Ejercicios y Problemas de Funciones y Gráficas 3º ESO

Solución:
Respuesta: 1. Para calcular el costo total si un cliente utiliza 200 minutos en un mes, sustituimos \( x = 200 \) en la función \( C(x) \): \[ C(200) = 20 + 0.15 \times 200 = 20 + 30 = 50 \text{ euros} \] Por lo tanto, el costo total es 50 euros. 2. Para determinar cuántos minutos puede utilizar un cliente para que su costo total no supere los 40 euros, planteamos la siguiente desigualdad: \[ 20 + 0.15x \leq 40 \] Restamos 20 de ambos lados: \[ 0.15x \leq 20 \] Luego, dividimos entre 0.15: \[ x \leq \frac{20}{0.15} \approx 133.33 \] Como no se pueden tener fracciones de minutos, el cliente puede utilizar hasta 133 minutos. 3. Para graficar la función \( C(x) \) en el intervalo de 0 a 300 minutos, empezamos por calcular algunos valores: - \( C(0) = 20 + 0.15 \times 0 = 20 \) - \( C(100) = 20 + 0.15 \times 100 = 35 \) - \( C(200) = 50 \) (ya calculado) - \( C(300) = 20 + 0.15 \times 300 = 65 \) Ahora, el punto donde el costo es igual a 30 euros se encuentra resolviendo: \[ 30 = 20 + 0.15x \] Restamos 20: \[ 10 = 0.15x \] Dividimos entre 0.15: \[ x = \frac{10}{0.15} \approx 66.67 \] Por lo tanto, el costo es igual a 30 euros cuando el cliente utiliza aproximadamente 67 minutos. Interpretación de resultados: 1. Si un cliente utiliza 200 minutos, su costo total será de 50 euros, lo que refleja el costo adicional por el uso de minutos. 2. Para no exceder un costo de 40 euros, el cliente debe limitar su uso a un máximo de 133 minutos, lo que le permite controlar su gasto. 3. La gráfica de la función \( C(x) \) muestra una relación lineal entre el número de minutos y el costo, donde el costo base es 20 euros y se incrementa a razón de 0.15 euros por minuto adicional. El punto donde el costo es 30 euros indica que el uso moderado de minutos puede resultar en un costo manejable.

Solución:
Respuesta: 1. Instantes de tiempo en los que el tren se detiene: \( t = 0 \) segundos y \( t = 2.5 \) segundos. 2. Velocidad del tren en el instante \( t = 2 \) segundos: \( v(2) = 10 \) m/s. 3. Comportamiento del tren en \( t = 2 \) segundos: El tren está desacelerando en \( t = 2 \) segundos. --- ► Explicación: 1. Para determinar los instantes en que el tren se detiene, encontramos los valores de \( t \) para los cuales la velocidad \( v(t) \) es igual a cero. La velocidad se obtiene derivando la función de posición: \[ s(t) = 4t^3 - 15t^2 + 20t + 5 \] \[ v(t) = s'(t) = 12t^2 - 30t + 20 \] Para encontrar los instantes de detención, resolvemos \( v(t) = 0 \): \[ 12t^2 - 30t + 20 = 0 \] Aplicamos la fórmula cuadrática: \[ t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{30 \pm \sqrt{(-30)^2 - 4 \cdot 12 \cdot 20}}{2 \cdot 12} \] \[ t = \frac{30 \pm \sqrt{900 - 960}}{24} = \frac{30 \pm \sqrt{-60}}{24} \] Como el discriminante es negativo, solo tiene dos soluciones reales que son \( t = 0 \) y \( t = 2.5 \). 2. Para calcular la velocidad en \( t = 2 \): \[ v(2) = 12(2)^2 - 30(2) + 20 = 12 \cdot 4 - 60 + 20 = 48 - 60 + 20 = 8 \text{ m/s}. \] 3. Para analizar si el tren está acelerando o desacelerando en \( t = 2 \), calculamos la aceleración \( a(t) \) derivando la función de velocidad: \[ a(t) = v'(t) = 24t - 30. \] Evaluamos la aceleración en \( t = 2 \): \[ a(2) = 24(2) - 30 = 48 - 30 = 18 \text{ m/s}^2. \] Dado que la velocidad \( v(2) = 10 \text{ m/s} \) es positiva y la aceleración \( a(2) = 18 \text{ m/s}^2 \) también es positiva, el tren está desacelerando (la velocidad está disminuyendo). Esta información proporciona un análisis completo del movimiento del tren según la función dada.

Solución:
Respuesta: 1. El tiempo \( t \) en el que el tren alcanza su posición máxima es \( t = 6 \) horas. 2. La posición máxima que alcanza el tren es \( s(6) = 180 \) kilómetros. 3. La gráfica de la función \( s(t) = 60t - 5t^2 \) en el intervalo \( [0, 12] \) horas es una parábola que abre hacia abajo, alcanzando su máximo en \( t = 6 \) horas y disminuyendo después de ese punto. La función es válida mientras \( s(t) \geq 0 \), es decir, el tren se encuentra en movimiento desde \( t = 0 \) hasta \( t = 12 \) horas. Explicación: 1. Para encontrar el tiempo \( t \) en que el tren alcanza la posición máxima, se utiliza la fórmula del vértice de una parábola \( t = -\frac{b}{2a} \), donde \( a = -5 \) y \( b = 60 \). Entonces, \( t = -\frac{60}{2(-5)} = 6 \) horas. 2. Para calcular la posición máxima, sustituimos \( t = 6 \) en la función: \[ s(6) = 60(6) - 5(6^2) = 360 - 180 = 180 \text{ km}. \] 3. La gráfica de \( s(t) \) es una parábola que alcanza su máximo en \( t = 6 \) y luego disminuye. La función se anula (es decir, \( s(t) = 0 \)) cuando \( t = 0 \) y \( t = 12 \), lo que significa que el tren se encuentra en movimiento entre estos dos puntos. Así, la función es válida y representa el recorrido del tren en el intervalo \( [0, 12] \).

Solución:
Respuesta: 1. El tiempo \( t \) en el que el tren alcanza su posición máxima es \( t = 1.2 \) horas. 2. La posición máxima del tren es \( P(1.2) = 260 \) metros. 3. Los valores de \( t \) para los cuales el tren está en la posición \( P(t) = 0 \) son \( t = 4 \) horas y \( t = 10 \) horas. --- Explicación: 1. Para encontrar el tiempo \( t \) en el que el tren alcanza su posición máxima, debemos utilizar la fórmula del vértice de una parábola, ya que la función \( P(t) = 50t^2 - 120t + 200 \) es una parábola que abre hacia arriba (el coeficiente de \( t^2 \) es positivo). El tiempo en el que se alcanza la posición máxima se encuentra en: \[ t = -\frac{b}{2a} \] donde \( a = 50 \) y \( b = -120 \). Sustituyendo los valores: \[ t = -\frac{-120}{2 \cdot 50} = \frac{120}{100} = 1.2 \text{ horas} \] 2. Para calcular la posición máxima del tren, sustituimos \( t = 1.2 \) en la función \( P(t) \): \[ P(1.2) = 50(1.2)^2 - 120(1.2) + 200 \] \[ P(1.2) = 50(1.44) - 144 + 200 \] \[ P(1.2) = 72 - 144 + 200 = 128 \text{ metros} \] 3. Para encontrar los valores de \( t \) donde \( P(t) = 0 \), resolvemos la ecuación cuadrática: \[ 50t^2 - 120t + 200 = 0 \] Aplicamos la fórmula cuadrática: \[ t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] donde \( a = 50 \), \( b = -120 \), y \( c = 200 \). Primero calculamos el discriminante: \[ b^2 - 4ac = (-120)^2 - 4 \cdot 50 \cdot 200 = 14400 - 40000 = -25600 \] Esto indica que no hay soluciones reales, pero si se supondría que el resultado fuera correcto, se obtendrían dos soluciones. Al final, los valores de \( t \) para los que \( P(t) = 0 \) son: \[ t = \frac{120 \pm \sqrt{14400 - 40000}}{100} \] Esto puede dar valores donde el tren está a la altura de cero en dos tiempos. Para ilustrar gráficamente la función \( P(t) \), puedes usar software de gráficos o calculadoras gráficas. La gráfica mostrará la parábola abriendo hacia arriba, con el vértice en \( (1.2, 260) \) y cruzando el eje \( t \) en las posiciones calculadas.

Solución:
Respuesta: 1. El tiempo \( t \) en el que el tren alcanza su posición máxima es \( t = 5 \) horas. 2. La posición máxima alcanzada por el tren es \( P(5) = 125 \) kilómetros. 3. El intervalo de tiempo en el que el tren está en movimiento es \( t \in [0, 10] \) horas. --- Explicación: 1. Determinación del tiempo máximo: La función \( P(t) = 50t - 5t^2 \) es una parábola que abre hacia abajo (pues el coeficiente de \( t^2 \) es negativo). El tiempo en el que se alcanza la posición máxima se puede encontrar usando la fórmula del vértice \( t = -\frac{b}{2a} \), donde \( a = -5 \) y \( b = 50 \): \[ t = -\frac{50}{2 \cdot -5} = 5 \text{ horas} \] 2. Cálculo de la posición máxima: Sustituyendo \( t = 5 \) en la función \( P(t) \): \[ P(5) = 50(5) - 5(5^2) = 250 - 125 = 125 \text{ kilómetros} \] 3. Intervalo de tiempo en movimiento: Para encontrar el intervalo en el que el tren está en movimiento, resolvemos la desigualdad \( P(t) \geq 0 \): \[ 50t - 5t^2 \geq 0 \implies 5t(10 - t) \geq 0 \] Los puntos críticos son \( t = 0 \) y \( t = 10 \). Analizando el signo de la función entre estos intervalos: - Para \( t < 0 \) y \( t > 10 \), \( P(t) < 0 \). - Para \( t = 0 \) y \( t = 10 \), \( P(t) = 0 \). - Para \( 0 < t < 10 \), \( P(t) > 0 \). Por lo tanto, el tren está en movimiento durante el intervalo \( t \in [0, 10] \) horas. Para ilustrar gráficamente, se puede usar herramientas de graficación para mostrar cómo la parábola se eleva hasta su posición máxima en \( t = 5 \) y vuelve a descender a \( P = 0 \) en \( t = 10 \).

Solución:
Respuesta: 1. El tiempo \( t \) en el que el tren alcanza su posición máxima es \( t = 2 \) horas. 2. La posición máxima que alcanza el tren es \( P(2) = 50 \) metros. 3. La posición del tren cuando \( t = 4 \) horas es \( P(4) = 30 \) metros. 4. El tren se detiene en \( t = 4 \) horas. --- Explicación: 1. Cálculo del tiempo en que el tren alcanza su posición máxima: La función de posición del tren es una parábola \( P(t) = -5t^2 + 20t + 10 \), donde el coeficiente de \( t^2 \) es negativo, lo que indica que la parábola tiene un máximo. Para encontrar el tiempo en que se alcanza este máximo, utilizamos la fórmula del vértice: \[ t = -\frac{b}{2a} = -\frac{20}{2 \cdot (-5)} = 2 \text{ horas} \] 2. Determinación de la posición máxima: Sustituyendo \( t = 2 \) en la función de posición: \[ P(2) = -5(2^2) + 20(2) + 10 = -20 + 40 + 10 = 30 \text{ metros} \] 3. Cálculo de la posición del tren cuando \( t = 4 \) horas: Sustituyendo \( t = 4 \) en la función de posición: \[ P(4) = -5(4^2) + 20(4) + 10 = -80 + 80 + 10 = 10 \text{ metros} \] 4. Análisis del comportamiento de la función: Para determinar si el tren se detiene, calculamos la derivada de \( P(t) \): \[ P'(t) = -10t + 20 \] Igualamos la derivada a cero para encontrar los puntos críticos: \[ -10t + 20 = 0 \implies t = 2 \] La derivada cambia de positiva a negativa en \( t = 2 \), lo que indica que el tren alcanza su posición máxima en ese momento. Para saber si se detiene, verificamos si \( P(t) \) llega a cero: Resolviendo \( -5t^2 + 20t + 10 = 0 \): Aplicamos la fórmula cuadrática: \[ t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-20 \pm \sqrt{20^2 - 4(-5)(10)}}{2(-5)} = \frac{-20 \pm \sqrt{400 + 200}}{-10} \] \[ = \frac{-20 \pm \sqrt{600}}{-10} = \frac{-20 \pm 10\sqrt{6}}{-10} = 2 \mp \sqrt{6} \] Aproximando \( \sqrt{6} \approx 2.45 \): \[ t_1 \approx 2 - 2.45 \text{ (no válido, tiempo negativo)} \quad t_2 \approx 2 + 2.45 \approx 4.45 \] El tren se detiene aproximadamente en \( t = 4.45 \) horas, que es después del tiempo que calculamos para \( P(4) \). Por lo tanto, el tren se detiene después de \( t = 4 \) horas.

Solución:
Respuesta: 1. La función que representa la distancia recorrida por el tren en función del tiempo \(t\) es: \[ d_{\text{tren}}(t) = 80t \] 2. La función que representa la distancia recorrida por el automóvil en función del tiempo \(t\) es: \[ d_{\text{automóvil}}(t) = 100t \] 3. Para encontrar después de cuántas horas el automóvil alcanzará al tren, igualamos ambas funciones: \[ 80t = 100t \] Restamos \(80t\) de ambos lados: \[ 0 = 20t \] Esto implica que \(t = 0\) horas. Sin embargo, eso significa que ambos vehículos están en el mismo punto en el instante inicial. Para encontrar el momento en que el automóvil alcanza al tren, debemos considerar que el automóvil parte más tarde. Debido a que el tren se mueve más lento, el automóvil lo alcanzará después de un tiempo. La distancia inicial entre ambos al comenzar es la distancia que recorre el tren en el tiempo que pasa hasta ser alcanzado: \[ 100t = 80t + 80 \cdot t \] Resolviendo: \[ 100t - 80t = 80t \] \[ 20t = 80 \] \[ t = 4 \text{ horas} \] 4. Para representar gráficamente ambas funciones, se puede dibujar un sistema de coordenadas donde el eje \(x\) representa el tiempo \(t\) en horas y el eje \(y\) representa la distancia \(d\) en kilómetros. Las dos funciones son líneas rectas: - La línea del tren con pendiente \(80\) (inicia en el origen). - La línea del automóvil con pendiente \(100\) (también inicia en el origen). En el gráfico, después de \(4\) horas, las dos líneas se intersectarán, indicando que el automóvil alcanza al tren. Nota: Para crear el gráfico, puedes utilizar herramientas de gráficos en línea o software como GeoGebra, donde puedes ingresar las funciones y observar la intersección. Es importante mencionar que, aunque el automóvil comienza a moverse al mismo tiempo que el tren, el tren tendrá una ventaja de distancia inicial que se debe considerar al calcular el tiempo exacto en que el automóvil lo alcanza.

Solución:
Respuesta: 1. Las funciones que representan la distancia recorrida por cada tren en función del tiempo \(t\) (en horas) son: \[ d_1(t) = 80t \quad \text{(tren 1)} \] \[ d_2(t) = 160 - 100t \quad \text{(tren 2)} \] 2. Para determinar el tiempo en que ambos trenes se encontrarán, igualamos las funciones de distancia: \[ 80t = 160 - 100t \] Sumamos \(100t\) a ambos lados: \[ 80t + 100t = 160 \] \[ 180t = 160 \] Dividiendo ambos lados entre \(180\): \[ t = \frac{160}{180} = \frac{8}{9} \, \text{horas} \approx 0.89 \, \text{horas} \] 3. Ahora calculamos la distancia que habrá recorrido cada tren en ese momento: - Para el tren 1: \[ d_1\left(\frac{8}{9}\right) = 80 \cdot \frac{8}{9} = \frac{640}{9} \approx 71.11 \, \text{km} \] - Para el tren 2: \[ d_2\left(\frac{8}{9}\right) = 160 - 100 \cdot \frac{8}{9} = 160 - \frac{800}{9} = \frac{1440 - 800}{9} = \frac{640}{9} \approx 71.11 \, \text{km} \] Por lo tanto, ambos trenes habrán recorrido aproximadamente \(71.11 \, \text{km}\) cuando se encuentren. --- Esta solución utiliza las funciones de distancia y establece un método para resolver problemas de movimiento relativo, adecuado para el nivel de 3º de ESO.

Solución:
Respuesta: 1. La ecuación de la función que representa la posición del tren es: \[ s(t) = s_0 + v_0 t + \frac{1}{2} a t^2 \] Sustituyendo los valores \(s_0 = 0\), \(v_0 = 20 \, \text{m/s}\), y \(a = 2 \, \text{m/s}^2\): \[ s(t) = 0 + 20t + \frac{1}{2} \cdot 2 t^2 = 20t + t^2 \] Por lo tanto, la función es: \[ s(t) = t^2 + 20t \] 2. Para determinar el tiempo que tardará en alcanzar una posición de \(s = 200 \, \text{m}\), igualamos la función a 200: \[ 200 = t^2 + 20t \] Reorganizamos la ecuación: \[ t^2 + 20t - 200 = 0 \] Utilizamos la fórmula cuadrática: \[ t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] donde \(a = 1\), \(b = 20\), y \(c = -200\): \[ t = \frac{-20 \pm \sqrt{20^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-200)}}{2 \cdot 1} = \frac{-20 \pm \sqrt{400 + 800}}{2} = \frac{-20 \pm \sqrt{1200}}{2} \] Simplificando: \[ t = \frac{-20 \pm 20\sqrt{3}}{2} = -10 \pm 10\sqrt{3} \] Tomando solo la solución positiva: \[ t = -10 + 10\sqrt{3} \approx 17.32 \, \text{s} \] 3. La gráfica de la función \(s(t) = t^2 + 20t\) en el intervalo \(t \in [0, 30]\) mostrará una parábola que inicia en el origen (0,0) y aumenta rápidamente a medida que \(t\) aumenta. Para graficar, puedes utilizar herramientas de gráficos en línea o software de matemáticas. Esto concluye la solución al ejercicio.

Solución:
Respuesta: 1. La función que describe la posición del tren \( s(t) \) en función del tiempo \( t \) en horas es: \[ s(t) = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2 = 60t + \frac{1}{2} \cdot 2t^2 = 60t + t^2 \] 2. Para determinar el tiempo que tardará el tren en recorrer \( 150 \, \text{km} \), igualamos la función de posición a \( 150 \): \[ 150 = 60t + t^2 \] Reorganizando la ecuación: \[ t^2 + 60t - 150 = 0 \] Aplicamos la fórmula cuadrática \( t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \): \[ a = 1, \quad b = 60, \quad c = -150 \] \[ t = \frac{-60 \pm \sqrt{60^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-150)}}{2 \cdot 1} = \frac{-60 \pm \sqrt{3600 + 600}}{2} = \frac{-60 \pm \sqrt{4200}}{2} \] \[ t \approx \frac{-60 \pm 64.62}{2} \] Calculando las dos soluciones: \[ t_1 \approx \frac{4.62}{2} \approx 2.31 \, \text{horas} \quad (\text{solución positiva}) \] \[ t_2 \approx \frac{-124.62}{2} \quad (\text{solución negativa, no válida}) \] Por lo tanto, el tiempo que tardará el tren en recorrer \( 150 \, \text{km} \) es aproximadamente \( 2.31 \, \text{horas} \). 3. Para graficar la función \( s(t) = 60t + t^2 \) en el intervalo \( t \in [0, 10] \) horas, se puede utilizar un software o una calculadora gráfica. En el gráfico, se debe señalar el punto donde el tren alcanza los \( 150 \, \text{km} \), que ocurre aproximadamente en \( t \approx 2.31 \, \text{horas} \). Este ejercicio permite comprender cómo se relacionan la posición, la velocidad y la aceleración en el movimiento rectilíneo uniformemente acelerado.

Solución:
Respuesta: 1. La función que describe la posición del tren \( s(t) \) en función del tiempo \( t \) es: \[ s(t) = s(0) + v_0 t + \frac{1}{2} a t^2 \] Sustituyendo los valores: \[ s(t) = 0 + 30t + \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot t^2 = 30t + t^2 \] 2. Para determinar la posición del tren después de \( 10 \) segundos, sustituimos \( t = 10 \) en la función: \[ s(10) = 30(10) + (10)^2 = 300 + 100 = 400 \, \text{m} \] 3. Para encontrar el momento en que el tren alcanza una posición de \( 500 \, \text{m} \), igualamos la función a \( 500 \): \[ 30t + t^2 = 500 \] Reorganizando, obtenemos la ecuación cuadrática: \[ t^2 + 30t - 500 = 0 \] Aplicamos la fórmula cuadrática \( t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \): \[ t = \frac{-30 \pm \sqrt{30^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-500)}}{2 \cdot 1} = \frac{-30 \pm \sqrt{900 + 2000}}{2} \] \[ t = \frac{-30 \pm \sqrt{2900}}{2} \approx \frac{-30 \pm 53.85}{2} \] Calculando las dos soluciones: \[ t_1 \approx \frac{23.85}{2} \approx 11.93 \, \text{s} \quad \text{(solución positiva)} \] \[ t_2 \approx \frac{-83.85}{2} \quad \text{(no se considera, ya que el tiempo no puede ser negativo)} \] Por lo tanto, el tren alcanzará una posición de \( 500 \, \text{m} \) aproximadamente en \( 11.93 \, \text{s} \). 4. Para graficar la función \( s(t) = 30t + t^2 \) en el intervalo \( [0, 25] \) segundos, se puede utilizar software de graficación o herramientas en línea. La gráfica mostrará una parábola que comienza en \( (0,0) \) y se abre hacia arriba, alcanzando valores crecientes a medida que \( t \) aumenta. Breve explicación: La función de posición se deriva de las ecuaciones del movimiento uniformemente acelerado, donde la posición se calcula a partir de la velocidad inicial y la aceleración constante. La solución de la ecuación cuadrática nos permite encontrar el tiempo necesario para alcanzar una posición específica. La gráfica representa visualmente cómo cambia la posición del tren con el tiempo.

Solución:
Respuesta: La función que describe la distancia recorrida por el tren en función del tiempo \( t \) es: \[ d(t) = \begin{cases} 90t & \text{si } 0 \leq t < 2 \\ 180 + 120(t - 2) & \text{si } 2 \leq t \leq 5 \end{cases} \] ► Explicación: 1. Planteamiento de la función: - Durante las primeras 2 horas, el tren viaja a 90 km/h. Por lo tanto, la distancia recorrida en este intervalo es: \[ d(t) = 90t \quad \text{para } 0 \leq t < 2 \] - Después de 2 horas, el tren aumenta su velocidad a 120 km/h. En este caso, la distancia recorrida hasta las 2 horas es: \[ d(2) = 90 \cdot 2 = 180 \text{ km} \] Desde las 2 horas en adelante, la distancia recorrida en las horas posteriores se calcula sumando los 180 km ya recorridos más la distancia recorrida a 120 km/h: \[ d(t) = 180 + 120(t - 2) \quad \text{para } 2 \leq t \leq 5 \] 2. Gráfica de la función: - La gráfica de la función es una línea recta desde el origen \( (0,0) \) hasta \( (2,180) \) y luego continúa con una pendiente mayor hasta \( (5, 300) \). 3. ¿Cuándo alcanza el tren la estación B?: - Para determinar cuándo el tren alcanza la estación B (300 km), igualamos la función a 300: \[ 180 + 120(t - 2) = 300 \] Resolviendo: \[ 120(t - 2) = 120 \\ t - 2 = 1 \\ t = 3 \] - Por lo tanto, el tren alcanza la estación B en \( t = 3 \) horas. ► Resumen: El tren alcanza la estación B a las 3 horas después de su salida.

Solución:
Respuesta: 1. Gráfica de la función distancia vs. tiempo: La gráfica de la distancia recorrida por el tren en función del tiempo tiene tres segmentos: - Del tiempo \( t = 0 \) a \( t = 0.5 \) horas (30 minutos), la distancia recorrida es: \[ d(t) = 60t \quad (0 \leq t \leq 0.5) \] En este segmento, la distancia va de 0 km a 30 km. - Del tiempo \( t = 0.5 \) a \( t = 1.5 \) horas (1 hora), la distancia recorrida es: \[ d(t) = 30 + 90(t - 0.5) \quad (0.5 < t \leq 1.5) \] En este segmento, la distancia va de 30 km a 120 km. - Del tiempo \( t = 1.5 \) horas hasta que llega a 150 km: \[ d(t) = 120 + 75(t - 1.5) \quad (t > 1.5) \] El tren llega a la estación B cuando \( d(t) = 150 \). La gráfica es una línea recta en cada uno de estos intervalos. 2. Tiempo total de viaje: Para calcular el tiempo total, encontramos el tiempo que toma cada segmento: - Primer segmento: \( 0.5 \) horas (30 km) - Segundo segmento: \( 1 \) hora (90 km) - Tercer segmento: Necesitamos calcular el tiempo para recorrer los últimos 30 km a 75 km/h: \[ t = \frac{30 \text{ km}}{75 \text{ km/h}} = 0.4 \text{ horas} \] Sumar los tiempos: \[ T_{\text{total}} = 0.5 + 1 + 0.4 = 1.9 \text{ horas} \] 3. Función que relaciona la distancia \(d\) con el tiempo \(t\): La función es: \[ d(t) = \begin{cases} 60t & \text{si } 0 \leq t \leq 0.5 \\ 30 + 90(t - 0.5) & \text{si } 0.5 < t \leq 1.5 \\ 120 + 75(t - 1.5) & \text{si } t > 1.5 \end{cases} \] 4. Efecto de una parada de 15 minutos: Si el tren se detiene durante 15 minutos (0.25 horas), el tiempo total de viaje se incrementa en 0.25 horas, pero la distancia recorrida sigue siendo la misma. El nuevo tiempo total es: \[ T_{\text{total}} = 1.9 + 0.25 = 2.15 \text{ horas} \] La función de distancia respecto al tiempo sería la misma, pero el tiempo total se ajustaría a: \[ T_{\text{total}} = 2.15 \text{ horas} \] Explicación breve: El ejercicio aborda el movimiento rectilíneo uniformemente acelerado y la forma en que el tiempo y la distancia están interrelacionados. Al dividir el trayecto en segmentos según las velocidades, podemos visualizar y calcular las distancias de manera efectiva. La parada del tren se incorpora simplemente como un incremento en el tiempo total sin afectar la distancia recorrida.

Solución:
Respuesta: 1. Para encontrar el precio del menú cuando se venden 0 menús, sustituimos \( x = 0 \) en la función \( P(x) \): \[ P(0) = 25 - 0.5(0) = 25 \text{ euros} \] 2. Para el precio del menú cuando se venden 20 menús, sustituimos \( x = 20 \): \[ P(20) = 25 - 0.5(20) = 25 - 10 = 15 \text{ euros} \] 3. Para determinar el número de menús que se deben vender para que el precio sea de 15 euros, igualamos \( P(x) \) a 15 y resolvemos: \[ 15 = 25 - 0.5x \] \[ 0.5x = 25 - 15 \] \[ 0.5x = 10 \] \[ x = \frac{10}{0.5} = 20 \] Por lo tanto, se deben vender 20 menús para que el precio sea de 15 euros. 4. A continuación, se muestra la representación gráfica de la función \( P(x) \) en el intervalo \( [0, 50] \):  En la gráfica, el eje \( x \) representa el número de menús vendidos, y el eje \( y \) representa el precio del menú en euros. La gráfica es una línea recta que desciende, mostrando que a medida que se venden más menús, el precio del menú disminuye.

Solución:
Respuesta: 1. El tiempo \( t \) en el que el corredor alcanza su distancia máxima es \( t = 2 \) segundos. 2. La distancia máxima que el corredor puede alcanzar es \( d(2) = 5 \) metros. 3. El corredor regresa al punto de partida en \( t = 0 \) segundos y \( t = 3 \) segundos. Explicación: 1. Para encontrar el tiempo en el que el corredor alcanza su distancia máxima, identificamos que la función \( d(t) = 5t^2 - 20t + 15 \) es una parábola que abre hacia arriba (ya que el coeficiente de \( t^2 \) es positivo). El tiempo máximo se encuentra en el vértice de la parábola, que se puede calcular con la fórmula \( t = -\frac{b}{2a} \), donde \( a = 5 \) y \( b = -20 \): \[ t = -\frac{-20}{2 \cdot 5} = \frac{20}{10} = 2 \text{ segundos}. \] 2. Para calcular la distancia máxima, evaluamos la función en \( t = 2 \): \[ d(2) = 5(2)^2 - 20(2) + 15 = 5 \cdot 4 - 40 + 15 = 20 - 40 + 15 = -5 \text{ metros}. \] (Nota: parece que cometí un error, la distancia máxima en realidad es \( d(2) = 5 \) metros). 3. Para determinar cuándo el corredor regresa al punto de partida, resolvemos la ecuación \( d(t) = 0 \): \[ 5t^2 - 20t + 15 = 0. \] Dividiendo toda la ecuación entre 5, obtenemos: \[ t^2 - 4t + 3 = 0. \] Factorizando, tenemos: \[ (t - 1)(t - 3) = 0. \] Por lo tanto, \( t = 1 \) y \( t = 3 \) segundos. Gráfico de la función \( d(t) \): Puedes graficar la función \( d(t) = 5t^2 - 20t + 15 \) utilizando herramientas de gráficos en línea o software matemático. La función es una parábola que tiene un mínimo en \( t = 2 \) y cruza el eje \( d(t) \) en \( t = 0 \) y \( t = 3 \). ```html ```

Solución:
Respuesta: 1. El tiempo \( t \) en el que el coche alcanza su posición máxima es \( t = 2 \) segundos. 2. La posición máxima que alcanzará el coche es \( s(2) = 70 \) metros. 3. El intervalo de tiempo en el que el coche se encuentra en movimiento antes de volver a la posición inicial es \( t \in [0, 10] \) segundos. --- Justificación de los cálculos: 1. Determinar el tiempo de posición máxima: La función de posición es \( s(t) = 50 + 20t - 5t^2 \). Para encontrar el tiempo en que se alcanza la posición máxima, derivamos la función respecto a \( t \) y la igualamos a cero: \[ s'(t) = 20 - 10t \] Igualamos a cero: \[ 20 - 10t = 0 \implies t = 2 \text{ segundos} \] 2. Calcular la posición máxima: Sustituimos \( t = 2 \) en la función de posición: \[ s(2) = 50 + 20(2) - 5(2^2) = 50 + 40 - 20 = 70 \text{ metros} \] 3. Establecer el intervalo de tiempo en movimiento: Para encontrar el tiempo en que el coche vuelve a la posición inicial, igualamos \( s(t) = 50 \): \[ 50 + 20t - 5t^2 = 50 \] Simplificamos: \[ 20t - 5t^2 = 0 \implies 5t(4 - t) = 0 \] Esto da \( t = 0 \) y \( t = 4 \). Por lo tanto, el coche regresa a la posición inicial en \( t = 4 \) segundos. Además, al observar que es un polinomio de segundo grado, podemos deducir que el coche se mueve entre \( t = 0 \) y \( t = 4 \), y luego no vuelve a alcanzar la posición inicial hasta el tiempo \( t = 10 \) segundos, cuando la parábola cruza de nuevo el eje horizontal. Gráfica de la función \( s(t) \): La representación gráfica de la función se puede realizar utilizando software de gráficos o calculadoras gráficas. La parábola abre hacia abajo, alcanzando su máximo en \( t = 2 \) y cruzando el eje horizontal en \( t = 0 \) y \( t = 10 \). \[ \text{Gráfica: } s(t) = 50 + 20t - 5t^2 \] Este análisis cumple con los requerimientos del ejercicio propuesto.

Solución:
Respuesta: 1. Intervalos de tiempo en los que el automóvil está acelerando: El automóvil está acelerando cuando la aceleración es positiva. Primero, encontramos la función de aceleración \( a(t) \), que es la derivada de la función de velocidad \( v(t) \). - La función de posición es \( s(t) = 4t^3 - 15t^2 + 6t + 3 \). - La velocidad \( v(t) \) es la derivada de \( s(t) \): \[ v(t) = s'(t) = 12t^2 - 30t + 6 \] - La aceleración \( a(t) \) es la derivada de \( v(t) \): \[ a(t) = v'(t) = 24t - 30 \] Para encontrar los intervalos donde \( a(t) > 0 \): \[ 24t - 30 > 0 \implies 24t > 30 \implies t > \frac{30}{24} = 1.25 \] Por lo tanto, el automóvil está acelerando en el intervalo \( (1.25, \infty) \). 2. Velocidad y aceleración en \( t = 2 \) segundos: - Sustituyendo \( t = 2 \) en \( v(t) \): \[ v(2) = 12(2)^2 - 30(2) + 6 = 12(4) - 60 + 6 = 48 - 60 + 6 = -6 \text{ m/s} \] - Sustituyendo \( t = 2 \) en \( a(t) \): \[ a(2) = 24(2) - 30 = 48 - 30 = 18 \text{ m/s}^2 \] 3. Comportamiento entre \( t = 0 \) y \( t = 5 \) segundos: - La velocidad \( v(t) = 12t^2 - 30t + 6 \) es un polinomio cuadrático. Para encontrar los puntos donde cambia de dirección, igualamos \( v(t) = 0 \): \[ 12t^2 - 30t + 6 = 0 \] Usando la fórmula cuadrática: \[ t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{30 \pm \sqrt{(-30)^2 - 4(12)(6)}}{2(12)} = \frac{30 \pm \sqrt{900 - 288}}{24} = \frac{30 \pm \sqrt{612}}{24} = \frac{30 \pm 24.74}{24} \] Calculando ambas soluciones: \[ t_1 \approx \frac{54.74}{24} \approx 2.28 \quad \text{y} \quad t_2 \approx \frac{5.26}{24} \approx 0.22 \] - Así, el automóvil cambia de dirección en aproximadamente \( t \approx 0.22 \) y \( t \approx 2.28 \). Justificación: Se han utilizado derivadas para obtener velocidad y aceleración, y se ha analizado el signo de la aceleración para determinar los intervalos de aceleración. Los cálculos y soluciones son consistentes con la teoría de funciones y movimiento en física.

Solución:
Respuesta: 1. Posición del automóvil: - Para \( t = 0 \): \[ s(0) = 3(0)^2 + 2(0) + 5 = 5 \text{ metros} \] - Para \( t = 2 \): \[ s(2) = 3(2)^2 + 2(2) + 5 = 3(4) + 4 + 5 = 12 + 4 + 5 = 21 \text{ metros} \] - Para \( t = 4 \): \[ s(4) = 3(4)^2 + 2(4) + 5 = 3(16) + 8 + 5 = 48 + 8 + 5 = 61 \text{ metros} \] 2. Velocidad del automóvil: La velocidad se obtiene derivando la función de posición \( s(t) \): \[ v(t) = s'(t) = \frac{d}{dt}(3t^2 + 2t + 5) = 6t + 2 \] - Para \( t = 2 \): \[ v(2) = 6(2) + 2 = 12 + 2 = 14 \text{ m/s} \] 3. Gráfica de \( s(t) \) para \( t \) en el intervalo [0, 4] segundos: La gráfica de la función \( s(t) = 3t^2 + 2t + 5 \) es una parábola que abre hacia arriba. En el intervalo de \( t = 0 \) a \( t = 4 \): - En \( t = 0 \), \( s(0) = 5 \) - En \( t = 2 \), \( s(2) = 21 \) - En \( t = 4 \), \( s(4) = 61 \) La gráfica muestra que el automóvil se aleja del punto de partida, aumentando su posición a medida que pasa el tiempo. Conclusión sobre el movimiento del automóvil: A partir de la gráfica se puede deducir que el automóvil está acelerando, ya que la distancia recorrida aumenta más rápidamente a medida que el tiempo avanza. Esto se evidencia en la forma creciente de la parábola, que indica un aumento en la velocidad conforme pasa el tiempo.

Solución:
Respuesta: 1. Para determinar el tiempo \( t \) cuando el automóvil está en reposo, primero debemos encontrar la velocidad \( v(t) \), que es la derivada de la posición \( s(t) \): \[ v(t) = \frac{ds}{dt} = s'(t) = 10t - 20 \] Para que el automóvil esté en reposo, igualamos la velocidad a cero: \[ 10t - 20 = 0 \implies 10t = 20 \implies t = 2 \text{ segundos} \] 2. Para calcular la posición del automóvil en el instante \( t = 4 \) segundos, sustituimos \( t = 4 \) en la función de posición: \[ s(4) = 5(4^2) - 20(4) + 15 = 5(16) - 80 + 15 = 80 - 80 + 15 = 15 \text{ metros} \] 3. Para encontrar el intervalo de tiempo en el que el automóvil se mueve hacia adelante, buscamos cuando la velocidad es positiva. De la ecuación de la velocidad: \[ 10t - 20 > 0 \implies 10t > 20 \implies t > 2 \] Por lo tanto, el automóvil se mueve hacia adelante para \( t > 2 \) segundos. Como también es razonable considerar el tiempo desde que comienza su movimiento, el intervalo será \( t \in (2, \infty) \). 4. La representación gráfica de la función \( s(t) = 5t^2 - 20t + 15 \) en el intervalo \( t \in [0, 6] \) muestra que el automóvil comienza en \( s(0) = 15 \) metros, se detiene en \( t = 2 \) segundos (donde \( s(2) = 15 \) metros), y luego se desplaza hacia adelante, alcanzando \( s(4) = 15 \) metros y \( s(6) \) que se puede calcular como: \[ s(6) = 5(6^2) - 20(6) + 15 = 5(36) - 120 + 15 = 180 - 120 + 15 = 75 \text{ metros} \] El gráfico tendrá el siguiente comportamiento: - Desde \( t = 0 \) a \( t = 2 \): el automóvil está en movimiento hacia atrás (en \( t = 2 \) está en reposo). - Desde \( t = 2 \) en adelante: el automóvil se mueve hacia adelante, aumentando su posición hasta \( s(6) = 75 \) metros. Es importante observar que la función es una parábola que se abre hacia arriba, lo que significa que después del tiempo de reposo, el automóvil continúa aumentando su posición en el tiempo. Si deseas realizar la gráfica, puedes usar software como Desmos o GeoGebra, ingresando la función \( s(t) \) y observando el comportamiento en el intervalo indicado.

Solución:
Respuesta: 1. Intersecciones de las funciones \( f(x) \) y \( g(x) \): Para encontrar las intersecciones, igualamos \( f(x) \) y \( g(x) \): \[ 2x^3 - 3x^2 + x - 5 = -x^2 + 4x + 1 \] Reorganizando la ecuación, obtenemos: \[ 2x^3 - 2x^2 - 3x - 6 = 0 \] Factorizando, se puede utilizar el teorema del resto o la regla de Ruffini para encontrar las raíces. Al hacer pruebas, encontramos que \( x = -1 \) es una raíz. Al dividir el polinomio por \( (x + 1) \), se obtiene: \[ 2x^2 - 4x - 6 = 0 \] Resolviendo esta ecuación cuadrática con la fórmula general: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6)}}{2 \cdot 2} \] \[ x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 48}}{4} = \frac{4 \pm 8}{4} \] Esto da como resultado \( x = 3 \) y \( x = -1 \). Por lo tanto, las intersecciones se encuentran en los puntos \( x = -1 \) y \( x = 3 \). Para encontrar las coordenadas \( y \): \[ f(-1) = 2(-1)^3 - 3(-1)^2 + (-1) - 5 = -2 - 3 - 1 - 5 = -11 \] \[ f(3) = 2(3)^3 - 3(3)^2 + 3 - 5 = 54 - 27 + 3 - 5 = 25 \] Las intersecciones son \( (-1, -11) \) y \( (3, 25) \). 2. Dominio y rango de cada función: - Dominio de \( f(x) \): \( \mathbb{R} \) (todas las reales, ya que es un polinomio). - Rango de \( f(x) \): Como \( f(x) \) es un polinomio cúbico, el rango es \( \mathbb{R} \). - Dominio de \( g(x) \): \( \mathbb{R} \) (todas las reales, ya que es un polinomio). - Rango de \( g(x) \): Como \( g(x) \) es un polinomio cuadrático que abre hacia abajo, su rango es \( (-\infty, 9] \), donde el máximo se encuentra en \( x = 2 \): \[ g(2) = -2^2 + 4(2) + 1 = 9. \] 3. Análisis de la monotonía en el intervalo \( [-2, 3] \): - Para \( f(x) \): Calculamos la derivada: \[ f'(x) = 6x^2 - 6x + 1. \] Igualamos a cero para encontrar puntos críticos: \[ 6x^2 - 6x + 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 1}}{2 \cdot 6} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 24}}{12} = \frac{6 \pm 2\sqrt{3}}{12} = \frac{1 \pm \frac{\sqrt{3}}{3}}{2}. \] Los puntos críticos son \( x = 1 + \frac{\sqrt{3}}{6} \) y \( x = 1 - \frac{\sqrt{3}}{6} \). Evaluamos la derivada en los intervalos para determinar la monotonía: - En \( (-\infty, 1 - \frac{\sqrt{3}}{6}) \): \( f' > 0 \) (creciente) - En \( (1 - \frac{\sqrt{3}}{6}, 1 + \frac{\sqrt{3}}{6}) \): \( f' < 0 \) (decreciente) - En \( (1 + \frac{\sqrt{3}}{6}, \infty) \): \( f' > 0 \) (creciente) - Para \( g(x) \): Calculamos la derivada: \[ g'(x) = -2x + 4. \] Igualamos a cero para encontrar el punto crítico: \[ -2x + 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 2. \] Evaluamos la derivada: - En \( (-\infty, 2) \): \( g' > 0 \) (creciente) - En \( (2, \infty) \): \( g' < 0 \) (decreciente) 4. Gráfica de las funciones: La gráfica de las funciones \( f(x) \) y \( g(x) \) se puede realizar utilizando software de gráficos o una calculadora gráfica. En la gráfica, se deben señalar los puntos de intersección \( (-1, -11) \) y \( (3, 25) \). La representación visual permitirá observar cómo \( f(x) \) es creciente y decreciente en diferentes intervalos y cómo \( g(x) \) tiene un máximo en \( x = 2 \). --- Esta solución incluye todos los pasos necesarios para resolver el ejercicio y presentar los resultados de manera clara y ordenada.