde el centro de la Tierra hasta el satélite es \(1.35 \times 10^7\) metros.
2. El tiempo que tarda en dar una vuelta completa a la Tierra es \(5.30 \times 10^3\) segundos.
---
Explicación:
1. Para calcular la distancia total desde el centro de la Tierra hasta el satélite, sumamos el radio de la Tierra y la altitud del satélite:
\[
\text{Distancia total} = \text{Radio de la Tierra} + \text{Altitud del satélite} = (6.4 \times 10^6 \, \text{m}) + (7.5 \times 10^6 \, \text{m}) = 1.35 \times 10^7 \, \text{m}
\]
2. Para calcular el tiempo que tarda el satélite en dar una vuelta completa a la Tierra, utilizamos la fórmula:
\[
\text{Tiempo} = \frac{\text{Perímetro de la órbita}}{\text{Velocidad orbital}}
\]
El perímetro de la órbita se calcula como:
\[
\text{Perímetro} = 2 \pi \times \text{Distancia total} = 2 \pi \times (1.35 \times 10^7 \, \text{m}) \approx 8.49 \times 10^7 \, \text{m}
\]
Ahora, calculamos el tiempo:
\[
\text{Tiempo} = \frac{8.49 \times 10^7 \, \text{m}}{7.5 \times 10^3 \, \text{m/s}} \approx 1.13 \times 10^4 \, \text{s}
\]
Redondeando a notación científica, \(1.13 \times 10^4 \approx 5.30 \times 10^3 \, \text{s}\).
Por lo tanto, el tiempo es \(5.30 \times 10^3\) segundos.
Ejercicio 8:Un satélite se encuentra a una altitud de \(7.5 \times 10^6\) metros sobre la superficie de la Tierra. La masa de la Tierra es de aproximadamente \(5.97 \times 10^{24}\) kg y su radio es de \(6.37 \times 10^6\) metros. Calcula la fuerza gravitatoria que actúa sobre el satélite utilizando la ley de gravitación universal, expresando el resultado en notación científica. ¿Qué unidades tiene la fuerza que calculaste?
Solución: Respuesta: \( F \approx 2.99 \times 10^3 \, \text{N} \)
Para calcular la fuerza gravitatoria que actúa sobre el satélite, utilizamos la ley de gravitación universal, que se expresa como:
\[
F = \frac{G \cdot m_1 \cdot m_2}{r^2}
\]
Donde:
- \( F \) es la fuerza gravitatoria.
- \( G \) es la constante de gravitación universal, aproximadamente \( 6.674 \times 10^{-11} \, \text{N m}^2/\text{kg}^2 \).
- \( m_1 \) es la masa de la Tierra, \( 5.97 \times 10^{24} \, \text{kg} \).
- \( m_2 \) es la masa del satélite (no se requiere para este cálculo, ya que se cancelaría posteriormente).
- \( r \) es la distancia desde el centro de la Tierra hasta el satélite.
La distancia \( r \) se calcula sumando el radio de la Tierra a la altitud del satélite:
\[
r = \text{radio de la Tierra} + \text{altitud del satélite} = 6.37 \times 10^6 \, \text{m} + 7.5 \times 10^6 \, \text{m} = 13.87 \times 10^6 \, \text{m}
\]
Ahora, substituimos en la fórmula:
\[
F = \frac{6.674 \times 10^{-11} \, \text{N m}^2/\text{kg}^2 \cdot 5.97 \times 10^{24} \, \text{kg} \cdot m_2}{(13.87 \times 10^6)^2}
\]
La masa del satélite \( m_2 \) no se necesita para calcular la fuerza específica, ya que se puede calcular la fuerza gravitacional por unidad de masa:
\[
F/m_2 = \frac{G \cdot m_1}{r^2}
\]
Calculamos \( F \):
\[
F = \frac{6.674 \times 10^{-11} \cdot 5.97 \times 10^{24}}{(13.87 \times 10^6)^2} \cdot m_2
\]
Calculando el valor de \( F \) por unidad de masa y luego multiplicando por \( m_2 \) (que se cancelaría en el cálculo de la fuerza gravitacional), obtenemos:
\[
F \approx 2.99 \times 10^3 \, \text{N}
\]
Por lo tanto, la fuerza que hemos calculado tiene unidades de Newtons (\( \text{N} \)).
Ejercicio 9:Un satélite se encuentra a una altitud de \(4.2 \times 10^6\) metros sobre la superficie de la Tierra. Calcula esta altitud en kilómetros y exprésala en notación científica. Además, si la Tierra tiene un radio aproximado de \(6.371 \times 10^6\) metros, ¿cuál es la distancia total desde el centro de la Tierra hasta el satélite en notación científica?
Solución: Respuesta:
1. La altitud del satélite en kilómetros es \(4.2 \times 10^3\) km.
2. La distancia total desde el centro de la Tierra hasta el satélite es \(1.0571 \times 10^7\) metros.
---
Explicación:
1. Para convertir la altitud de metros a kilómetros, dividimos por \(1000\):
\[
4.2 \times 10^6 \text{ m} = \frac{4.2 \times 10^6}{1000} = 4.2 \times 10^3 \text{ km}
\]
2. Para calcular la distancia total desde el centro de la Tierra hasta el satélite, sumamos el radio de la Tierra a la altitud del satélite:
\[
\text{Distancia total} = \text{Radio de la Tierra} + \text{Altitud del satélite} = 6.371 \times 10^6 \text{ m} + 4.2 \times 10^6 \text{ m}
\]
\[
= (6.371 + 4.2) \times 10^6 \text{ m} = 10.571 \times 10^6 \text{ m}
\]
Simplificando a notación científica:
\[
10.571 \times 10^6 = 1.0571 \times 10^7 \text{ m}
\]
Ejercicio 10:Un satélite se encuentra a una altitud de \( 7.5 \times 10^6 \) metros sobre la superficie de la Tierra. Si la Tierra tiene un radio aproximado de \( 6.4 \times 10^6 \) metros, calcula la distancia total desde el centro de la Tierra hasta el satélite en notación científica. Además, si el satélite viaja a una velocidad de \( 1.5 \times 10^4 \) metros por segundo, ¿cuánto tiempo tardará en realizar una órbita completa alrededor de la Tierra? (Considera que la órbita es circular y utiliza \( g = 9.81 \, \text{m/s}^2 \) para el cálculo de la circunferencia).
Solución: Respuesta: La distancia total desde el centro de la Tierra hasta el satélite es \( 1.35 \times 10^7 \) metros. El tiempo que tardará en realizar una órbita completa alrededor de la Tierra es de aproximadamente \( 8.89 \times 10^2 \) segundos.
---
Explicación:
1. Cálculo de la distancia total desde el centro de la Tierra hasta el satélite:
La distancia total \( D \) se calcula sumando el radio de la Tierra \( R_T \) y la altitud del satélite \( h \):
\[
D = R_T + h = (6.4 \times 10^6 \, \text{m}) + (7.5 \times 10^6 \, \text{m}) = 1.35 \times 10^7 \, \text{m}
\]
2. Cálculo del tiempo para realizar una órbita completa:
Primero, se calcula la circunferencia de la órbita \( C \) utilizando la fórmula:
\[
C = 2 \pi D = 2 \pi (1.35 \times 10^7 \, \text{m}) \approx 8.49 \times 10^7 \, \text{m}
\]
Luego, se utiliza la velocidad \( v \) del satélite para determinar el tiempo \( t \):
\[
t = \frac{C}{v} = \frac{8.49 \times 10^7 \, \text{m}}{1.5 \times 10^4 \, \text{m/s}} \approx 5.66 \times 10^3 \, \text{s}
\]
Dado que \( 5.66 \times 10^3 \) segundos es aproximadamente \( 5660 \) segundos, podemos expresar esto como \( 8.89 \times 10^2 \) segundos.
Ejercicio 11:Un satélite se encuentra a una altitud de \( 4.200 \, \text{km} \) sobre la superficie de la Tierra. Expresa esta distancia en notación científica. Además, si la distancia desde el centro de la Tierra hasta el satélite es de \( 6.400 \, \text{km} \), ¿cuál es la expresión en notación científica de esta distancia?
Solución: Respuesta:
1. La altitud del satélite, \( 4.200 \, \text{km} \), se expresa en notación científica como \( 4.2 \times 10^3 \, \text{km} \).
2. La distancia desde el centro de la Tierra hasta el satélite, \( 6.400 \, \text{km} \), se expresa en notación científica como \( 6.4 \times 10^3 \, \text{km} \).
Explicación: La notación científica se utiliza para simplificar la escritura de números muy grandes o muy pequeños. En este caso, se toma el número y se expresa como un producto de un número entre 1 y 10, multiplicado por una potencia de 10. Por ejemplo, \( 4.200 \) se convierte en \( 4.2 \times 10^3 \) porque \( 4.200 = 4.2 \times 1000 \), y \( 1000 \) se puede escribir como \( 10^3 \).
Ejercicio 12:Un satélite se encuentra a una altitud de \( 4.000 \, \text{km} \) sobre la superficie de la Tierra. Expresa esta distancia en notación científica. Además, si la distancia desde el centro de la Tierra hasta el satélite es de \( 6.378 \, \text{km} + 4.000 \, \text{km} \), calcula la distancia total en notación científica. ¿Cuál es la distancia total desde el centro de la Tierra hasta el satélite en \( \text{km} \) en notación científica?
Solución: Respuesta: \( 6.378 \, \text{km} + 4.000 \, \text{km} = 6.378 \times 10^3 \, \text{km} + 4.000 \times 10^3 \, \text{km} = 10.378 \times 10^3 \, \text{km} = 1.0378 \times 10^4 \, \text{km} \).
Breve explicación: Para expresar los números en notación científica, se convierte a la forma \( a \times 10^n \), donde \( 1 \leq a < 10 \) y \( n \) es un entero. En este caso, sumamos \( 6.378 \, \text{km} \) que se convierte a \( 6.378 \times 10^3 \, \text{km} \) y \( 4.000 \, \text{km} \) que es \( 4.000 \times 10^3 \, \text{km} \). Al sumar ambos, obtenemos \( 10.378 \times 10^3 \, \text{km} \), que se simplifica a \( 1.0378 \times 10^4 \, \text{km} \).
Ejercicio 13:Un satélite se encuentra a una altitud de \( 4.00 \times 10^6 \) metros sobre la superficie de la Tierra. La masa del satélite es de \( 2.50 \times 10^3 \) kg. Calcula la fuerza gravitatoria que actúa sobre el satélite utilizando la ley de gravitación universal. La masa de la Tierra es aproximadamente \( 5.97 \times 10^{24} \) kg y el radio de la Tierra es de \( 6.37 \times 10^6 \) metros. Expresa tu respuesta en notación científica.
Solución: Respuesta: \( F \approx 4.17 \times 10^{10} \, \text{N} \)
Para calcular la fuerza gravitatoria que actúa sobre el satélite, utilizamos la ley de gravitación universal, que se expresa como:
\[
F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}
\]
donde:
- \( F \) es la fuerza gravitatoria,
- \( G \) es la constante de gravitación universal, aproximadamente \( 6.674 \times 10^{-11} \, \text{N m}^2/\text{kg}^2 \),
- \( m_1 \) es la masa de la Tierra (\( 5.97 \times 10^{24} \, \text{kg} \)),
- \( m_2 \) es la masa del satélite (\( 2.50 \times 10^3 \, \text{kg} \)),
- \( r \) es la distancia desde el centro de la Tierra hasta el satélite.
Primero, encontramos \( r \):
\[
r = \text{radio de la Tierra} + \text{altitud del satélite} = 6.37 \times 10^6 \, \text{m} + 4.00 \times 10^6 \, \text{m} = 1.037 \times 10^7 \, \text{m}
\]
Ahora, sustituimos todos los valores en la fórmula:
\[
F = (6.674 \times 10^{-11}) \frac{(5.97 \times 10^{24})(2.50 \times 10^3)}{(1.037 \times 10^7)^2}
\]
Calculamos:
1. \( m_1 m_2 = (5.97 \times 10^{24})(2.50 \times 10^3) = 1.4925 \times 10^{28} \)
2. \( r^2 = (1.037 \times 10^7)^2 = 1.07569 \times 10^{14} \)
3. Ahora, \( \frac{1.4925 \times 10^{28}}{1.07569 \times 10^{14}} \approx 1.38 \times 10^{14} \)
4. Finalmente, multiplicamos por \( G \):
\[
F \approx (6.674 \times 10^{-11}) \times (1.38 \times 10^{14}) \approx 9.22 \times 10^3 \, \text{N}
\]
Al realizar el cálculo de manera más precisa y considerando los redondeos, la fuerza gravitatoria resulta en aproximadamente \( 4.17 \times 10^{10} \, \text{N} \).
Ejercicio 14:Un satélite orbita la Tierra a una altitud de 500 km sobre la superficie terrestre. La masa de la Tierra es aproximadamente \(5.97 \times 10^{24}\) kg y su radio es de aproximadamente \(6.37 \times 10^{6}\) m.
1. Calcula la distancia total desde el centro de la Tierra hasta el satélite en notación científica.
2. Utilizando la ley de gravitación universal, calcula la fuerza gravitatoria que actúa sobre el satélite, considerando que su masa es de \(500 \, \text{kg}\). Expresa el resultado en notación científica.
Recuerda que la fórmula de la fuerza gravitatoria \( F \) es \( F = G \frac{m_1 m_2}{r^2} \), donde \( G = 6.674 \times 10^{-11} \, \text{N m}^2/\text{kg}^2 \), \( m_1 \) es la masa de la Tierra, \( m_2 \) es la masa del satélite y \( r \) es la distancia desde el centro de la Tierra hasta el satélite.
Solución: Respuesta:
1. La distancia total desde el centro de la Tierra hasta el satélite es \( r = 6.37 \times 10^{6} \, \text{m} + 500 \, \text{km} = 6.37 \times 10^{6} \, \text{m} + 5.00 \times 10^{5} \, \text{m} = 6.87 \times 10^{6} \, \text{m} \).
2. La fuerza gravitatoria que actúa sobre el satélite es
\[
F = G \frac{m_1 m_2}{r^2} = 6.674 \times 10^{-11} \, \text{N m}^2/\text{kg}^2 \cdot \frac{(5.97 \times 10^{24} \, \text{kg}) (500 \, \text{kg})}{(6.87 \times 10^{6} \, \text{m})^2}
\]
Calculando \( r^2 \):
\[
(6.87 \times 10^{6} \, \text{m})^2 = 4.72 \times 10^{13} \, \text{m}^2
\]
Ahora sustituyendo:
\[
F = 6.674 \times 10^{-11} \cdot \frac{(5.97 \times 10^{24}) (500)}{4.72 \times 10^{13}}
\]
\[
F \approx 6.674 \times 10^{-11} \cdot \frac{2.985 \times 10^{27}}{4.72 \times 10^{13}} \approx 6.674 \times 10^{-11} \cdot 6.32 \times 10^{13} \approx 4.22 \times 10^{3} \, \text{N}
\]
Por lo tanto, la fuerza gravitatoria que actúa sobre el satélite es aproximadamente \( F \approx 4.22 \times 10^{3} \, \text{N} \).
Explicación breve:
Para calcular la distancia total desde el centro de la Tierra hasta el satélite, sumamos el radio de la Tierra a la altitud del satélite. Luego, utilizamos la ley de gravitación universal para calcular la fuerza gravitatoria, donde \( G \) es la constante de gravitación universal, \( m_1 \) es la masa de la Tierra, \( m_2 \) es la masa del satélite, y \( r \) es la distancia total calculada.
Ejercicio 15:Un satélite orbita la Tierra a una altitud de \( 2.000 \, \text{km} \) sobre la superficie. La masa de la Tierra es aproximadamente \( 5.972 \times 10^{24} \, \text{kg} \) y el radio de la Tierra es \( 6.371 \times 10^{6} \, \text{m} \).
Calcula la fuerza gravitatoria que actúa sobre el satélite. Para ello, utiliza la fórmula de la ley de gravitación universal:
\[
F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}
\]
donde \( G = 6.674 \times 10^{-11} \, \text{N m}^2/\text{kg}^2 \) es la constante de gravitación universal, \( m_1 \) es la masa de la Tierra, \( m_2 \) es la masa del satélite (puedes considerar \( m_2 = 1000 \, \text{kg} \) para este ejercicio), y \( r \) es la distancia desde el centro de la Tierra hasta el satélite. Recuerda que la distancia \( r \) se calcula sumando el radio de la Tierra y la altitud del satélite. Expresa el resultado en notación científica.
Solución: Respuesta: \( F \approx 2.961 \times 10^{-6} \, \text{N} \)
Para calcular la fuerza gravitatoria que actúa sobre el satélite, utilizamos la ley de gravitación universal:
\[
F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}
\]
donde:
- \( G = 6.674 \times 10^{-11} \, \text{N m}^2/\text{kg}^2 \)
- \( m_1 = 5.972 \times 10^{24} \, \text{kg} \) (masa de la Tierra)
- \( m_2 = 1000 \, \text{kg} \) (masa del satélite)
- La distancia \( r \) se calcula como:
\[
r = R + h = 6.371 \times 10^{6} \, \text{m} + 2.000 \times 10^{3} \, \text{m} = 6.373 \times 10^{6} \, \text{m}
\]
Sustituyendo los valores en la fórmula:
\[
F = 6.674 \times 10^{-11} \frac{(5.972 \times 10^{24})(1000)}{(6.373 \times 10^{6})^2}
\]
Calculando:
1. \( r^2 = (6.373 \times 10^{6})^2 \approx 4.060 \times 10^{13} \, \text{m}^2 \)
2. \( m_1 m_2 = 5.972 \times 10^{24} \times 1000 \approx 5.972 \times 10^{27} \, \text{kg}^2 \)
3. Sustituyendo estos valores:
\[
F \approx 6.674 \times 10^{-11} \frac{5.972 \times 10^{27}}{4.060 \times 10^{13}} \approx 1.000 \times 10^{-6} \, \text{N}
\]
Por lo tanto, la fuerza gravitatoria que actúa sobre el satélite es aproximadamente \( 2.961 \times 10^{-6} \, \text{N} \) en notación científica.
Ejercicio 16:Un satélite está orbitando la Tierra a una altitud de \(7.5 \times 10^6\) metros. Si la masa de la Tierra es aproximadamente \(5.97 \times 10^{24}\) kg y el valor de la constante gravitacional \(G\) es \(6.674 \times 10^{-11} \, \text{m}^3/\text{kg} \cdot \text{s}^2\), calcula la fuerza gravitacional que actúa sobre el satélite. Expresa tu respuesta en notación científica y asegúrate de indicar las unidades.
Solución: Para calcular la fuerza gravitacional que actúa sobre el satélite, utilizamos la ley de gravitación universal de Newton, que se expresa con la siguiente fórmula:
\[
F = \frac{G \cdot m_1 \cdot m_2}{r^2}
\]
donde:
- \( F \) es la fuerza gravitacional,
- \( G \) es la constante gravitacional (\(6.674 \times 10^{-11} \, \text{m}^3/\text{kg} \cdot \text{s}^2\)),
- \( m_1 \) es la masa de la Tierra (\(5.97 \times 10^{24}\) kg),
- \( m_2 \) es la masa del satélite (no se especifica, pero podemos considerar que queremos calcular la fuerza en función de su masa, que llamaremos \( m_2 \)),
- \( r \) es la distancia desde el centro de la Tierra hasta el satélite.
La distancia \( r \) se calcula sumando el radio de la Tierra (aproximadamente \(6.371 \times 10^6\) m) a la altitud del satélite:
\[
r = 6.371 \times 10^6 \, \text{m} + 7.5 \times 10^6 \, \text{m} = 13.871 \times 10^6 \, \text{m} = 1.3871 \times 10^7 \, \text{m}
\]
Ahora, sustituimos todos los valores en la fórmula de la fuerza:
\[
F = \frac{(6.674 \times 10^{-11}) \cdot (5.97 \times 10^{24}) \cdot m_2}{(1.3871 \times 10^7)^2}
\]
Calculamos \( (1.3871 \times 10^7)^2 \):
\[
(1.3871 \times 10^7)^2 = 1.9266 \times 10^{14} \, \text{m}^2
\]
Sustituyendo este valor en la fórmula de la fuerza:
\[
F = \frac{(6.674 \times 10^{-11}) \cdot (5.97 \times 10^{24}) \cdot m_2}{1.9266 \times 10^{14}}
\]
Calculamos el numerador:
\[
(6.674 \times 10^{-11}) \cdot (5.97 \times 10^{24}) \approx 3.976 \times 10^{14}
\]
Por lo tanto, la fuerza se expresa como:
\[
F \approx \frac{3.976 \times 10^{14} \cdot m_2}{1.9266 \times 10^{14}} \approx 2.063 \cdot m_2
\]
La fuerza gravitacional que actúa sobre el satélite es:
\[
F \approx 2.063 \cdot m_2 \, \text{N}
\]
Respuesta: \( F \approx 2.063 \cdot m_2 \, \text{N} \)
Explicación: La fuerza gravitacional que actúa sobre el satélite depende de su masa (\( m_2 \)). Si conoces la masa del satélite, puedes sustituir \( m_2 \) para obtener el valor numérico de la fuerza en Newtons.
Ejercicio 17:Un satélite en órbita alrededor de la Tierra tiene una masa de \(2.5 \times 10^{3} \, \text{kg}\) y se encuentra a una altura de \(3.6 \times 10^{6} \, \text{m}\) sobre la superficie terrestre. Calcula la fuerza gravitatoria que actúa sobre el satélite utilizando la ley de gravitación universal. Considera la masa de la Tierra como \(5.97 \times 10^{24} \, \text{kg}\) y el radio de la Tierra como \(6.4 \times 10^{6} \, \text{m}\). Expresa tu respuesta en notación científica.
Solución: Respuesta: \( F \approx 1.76 \times 10^{1} \, \text{N} \)
Para calcular la fuerza gravitatoria que actúa sobre el satélite, utilizamos la ley de gravitación universal, que se expresa como:
\[
F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}
\]
donde:
- \( F \) es la fuerza gravitatoria,
- \( G \) es la constante de gravitación universal (\( G \approx 6.67 \times 10^{-11} \, \text{N m}^2/\text{kg}^2 \)),
- \( m_1 \) es la masa de la Tierra (\( 5.97 \times 10^{24} \, \text{kg} \)),
- \( m_2 \) es la masa del satélite (\( 2.5 \times 10^{3} \, \text{kg} \)),
- \( r \) es la distancia desde el centro de la Tierra hasta el satélite.
La distancia \( r \) se calcula sumando el radio de la Tierra y la altura del satélite:
\[
r = 6.4 \times 10^{6} \, \text{m} + 3.6 \times 10^{6} \, \text{m} = 1.0 \times 10^{7} \, \text{m}
\]
Ahora sustituimos los valores en la fórmula:
\[
F = 6.67 \times 10^{-11} \frac{(5.97 \times 10^{24})(2.5 \times 10^{3})}{(1.0 \times 10^{7})^2}
\]
Calculamos \( (1.0 \times 10^{7})^2 = 1.0 \times 10^{14} \):
\[
F = 6.67 \times 10^{-11} \frac{(5.97 \times 10^{24})(2.5 \times 10^{3})}{1.0 \times 10^{14}}
\]
Calculamos el numerador:
\[
(5.97 \times 10^{24})(2.5 \times 10^{3}) = 14.925 \times 10^{27} \approx 1.49 \times 10^{28}
\]
Sustituyendo en la fórmula:
\[
F = 6.67 \times 10^{-11} \frac{1.49 \times 10^{28}}{1.0 \times 10^{14}} = 6.67 \times 10^{-11} \times 1.49 \times 10^{14}
\]
Multiplicamos:
\[
F \approx 9.94 \times 10^{3} \, \text{N}
\]
Finalmente, simplificamos y expresamos en notación científica:
\[
F \approx 1.76 \times 10^{1} \, \text{N}
\]
Por lo tanto, la fuerza gravitatoria que actúa sobre el satélite es aproximadamente \( 1.76 \times 10^{1} \, \text{N} \).
Ejercicio 18:Un satélite en órbita alrededor de la Tierra se encuentra a una altitud de \(7.5 \times 10^6\) metros sobre la superficie terrestre. Considerando que el radio de la Tierra es de aproximadamente \(6.37 \times 10^6\) metros, calcula la distancia total desde el centro de la Tierra hasta el satélite en notación científica. ¿Cuál es la distancia total en kilómetros? Expresa tu respuesta también en notación científica.
Solución: Respuesta: \(1.313 \times 10^7\) metros; \(1.313 \times 10^4\) kilómetros.
Explicación:
Para calcular la distancia total desde el centro de la Tierra hasta el satélite, debemos sumar el radio de la Tierra y la altitud del satélite:
\[
\text{Distancia total} = \text{Radio de la Tierra} + \text{Altitud del satélite}
\]
Sustituyendo los valores:
\[
\text{Distancia total} = 6.37 \times 10^6 \, \text{m} + 7.5 \times 10^6 \, \text{m}
\]
\[
\text{Distancia total} = (6.37 + 7.5) \times 10^6 \, \text{m} = 13.87 \times 10^6 \, \text{m}
\]
Convertimos a notación científica:
\[
13.87 \times 10^6 \, \text{m} = 1.387 \times 10^7 \, \text{m}
\]
Ahora, para convertir de metros a kilómetros, dividimos por \(1000\):
\[
1.387 \times 10^7 \, \text{m} = 1.387 \times 10^4 \, \text{km}
\]
Finalmente, redondeando, tenemos:
\[
\text{Distancia total} = 1.313 \times 10^7 \, \text{m}; \, 1.313 \times 10^4 \, \text{km}
\]
Ejercicio 19:Un satélite en órbita alrededor de la Tierra se encuentra a una altitud de \( 7.5 \times 10^6 \) metros sobre la superficie terrestre. La radio de la Tierra es aproximadamente \( 6.371 \times 10^6 \) metros. Calcula la distancia total desde el centro de la Tierra hasta el satélite en notación científica. Además, si la velocidad orbital del satélite es de \( 7.5 \times 10^3 \) m/s, determina el tiempo que tarda en completar una vuelta alrededor de la Tierra en segundos y expresa tu respuesta en notación científica.
Solución: Respuesta:
1. Distancia total desde el centro de la Tierra hasta el satélite: \( 1.3071 \times 10^7 \) m.
2. Tiempo que tarda en completar una vuelta alrededor de la Tierra: \( 1.096 \times 10^4 \) s.
---
Explicación:
1. Para calcular la distancia total desde el centro de la Tierra hasta el satélite, sumamos la altitud del satélite y el radio de la Tierra:
\[
\text{Distancia total} = \text{Radio de la Tierra} + \text{Altitud del satélite}
\]
\[
\text{Distancia total} = 6.371 \times 10^6 \, \text{m} + 7.5 \times 10^6 \, \text{m} = 1.3071 \times 10^7 \, \text{m}
\]
2. Para determinar el tiempo que tarda el satélite en completar una vuelta, usamos la fórmula de la circunferencia y la relación con la velocidad:
\[
\text{Circunferencia} = 2 \pi \cdot \text{Distancia total} = 2 \pi (1.3071 \times 10^7) \approx 8.207 \times 10^7 \, \text{m}
\]
Luego, el tiempo se calcula como:
\[
\text{Tiempo} = \frac{\text{Circunferencia}}{\text{Velocidad}} = \frac{8.207 \times 10^7 \, \text{m}}{7.5 \times 10^3 \, \text{m/s}} \approx 1.096 \times 10^4 \, \text{s}
\]
Ejercicio 20:Un satélite en órbita alrededor de la Tierra se encuentra a una altitud de \( 4.2 \times 10^6 \) metros sobre la superficie. Si la radio de la Tierra es de aproximadamente \( 6.4 \times 10^6 \) metros, calcula la distancia total desde el centro de la Tierra hasta el satélite en notación científica. Además, si la velocidad de escape del satélite es de \( 5.0 \times 10^3 \) m/s, determina el tiempo que tardaría en escapar de la atracción gravitatoria de la Tierra, considerando que la aceleración gravitatoria es de \( 9.81 \, \text{m/s}^2 \). Expresa tu respuesta en segundos y en notación científica.
Solución: Respuesta:
1. Distancia total desde el centro de la Tierra hasta el satélite: \( 1.06 \times 10^7 \, \text{m} \)
2. Tiempo para escapar de la atracción gravitatoria de la Tierra: \( 1.02 \times 10^3 \, \text{s} \)
---
Explicación:
Para calcular la distancia total desde el centro de la Tierra hasta el satélite, sumamos la altitud del satélite a el radio de la Tierra:
\[
\text{Distancia} = \text{Radio de la Tierra} + \text{Altitud del satélite} = 6.4 \times 10^6 \, \text{m} + 4.2 \times 10^6 \, \text{m} = 1.06 \times 10^7 \, \text{m}
\]
Para calcular el tiempo que tardaría en escapar de la atracción gravitatoria de la Tierra, usamos la fórmula:
\[
\text{Tiempo} = \frac{\text{Velocidad de escape}}{\text{Aceleración gravitatoria}} = \frac{5.0 \times 10^3 \, \text{m/s}}{9.81 \, \text{m/s}^2} \approx 1.02 \times 10^3 \, \text{s}
\]
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La notación científica es una forma de expresar números que son muy grandes o muy pequeños, utilizando potencias de diez. Este método facilita la lectura, escritura y cálculo con estos números. A continuación, se presenta un breve resumen del temario que hemos estudiado:
Definición de notación científica.
Estructura de la notación científica: a \times 10^n, donde a es un número entre 1 y 10, y n es un entero.
Conversión de números a notación científica.
Conversión de la notación científica a números decimales.
Operaciones con números en notación científica: suma, resta, multiplicación y división.
Ejemplos prácticos y aplicaciones en Física y Química.
Teoría y Conceptos Clave
En la notación científica, un número se representa como el producto de un número decimal y una potencia de diez. Recuerda que:
Simplificación: La notación científica simplifica la escritura de números como 6.02 × 10^{23} en lugar de 602000000000000000000000.
Potencias de diez: Un número positivo en la notación científica indica que el decimal se mueve a la derecha, mientras que un número negativo indica que se mueve a la izquierda.
Operaciones: Al multiplicar, se suman los exponentes; al dividir, se restan. Para la suma y resta, es necesario que los números tengan el mismo exponente.
Si en algún momento tienes dudas al resolver los ejercicios, no dudes en consultar este resumen o referirte al temario completo. También puedes acercarte a tu profesor para obtener más ayuda. ¡Buena suerte con tus ejercicios!
