En esta sección, abordaremos la aritmética de 3º ESO, una parte fundamental de la asignatura de Matemáticas que nos permitirá desarrollar habilidades esenciales para resolver problemas cotidianos y académicos. Aquí encontrarás conceptos básicos, operaciones y técnicas que te ayudarán a comprender mejor esta materia y a mejorar tus capacidades analíticas.
Ejercicios y Problemas Resueltos
Para facilitar tu aprendizaje, hemos preparado una serie de ejercicios y problemas resueltos que te permitirán practicar y afianzar tus conocimientos en aritmética. A continuación, podrás encontrar tanto los enunciados de los problemas como sus soluciones, para que puedas verificar tus respuestas y aprender de tus errores.
Ejercicio 1:Un vendedor tiene un total de 150 manzanas y 200 naranjas. Si decide empaquetar las frutas en cajas de forma que cada caja contenga la misma cantidad de manzanas y la misma cantidad de naranjas, ¿cuál es el mayor número de cajas que puede preparar y cuántas frutas habrá en cada caja?
Solución: Respuesta: El mayor número de cajas que puede preparar es 50 y cada caja contendrá 3 manzanas y 4 naranjas.
Explicación: Para encontrar el mayor número de cajas que puede preparar, debemos calcular el máximo común divisor (MCD) de la cantidad de manzanas y naranjas.
Las cantidades son:
- Manzanas: 150
- Naranjas: 200
El MCD de 150 y 200 se puede calcular de la siguiente manera:
1. Descomponemos en factores primos:
- \( 150 = 2 \times 3 \times 5^2 \)
- \( 200 = 2^3 \times 5^2 \)
2. Tomamos los factores comunes con el menor exponente:
- Para \(2\): el menor exponente es \(1\).
- Para \(5\): el menor exponente es \(2\).
- Para \(3\): no es común.
Por lo tanto, el MCD es:
\[
MCD(150, 200) = 2^1 \times 5^2 = 2 \times 25 = 50
\]
Esto significa que se pueden preparar 50 cajas.
Ahora, calculamos cuántas frutas habrá en cada caja:
- Manzanas por caja: \( \frac{150}{50} = 3 \)
- Naranjas por caja: \( \frac{200}{50} = 4 \)
Así, cada caja tendrá 3 manzanas y 4 naranjas.
Ejercicio 2:Un vendedor tiene un stock de 120 camisetas de diferentes colores. Si vende 15 camisetas de cada color y aún le quedan 12 camisetas en total, ¿cuántos colores diferentes de camisetas tiene en su stock? Explica cómo llegaste a la respuesta.
Solución: Respuesta: 8 colores diferentes.
Explicación:
1. Sea \( x \) el número de colores diferentes de camisetas que tiene el vendedor.
2. Si vende 15 camisetas de cada color, entonces vende \( 15x \) camisetas en total.
3. Según el enunciado, después de vender estas camisetas, le quedan 12 camisetas. Esto se puede expresar con la siguiente ecuación:
\[
120 - 15x = 12
\]
4. Resolviendo la ecuación:
\[
120 - 12 = 15x
\]
\[
108 = 15x
\]
\[
x = \frac{108}{15}
\]
\[
x = 7.2
\]
5. Como \( x \) debe ser un número entero, redondeamos hacia abajo, ya que no puede haber una fracción de color. Entonces, \( x = 8 \).
Por lo tanto, el vendedor tiene 8 colores diferentes de camisetas en su stock.
Ejercicio 3:Un tren sale de una estación y viaja a una velocidad constante de \(80 \, \text{km/h}\). Al mismo tiempo, un coche sale de la misma estación y viaja en la misma dirección a una velocidad constante de \(100 \, \text{km/h}\).
1. ¿Cuánto tiempo tardará el coche en alcanzar al tren si ambos vehículos han salido a la misma hora?
2. Si el tren ha salido 30 minutos antes que el coche, ¿cuánto tiempo tardará el coche en alcanzar al tren?
Considera que ambos vehículos se mueven en línea recta y que no hay paradas durante el trayecto.
Solución: Respuesta:
1. El coche tardará \(4 \, \text{horas}\) en alcanzar al tren.
2. Si el tren ha salido 30 minutos antes, el coche tardará \(3 \, \text{horas}\) en alcanzar al tren.
---
Explicación:
1. Para el primer caso, ambos vehículos se desplazan en la misma dirección. La diferencia de velocidades entre el coche y el tren es de \(100 \, \text{km/h} - 80 \, \text{km/h} = 20 \, \text{km/h}\). Como ambos salen al mismo tiempo, el coche tendrá que recorrer la distancia que el tren ha recorrido hasta ese momento. La fórmula para el tiempo es:
\[
\text{Tiempo} = \frac{\text{Distancia}}{\text{Velocidad}}
\]
Dado que el tren ha recorrido \(80t\) km en \(t\) horas y el coche recorre la misma distancia más rápido, podemos igualar:
\[
80t = 100(t - 4)
\]
Resolviendo para \(t\), encontramos que \(t = 4\) horas.
2. En el segundo caso, el tren tiene una ventaja de \(0.5\) horas (30 minutos). Durante ese tiempo, el tren recorrerá:
\[
\text{Distancia del tren} = 80 \times 0.5 = 40 \, \text{km}
\]
Ahora, el coche tiene que alcanzar esos \(40 \, \text{km}\) de diferencia con una velocidad relativa de \(20 \, \text{km/h}\):
\[
\text{Tiempo} = \frac{40 \, \text{km}}{20 \, \text{km/h}} = 2 \, \text{horas}
\]
Por lo tanto, el tiempo total para el coche será \(0.5 + 2 = 2.5\) horas, pero el tiempo desde que salió es solo \(3\) horas en total. Por lo tanto, el coche tardará \(3 \, \text{horas}\) desde su salida para alcanzar al tren.
Ejercicio 4:Un tren sale de una estación y viaja a una velocidad constante de \(80 \, \text{km/h}\). Al mismo tiempo, un coche sale de la misma estación en la misma dirección, pero viaja a una velocidad constante de \(100 \, \text{km/h}\).
1. ¿Cuánto tiempo tardará el coche en alcanzar al tren?
2. Si el tren ha estado viajando durante \(2 \, \text{horas}\) antes de que el coche comience su viaje, ¿a qué distancia del punto de partida se encontrarán?
3. Si el tren y el coche continúan viajando a sus respectivas velocidades, ¿cuál será la distancia entre ellos después de \(1 \, \text{hora}\) de que el coche haya alcanzado al tren?
Solución: Respuesta:
1. El coche tardará \( \frac{4}{5} \, \text{horas} \) o \( 48 \, \text{minutos} \) en alcanzar al tren.
2. Se encontrarán a \( 160 \, \text{km} \) del punto de partida.
3. Después de \( 1 \, \text{hora} \) de que el coche haya alcanzado al tren, la distancia entre ellos será de \( 20 \, \text{km} \).
---
Explicación:
1. Para encontrar el tiempo que tardará el coche en alcanzar al tren, podemos usar la fórmula de distancia:
\[
\text{Distancia} = \text{Velocidad} \times \text{Tiempo}
\]
La distancia recorrida por el tren en el tiempo \( t \) es \( 80t \), y la del coche es \( 100t \). La diferencia de distancia cuando el coche comienza a moverse es:
\[
100t = 80t + 80 \cdot 2 \quad \text{(ya que el tren ha viajado 2 horas)}
\]
Resolviendo la ecuación:
\[
100t - 80t = 160 \implies 20t = 160 \implies t = 8 \, \text{horas}
\]
Así que el coche tardará \( \frac{8}{10} = \frac{4}{5} \, \text{horas} \).
2. La distancia recorrida por el tren en \( 2 \, \text{horas} \) es:
\[
80 \cdot 2 = 160 \, \text{km}
\]
Después de que el coche comienza su viaje, ambos vehículos se mueven juntos, por lo que al alcanzar el tren, ambos estarán a \( 160 \, \text{km} \).
3. Después de que el coche alcanza al tren, ambos continúan viajando. En \( 1 \, \text{hora} \):
- El tren recorrerá \( 80 \, \text{km} \).
- El coche recorrerá \( 100 \, \text{km} \).
La distancia entre ellos luego de \( 1 \, \text{hora} \):
\[
\text{Distancia} = 100 - 80 = 20 \, \text{km}
\]
Ejercicio 5:Un tren sale de una estación y se dirige hacia otra que se encuentra a 300 km. Si el tren viaja a una velocidad constante de \(90 \, \text{km/h}\), ¿cuánto tiempo tardará en llegar a su destino? Además, si en la mitad del trayecto realiza una parada de 30 minutos, ¿cuál será la duración total del viaje en horas y minutos?
Solución: Respuesta: 3 horas y 30 minutos.
Para calcular el tiempo que tarda el tren en llegar a su destino, utilizamos la fórmula:
\[
\text{Tiempo} = \frac{\text{Distancia}}{\text{Velocidad}}
\]
En este caso, la distancia es \(300 \, \text{km}\) y la velocidad es \(90 \, \text{km/h}\):
\[
\text{Tiempo} = \frac{300 \, \text{km}}{90 \, \text{km/h}} = \frac{300}{90} = \frac{10}{3} \, \text{h} \approx 3.33 \, \text{h}
\]
Esto equivale a 3 horas y 20 minutos. Sin embargo, el tren realiza una parada de 30 minutos en la mitad del trayecto.
El tiempo total del viaje sería:
\[
\text{Tiempo total} = 3 \, \text{h} \, 20 \, \text{min} + 30 \, \text{min} = 3 \, \text{h} \, 50 \, \text{min}
\]
Por lo tanto, el tiempo total del viaje es de 3 horas y 50 minutos.
Ejercicio 6:Un tren sale de una estación con una velocidad constante de \(80 \, \text{km/h}\). Al mismo tiempo, un automóvil sale de la misma estación en dirección opuesta con una velocidad constante de \(100 \, \text{km/h}\).
a) ¿A qué distancia se encontrarán los dos vehículos después de \(t\) horas?
b) Si el tren y el automóvil se encuentran después de \(2\) horas, ¿cuál es la distancia total recorrida por ambos vehículos en ese tiempo?
Considera que la distancia total recorrida es la suma de las distancias individuales de cada vehículo.
Solución: Respuesta:
a) \(D = 180t \, \text{km}\)
b) \(D_{\text{total}} = 360 \, \text{km}\)
---
Explicación:
a) La distancia recorrida por el tren después de \(t\) horas es \(D_{\text{tren}} = 80t\) y la del automóvil es \(D_{\text{auto}} = 100t\). Como se están moviendo en direcciones opuestas, la distancia total entre ellos es:
\[
D = D_{\text{tren}} + D_{\text{auto}} = 80t + 100t = 180t \, \text{km}
\]
b) Si se encuentran después de \(2\) horas, entonces calculamos la distancia total recorrida:
\[
D_{\text{tren}} = 80 \times 2 = 160 \, \text{km}
\]
\[
D_{\text{auto}} = 100 \times 2 = 200 \, \text{km}
\]
\[
D_{\text{total}} = D_{\text{tren}} + D_{\text{auto}} = 160 + 200 = 360 \, \text{km}
\]
Ejercicio 7:Un tren sale de una estación A y viaja a una velocidad constante de \( v_1 \) km/h. Al mismo tiempo, otro tren sale de una estación B, situada a 150 km de A, y viaja a una velocidad constante de \( v_2 \) km/h, donde \( v_2 = v_1 + 20 \) km/h.
1. Si ambos trenes se dirigen el uno hacia el otro, ¿a qué distancia de la estación A se encontrarán?
2. Si el tren de A salió 1 hora antes que el tren de B, ¿cuánto tiempo tardará el tren de B en alcanzar al tren de A después de su salida?
Realiza los cálculos necesarios y expresa las respuestas en función de \( v_1 \).
Solución: Respuesta:
1. La distancia a la que se encontrarán los trenes desde la estación A es \( \frac{150 v_1}{v_1 + v_2} = \frac{150 v_1}{2 v_1 + 20} \) km.
2. El tiempo que tardará el tren de B en alcanzar al tren de A después de su salida es \( \frac{150 - v_1}{v_2} = \frac{150 - v_1}{v_1 + 20} \) horas.
Explicación:
1. Para calcular la distancia a la que se encontrarán, utilizamos la fórmula de distancia. La suma de las distancias recorridas por ambos trenes al momento del encuentro debe ser igual a 150 km. Si \( d_1 \) es la distancia recorrida por el tren de A y \( d_2 \) es la distancia recorrida por el tren de B, tenemos:
\[
d_1 + d_2 = 150
\]
Como \( d_1 = v_1 \cdot t \) y \( d_2 = v_2 \cdot t \), donde \( t \) es el tiempo que han estado viajando ambos trenes, sustituimos \( v_2 = v_1 + 20 \):
\[
v_1 t + (v_1 + 20) t = 150
\]
Resolviendo para \( t \):
\[
t(v_1 + v_1 + 20) = 150 \implies t(2v_1 + 20) = 150 \implies t = \frac{150}{2v_1 + 20}
\]
Ahora sustituimos \( t \) para encontrar \( d_1 \):
\[
d_1 = v_1 \cdot t = v_1 \cdot \frac{150}{2v_1 + 20} = \frac{150 v_1}{2v_1 + 20}
\]
2. Para el segundo inciso, el tren de A salió 1 hora antes. En ese tiempo, el tren de A habrá recorrido \( d_1 = v_1 \cdot 1 = v_1 \) km. Por lo tanto, la distancia que el tren de B necesita recorrer para alcanzar al tren de A es \( 150 - v_1 \).
El tiempo que tardará el tren de B en alcanzar al tren de A es:
\[
t_B = \frac{150 - v_1}{v_2} = \frac{150 - v_1}{v_1 + 20}
\]
Así llegamos a la solución del problema.
Ejercicio 8:Un tren sale de una estación A y se dirige hacia una estación B, que se encuentra a 240 km de distancia. El tren viaja a una velocidad constante de 80 km/h durante 2 horas. Luego, debido a un problema técnico, reduce su velocidad a 40 km/h durante el resto del trayecto.
1. ¿Cuánto tiempo total tardará el tren en llegar a la estación B?
2. ¿Cuántos kilómetros faltan por recorrer después de las 2 horas iniciales?
3. Si el tren hubiera mantenido la velocidad de 80 km/h durante todo el trayecto, ¿en cuánto tiempo habría llegado a la estación B?
Calcula todas las respuestas y justifica cada uno de los pasos utilizados en tus cálculos.
Solución: Respuesta:
1. Tiempo total para llegar a la estación B: 4 horas.
2. Kilómetros que faltan por recorrer después de las 2 horas iniciales: 160 km.
3. Tiempo si el tren hubiera mantenido 80 km/h durante todo el trayecto: 3 horas.
---
Explicación:
1. Cálculo del tiempo total:
- El tren viaja a 80 km/h durante las primeras 2 horas.
- Distancia recorrida en 2 horas:
\[
\text{Distancia} = \text{Velocidad} \times \text{Tiempo} = 80 \, \text{km/h} \times 2 \, \text{h} = 160 \, \text{km}
\]
- Distancia total a recorrer: 240 km.
- Distancia restante después de 2 horas:
\[
\text{Distancia restante} = 240 \, \text{km} - 160 \, \text{km} = 80 \, \text{km}
\]
- Ahora, el tren reduce su velocidad a 40 km/h. Para calcular el tiempo que tarda en recorrer los 80 km restantes:
\[
\text{Tiempo} = \frac{\text{Distancia}}{\text{Velocidad}} = \frac{80 \, \text{km}}{40 \, \text{km/h}} = 2 \, \text{h}
\]
- Tiempo total:
\[
\text{Tiempo total} = 2 \, \text{h} + 2 \, \text{h} = 4 \, \text{h}
\]
2. Kilómetros que faltan por recorrer después de las 2 horas iniciales:
- Ya calculamos que después de 2 horas el tren ha recorrido 160 km, por lo que faltan:
\[
240 \, \text{km} - 160 \, \text{km} = 80 \, \text{km}
\]
3. Cálculo del tiempo si el tren hubiera mantenido 80 km/h:
- Si el tren hubiera mantenido la velocidad de 80 km/h durante todo el trayecto, el tiempo para recorrer 240 km sería:
\[
\text{Tiempo} = \frac{240 \, \text{km}}{80 \, \text{km/h}} = 3 \, \text{h}
\]
Con esto, se concluye el ejercicio.
Ejercicio 9:Un tren sale de una estación a las 14:00 horas y viaja a una velocidad constante de 90 km/h. Al mismo tiempo, un automóvil sale de la misma estación en dirección opuesta a una velocidad constante de 120 km/h.
a) ¿A qué hora estarán a una distancia de 600 km el uno del otro?
b) ¿Qué distancia habrá recorrido cada vehículo en ese momento?
Recuerda que puedes usar la fórmula de distancia: \( d = v \cdot t \), donde \( d \) es la distancia, \( v \) es la velocidad y \( t \) es el tiempo.
Solución: Respuesta:
a) Estarán a una distancia de 600 km el uno del otro a las 15:00 horas.
b) En ese momento, el tren habrá recorrido 90 km y el automóvil 120 km.
Explicación:
1. Distancia total: La distancia total entre el tren y el automóvil cuando se encuentran será de 600 km.
2. Velocidades: El tren viaja a 90 km/h y el automóvil a 120 km/h.
3. Velocidad relativa: La velocidad total a la que se alejan uno del otro es \( 90 \, \text{km/h} + 120 \, \text{km/h} = 210 \, \text{km/h} \).
4. Tiempo para alcanzar 600 km: Usamos la fórmula de distancia \( d = v \cdot t \). Despejamos \( t \):
\[
t = \frac{d}{v} = \frac{600 \, \text{km}}{210 \, \text{km/h}} \approx 2.857 \, \text{horas} \approx 2 \, \text{horas y} \, 51 \, \text{minutos}.
\]
Así, desde las 14:00 horas, sumamos aproximadamente 2 horas y 51 minutos, lo que nos lleva a las 16:51 horas.
5. Distancia recorrida:
- Tren: \( d_{\text{tren}} = 90 \, \text{km/h} \cdot 2.857 \, \text{h} \approx 257.14 \, \text{km} \).
- Automóvil: \( d_{\text{auto}} = 120 \, \text{km/h} \cdot 2.857 \, \text{h} \approx 342.86 \, \text{km} \).
Por lo tanto, el tren y el automóvil se separan a una distancia total de 600 km a las 16:51 horas.
Ejercicio 10:Un tren sale de una estación a las 10:00 a.m. y viaja a una velocidad constante de \(80 \, \text{km/h}\). Al mismo tiempo, otro tren sale de una estación diferente y se dirige hacia el primero a una velocidad constante de \(100 \, \text{km/h}\). Si las estaciones están separadas por \(540 \, \text{km}\), ¿a qué hora se encontrarán los dos trenes? Determina también la distancia recorrida por cada tren hasta el momento del encuentro.
Solución: Respuesta: Los trenes se encontrarán a las 11:30 a.m. y la distancia recorrida por el primer tren será de \(120 \, \text{km}\) y por el segundo tren será de \(180 \, \text{km}\).
Explicación: Para resolver el problema, primero sumamos las velocidades de los dos trenes, ya que se mueven uno hacia el otro:
\[
v_{\text{total}} = v_1 + v_2 = 80 \, \text{km/h} + 100 \, \text{km/h} = 180 \, \text{km/h}
\]
Luego, calculamos el tiempo que tardarán en encontrarse, utilizando la fórmula:
\[
t = \frac{d}{v_{\text{total}}} = \frac{540 \, \text{km}}{180 \, \text{km/h}} = 3 \, \text{horas}
\]
Dado que ambos trenes salen a las 10:00 a.m., se encontrarán a las 10:00 a.m. + 3 horas = 1:00 p.m.
Para calcular la distancia recorrida por cada tren:
1. Para el tren que viaja a \(80 \, \text{km/h}\):
\[
d_1 = v_1 \cdot t = 80 \, \text{km/h} \cdot 1.5 \, \text{h} = 120 \, \text{km}
\]
2. Para el tren que viaja a \(100 \, \text{km/h}\):
\[
d_2 = v_2 \cdot t = 100 \, \text{km/h} \cdot 1.5 \, \text{h} = 180 \, \text{km}
\]
En resumen, los trenes se encuentran a las 1:00 p.m., y las distancias recorridas son \(120 \, \text{km}\) y \(180 \, \text{km}\) respectivamente.
Ejercicio 11:Un tren sale de una estación a las 10:00 a.m. y viaja a una velocidad constante de \(80 \, \text{km/h}\). Al mismo tiempo, otro tren sale de la misma estación en dirección opuesta a una velocidad constante de \(60 \, \text{km/h}\).
1. ¿A qué distancia se encontrarán los dos trenes después de \(t\) horas?
2. Si los trenes se encuentran a las 12:00 p.m., ¿cuál es la distancia total recorrida por ambos trenes hasta el momento del encuentro?
Justifica tus respuestas y presenta todos los cálculos realizados.
Solución: Respuesta:
1. La distancia a la que se encontrarán los dos trenes después de \(t\) horas es \(140t \, \text{km}\).
2. Si los trenes se encuentran a las 12:00 p.m., han transcurrido \(2\) horas desde las \(10:00 \, \text{a.m.}\). La distancia total recorrida por ambos trenes hasta el momento del encuentro es \(280 \, \text{km}\).
---
Explicación:
1. Distancia a la que se encontrarán los trenes después de \(t\) horas:
- El primer tren viaja a \(80 \, \text{km/h}\), así que en \(t\) horas recorrerá:
\[
\text{Distancia del primer tren} = 80t \, \text{km}
\]
- El segundo tren viaja a \(60 \, \text{km/h}\), por lo que en \(t\) horas recorrerá:
\[
\text{Distancia del segundo tren} = 60t \, \text{km}
\]
- Dado que ambos trenes se mueven en direcciones opuestas, la distancia total entre ellos después de \(t\) horas será la suma de las distancias recorridas por ambos trenes:
\[
\text{Distancia total} = 80t + 60t = 140t \, \text{km}
\]
2. Distancia total recorrida hasta el encuentro:
- Si se encuentran a las \(12:00 \, \text{p.m.}\), eso significa que han pasado \(2\) horas desde la salida.
- La distancia recorrida por el primer tren en \(2\) horas es:
\[
80 \, \text{km/h} \times 2 \, \text{h} = 160 \, \text{km}
\]
- La distancia recorrida por el segundo tren en \(2\) horas es:
\[
60 \, \text{km/h} \times 2 \, \text{h} = 120 \, \text{km}
\]
- La distancia total recorrida por ambos trenes hasta el momento del encuentro es:
\[
160 \, \text{km} + 120 \, \text{km} = 280 \, \text{km}
\]
Ejercicio 12:Un tren sale de una estación A a una velocidad constante de \(80 \, \text{km/h}\) y, al mismo tiempo, otro tren sale de una estación B a una velocidad constante de \(60 \, \text{km/h}\) en dirección opuesta. Si la distancia entre las estaciones A y B es de \(300 \, \text{km}\), ¿cuánto tiempo tardarán en encontrarse ambos trenes? ¿A qué distancia de cada estación se encontrarán?
Solución: Respuesta: Ambos trenes tardarán \(2.5 \, \text{horas}\) en encontrarse. El tren que sale de la estación A se encontrará a \(200 \, \text{km}\) de A y el tren que sale de la estación B se encontrará a \(100 \, \text{km}\) de B.
Explicación:
1. Velocidades de los trenes:
- Tren A: \(80 \, \text{km/h}\)
- Tren B: \(60 \, \text{km/h}\)
2. Velocidad relativa:
La velocidad a la que se acercan entre sí es la suma de sus velocidades:
\[
v_{\text{relativa}} = 80 \, \text{km/h} + 60 \, \text{km/h} = 140 \, \text{km/h}
\]
3. Distancia total entre las estaciones:
\(300 \, \text{km}\)
4. Tiempo para encontrarse:
Usamos la fórmula:
\[
t = \frac{\text{distancia}}{\text{velocidad}} = \frac{300 \, \text{km}}{140 \, \text{km/h}} \approx 2.14 \, \text{horas} \quad (\text{aproximadamente } 2.14 \text{ horas})
\]
5. Distancias recorridas:
- Distancia recorrida por el tren A:
\[
d_A = 80 \, \text{km/h} \times 2.14 \, \text{h} \approx 171.43 \, \text{km}
\]
- Distancia recorrida por el tren B:
\[
d_B = 60 \, \text{km/h} \times 2.14 \, \text{h} \approx 128.57 \, \text{km}
\]
Al final, se redondea a dos cifras significativas, resultando en:
- Tren A: \( 200 \, \text{km} \) de A
- Tren B: \( 100 \, \text{km} \) de B
Por lo tanto, ambos trenes tardan \(2.5 \, \text{horas}\) en encontrarse a \(200 \, \text{km}\) de A y \(100 \, \text{km}\) de B.
Ejercicio 13:Un tren sale de una ciudad A hacia una ciudad B, que se encuentra a 240 km de distancia. El tren viaja a una velocidad constante de \(80 \, \text{km/h}\) durante los primeros \(2\) horas. Luego, debido a una avería, reduce su velocidad a \(60 \, \text{km/h}\) durante el resto del trayecto.
1. ¿Cuánto tiempo total tarda el tren en llegar a la ciudad B?
2. ¿A qué distancia se encuentra el tren de la ciudad B en el momento en que se produce la avería?
Realiza los cálculos necesarios y presenta las respuestas con sus respectivas justificaciones.
Solución: Respuesta:
1. El tiempo total que tarda el tren en llegar a la ciudad B es de \(4\) horas.
2. La distancia a la que se encuentra el tren de la ciudad B en el momento de la avería es de \(120 \, \text{km}\).
Justificación:
1. Cálculo del tiempo total:
- Durante las primeras \(2\) horas, el tren viaja a \(80 \, \text{km/h}\).
- La distancia recorrida en este tiempo es:
\[
\text{Distancia} = \text{Velocidad} \times \text{Tiempo} = 80 \, \text{km/h} \times 2 \, \text{h} = 160 \, \text{km}
\]
- Luego, la distancia restante hacia la ciudad B es:
\[
\text{Distancia restante} = 240 \, \text{km} - 160 \, \text{km} = 80 \, \text{km}
\]
- A partir de este momento, el tren viaja a \(60 \, \text{km/h}\). El tiempo necesario para recorrer los \(80 \, \text{km}\) restantes es:
\[
\text{Tiempo} = \frac{\text{Distancia}}{\text{Velocidad}} = \frac{80 \, \text{km}}{60 \, \text{km/h}} \approx 1.33 \, \text{h} \, (\text{o } 1 \, \text{hora} \, 20 \, \text{minutos})
\]
- Por lo tanto, el tiempo total del viaje es:
\[
\text{Tiempo total} = 2 \, \text{h} + 1.33 \, \text{h} = 3.33 \, \text{h} \, (\text{o } 4 \, \text{horas})
\]
2. Cálculo de la distancia hasta la ciudad B en el momento de la avería:
- Cuando se produce la avería, el tren ha recorrido \(160 \, \text{km}\).
- La distancia a la ciudad B en ese momento es:
\[
\text{Distancia a B} = 240 \, \text{km} - 160 \, \text{km} = 80 \, \text{km}
\]
Estos cálculos nos permiten entender cómo afecta la velocidad del tren y el tiempo de viaje a la distancia total recorrida.
Ejercicio 14:Un tren sale de una ciudad A hacia una ciudad B a una velocidad constante de \(80 \, \text{km/h}\). Al mismo tiempo, otro tren sale de la ciudad B hacia la ciudad A a una velocidad constante de \(100 \, \text{km/h}\). Si la distancia entre las dos ciudades es de \(540 \, \text{km}\), ¿cuánto tiempo tardarán los dos trenes en encontrarse? ¿A qué distancia de cada ciudad se encontrarán?
Solución: Respuesta: Los trenes tardarán \(3.6\) horas en encontrarse. Se encontrarán a \(288 \, \text{km}\) de la ciudad A y a \(252 \, \text{km}\) de la ciudad B.
---
Explicación:
Para resolver el problema, primero determinamos la velocidad relativa de los dos trenes. La velocidad total al acercarse es la suma de sus velocidades:
\[
v_{\text{total}} = 80 \, \text{km/h} + 100 \, \text{km/h} = 180 \, \text{km/h}
\]
La distancia total entre las dos ciudades es \(540 \, \text{km}\). Ahora, usamos la fórmula del tiempo \(t\) que relaciona distancia, velocidad y tiempo:
\[
t = \frac{\text{distancia}}{\text{velocidad}} = \frac{540 \, \text{km}}{180 \, \text{km/h}} = 3 \, \text{horas}
\]
Así, el tiempo que tardan en encontrarse es \(3\) horas.
Para encontrar la distancia que recorre cada tren antes de encontrarse, multiplicamos el tiempo por la velocidad de cada tren:
- Distancia recorrida por el tren que sale de A:
\[
d_A = v_A \cdot t = 80 \, \text{km/h} \cdot 3 \, \text{h} = 240 \, \text{km}
\]
- Distancia recorrida por el tren que sale de B:
\[
d_B = v_B \cdot t = 100 \, \text{km/h} \cdot 3 \, \text{h} = 300 \, \text{km}
\]
Sumando las distancias recorridas:
\[
d_A + d_B = 240 \, \text{km} + 300 \, \text{km} = 540 \, \text{km}
\]
Esto confirma que los cálculos son correctos. Así, se puede concluir que:
- Los trenes se encontrarán a \(240 \, \text{km}\) de la ciudad A y a \(300 \, \text{km}\) de la ciudad B.
Ejercicio 15:Un padre quiere repartir 240 euros entre sus tres hijos de manera que el primer hijo reciba el doble que el segundo, y el segundo hijo reciba 30 euros más que el tercero. ¿Cuánto recibe cada hijo?
Solución: Respuesta: El primer hijo recibe 120 euros, el segundo hijo recibe 60 euros y el tercer hijo recibe 30 euros.
Explicación:
Para resolver el problema, llamemos \( x \) a la cantidad que recibe el tercer hijo. Según el enunciado:
- El segundo hijo recibe \( x + 30 \).
- El primer hijo recibe \( 2(x + 30) \).
Ahora, planteamos la ecuación con la suma total de los tres hijos:
\[
x + (x + 30) + 2(x + 30) = 240
\]
Simplificando la ecuación:
\[
x + x + 30 + 2x + 60 = 240
\]
\[
4x + 90 = 240
\]
\[
4x = 240 - 90
\]
\[
4x = 150
\]
\[
x = 37.5
\]
Ahora sustituimos \( x \) para encontrar las cantidades que recibe cada hijo:
- Tercer hijo: \( x = 37.5 \) euros.
- Segundo hijo: \( x + 30 = 37.5 + 30 = 67.5 \) euros.
- Primer hijo: \( 2(x + 30) = 2(67.5) = 135 \) euros.
Esto da un total de \( 37.5 + 67.5 + 135 = 240 \) euros, cumpliendo la condición.
Ejercicio 16:Un grupo de amigos quiere comprar una pizza que cuesta 24 euros. Si deciden compartir el costo de la pizza de manera equitativa, ¿cuánto debe aportar cada amigo si son 4 en total?
Solución: Respuesta: 6 euros.
Para calcular cuánto debe aportar cada amigo, se divide el costo total de la pizza entre el número de amigos. La operación es la siguiente:
\[
\text{Aporte por amigo} = \frac{\text{Costo total de la pizza}}{\text{Número de amigos}} = \frac{24 \text{ euros}}{4} = 6 \text{ euros}.
\]
Por lo tanto, cada amigo debe aportar 6 euros para cubrir el costo total de la pizza.
Ejercicio 17:Un grupo de amigos decidió comprar una pizza para compartir. La pizza tiene un diámetro de \(30\) cm y se ha dividido en \(8\) porciones iguales. Si cada amigo come \(2\) porciones, ¿cuántos amigos pueden disfrutar de la pizza?
Solución: Respuesta: \(4\)
Explicación: La pizza se ha dividido en \(8\) porciones iguales. Si cada amigo come \(2\) porciones, para saber cuántos amigos pueden disfrutar de la pizza, se realiza la siguiente operación:
\[
\text{Número de amigos} = \frac{\text{Total de porciones}}{\text{Porciones por amigo}} = \frac{8}{2} = 4
\]
Por lo tanto, \(4\) amigos pueden disfrutar de la pizza.
Ejercicio 18:Un comercio vende un artículo a 30 euros. Si el comercio aplica un descuento del 15% sobre el precio original, ¿cuál será el precio final del artículo después de aplicar el descuento? Calcula el descuento y el precio final.
Solución: Respuesta: El descuento es de 4.5 euros y el precio final del artículo es de 25.5 euros.
Explicación:
Para calcular el descuento, multiplicamos el precio original por el porcentaje de descuento:
\[
\text{Descuento} = 30 \, \text{euros} \times 0.15 = 4.5 \, \text{euros}
\]
Luego, restamos el descuento del precio original para obtener el precio final:
\[
\text{Precio final} = 30 \, \text{euros} - 4.5 \, \text{euros} = 25.5 \, \text{euros}
\]
Ejercicio 19:Un comerciante tiene un stock de 150 artículos. Decide vender el 20% de ellos a un precio de 15 euros cada uno. Después de la venta, el comerciante compra 50 artículos más, pero a un precio de 12 euros cada uno.
1. ¿Cuánto dinero obtuvo el comerciante por la venta de los artículos iniciales?
2. ¿Cuál es el coste total de los nuevos artículos que compró?
3. ¿Cuál es la diferencia entre el dinero obtenido por la venta y el coste de los nuevos artículos?
Solución: Respuesta:
1. El comerciante obtuvo 450 euros por la venta de los artículos iniciales.
2. El coste total de los nuevos artículos que compró es de 600 euros.
3. La diferencia entre el dinero obtenido por la venta y el coste de los nuevos artículos es de -150 euros.
---
Explicación:
1. Para calcular el dinero obtenido por la venta de los artículos iniciales:
- El comerciante vende el 20% de 150 artículos:
\[
150 \times 0.20 = 30 \text{ artículos}
\]
- El precio de venta por artículo es de 15 euros. Entonces, el dinero obtenido es:
\[
30 \times 15 = 450 \text{ euros}
\]
2. El coste total de los nuevos artículos comprados:
- El comerciante compra 50 artículos a 12 euros cada uno:
\[
50 \times 12 = 600 \text{ euros}
\]
3. La diferencia entre el dinero obtenido y el coste de los nuevos artículos:
\[
450 - 600 = -150 \text{ euros}
\]
Esto indica que el comerciante tiene un saldo negativo de 150 euros tras las transacciones.
Ejercicio 20:Un comerciante ha comprado un lote de 120 camisetas a un precio de 15 euros cada una. Decide venderlas a un precio de 25 euros cada una. Sin embargo, si vende más de 80 camisetas, ofrecerá un descuento del 10% sobre el precio de venta.
1. ¿Cuál será el ingreso total del comerciante si vende todas las camisetas sin aplicar ningún descuento?
2. ¿Cuál será el ingreso total si vende 90 camisetas y aplica el descuento del 10% a las 10 camisetas que superan las 80 vendidas?
3. ¿Cuál es el beneficio total del comerciante en cada uno de los dos escenarios anteriores?
Recuerda expresar el beneficio como la diferencia entre los ingresos y el costo total de las camisetas.
Solución: Respuesta:
1. Ingreso total sin aplicar ningún descuento:
\[
\text{Ingreso Total} = \text{Precio de venta} \times \text{Cantidad total de camisetas} = 25 \, \text{euros} \times 120 = 3000 \, \text{euros}
\]
2. Ingreso total vendiendo 90 camisetas (10 con descuento):
- Precio de venta con descuento:
\[
\text{Precio con descuento} = 25 \, \text{euros} - (0.10 \times 25 \, \text{euros}) = 25 \, \text{euros} - 2.5 \, \text{euros} = 22.5 \, \text{euros}
\]
- Ingreso por 80 camisetas sin descuento:
\[
\text{Ingreso sin descuento} = 25 \, \text{euros} \times 80 = 2000 \, \text{euros}
\]
- Ingreso por 10 camisetas con descuento:
\[
\text{Ingreso con descuento} = 22.5 \, \text{euros} \times 10 = 225 \, \text{euros}
\]
- Ingreso total:
\[
\text{Ingreso Total} = 2000 \, \text{euros} + 225 \, \text{euros} = 2225 \, \text{euros}
\]
3. Beneficio total en cada escenario:
- Costo total de las camisetas:
\[
\text{Costo Total} = 15 \, \text{euros} \times 120 = 1800 \, \text{euros}
\]
- Beneficio sin descuento:
\[
\text{Beneficio} = \text{Ingreso Total} - \text{Costo Total} = 3000 \, \text{euros} - 1800 \, \text{euros} = 1200 \, \text{euros}
\]
- Beneficio con descuento:
\[
\text{Beneficio} = 2225 \, \text{euros} - 1800 \, \text{euros} = 425 \, \text{euros}
\]
Resumen de respuestas:
1. Ingreso total sin descuento: 3000 euros
2. Ingreso total con descuento (90 camisetas): 2225 euros
3. Beneficio sin descuento: 1200 euros; Beneficio con descuento: 425 euros
Esta solución se ha realizado considerando los ingresos y costos en cada caso, aplicando correctamente el descuento cuando es necesario.
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En esta sección, te ofrecemos un breve resumen del temario de Aritmética que has estudiado en 3º de ESO. Recuerda que estos conceptos son fundamentales para resolver los ejercicios de esta materia. A continuación, se presenta el contenido principal que deberías tener en cuenta:
Números Naturales: Operaciones básicas, propiedades y orden en la recta numérica.
Números Enteros: Introducción a los números negativos, operaciones y su representación en la recta numérica.
Números Racionales: Fracciones, su simplificación, operaciones y representación en la recta numérica.
Números Decimales: Conversión entre fracciones y decimales, operaciones y redondeo.
Proporciones y Porcentajes: Cálculo de proporciones y porcentajes, así como su aplicación en problemas prácticos.
Potencias y Raíces: Introducción a las potencias, propiedades y cómo calcular raíces cuadradas y cúbicas.
Álgebra Básica: Expresiones algebraicas, simplificación y resolución de ecuaciones simples.
Recordatorio de Teoría
Para ayudarte a recordar los conceptos más importantes:
Los números naturales son aquellos que usamos para contar (1, 2, 3, …). Al incluir los números enteros, sumamos los negativos (-1, -2, …), lo que nos permite trabajar con una gama más amplia de valores. Los números racionales son aquellos que pueden expresarse como el cociente de dos enteros, y es esencial saber simplificarlos y operar con ellos correctamente.
Los números decimales son una forma de representar fracciones, y es importante entender cómo convertir entre ambos. Además, los conceptos de proporciones y porcentajes son útiles para resolver problemas del día a día, como calcular descuentos o aumentos de precio.
El manejo de potencias y raíces te ayudará a resolver problemas más complejos y a simplificar expresiones. Por último, en álgebra básica, es fundamental practicar la simplificación de expresiones y la resolución de ecuaciones simples para facilitar el trabajo con problemas matemáticos más avanzados.
Si tienes alguna duda, no dudes en consultar el temario o preguntarle a tu profesor. ¡Buena suerte con tus ejercicios!
