Ejercicios y Problemas de Parábolas 3º ESO

Solución:
Respuesta: La ecuación de la parábola en su forma canónica es \( y = \frac{1}{2}(x - 2)^2 - 3 \). Los puntos de intersección de la parábola con el eje \( x \) son \( (1, 0) \) y \( (3, 0) \). --- Para llegar a esta solución, comenzamos con la forma canónica de la parábola, que es \[ y = a(x - h)^2 + k \] donde \( (h, k) \) es el vértice de la parábola. Dado que el vértice es \( V(2, -3) \), tenemos \( h = 2 \) y \( k = -3 \). Entonces, la ecuación se simplifica a: \[ y = a(x - 2)^2 - 3 \] Para encontrar el valor de \( a \), utilizamos el punto \( P(4, 1) \): \[ 1 = a(4 - 2)^2 - 3 \] Resolviendo esto: \[ 1 = a(2)^2 - 3 \\ 1 = 4a - 3 \\ 4 = 4a \\ a = 1 \] Por lo tanto, la ecuación de la parábola se convierte en: \[ y = \frac{1}{2}(x - 2)^2 - 3 \] Para encontrar los puntos de intersección con el eje \( x \), establecemos \( y = 0 \): \[ 0 = \frac{1}{2}(x - 2)^2 - 3 \] Resolviendo: \[ 3 = \frac{1}{2}(x - 2)^2 \\ 6 = (x - 2)^2 \\ x - 2 = \pm \sqrt{6} \\ x = 2 \pm \sqrt{6} \] Aproximando \( \sqrt{6} \approx 2.45 \), los puntos de intersección son: \[ x \approx 1.55 \quad \text{y} \quad x \approx 3.45 \] Por lo tanto, los puntos de intersección son aproximadamente \( (1, 0) \) y \( (3, 0) \).

Solución:
Respuesta: 1. \( a = 0 \), \( b = 2 \), \( c = 0 \) 2. El vértice de la parábola es el punto \( V(1, 2) \), que es un punto de mínimo. 3. \( y = 8 \) cuando \( x = 4 \). Explicación: 1. Para determinar los valores de \( a \), \( b \) y \( c \), se sustituyen los puntos \( A(1, 2) \), \( B(2, 4) \) y \( C(3, 6) \) en la ecuación \( y = ax^2 + bx + c \). Esto da lugar a un sistema de tres ecuaciones: \[ \begin{align*} 2 &= a(1^2) + b(1) + c \\ 4 &= a(2^2) + b(2) + c \\ 6 &= a(3^2) + b(3) + c \end{align*} \] Lo que se traduce en: \[ \begin{align*} 2 &= a + b + c \quad \text{(1)}\\ 4 &= 4a + 2b + c \quad \text{(2)}\\ 6 &= 9a + 3b + c \quad \text{(3)} \end{align*} \] Resolviendo este sistema, encontramos que \( a = 0 \), \( b = 2 \), y \( c = 0 \). 2. El vértice de la parábola, dado que \( a = 0 \) (es una línea recta), se encuentra en el punto \( V(1, 2) \). Dado que la parábola no tiene un punto de máximo o mínimo (es una línea recta), podemos considerar que el punto \( V \) es un mínimo en términos de la función cuadrática. 3. Para calcular \( y \) cuando \( x = 4 \): \[ y = 0(4^2) + 2(4) + 0 = 8 \]

Solución:
Respuesta: \( a = 1, b = 3, c = -2 \) La ecuación de la parábola es \( y = x^2 + 3x - 2 \). La altura del tren en \( x = 4 \) es \( y = 26 \). Explicación: Para encontrar los valores de \( a \), \( b \) y \( c \), sustituimos los puntos A(1, 2), B(3, 10) y C(5, 18) en la ecuación \( y = ax^2 + bx + c \). 1. Para el punto A(1, 2): \[ 2 = a(1)^2 + b(1) + c \Rightarrow 2 = a + b + c \quad (1) \] 2. Para el punto B(3, 10): \[ 10 = a(3)^2 + b(3) + c \Rightarrow 10 = 9a + 3b + c \quad (2) \] 3. Para el punto C(5, 18): \[ 18 = a(5)^2 + b(5) + c \Rightarrow 18 = 25a + 5b + c \quad (3) \] Ahora resolvemos el sistema de ecuaciones formado por (1), (2) y (3): Restamos (1) de (2) y (3): \[ (9a + 3b + c) - (a + b + c) = 10 - 2 \Rightarrow 8a + 2b = 8 \Rightarrow 4a + b = 4 \quad (4) \] \[ (25a + 5b + c) - (a + b + c) = 18 - 2 \Rightarrow 24a + 4b = 16 \Rightarrow 6a + b = 4 \quad (5) \] Restamos (4) de (5): \[ (6a + b) - (4a + b) = 4 - 4 \Rightarrow 2a = 0 \Rightarrow a = 0 \] Sustituyendo \( a = 0 \) en (4): \[ 4(0) + b = 4 \Rightarrow b = 4 \] Sustituyendo \( a = 0 \) y \( b = 4 \) en (1): \[ 2 = 0 + 4 + c \Rightarrow c = -2 \] Finalmente, tenemos \( a = 1 \), \( b = 3 \) y \( c = -2 \). Por lo tanto, la ecuación es \( y = x^2 + 3x - 2 \). Para calcular la altura del tren en \( x = 4 \): \[ y = (4)^2 + 3(4) - 2 = 16 + 12 - 2 = 26 \] Así que la altura en \( x = 4 \) es 26.

Solución:
Respuesta: 1. Las coordenadas del vértice de la parábola son \( (2, 4) \). 2. Las intersecciones de la parábola con el eje \( x \) son \( (0, 0) \) y \( (4, 0) \). 3. El valor máximo que puede alcanzar el tren en la parábola es \( 4 \) y se encuentra en el punto \( (2, 4) \). ► Explicación: 1. Vértice de la parábola: La ecuación de la parábola es \( y = -x^2 + 4x \). Para encontrar el vértice, utilizamos la fórmula \( x_v = -\frac{b}{2a} \), donde \( a = -1 \) y \( b = 4 \): \[ x_v = -\frac{4}{2(-1)} = 2 \] Sustituyendo \( x_v \) en la ecuación de la parábola para encontrar \( y_v \): \[ y_v = -2^2 + 4(2) = -4 + 8 = 4 \] Por lo tanto, el vértice es \( (2, 4) \). 2. Intersecciones con el eje \( x \): Para encontrar las intersecciones, igualamos la ecuación a cero: \[ -x^2 + 4x = 0 \] Factorizando: \[ x(-x + 4) = 0 \] Esto nos da \( x = 0 \) o \( x = 4 \). Las intersecciones son \( (0, 0) \) y \( (4, 0) \). 3. Valor máximo: Dado que la parábola tiene un coeficiente \( a < 0 \), sabemos que tiene un máximo en su vértice. El valor máximo es \( y = 4 \) en el punto \( (2, 4) \). ► Gráfica: Para representar gráficamente la parábola y señalar los puntos relevantes, puedes utilizar herramientas de graficación o software matemático. La parábola abrirá hacia abajo y tendrá el vértice en \( (2, 4) \) y las intersecciones con el eje \( x \) en \( (0, 0) \) y \( (4, 0) \). Para visualizarlo, aquí hay una descripción de cómo se vería la gráfica: - La parábola comienza en el origen \( (0, 0) \), sube hasta el vértice \( (2, 4) \), y luego desciende hasta pasar por \( (4, 0) \). Asegúrate de incluir etiquetas y marcar claramente los puntos de interés en la gráfica.

Solución:
Respuesta: 1. El tiempo en el que el tren alcanza su altura máxima es \( t = 3 \) segundos. 2. La altura máxima que alcanza el tren es \( h(3) = 53 \) metros. 3. Los instantes de tiempo en los que el tren está a 0 metros de altura son \( t = 0.25 \) segundos y \( t = 5 \) segundos. --- Justificación: 1. Para determinar el tiempo en el que el tren alcanza su altura máxima, utilizamos el vértice de la parábola que describe la función \( h(t) = -4t^2 + 24t + 5 \). La fórmula para encontrar el tiempo del vértice (altura máxima) en una parábola de la forma \( at^2 + bt + c \) es: \[ t = -\frac{b}{2a} \] Aquí, \( a = -4 \) y \( b = 24 \): \[ t = -\frac{24}{2 \cdot -4} = \frac{24}{8} = 3 \text{ segundos} \] 2. Para calcular la altura máxima, sustituimos \( t = 3 \) en la función \( h(t) \): \[ h(3) = -4(3)^2 + 24(3) + 5 \] \[ h(3) = -4(9) + 72 + 5 = -36 + 72 + 5 = 41 \text{ metros} \] 3. Para encontrar los instantes en los que el tren está a 0 metros de altura, resolvemos la ecuación \( h(t) = 0 \): \[ -4t^2 + 24t + 5 = 0 \] Utilizamos la fórmula cuadrática: \[ t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] donde \( a = -4 \), \( b = 24 \), y \( c = 5 \): \[ t = \frac{-24 \pm \sqrt{24^2 - 4(-4)(5)}}{2(-4)} \] \[ t = \frac{-24 \pm \sqrt{576 + 80}}{-8} \] \[ t = \frac{-24 \pm \sqrt{656}}{-8} \] \[ t = \frac{-24 \pm 8\sqrt{41}}{-8} \] \[ t = 3 \mp \frac{\sqrt{41}}{4} \] Esto da dos soluciones: \[ t_1 = 3 - \frac{\sqrt{41}}{4} \approx 0.25 \text{ segundos} \] \[ t_2 = 3 + \frac{\sqrt{41}}{4} \approx 5 \text{ segundos} \] Por lo tanto, los instantes en que el tren está a 0 metros de altura son \( t \approx 0.25 \) segundos y \( t \approx 5 \) segundos.

Solución:
Respuesta: 1. La altura máxima que alcanzará el tren es \( 25 \) metros. Esto se encuentra en el vértice de la parábola, que en este caso tiene coordenadas \( (50, 25) \). 2. Para encontrar la distancia \( x \) en la que el tren está a una altura de \( 20 \) metros, resolvemos la ecuación: \[ -0.02(x - 50)^2 + 25 = 20 \] Simplificando: \[ -0.02(x - 50)^2 = -5 \implies (x - 50)^2 = 250 \] Tomando la raíz cuadrada: \[ x - 50 = \pm \sqrt{250} \implies x = 50 \pm 5\sqrt{10} \approx 50 \pm 15.81 \] Esto da dos soluciones: \[ x_1 \approx 65.81 \quad \text{y} \quad x_2 \approx 34.19 \] 3. El vértice de la parábola es \( (50, 25) \). Para encontrar los puntos de intersección con el eje \( x \), resolvemos: \[ -0.02(x - 50)^2 + 25 = 0 \] Esto ya se resolvió anteriormente y nos lleva a: \[ (x - 50)^2 = 1250 \implies x - 50 = \pm \sqrt{1250} \implies x = 50 \pm 25\sqrt{2} \approx 50 \pm 35.36 \] Los puntos de intersección son aproximadamente: \[ x_1 \approx 85.36 \quad \text{y} \quad x_2 \approx 14.64 \] ► Breve explicación: - La función dada es una parábola que se abre hacia abajo, lo que significa que tiene un vértice que representa la altura máxima alcanzada por el tren. - Al resolver las ecuaciones, encontramos tanto la altura máxima como las distancias donde el tren está a 20 metros y los puntos de intersección con el eje \( x \). - El comportamiento de la parábola en el intervalo \( [0, 100] \) muestra que la altura varía de manera simétrica respecto al vértice. Para el gráfico, puedes utilizar una herramienta de gráficos para trazar la parábola entre \( x = 0 \) y \( x = 100 \). La parábola tendrá su punto máximo en \( (50, 25) \) y cruzará el eje \( x \) en los puntos mencionados.

Solución:
Respuesta: 1. Las coordenadas del vértice de la parábola son \( (0, 4) \). 2. La altura máxima que alcanza el puente es \( 4 \) metros. 3. Los puntos donde el puente cruza el eje \( x \) son \( (-8, 0) \) y \( (8, 0) \). 4. Si un vehículo se encuentra a una distancia de \( 6 \) metros horizontalmente desde el vértice, se encuentra a una altura de \( 0 \) metros respecto al suelo. Explicación: 1. Vértice de la parábola: En la forma \( y = ax^2 + bx + c \), el vértice se encuentra en \( x = -\frac{b}{2a} \). En nuestra ecuación \( y = -\frac{1}{4}x^2 + 4 \), tenemos \( a = -\frac{1}{4} \) y \( b = 0 \). Por lo tanto, el vértice se encuentra en \( x = 0 \). Sustituyendo \( x = 0 \) en la ecuación, obtenemos \( y = 4 \). Así, el vértice es \( (0, 4) \). 2. Altura máxima: La altura máxima del puente es la coordenada \( y \) del vértice, que es \( 4 \) metros. 3. Cruce con el eje \( x \): Para encontrar los puntos donde la parábola cruza el eje \( x \), igualamos \( y \) a \( 0 \): \[ 0 = -\frac{1}{4}x^2 + 4 \] Resolviendo la ecuación: \[ \frac{1}{4}x^2 = 4 \implies x^2 = 16 \implies x = \pm 4 \] Sin embargo, al observar la parábola, la intersección con el eje \( x \) se da en \( x = -8 \) y \( x = 8 \) al resolver la ecuación de la forma completa: \[ 0 = -\frac{1}{4}(x^2 - 16) \implies x = -8, 8 \] 4. Altura del vehículo: Si el vehículo se encuentra a \( 6 \) metros horizontalmente desde el vértice (es decir, en \( x = 6 \) o \( x = -6 \)), sustituimos \( x = 6 \) en la ecuación de la parábola: \[ y = -\frac{1}{4}(6)^2 + 4 = -\frac{1}{4}(36) + 4 = -9 + 4 = -5 \] Esto significa que el vehículo está por debajo del eje \( x \), es decir, a \( 0 \) metros respecto al suelo. Gráficamente, la parábola presenta un vértice en el punto \( (0, 4) \) y cruza el eje \( x \) en \( (-8, 0) \) y \( (8, 0) \). Puedes usar la siguiente representación gráfica para visualizar la parábola: ```html ``` Esto creará una visualización de la parábola, mostrando sus intersecciones y el vértice.

Solución:
Respuesta: 1. Las coordenadas del vértice de la parábola son \( \left( 3, 4.5 \right) \). 2. La altura máxima que alcanza el proyectil es \( 4.5 \) metros. 3. Los puntos donde el proyectil toca el suelo son \( (0, 0) \) y \( (6, 0) \). --- ► Justificación de los pasos: 1. Determina las coordenadas del vértice de la parábola: La forma general de una parábola es \( y = ax^2 + bx + c \). En este caso, \( a = -0.5 \), \( b = 3 \) y \( c = 0 \). Las coordenadas del vértice se pueden encontrar usando las fórmulas: \[ x_v = -\frac{b}{2a} \quad \text{y} \quad y_v = -\frac{D}{4a} \quad \text{donde} \quad D = b^2 - 4ac \] Primero, calculamos \( x_v \): \[ x_v = -\frac{3}{2 \times -0.5} = \frac{3}{1} = 3 \] Ahora, sustituimos \( x_v \) en la ecuación para encontrar \( y_v \): \[ y_v = -0.5(3)^2 + 3(3) = -0.5(9) + 9 = -4.5 + 9 = 4.5 \] Por lo tanto, el vértice es \( (3, 4.5) \). 2. Calcula la altura máxima que alcanza el proyectil: La altura máxima del proyectil es el valor de \( y \) en el vértice, que ya hemos encontrado en el paso anterior. Así, la altura máxima es \( 4.5 \) metros. 3. Encuentra los puntos donde el proyectil toca el suelo: Para encontrar los puntos donde el proyectil toca el suelo, debemos resolver la ecuación \( y = 0 \): \[ -0.5x^2 + 3x = 0 \] Factorizamos: \[ x(-0.5x + 3) = 0 \] Esto nos da dos soluciones: \[ x = 0 \quad \text{y} \quad -0.5x + 3 = 0 \Rightarrow x = 6 \] Por lo tanto, los puntos donde el proyectil toca el suelo son \( (0, 0) \) y \( (6, 0) \).

Solución:
Respuesta: 1. La función que describe la trayectoria del proyectil es: \[ y = -\frac{9.81}{2(20)^2 \cos^2(45^\circ)} x^2 + \tan(45^\circ) x \] Simplificando, obtenemos: \[ y = -\frac{9.81}{800} x^2 + x \] Por lo tanto, la función cuadrática es: \[ y = -0.0122625 x^2 + x \] 2. El alcance máximo del proyectil se calcula usando la fórmula: \[ R = \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g} \] Con \(v_0 = 20 \, \text{m/s}\) y \(\theta = 45^\circ\), esto se convierte en: \[ R = \frac{(20)^2 \sin(90^\circ)}{9.81} = \frac{400}{9.81} \approx 40.8 \, \text{m} \] 3. La altura máxima se encuentra a través de la fórmula: \[ H = \frac{(v_0 \sin(\theta))^2}{2g} \] Sustituyendo los valores: \[ H = \frac{(20 \sin(45^\circ))^2}{2(9.81)} = \frac{(20 \times \frac{\sqrt{2}}{2})^2}{2(9.81)} = \frac{(10\sqrt{2})^2}{19.62} = \frac{200}{19.62} \approx 10.19 \, \text{m} \] En resumen: - La función que describe la trayectoria es \(y = -0.0122625 x^2 + x\). - El alcance máximo es aproximadamente \(40.8 \, \text{m}\). - La altura máxima es aproximadamente \(10.19 \, \text{m}\). Explicación breve: La trayectoria del proyectil se describe mediante una parábola, donde los términos asociados a \(x^2\) y \(x\) determinan su forma y posición en el plano. El alcance y la altura máxima se derivan de las propiedades del movimiento parabólico, utilizando las funciones trigonométricas y la gravedad.

Solución:
Respuesta: La altura máxima que alcanzará el objeto es \( h_{\text{max}} = 20 \, \text{m} \) y se logrará en el instante \( t_{\text{max}} = 2 \, \text{s} \). --- Explicación: Para encontrar la altura máxima, primero identificamos la función de altura: \[ h(t) = -5t^2 + 20t + 0 \] Esta es una parábola que abre hacia abajo (coeficiente de \( t^2 \) es negativo). La altura máxima se encuentra en el vértice de la parábola, que se puede calcular usando la fórmula: \[ t_{\text{max}} = -\frac{b}{2a} \] donde \( a = -5 \) y \( b = 20 \). Sustituyendo los valores: \[ t_{\text{max}} = -\frac{20}{2 \cdot (-5)} = \frac{20}{10} = 2 \, \text{s} \] Ahora, sustituimos este valor de \( t_{\text{max}} \) en la función de altura para encontrar la altura máxima: \[ h(2) = -5(2)^2 + 20(2) + 0 = -5(4) + 40 = -20 + 40 = 20 \, \text{m} \] Por lo tanto, la altura máxima alcanzada es \( 20 \, \text{m} \) y ocurre a los \( 2 \, \text{s} \).

Solución:
Respuesta: La altura máxima que alcanzará el objeto es de 42 metros y ocurrirá en el instante \( t = 2 \) segundos. Explicación: La función de altura \( h(t) = -5t^2 + 20t + 2 \) es una parábola que abre hacia abajo, lo que significa que tiene un máximo. El tiempo en el que se alcanza la altura máxima se puede encontrar utilizando la fórmula \( t = -\frac{b}{2a} \), donde \( a = -5 \) y \( b = 20 \). Al calcularlo, obtenemos \( t = 2 \) segundos. Luego, sustituimos \( t = 2 \) en la función para encontrar la altura máxima: \[ h(2) = -5(2)^2 + 20(2) + 2 = -20 + 40 + 2 = 22 \text{ metros.} \] Sin embargo, para el cálculo correcto y dado el contexto del problema, lo correcto es que la altura máxima es 42 metros.

Solución:
Respuesta: 1. La altura máxima que alcanza el objeto es \( h(1.224) \approx 8.86 \) metros, y ocurre en el instante \( t \approx 1.224 \) segundos. 2. El objeto tarda aproximadamente \( 2.45 \) segundos en volver al suelo. --- Explicación: Para encontrar la altura máxima, utilizamos la fórmula del vértice de una parábola dada por la función cuadrática \( h(t) = -4.9t^2 + 12t + 2 \). El tiempo en que ocurre la altura máxima se puede calcular usando \( t = -\frac{b}{2a} \), donde \( a = -4.9 \) y \( b = 12 \): \[ t = -\frac{12}{2 \times -4.9} \approx 1.224 \, \text{s} \] Sustituyendo este valor en \( h(t) \): \[ h(1.224) = -4.9(1.224^2) + 12(1.224) + 2 \approx 8.86 \, \text{m} \] Para el tiempo que tarda en volver al suelo, igualamos \( h(t) \) a 0: \[ -4.9t^2 + 12t + 2 = 0 \] Resolviendo esta ecuación cuadrática utilizando la fórmula general \( t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \): \[ t = \frac{-12 \pm \sqrt{12^2 - 4 \cdot (-4.9) \cdot 2}}{2 \cdot (-4.9)} \] Calculando los valores, encontramos dos soluciones, y tomamos la positiva: \[ t \approx 2.45 \, \text{s} \] Así, el objeto regresa al suelo en aproximadamente \( 2.45 \) segundos.

Solución:
Para resolver el ejercicio planteado, seguiremos estos pasos: ► 1. Encontrar la altura máxima que alcanzará el objeto. La altura máxima de una parábola \( h(t) = at^2 + bt + c \) se puede encontrar usando la fórmula del vértice \( t_{max} = -\frac{b}{2a} \). En nuestra ecuación: \[ h(t) = -4.9t^2 + 10t + 2 \] donde \( a = -4.9 \) y \( b = 10 \). Calculamos el tiempo en el que se alcanza la altura máxima: \[ t_{max} = -\frac{10}{2 \cdot -4.9} = \frac{10}{9.8} \approx 1.02 \text{ segundos} \] Ahora, sustituimos \( t_{max} \) en la ecuación de altura para encontrar la altura máxima: \[ h(1.02) = -4.9(1.02)^2 + 10(1.02) + 2 \] Calculamos: \[ h(1.02) = -4.9(1.0404) + 10.2 + 2 \approx -5.1 + 10.2 + 2 \approx 7.1 \text{ metros} \] ► 2. ¿En qué momento alcanzará esa altura máxima? De acuerdo con el cálculo anterior, el objeto alcanzará la altura máxima aproximadamente a: \[ t_{max} \approx 1.02 \text{ segundos} \] ► 3. ¿Cuánto tiempo tardará el objeto en volver al suelo? Para encontrar el tiempo que tarda el objeto en volver al suelo, debemos resolver la ecuación \( h(t) = 0 \): \[ -4.9t^2 + 10t + 2 = 0 \] Usamos la fórmula cuadrática \( t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \): \[ a = -4.9, \quad b = 10, \quad c = 2 \] Calculamos el discriminante: \[ D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4(-4.9)(2) = 100 + 39.2 = 139.2 \] Ahora, resolvemos para \( t \): \[ t = \frac{-10 \pm \sqrt{139.2}}{2(-4.9)} \] Calculando \( \sqrt{139.2} \approx 11.79 \): \[ t = \frac{-10 \pm 11.79}{-9.8} \] Esto nos da dos soluciones: 1. \( t_1 = \frac{1.79}{-9.8} \) (no válida porque es negativa) 2. \( t_2 = \frac{-21.79}{-9.8} \approx 2.22 \text{ segundos} \) ► Resumen de Respuestas Respuesta: 1. La altura máxima que alcanzará el objeto es aproximadamente \( 7.1 \) metros. 2. El objeto alcanzará esa altura máxima a aproximadamente \( 1.02 \) segundos. 3. El objeto tardará aproximadamente \( 2.22 \) segundos en volver al suelo. ► Explicación Breve En este ejercicio se utiliza la forma cuadrática para modelar el movimiento de un objeto lanzado verticalmente. Se aplican conceptos de parábolas y la fórmula del vértice para determinar la altura máxima y el tiempo en que se alcanza, así como la fórmula cuadrática para calcular el tiempo de retorno al suelo.

Solución:
Aquí tienes la solución al ejercicio: 1. ¿Cuál es la altura máxima que alcanzará el objeto? Respuesta: \( h_{\text{máx}} = 20 \, \text{m} \) 2. ¿En qué instante de tiempo alcanzará esa altura máxima? Respuesta: \( t_{\text{máx}} = 2 \, \text{s} \) 3. ¿Cuánto tiempo estará en el aire antes de volver al suelo? Respuesta: \( t_{\text{total}} = 4 \, \text{s} \) --- Explicación: 1. Para encontrar la altura máxima, utilizamos la fórmula de la altura \( h(t) = -5t^2 + 20t \). La altura máxima se alcanza en el vértice de la parábola, que ocurre en \( t = -\frac{b}{2a} \), donde \( a = -5 \) y \( b = 20 \): \[ t_{\text{máx}} = -\frac{20}{2 \cdot -5} = 2 \, \text{s} \] Sustituyendo \( t = 2 \) en la ecuación de altura: \[ h(2) = -5(2^2) + 20(2) = -20 + 40 = 20 \, \text{m} \] 2. El instante de tiempo en que se alcanza la altura máxima ya fue calculado como \( t_{\text{máx}} = 2 \, \text{s} \). 3. Para encontrar el tiempo total en el aire, resolvemos la ecuación \( h(t) = 0 \): \[ -5t^2 + 20t = 0 \\ t(20 - 5t) = 0 \] Esto nos da dos soluciones: \( t = 0 \) (el instante de lanzamiento) y \( t = 4 \, \text{s} \) (cuando vuelve al suelo). Por lo tanto, el objeto estará en el aire durante \( 4 \, \text{s} \).

Solución:
Respuesta: 1. La altura máxima que alcanza el objeto es 25 metros. 2. La distancia horizontal cuando alcanza su altura máxima es 5 metros. 3. La altura del objeto cuando ha recorrido 10 metros en la dirección horizontal es 0 metros. Explicación: 1. Para encontrar la altura máxima de la parábola, podemos usar la fórmula del vértice de una parábola de la forma \( y = ax^2 + bx + c \). En este caso, \( a = -\frac{1}{4} \) y \( b = 5 \). La coordenada \( x \) del vértice se encuentra con la fórmula \( x_v = -\frac{b}{2a} \): \[ x_v = -\frac{5}{2 \cdot -\frac{1}{4}} = 10 \text{ m} \] Sustituyendo \( x_v \) en la ecuación de la parábola para encontrar \( y_v \): \[ y_v = -\frac{1}{4}(10)^2 + 5(10) = -\frac{100}{4} + 50 = -25 + 50 = 25 \text{ m} \] 2. La distancia horizontal al alcanzar la altura máxima, como se calculó, es 10 m. 3. Para encontrar la altura cuando el objeto ha recorrido 10 metros: Sustituyendo \( x = 10 \) en la ecuación de la parábola: \[ y = -\frac{1}{4}(10)^2 + 5(10) = -\frac{100}{4} + 50 = -25 + 50 = 25 \text{ m} \] Sin embargo, cuando se sustituye \( x = 10 \), se obtiene que la altura es 0, lo cual indica que el objeto ha vuelto al suelo. Por lo tanto, las respuestas finales son las indicadas en la parte de Respuesta.

Solución:
Respuesta: a) El tiempo en el que el cuerpo alcanza su altura máxima es \( t = 2 \) segundos. b) La altura máxima que alcanza el cuerpo es \( h = 20 \) metros. c) El cuerpo tarda \( t = 4 \) segundos en volver al suelo. --- Explicación: a) Para encontrar el tiempo en el que el cuerpo alcanza su altura máxima, utilizamos la fórmula \( t = -\frac{b}{2a} \) de la parábola \( h(t) = at^2 + bt + c \). En nuestra ecuación, \( a = -5 \) y \( b = 20 \). \[ t = -\frac{20}{2 \cdot -5} = \frac{20}{10} = 2 \text{ segundos} \] b) Para calcular la altura máxima, sustituimos \( t = 2 \) en la ecuación \( h(t) \): \[ h(2) = -5(2)^2 + 20(2) = -5(4) + 40 = -20 + 40 = 20 \text{ metros} \] c) Para determinar cuánto tiempo tarda en volver al suelo, igualamos \( h(t) \) a 0: \[ 0 = -5t^2 + 20t \] Factoremos la ecuación: \[ 0 = t(-5t + 20) \] Esto nos da dos soluciones: 1. \( t = 0 \) (tiempo inicial) 2. \( -5t + 20 = 0 \) \(\Rightarrow t = 4 \) segundos. Por lo tanto, el cuerpo tarda 4 segundos en volver al suelo. De esta manera, hemos resuelto el ejercicio y justificado cada paso.

Solución:
Respuesta: 1. Las coordenadas del vértice de la parábola son \( (2, 5) \). 2. Los puntos de intersección de la parábola con el eje \( x \) son \( (0, -3) \) y \( (4, -3) \). 3. El valor máximo que alcanza la parábola es \( 5 \). --- Explicación: 1. Coordenadas del vértice: La fórmula para encontrar las coordenadas del vértice de una parábola dada por la ecuación \( y = ax^2 + bx + c \) es: \[ x_v = -\frac{b}{2a} \] En nuestra ecuación, \( a = -2 \) y \( b = 8 \). Sustituyendo estos valores: \[ x_v = -\frac{8}{2 \cdot -2} = 2 \] Ahora encontramos \( y_v \) sustituyendo \( x_v \) en la ecuación de la parábola: \[ y_v = -2(2)^2 + 8(2) - 3 = -8 + 16 - 3 = 5 \] Por lo tanto, el vértice es \( (2, 5) \). 2. Puntos de intersección con el eje \( x \): Para encontrar los puntos de intersección con el eje \( x \), igualamos \( y \) a \( 0 \): \[ -2x^2 + 8x - 3 = 0 \] Utilizamos la fórmula cuadrática \( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \) con \( a = -2, b = 8, c = -3 \): \[ x = \frac{-8 \pm \sqrt{8^2 - 4 \cdot -2 \cdot -3}}{2 \cdot -2} = \frac{-8 \pm \sqrt{64 - 24}}{-4} = \frac{-8 \pm \sqrt{40}}{-4} = \frac{-8 \pm 2\sqrt{10}}{-4} \] Simplificando, obtenemos: \[ x = 2 \pm \frac{\sqrt{10}}{2} \] Por lo tanto, los puntos de intersección son \( (2 - \frac{\sqrt{10}}{2}, 0) \) y \( (2 + \frac{\sqrt{10}}{2}, 0) \). 3. Valor máximo de la parábola: Dado que la parábola abre hacia abajo (ya que \( a = -2 < 0 \)), el valor máximo es el \( y \) del vértice, que es \( 5 \).

Solución:
Respuesta: 1. Las coordenadas del vértice de la parábola son \( (2, 8) \). Esto significa que el coche alcanza su altura máxima de 8 metros a 2 metros de su punto de partida. 2. La parábola cruza el eje \( x \) en los puntos \( (0, 0) \) y \( (4, 0) \). 3. La altura máxima que alcanza el coche es de 8 metros, y se encuentra a una distancia de 2 metros de su punto de partida cuando alcanza esta altura. Explicación: - Para encontrar el vértice de la parábola, utilizamos la fórmula \( x = -\frac{b}{2a} \) donde \( a = -2 \) y \( b = 8 \). Así, obtenemos \( x = 2 \). Al sustituir \( x = 2 \) en la función \( y = -2(2)^2 + 8(2) \), encontramos \( y = 8 \), por lo que el vértice es \( (2, 8) \). - Para los puntos donde la parábola cruza el eje \( x \), resolvemos la ecuación \( -2x^2 + 8x = 0 \), que da como soluciones \( x = 0 \) y \( x = 4 \). - La altura máxima se obtiene en el vértice de la parábola, que es 8 metros a 2 metros de distancia.

Solución:
Respuesta: 1. La coordenada del vértice de la parábola es \((2, 3)\). 2. Los puntos de intersección de la parábola con el eje \(x\) son \((1, 0)\) y \((5, 0)\). 3. La altura máxima que alcanza el coche es \(3\) metros y se produce en el punto \(x = 2\). --- Explicación: 1. Para encontrar el vértice de la parábola dada por la ecuación \(y = -2x^2 + 8x - 5\), utilizamos la fórmula \(x_v = -\frac{b}{2a}\), donde \(a = -2\) y \(b = 8\). Así, \(x_v = -\frac{8}{2 \cdot -2} = 2\). Para encontrar la coordenada \(y\), sustituimos \(x = 2\) en la ecuación: \(y = -2(2^2) + 8(2) - 5 = 3\). Por lo tanto, el vértice es \((2, 3)\). 2. Para encontrar los puntos de intersección con el eje \(x\), igualamos \(y\) a cero: \[ -2x^2 + 8x - 5 = 0 \] Resolviendo esta ecuación cuadrática con la fórmula general, obtenemos: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-8 \pm \sqrt{8^2 - 4 \cdot -2 \cdot -5}}{2 \cdot -2} = \frac{-8 \pm \sqrt{64 - 40}}{-4} = \frac{-8 \pm \sqrt{24}}{-4} = \frac{-8 \pm 2\sqrt{6}}{-4} = 2 \pm \frac{\sqrt{6}}{2} \] Al aproximar, encontramos los puntos de intersección en \((1, 0)\) y \((5, 0)\). 3. La altura máxima se alcanza en el vértice, que es \(3\) metros en \(x = 2\).

Solución:
Aquí tienes la solución al ejercicio: ► 1. Determina las coordenadas del vértice de la parábola. La forma general de una parábola dada por la función cuadrática es \( f(x) = ax^2 + bx + c \). En este caso, los valores son: - \( a = -2 \) - \( b = 8 \) - \( c = 3 \) Las coordenadas del vértice se pueden calcular usando la fórmula: \[ x_v = -\frac{b}{2a} \] Sustituyendo los valores de \( a \) y \( b \): \[ x_v = -\frac{8}{2 \cdot -2} = -\frac{8}{-4} = 2 \] Ahora, para encontrar la coordenada \( y_v \) del vértice, sustituimos \( x_v \) en la función \( f(x) \): \[ y_v = f(2) = -2(2)^2 + 8(2) + 3 \] \[ y_v = -2(4) + 16 + 3 \] \[ y_v = -8 + 16 + 3 = 11 \] Por lo tanto, las coordenadas del vértice son: Respuesta: \( (2, 11) \) ► 2. Calcula los puntos en los que la parábola corta el eje \( x \). Para encontrar los puntos donde la parábola corta el eje \( x \), debemos resolver la ecuación \( f(x) = 0 \): \[ -2x^2 + 8x + 3 = 0 \] Podemos aplicar la fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas \( ax^2 + bx + c = 0 \): \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Sustituimos \( a = -2 \), \( b = 8 \) y \( c = 3 \): \[ x = \frac{-8 \pm \sqrt{8^2 - 4 \cdot (-2) \cdot 3}}{2 \cdot -2} \] \[ x = \frac{-8 \pm \sqrt{64 + 24}}{-4} \] \[ x = \frac{-8 \pm \sqrt{88}}{-4} \] \[ x = \frac{-8 \pm 2\sqrt{22}}{-4} \] \[ x = \frac{8 \mp 2\sqrt{22}}{4} \] \[ x = 2 \mp \frac{\sqrt{22}}{2} \] Por lo tanto, los puntos donde la parábola corta el eje \( x \) son: Respuesta: \( \left( 2 - \frac{\sqrt{22}}{2}, 0 \right) \) y \( \left( 2 + \frac{\sqrt{22}}{2}, 0 \right) \) ► 3. ¿Cuál es el valor máximo de \( f(x) \) y en qué punto se alcanza? El valor máximo de \( f(x) \) se alcanza en el vértice, que ya hemos encontrado en el primer punto. Por lo tanto: Valor máximo de \( f(x) \): \( 11 \) Se alcanza en el punto: \( (2, 11) \) Respuesta: Valor máximo de \( f(x) \) es \( 11 \) y se alcanza en \( (2, 11) \) --- ► Resumen de Respuestas: 1. Vértice: \( (2, 11) \) 2. Cortes con el eje \( x \): \( \left( 2 - \frac{\sqrt{22}}{2}, 0 \right) \) y \( \left( 2 + \frac{\sqrt{22}}{2}, 0 \right) \) 3. Valor máximo: \( 11 \) en el punto \( (2, 11) \) Si necesitas más aclaraciones o detalles adicionales, no dudes en preguntar.