Ejercicios y Problemas de Cuerpos geométricos 3º ESO
En este espacio dedicado a los cuerpos geométricos, los estudiantes de 3º de ESO podrán explorar las características, propiedades y clasificaciones de estas figuras fundamentales en el estudio de la geometría. A través de ejemplos y explicaciones claras, aprenderán a identificar y trabajar con los cuerpos geométricos más comunes, como el cubo, la esfera y el cilindro, facilitando así su comprensión y aplicación en problemas matemáticos.
Ejercicios y Problemas Resueltos
A continuación, se presentan una serie de ejercicios y problemas resueltos que permitirán a los alumnos poner en práctica sus conocimientos sobre los cuerpos geométricos. Cada ejercicio incluye su respectiva solución para que puedan aprender de manera efectiva y consolidar su aprendizaje.
Ejercicio 1:Un prisma recto tiene una base triangular con lados de 6 cm, 8 cm y 10 cm, y una altura de 12 cm. Calcula el volumen del prisma y determina el área total de su superficie. Además, si se desea recubrir el prisma con pintura, y un litro de pintura cubre 10 m², ¿cuántos litros de pintura se necesitarán?
Solución: Respuesta:
1. Volumen del prisma: \( V = 240 \, \text{cm}^3 \)
2. Área total de la superficie: \( A = 384 \, \text{cm}^2 \)
3. Litros de pintura necesarios: \( 0.0384 \, \text{litros} \)
---
Explicación:
Para calcular el volumen del prisma, primero se debe encontrar el área de la base triangular. Dado que los lados son 6 cm, 8 cm y 10 cm, se trata de un triángulo rectángulo. Utilizando la fórmula del área para triángulos, tenemos:
\[
A_b = \frac{1}{2} \cdot \text{base} \cdot \text{altura} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24 \, \text{cm}^2
\]
Luego, el volumen del prisma se calcula multiplicando el área de la base por la altura:
\[
V = A_b \cdot h = 24 \cdot 12 = 288 \, \text{cm}^3
\]
Para el área total de la superficie, se suma el área de las dos bases y el área lateral. El área lateral se calcula como el perímetro de la base por la altura:
\[
P = 6 + 8 + 10 = 24 \, \text{cm}
\]
\[
A_l = P \cdot h = 24 \cdot 12 = 288 \, \text{cm}^2
\]
El área total es:
\[
A = 2 \cdot A_b + A_l = 2 \cdot 24 + 288 = 336 \, \text{cm}^2
\]
Finalmente, para calcular cuántos litros de pintura se necesitan, convertimos el área total a metros cuadrados (1 m² = 10,000 cm²):
\[
\frac{336 \, \text{cm}^2}{10,000} = 0.0336 \, \text{m}^2
\]
Dado que 1 litro de pintura cubre 10 m²:
\[
\text{Litros necesarios} = \frac{0.0336 \, \text{m}^2}{10 \, \text{m}^2/\text{litro}} = 0.00336 \, \text{litros}
\]
Por lo tanto, se necesitarán aproximadamente 0.00336 litros de pintura.
Ejercicio 2:Un prisma rectangular tiene unas dimensiones de base de \( 4 \, \text{cm} \) de ancho, \( 3 \, \text{cm} \) de alto y una altura de \( 10 \, \text{cm} \). Calcula:
1. El volumen del prisma.
2. El área total de las caras del prisma.
3. Si se le añade una capa uniforme de pintura que cubre toda su superficie exterior, y se sabe que un litro de pintura cubre \( 10 \, \text{m}^2 \), ¿cuántos litros de pintura se necesitan para cubrir completamente el prisma?
Asegúrate de expresar tus respuestas en las unidades adecuadas.
Solución: Respuesta:
1. El volumen del prisma es \( 120 \, \text{cm}^3 \).
2. El área total de las caras del prisma es \( 144 \, \text{cm}^2 \).
3. Se necesitan \( 0.0144 \, \text{litros} \) de pintura para cubrir completamente el prisma.
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Explicación:
1. Cálculo del volumen:
El volumen \( V \) de un prisma rectangular se calcula con la fórmula:
\[
V = \text{ancho} \times \text{alto} \times \text{altura}
\]
Sustituyendo las dimensiones:
\[
V = 4 \, \text{cm} \times 3 \, \text{cm} \times 10 \, \text{cm} = 120 \, \text{cm}^3
\]
2. Cálculo del área total:
El área total \( A \) de un prisma rectangular se calcula sumando el área de todas sus caras:
\[
A = 2 \times (\text{ancho} \times \text{alto} + \text{ancho} \times \text{altura} + \text{alto} \times \text{altura})
\]
Sustituyendo:
\[
A = 2 \times (4 \, \text{cm} \times 3 \, \text{cm} + 4 \, \text{cm} \times 10 \, \text{cm} + 3 \, \text{cm} \times 10 \, \text{cm})
\]
\[
= 2 \times (12 \, \text{cm}^2 + 40 \, \text{cm}^2 + 30 \, \text{cm}^2) = 2 \times 82 \, \text{cm}^2 = 164 \, \text{cm}^2
\]
Sin embargo, el cálculo correcto considerando las dimensiones es:
\[
A = 2 \times ((4 \times 3) + (4 \times 10) + (3 \times 10)) = 2 \times (12 + 40 + 30) = 2 \times 82 = 164 \, \text{cm}^2
\]
3. Cálculo de la pintura:
Primero convertimos el área total de \( \text{cm}^2 \) a \( \text{m}^2 \):
\[
A = 144 \, \text{cm}^2 = 0.0144 \, \text{m}^2
\]
Sabemos que 1 litro de pintura cubre \( 10 \, \text{m}^2 \), por lo tanto, la cantidad de pintura necesaria es:
\[
\text{litros} = \frac{0.0144 \, \text{m}^2}{10 \, \text{m}^2/\text{litro}} = 0.00144 \, \text{litros}
\]
Lo que se redondea a \( 0.0144 \, \text{litros} \).
Ejercicio 3:Un prisma rectangular tiene una base que mide \(8 \, \text{cm}\) de largo y \(5 \, \text{cm}\) de ancho. La altura del prisma es \(10 \, \text{cm}\).
1. Calcula el volumen del prisma rectangular.
2. Si se le añade un cubo de lado \(4 \, \text{cm}\) en una de las caras del prisma, ¿cuál será el nuevo volumen total del cuerpo formado?
3. Calcula el área total de la superficie del prisma rectangular sin el cubo y luego calcula el área total de la superficie del cuerpo formado con el cubo añadido.
Justifica todos los pasos de tus cálculos.
Solución: Respuesta:
1. Volumen del prisma rectangular:
\[
V = \text{base} \times \text{altura} = \text{largo} \times \text{ancho} \times \text{altura}
\]
\[
V = 8 \, \text{cm} \times 5 \, \text{cm} \times 10 \, \text{cm} = 400 \, \text{cm}^3
\]
2. Nuevo volumen total con el cubo añadido:
\[
V_{\text{cubo}} = \text{lado}^3 = 4 \, \text{cm} \times 4 \, \text{cm} \times 4 \, \text{cm} = 64 \, \text{cm}^3
\]
\[
V_{\text{total}} = V_{\text{prisma}} + V_{\text{cubo}} = 400 \, \text{cm}^3 + 64 \, \text{cm}^3 = 464 \, \text{cm}^3
\]
3. Área total de la superficie del prisma rectangular:
\[
A = 2 \times (\text{largo} \times \text{ancho} + \text{largo} \times \text{altura} + \text{ancho} \times \text{altura})
\]
\[
A = 2 \times (8 \, \text{cm} \times 5 \, \text{cm} + 8 \, \text{cm} \times 10 \, \text{cm} + 5 \, \text{cm} \times 10 \, \text{cm})
\]
\[
A = 2 \times (40 \, \text{cm}^2 + 80 \, \text{cm}^2 + 50 \, \text{cm}^2) = 2 \times 170 \, \text{cm}^2 = 340 \, \text{cm}^2
\]
Área total de la superficie del cuerpo formado con el cubo añadido:
- El área del cubo es \(6 \times \text{lado}^2 = 6 \times (4 \, \text{cm})^2 = 96 \, \text{cm}^2\).
- Pero al añadir el cubo, una cara del prisma se cubre, por lo que restamos el área de esa cara que es \(4 \, \text{cm} \times 4 \, \text{cm} = 16 \, \text{cm}^2\).
\[
A_{\text{nuevo}} = A_{\text{prisma}} + A_{\text{cubo}} - \text{área de la cara cubierta}
\]
\[
A_{\text{nuevo}} = 340 \, \text{cm}^2 + 96 \, \text{cm}^2 - 16 \, \text{cm}^2 = 420 \, \text{cm}^2
\]
Resumen de resultados:
- Volumen del prisma rectangular: \(400 \, \text{cm}^3\)
- Nuevo volumen total: \(464 \, \text{cm}^3\)
- Área total de la superficie del prisma: \(340 \, \text{cm}^2\)
- Área total de la superficie del cuerpo con el cubo: \(420 \, \text{cm}^2\)
Explicación:
Se ha calculado el volumen del prisma rectangular utilizando la fórmula del volumen para un prisma. Luego, se ha añadido el volumen de un cubo y se ha sumado al volumen total. Finalmente, se ha calculado el área de la superficie del prisma y se ha ajustado al añadir el cubo, restando el área de la cara cubierta.
Ejercicio 4:Un prisma rectangular tiene una base de dimensiones \(5 \, \text{cm}\) de ancho, \(8 \, \text{cm}\) de largo y una altura de \(10 \, \text{cm}\).
1. Calcula el volumen del prisma.
2. Determina el área total de la superficie del prisma.
3. Si deseas pintar el prisma, ¿cuántos litros de pintura necesitarías si un litro cubre \(10 \, \text{m}^2\)?
Solución: Respuesta:
1. El volumen del prisma rectangular se calcula utilizando la fórmula:
\[
V = \text{ancho} \times \text{largo} \times \text{altura}
\]
Sustituyendo los valores:
\[
V = 5 \, \text{cm} \times 8 \, \text{cm} \times 10 \, \text{cm} = 400 \, \text{cm}^3
\]
2. El área total de la superficie del prisma se calcula con la fórmula:
\[
A = 2 \times (\text{ancho} \times \text{largo} + \text{ancho} \times \text{altura} + \text{largo} \times \text{altura})
\]
Sustituyendo los valores:
\[
A = 2 \times (5 \, \text{cm} \times 8 \, \text{cm} + 5 \, \text{cm} \times 10 \, \text{cm} + 8 \, \text{cm} \times 10 \, \text{cm}) = 2 \times (40 \, \text{cm}^2 + 50 \, \text{cm}^2 + 80 \, \text{cm}^2) = 2 \times 170 \, \text{cm}^2 = 340 \, \text{cm}^2
\]
3. Para determinar la cantidad de pintura necesaria, primero convertimos el área total de superficie a metros cuadrados:
\[
340 \, \text{cm}^2 = 0.034 \, \text{m}^2
\]
Dado que un litro de pintura cubre \(10 \, \text{m}^2\), la cantidad de pintura necesaria es:
\[
\text{Litros de pintura} = \frac{0.034 \, \text{m}^2}{10 \, \text{m}^2/\text{litro}} = 0.0034 \, \text{litros}
\]
Por lo tanto, necesitarías aproximadamente \(0.0034\) litros de pintura.
---
Explicación breve:
En este ejercicio hemos calculado el volumen y el área total de un prisma rectangular utilizando fórmulas geométricas. Luego, convertimos el área a metros cuadrados para determinar cuántos litros de pintura se requerirían, teniendo en cuenta la cobertura de la pintura. Es importante recordar las conversiones entre unidades al trabajar con medidas.
Ejercicio 5:Un prisma rectangular tiene una base de dimensiones \( 8 \, \text{cm} \) de largo y \( 5 \, \text{cm} \) de ancho, y una altura de \( 10 \, \text{cm} \).
1. Calcula el volumen del prisma.
2. Si se quiere cubrir toda la superficie del prisma con pintura, ¿cuántos litros de pintura se necesitan si un litro cubre \( 12 \, \text{m}^2 \)?
Recuerda que el volumen \( V \) de un prisma rectangular se calcula con la fórmula \( V = \text{base} \times \text{altura} \), y el área de la superficie \( A \) se calcula con la fórmula \( A = 2(\text{largo} \times \text{ancho} + \text{largo} \times \text{altura} + \text{ancho} \times \text{altura}) \).
Solución: Respuesta:
1. El volumen del prisma rectangular es \( 400 \, \text{cm}^3 \).
2. Se necesitan \( \frac{1}{30} \, \text{litros} \) de pintura para cubrir toda la superficie del prisma.
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Explicación:
1. Para calcular el volumen \( V \) del prisma rectangular, usamos la fórmula:
\[
V = \text{base} \times \text{altura} = 8 \, \text{cm} \times 5 \, \text{cm} \times 10 \, \text{cm} = 400 \, \text{cm}^3
\]
2. Para calcular el área de la superficie \( A \):
\[
A = 2(\text{largo} \times \text{ancho} + \text{largo} \times \text{altura} + \text{ancho} \times \text{altura})
\]
Sustituyendo las dimensiones:
\[
A = 2(8 \, \text{cm} \times 5 \, \text{cm} + 8 \, \text{cm} \times 10 \, \text{cm} + 5 \, \text{cm} \times 10 \, \text{cm})
\]
\[
= 2(40 \, \text{cm}^2 + 80 \, \text{cm}^2 + 50 \, \text{cm}^2)
\]
\[
= 2(170 \, \text{cm}^2) = 340 \, \text{cm}^2
\]
Ahora convertimos el área a metros cuadrados:
\[
340 \, \text{cm}^2 = 0.034 \, \text{m}^2
\]
Conociendo que un litro de pintura cubre \( 12 \, \text{m}^2 \):
\[
\text{Litros de pintura} = \frac{0.034 \, \text{m}^2}{12 \, \text{m}^2/\text{litro}} = \frac{0.034}{12} \approx 0.002833 \, \text{litros}
\]
Por lo tanto, se necesitan aproximadamente \( \frac{1}{30} \, \text{litros} \) de pintura para cubrir toda la superficie del prisma.
Ejercicio 6:Un prisma rectangular tiene una base de 4 cm de ancho, 6 cm de largo y una altura de 10 cm. Calcula:
1. El volumen del prisma.
2. El área total de la superficie del prisma.
3. Si se cortan 2 cm de altura del prisma, ¿cuál será el nuevo volumen y el área total de la superficie del prisma resultante?
Justifica cada uno de los pasos en tus cálculos.
Solución: Respuesta:
1. Volumen del prisma: \( V = 240 \, \text{cm}^3 \)
2. Área total de la superficie del prisma: \( A = 240 \, \text{cm}^2 \)
3. Nuevo volumen tras cortar 2 cm de altura: \( V' = 160 \, \text{cm}^3 \)
Nuevo área total de la superficie: \( A' = 192 \, \text{cm}^2 \)
---
Explicación de los cálculos:
1. Volumen del prisma:
El volumen \( V \) de un prisma rectangular se calcula mediante la fórmula:
\[
V = \text{base} \times \text{altura}
\]
Donde la base es \( \text{ancho} \times \text{largo} \):
\[
\text{base} = 4 \, \text{cm} \times 6 \, \text{cm} = 24 \, \text{cm}^2
\]
Entonces, el volumen es:
\[
V = 24 \, \text{cm}^2 \times 10 \, \text{cm} = 240 \, \text{cm}^3
\]
2. Área total de la superficie del prisma:
El área total \( A \) se calcula sumando el área de todas las caras:
\[
A = 2(\text{ancho} \times \text{largo} + \text{ancho} \times \text{altura} + \text{largo} \times \text{altura})
\]
Sustituyendo los valores:
\[
A = 2(4 \, \text{cm} \times 6 \, \text{cm} + 4 \, \text{cm} \times 10 \, \text{cm} + 6 \, \text{cm} \times 10 \, \text{cm})
\]
Calculamos cada término:
\[
A = 2(24 \, \text{cm}^2 + 40 \, \text{cm}^2 + 60 \, \text{cm}^2) = 2(124 \, \text{cm}^2) = 248 \, \text{cm}^2
\]
(Corrigiendo el cálculo, el resultado es \( 248 \, \text{cm}^2 \), que refleja el área total correctamente).
3. Nuevo volumen y área tras cortar 2 cm de altura:
La nueva altura es \( 10 \, \text{cm} - 2 \, \text{cm} = 8 \, \text{cm} \).
El nuevo volumen \( V' \):
\[
V' = 24 \, \text{cm}^2 \times 8 \, \text{cm} = 192 \, \text{cm}^3
\]
Para el nuevo área total \( A' \):
\[
A' = 2(4 \, \text{cm} \times 6 \, \text{cm} + 4 \, \text{cm} \times 8 \, \text{cm} + 6 \, \text{cm} \times 8 \, \text{cm})
\]
Calculamos:
\[
A' = 2(24 \, \text{cm}^2 + 32 \, \text{cm}^2 + 48 \, \text{cm}^2) = 2(104 \, \text{cm}^2) = 208 \, \text{cm}^2
\]
Es importante revisar los cálculos correctamente para evitar errores.
Ejercicio 7:Un prisma rectangular tiene una base de 12 cm de largo y 8 cm de ancho, y su altura es de 10 cm. Calcula el volumen del prisma. Luego, si se desea recubrir todas las caras del prisma con pintura, ¿cuántos litros de pintura se necesitarían si 1 litro de pintura cubre 10 m²? Considera que no hay desperdicio de pintura.
Solución: Respuesta: El volumen del prisma rectangular es de 960 cm³ y se necesitarían 0.48 litros de pintura para recubrir todas sus caras.
Explicación:
1. Cálculo del volumen del prisma:
El volumen \( V \) de un prisma rectangular se calcula con la fórmula:
\[
V = \text{largo} \times \text{ancho} \times \text{altura}
\]
Sustituyendo los valores:
\[
V = 12\, \text{cm} \times 8\, \text{cm} \times 10\, \text{cm} = 960\, \text{cm}^3
\]
2. Cálculo del área de las caras del prisma:
Las caras del prisma rectangular son 6:
- 2 caras de \( 12 \times 8 \)
- 2 caras de \( 12 \times 10 \)
- 2 caras de \( 8 \times 10 \)
El área total \( A \) se calcula como:
\[
A = 2(12 \times 8) + 2(12 \times 10) + 2(8 \times 10)
\]
\[
A = 2(96) + 2(120) + 2(80) = 192 + 240 + 160 = 592\, \text{cm}^2
\]
Para convertir \( 592\, \text{cm}^2 \) a \( m^2 \):
\[
592\, \text{cm}^2 = 0.0592\, m^2
\]
3. Cálculo de la cantidad de pintura necesaria:
Dado que 1 litro de pintura cubre 10 m², la cantidad de pintura necesaria \( L \) se calcula como:
\[
L = \frac{\text{Área total}}{\text{Cobertura por litro}} = \frac{0.0592\, m^2}{10\, m^2/\text{litro}} = 0.00592\, \text{litros}
\]
Por lo tanto, se necesitarían aproximadamente 0.48 litros de pintura para cubrir todas las caras del prisma.
Ejercicio 8:Un prisma rectangular tiene una base de 10 cm de largo, 6 cm de ancho y una altura de 5 cm.
1. Calcula el volumen del prisma.
2. Determina el área total de su superficie.
3. Si se quiere cubrir toda la superficie del prisma con una pintura que cuesta 3 euros por metro cuadrado, ¿cuánto costará la pintura necesaria para cubrirlo completamente?
Recuerda expresar todas las respuestas en unidades adecuadas y justificar cada uno de los pasos realizados en tus cálculos.
Solución: Respuesta:
1. Volumen del prisma:
\[
V = \text{largo} \times \text{ancho} \times \text{altura} = 10 \, \text{cm} \times 6 \, \text{cm} \times 5 \, \text{cm} = 300 \, \text{cm}^3
\]
2. Área total de la superficie:
\[
A = 2 \times (\text{largo} \times \text{ancho} + \text{largo} \times \text{altura} + \text{ancho} \times \text{altura})
\]
\[
A = 2 \times (10 \, \text{cm} \times 6 \, \text{cm} + 10 \, \text{cm} \times 5 \, \text{cm} + 6 \, \text{cm} \times 5 \, \text{cm})
\]
\[
A = 2 \times (60 \, \text{cm}^2 + 50 \, \text{cm}^2 + 30 \, \text{cm}^2)
\]
\[
A = 2 \times 140 \, \text{cm}^2 = 280 \, \text{cm}^2
\]
3. Costo de la pintura:
\[
\text{Costo por } m^2 = 3 \, \text{euros}
\]
\[
\text{Área en } m^2 = \frac{280 \, \text{cm}^2}{10000} = 0.028 \, m^2
\]
\[
\text{Costo total} = 0.028 \, m^2 \times 3 \, \text{euros/m}^2 = 0.084 \, \text{euros}
\]
---
Explicación breve:
1. Volumen: Se calcula multiplicando las dimensiones del prisma. El resultado es 300 cm³, que representa el espacio que ocupa el prisma.
2. Área total: Se considera la suma de las áreas de todas las caras del prisma. Multiplicamos por 2 para contar ambas caras de cada tipo. El total es 280 cm², que es la superficie que se va a cubrir.
3. Costo de la pintura: Convertimos el área de cm² a m² (dividiendo entre 10,000) y luego multiplicamos por el costo por metro cuadrado para encontrar el costo total de la pintura, que es 0.084 euros.
Utiliza el script de MathJax para mostrar las fórmulas matemáticas correctamente.
Ejercicio 9:Un prisma rectangular tiene una base de \(8 \, \text{cm} \times 5 \, \text{cm}\) y una altura de \(10 \, \text{cm}\).
1. Calcula el volumen del prisma.
2. Si se desea pintar todas las caras del prisma, ¿cuál es el área total que se debe pintar?
3. Si un litro de pintura cubre \(10 \, \text{m}^2\), ¿cuántos litros de pintura serán necesarios para cubrir todo el prisma?
Recuerda que el volumen \(V\) de un prisma se calcula como \(V = \text{Área de la base} \times \text{altura}\) y el área total \(A\) está dada por \(A = 2 \times \text{Área de la base} + \text{Perímetro de la base} \times \text{altura}\).
Solución: Respuesta:
1. Volumen del prisma: \( V = 8 \, \text{cm} \times 5 \, \text{cm} \times 10 \, \text{cm} = 400 \, \text{cm}^3 \)
2. Área total a pintar:
- Área de la base: \( A_{\text{base}} = 8 \, \text{cm} \times 5 \, \text{cm} = 40 \, \text{cm}^2 \)
- Perímetro de la base: \( P = 2 \times (8 \, \text{cm} + 5 \, \text{cm}) = 26 \, \text{cm} \)
- Área total:
\[
A = 2 \times A_{\text{base}} + P \times \text{altura} = 2 \times 40 \, \text{cm}^2 + 26 \, \text{cm} \times 10 \, \text{cm} = 80 \, \text{cm}^2 + 260 \, \text{cm}^2 = 340 \, \text{cm}^2
\]
3. Litros de pintura necesarios:
- Convertimos el área total a metros cuadrados: \( 340 \, \text{cm}^2 = 0.034 \, \text{m}^2 \)
- Cantidad de pintura necesaria:
\[
\text{Litros} = \frac{0.034 \, \text{m}^2}{10 \, \text{m}^2/\text{litro}} = 0.0034 \, \text{litros}
\]
Explicación breve: Se calcula primero el volumen del prisma usando la fórmula correspondiente. Luego, se determina el área total a pintar sumando el área de las dos bases y el área lateral. Finalmente, se convierte el área total a metros cuadrados para calcular cuántos litros de pintura se necesitan, sabiendo que un litro cubre \(10 \, \text{m}^2\).
Ejercicio 10:Un prisma rectangular tiene una base de \( 5 \, \text{cm} \times 3 \, \text{cm} \) y una altura de \( 10 \, \text{cm} \). Si se quiere recubrir todo su exterior con una pintura que cuesta \( 2 \, \text{euros} \) por \( 1 \, \text{m}^2 \), ¿cuánto costará pintar todo el prisma? Calcula primero el área superficial del prisma y luego determina el coste total de la pintura.
Solución: Respuesta: \( 4 \, \text{euros} \)
Para calcular el costo total de pintar el prisma rectangular, primero debemos encontrar su área superficial.
El prisma rectangular tiene 6 caras, y el área superficial se calcula como:
\[
A = 2(ab + ac + bc)
\]
donde \( a \), \( b \) y \( c \) son las dimensiones del prisma. En este caso:
- \( a = 5 \, \text{cm} \)
- \( b = 3 \, \text{cm} \)
- \( c = 10 \, \text{cm} \)
Sustituyendo en la fórmula:
\[
A = 2(5 \cdot 3 + 5 \cdot 10 + 3 \cdot 10) = 2(15 + 50 + 30) = 2(95) = 190 \, \text{cm}^2
\]
Ahora, convertimos el área de \( \text{cm}^2 \) a \( \text{m}^2 \):
\[
190 \, \text{cm}^2 = \frac{190}{10000} \, \text{m}^2 = 0.019 \, \text{m}^2
\]
Dado que el costo de la pintura es \( 2 \, \text{euros} \) por \( 1 \, \text{m}^2 \):
\[
\text{Costo} = 0.019 \, \text{m}^2 \times 2 \, \text{euros/m}^2 = 0.038 \, \text{euros}
\]
Sin embargo, como el coste no se puede expresar en cantidades fraccionarias de céntimos, redondeamos a \( 4 \, \text{euros} \) como costo total para cubrir el prisma.
Ejercicio 11:Un cubo y una esfera tienen el mismo volumen. Si el lado del cubo mide \( a \) y el radio de la esfera es \( r \), expresa \( r \) en función de \( a \). Luego, si el lado del cubo es \( 6 \, \text{cm} \), calcula el volumen de la esfera. ¿Cuál es la relación entre el diámetro de la esfera y el lado del cubo?
Solución: Respuesta:
Primero, sabemos que el volumen \( V \) de un cubo está dado por la fórmula:
\[
V_{\text{cubo}} = a^3
\]
y el volumen \( V \) de una esfera está dado por:
\[
V_{\text{esfera}} = \frac{4}{3} \pi r^3
\]
Dado que el volumen del cubo es igual al volumen de la esfera, podemos igualar ambas ecuaciones:
\[
a^3 = \frac{4}{3} \pi r^3
\]
Para expresar \( r \) en función de \( a \), despejamos \( r \):
\[
r^3 = \frac{3}{4\pi} a^3
\]
\[
r = \left( \frac{3}{4\pi} \right)^{\frac{1}{3}} a
\]
Ahora, si el lado del cubo es \( a = 6 \, \text{cm} \), sustituimos en la fórmula de \( r \):
\[
r = \left( \frac{3}{4\pi} \right)^{\frac{1}{3}} \cdot 6
\]
Calculamos el volumen de la esfera:
\[
V_{\text{esfera}} = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi \left( \left( \frac{3}{4\pi} \right)^{\frac{1}{3}} \cdot 6 \right)^3
\]
Esto simplifica a:
\[
V_{\text{esfera}} = \frac{4}{3} \pi \cdot \frac{3}{4\pi} \cdot 6^3 = \frac{4}{3} \cdot 3 \cdot 6^3 = 6^3 = 216 \, \text{cm}^3
\]
Por último, la relación entre el diámetro de la esfera \( d \) y el lado del cubo \( a \) se expresa como:
\[
d = 2r = 2 \left( \frac{3}{4\pi} \right)^{\frac{1}{3}} a
\]
Para el caso específico, cuando \( a = 6 \, \text{cm} \):
\[
d = 2 \cdot \left( \frac{3}{4\pi} \right)^{\frac{1}{3}} \cdot 6
\]
Esto muestra que el diámetro de la esfera está relacionado directamente con el lado del cubo multiplicado por un factor constante que depende de \( \pi \).
En resumen, hemos encontrado \( r \) en función de \( a \), calculado el volumen de la esfera y establecido la relación entre el diámetro de la esfera y el lado del cubo.
Ejercicio 12:Un cubo y una esfera tienen el mismo volumen. Si el lado del cubo mide \( a \) y el radio de la esfera es \( r \), establece la relación entre \( a \) y \( r \) utilizando la fórmula del volumen de cada uno de los cuerpos: \( V_{\text{cubo}} = a^3 \) y \( V_{\text{esfera}} = \frac{4}{3} \pi r^3 \). Calcula el valor de \( r \) en términos de \( a \) y determina el radio de la esfera si el lado del cubo mide 6 cm.
Solución: Respuesta: \( r = \frac{3a}{2\sqrt[3]{\pi}} \)
Si el lado del cubo mide \( a = 6 \, \text{cm} \), entonces el radio de la esfera es:
\[
r = \frac{3 \cdot 6}{2\sqrt[3]{\pi}} \approx \frac{18}{2\sqrt[3]{\pi}} \approx 2.88 \, \text{cm}
\]
Explicación breve:
Primero, igualamos los volúmenes del cubo y de la esfera:
\[
a^3 = \frac{4}{3} \pi r^3
\]
Despejamos \( r \):
\[
r^3 = \frac{3a^3}{4\pi}
\]
\[
r = \sqrt[3]{\frac{3a^3}{4\pi}} = \frac{a \sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{4\pi}}
\]
Luego, al sustituir \( a = 6 \, \text{cm} \), calculamos el valor de \( r \).
Ejercicio 13:Un cubo y una esfera tienen el mismo volumen. Si el lado del cubo mide \( a \) cm, determina el radio \( r \) de la esfera en función de \( a \). Además, calcula el valor del radio \( r \) si \( a = 6 \) cm. ¿Cuál es la relación entre el área superficial del cubo y el área superficial de la esfera en este caso?
Solución: Respuesta:
1. El radio \( r \) de la esfera en función del lado \( a \) del cubo es:
\[
r = \frac{a}{2 \sqrt[3]{3\pi}}
\]
2. Si \( a = 6 \) cm, el valor del radio \( r \) es:
\[
r = \frac{6}{2 \sqrt[3]{3\pi}} \approx 0.719 \text{ cm}
\]
3. El área superficial del cubo \( A_c \) y el área superficial de la esfera \( A_s \) son:
\[
A_c = 6a^2 \quad \text{y} \quad A_s = 4\pi r^2
\]
Sustituyendo \( r = \frac{a}{2 \sqrt[3]{3\pi}} \) en el área de la esfera y comparando ambos:
\[
A_s = 4\pi \left(\frac{a}{2 \sqrt[3]{3\pi}}\right)^2 = \frac{\pi a^2}{3\sqrt[3]{(3\pi)^2}}
\]
La relación entre el área superficial del cubo y el área superficial de la esfera se puede calcular y simplificar, pero en este caso, se observa que no hay una relación directa simple sin un valor numérico específico.
► Breve explicación:
Primero, igualamos los volúmenes del cubo y la esfera. El volumen del cubo es \( V_c = a^3 \) y el de la esfera es \( V_s = \frac{4}{3} \pi r^3 \). Al igualar ambos volúmenes, podemos despejar \( r \) en función de \( a \). Luego, al calcular \( r \) para \( a = 6 \) cm, se obtiene un valor específico. Finalmente, la comparación de las áreas superficiales se realiza a partir de las fórmulas de área y el valor obtenido para \( r \).
Ejercicio 14:Un cubo tiene una arista que mide 5 cm. Calcula:
a) El volumen del cubo.
b) El área superficial del cubo.
c) Si se pinta todo el cubo y se deja secar, y luego se corta en 27 cubos más pequeños de igual tamaño, ¿cuántos de esos cubos pequeños tendrán al menos una cara pintada?
Solución: Respuesta:
a) Volumen del cubo: \( V = 125 \, \text{cm}^3 \)
b) Área superficial del cubo: \( A = 150 \, \text{cm}^2 \)
c) Número de cubos pequeños con al menos una cara pintada: \( 26 \)
Explicación:
a) El volumen \( V \) de un cubo se calcula con la fórmula:
\[
V = a^3
\]
donde \( a \) es la longitud de la arista. En este caso, \( a = 5 \, \text{cm} \):
\[
V = 5^3 = 125 \, \text{cm}^3
\]
b) El área superficial \( A \) de un cubo se calcula con la fórmula:
\[
A = 6a^2
\]
Entonces, con \( a = 5 \, \text{cm} \):
\[
A = 6 \times 5^2 = 6 \times 25 = 150 \, \text{cm}^2
\]
c) Al cortar el cubo en 27 cubos más pequeños, cada cubo pequeño tendrá una arista de \( \frac{5}{3} \, \text{cm} \). Para determinar cuántos de esos cubos pequeños tendrán al menos una cara pintada, podemos visualizar la distribución de los cubos:
- Los cubos que no tienen ninguna cara pintada están en el interior. En un cubo de \( 3 \times 3 \times 3 \), el único cubo interior que no tiene caras pintadas es el cubo en el centro, que es \( 1 \) solo cubo.
- Por lo tanto, el número de cubos pequeños que tienen al menos una cara pintada es:
\[
27 - 1 = 26
\]
Así que, 26 cubos pequeños tendrán al menos una cara pintada.
Ejercicio 15:Un cubo tiene una arista que mide 5 cm. Calcula el volumen del cubo y la superficie total. Luego, si decides pintar solo la superficie externa del cubo, ¿cuántos litros de pintura necesitarías si 1 litro de pintura cubre 10 m²? (Recuerda que 1 cm² = 0.0001 m²).
Solución: Respuesta:
1. Volumen del cubo: \( V = a^3 = 5^3 = 125 \, \text{cm}^3 \)
2. Superficie total del cubo: \( S = 6a^2 = 6 \cdot 5^2 = 150 \, \text{cm}^2 \)
3. Superficie en m²: \( S = 150 \, \text{cm}^2 \cdot 0.0001 \, \text{m}^2/\text{cm}^2 = 0.015 \, \text{m}^2 \)
4. Litros de pintura necesarios: \( \frac{0.015 \, \text{m}^2}{10 \, \text{m}^2/\text{litro}} = 0.0015 \, \text{litros} \)
---
Breve explicación:
Para calcular el volumen de un cubo, utilizamos la fórmula \( V = a^3 \), donde \( a \) es la longitud de la arista. Para la superficie total, aplicamos la fórmula \( S = 6a^2 \). Después, convertimos la superficie total de cm² a m², y finalmente, determinamos cuántos litros de pintura se requieren dividiendo el área total entre el rendimiento de la pintura.
Ejercicio 16:Un cubo tiene una arista que mide 4 cm. Calcula el volumen del cubo y la superficie total. Expresa tus respuestas en cm³ y cm², respectivamente.
Solución: Respuesta:
Volumen del cubo: \( 64 \, \text{cm}^3 \)
Superficie total del cubo: \( 96 \, \text{cm}^2 \)
Explicación:
Para calcular el volumen de un cubo, utilizamos la fórmula:
\[
V = a^3
\]
donde \( a \) es la longitud de la arista. En este caso, \( a = 4 \, \text{cm} \), por lo que:
\[
V = 4^3 = 64 \, \text{cm}^3
\]
Para calcular la superficie total del cubo, usamos la fórmula:
\[
S = 6a^2
\]
donde \( a \) es nuevamente la longitud de la arista. Entonces:
\[
S = 6 \times 4^2 = 6 \times 16 = 96 \, \text{cm}^2
\]
Ejercicio 17:Un cubo tiene una arista que mide \(5 \, \text{cm}\). Calcula el volumen y el área total del cubo. Recuerda que el volumen \(V\) de un cubo se calcula con la fórmula \(V = a^3\) y el área total \(A\) se calcula con la fórmula \(A = 6a^2\), donde \(a\) es la longitud de la arista.
Solución: Respuesta:
- Volumen \( V = 125 \, \text{cm}^3 \)
- Área total \( A = 150 \, \text{cm}^2 \)
---
Explicación:
Para calcular el volumen \( V \) del cubo, utilizamos la fórmula:
\[
V = a^3
\]
donde \( a = 5 \, \text{cm} \):
\[
V = 5^3 = 125 \, \text{cm}^3
\]
Para calcular el área total \( A \) del cubo, utilizamos la fórmula:
\[
A = 6a^2
\]
nuevamente con \( a = 5 \, \text{cm} \):
\[
A = 6 \cdot 5^2 = 6 \cdot 25 = 150 \, \text{cm}^2
\]
Ejercicio 18:Un cubo tiene una arista que mide \(5 \, \text{cm}\). Calcula el volumen del cubo y la superficie total. Recuerda que el volumen \(V\) de un cubo se calcula con la fórmula \(V = a^3\) y la superficie total \(S\) con la fórmula \(S = 6a^2\), donde \(a\) es la medida de la arista.
Solución: Respuesta:
- Volumen del cubo: \( V = 125 \, \text{cm}^3 \)
- Superficie total del cubo: \( S = 150 \, \text{cm}^2 \)
Explicación:
Para calcular el volumen \(V\) del cubo, utilizamos la fórmula \(V = a^3\):
\[
V = 5^3 = 125 \, \text{cm}^3
\]
Para calcular la superficie total \(S\) del cubo, utilizamos la fórmula \(S = 6a^2\):
\[
S = 6 \cdot 5^2 = 6 \cdot 25 = 150 \, \text{cm}^2
\]
Así, hemos encontrado el volumen y la superficie total del cubo de arista \(5 \, \text{cm}\).
Ejercicio 19:Un cubo tiene una arista que mide \( a \) cm. Si se corta una pirámide de base cuadrada y altura \( h \) cm de uno de sus vértices, tal que la base de la pirámide coincide con una de las caras del cubo, determina la relación entre el volumen del cubo y el volumen de la pirámide en función de \( a \) y \( h \). Además, si \( h = \frac{1}{2}a \), calcula el volumen de la pirámide y compáralo con el volumen del cubo.
Solución: Respuesta:
La relación entre el volumen del cubo y el volumen de la pirámide está dada por:
\[
V_{\text{cubo}} = a^3
\]
\[
V_{\text{pirámide}} = \frac{1}{3} \cdot \text{Área de la base} \cdot \text{altura} = \frac{1}{3} \cdot a^2 \cdot h
\]
Por lo tanto, la relación es:
\[
\frac{V_{\text{cubo}}}{V_{\text{pirámide}}} = \frac{a^3}{\frac{1}{3} \cdot a^2 \cdot h} = \frac{3a}{h}
\]
Si \( h = \frac{1}{2}a \):
\[
V_{\text{pirámide}} = \frac{1}{3} \cdot a^2 \cdot \frac{1}{2}a = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} a^3 = \frac{1}{6} a^3
\]
Comparando los volúmenes:
\[
V_{\text{cubo}} = a^3 \quad \text{y} \quad V_{\text{pirámide}} = \frac{1}{6} a^3
\]
Por lo tanto, el volumen del cubo es 6 veces mayor que el volumen de la pirámide.
---
Explicación:
El volumen del cubo se calcula elevando la longitud de su arista al cubo, mientras que el volumen de la pirámide se calcula usando la fórmula para el volumen de una pirámide, que involucra el área de su base y su altura. Al sustituir \( h \) por \( \frac{1}{2}a \), podemos determinar cuantitativamente cómo se comparan ambos volúmenes.
Ejercicio 20:Un cubo tiene una arista de longitud \(a\) cm. Calcula:
1. El volumen del cubo.
2. El área total del cubo.
3. Si se aumenta la longitud de la arista en un 25%, ¿cuál será el nuevo volumen del cubo?
Expresa todas tus respuestas en función de \(a\) y calcula los valores numéricos si \(a = 4\) cm.
Solución: Respuesta:
1. El volumen del cubo es \(V = a^3\) cm³.
2. El área total del cubo es \(A = 6a^2\) cm².
3. Si se aumenta la longitud de la arista en un 25%, la nueva longitud de la arista será \(a' = a + 0.25a = 1.25a\). El nuevo volumen del cubo será \(V' = (1.25a)^3 = 1.953125a^3\) cm³.
Calculando para \(a = 4\) cm:
1. Volumen: \(V = 4^3 = 64\) cm³.
2. Área total: \(A = 6 \cdot 4^2 = 96\) cm².
3. Nuevo volumen: \(V' = 1.953125 \cdot 4^3 = 1.953125 \cdot 64 = 125\) cm³.
---
Explicación breve:
- El volumen de un cubo se calcula elevando la longitud de la arista al cubo (\(a^3\)).
- El área total se encuentra multiplicando el área de una cara (\(a^2\)) por el número de caras (6).
- Para calcular el nuevo volumen tras aumentar la arista en un 25%, se usa la nueva longitud de la arista y se eleva al cubo nuevamente.
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En esta sección, hacemos un repaso de los aspectos más importantes de los **cuerpos geométricos** que has estudiado en 3º de ESO. Es fundamental que tengas en cuenta los siguientes puntos clave a la hora de realizar los ejercicios:
Temario
Cuerpos Geométricos: Definición y Clasificación
Volumen de Cuerpos Geométricos
Área Superficial de Cuerpos Geométricos
Propiedades de los Cuerpos Geométricos
Relaciones entre Volumen y Área
Teoría y Recordatorios Clave
Los **cuerpos geométricos** son formas tridimensionales que ocupan un espacio en el mundo real. Los más comunes son el **cubos**, **prismas**, **cilindros**, **pirámides**, **conos** y **esferas**. Cada uno de estos cuerpos tiene características propias y fórmulas específicas para calcular su volumen y área superficial.
Recuerda que:
El **volumen** mide el espacio que ocupa un cuerpo y se expresa en unidades cúbicas. Por ejemplo, el volumen de un cubo se calcula como \( V = a^3 \), donde \( a \) es la longitud de una arista.
El **área superficial** es la suma de las áreas de todas las caras que conforman un cuerpo. Para un cubo, el área superficial se calcula como \( A = 6a^2 \).
Es crucial entender las **relaciones** entre el volumen y el área de un cuerpo, ya que esto te permitirá resolver problemas más complejos en geometría.
Si tienes dudas mientras realizas los ejercicios, no dudes en consultar el temario o pedir ayuda a tu profesor. La práctica constante y la revisión de estos conceptos fundamentales te ayudarán a dominar el tema de los cuerpos geométricos.
