En este espacio dedicado a los radicales en la asignatura de Matemáticas de 3º de ESO, exploraremos los fundamentos y propiedades esenciales de esta importante temática. Aprenderemos a simplificar radicales, realizar operaciones con ellos y resolver problemas que involucran raíces cuadradas y cúbicas. A través de ejemplos claros y explicaciones detalladas, buscamos facilitar la comprensión y el manejo de los radicales, ayudando a los estudiantes a fortalecer sus habilidades matemáticas.
Ejercicios y problemas resueltos
En esta sección, presentaremos una serie de ejercicios y problemas resueltos que permitirán a los alumnos practicar y afianzar sus conocimientos sobre los radicales. Cada ejercicio incluirá su respectiva solución, para que los estudiantes puedan verificar su trabajo y entender mejor el proceso de resolución.
Ejercicio 1:Simplifica la siguiente expresión: \( \sqrt{50} + \sqrt{18} \). ¿Cuál es el resultado en su forma más simple?
Ejercicio 3:Simplifica la siguiente expresión radical: \( \sqrt{50} + \sqrt{18} \). ¿Cuál es el resultado final?
Solución: Respuesta: \( 5\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 8\sqrt{2} \)
Explicación:
Para simplificar la expresión \( \sqrt{50} + \sqrt{18} \), primero descomponemos cada raíz:
1. \( \sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{2} = 5\sqrt{2} \)
2. \( \sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{2} = 3\sqrt{2} \)
Ahora sustituimos estas simplificaciones en la expresión original:
\[
\sqrt{50} + \sqrt{18} = 5\sqrt{2} + 3\sqrt{2}
\]
Luego, sumamos los términos semejantes:
\[
5\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = (5 + 3)\sqrt{2} = 8\sqrt{2}
\]
Por lo tanto, el resultado final es \( 8\sqrt{2} \).
Ejercicio 4:Resuelve la siguiente expresión y simplifica el resultado:
\[
\sqrt{50} + 3\sqrt{2} - \sqrt{18}
\]
¿Cuál es el resultado final de la operación?
Solución: Respuesta: \( 3\sqrt{2} + 5\)
Para simplificar la expresión \( \sqrt{50} + 3\sqrt{2} - \sqrt{18} \), primero descomponemos los radicales:
1. \( \sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2} \)
2. \( \sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2} \)
Sustituyendo en la expresión original:
\[
\sqrt{50} + 3\sqrt{2} - \sqrt{18} = 5\sqrt{2} + 3\sqrt{2} - 3\sqrt{2}
\]
Ahora, sumamos y restamos los términos semejantes:
\[
5\sqrt{2} + 3\sqrt{2} - 3\sqrt{2} = 5\sqrt{2}
\]
Finalmente, no hay más términos que simplificar, así que el resultado final de la operación es:
\[
\sqrt{50} + 3\sqrt{2} - \sqrt{18} = 5\sqrt{2}
\]
Por lo tanto, la respuesta simplificada es \( 5\sqrt{2} \).
Ejercicio 5:Resuelve la siguiente expresión y simplifica el resultado:
\(\sqrt{50} + 3\sqrt{18} - 2\sqrt{8}\).
¿Qué valor obtienes tras simplificar cada uno de los radicales?
Solución: Respuesta: \( 5 + 9 - 4 = 10 \)
Explicación:
Primero, simplificamos cada uno de los radicales en la expresión:
1. \(\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{2} = 5\sqrt{2}\)
2. \(3\sqrt{18} = 3\sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{9} \cdot \sqrt{2} = 3 \cdot 3\sqrt{2} = 9\sqrt{2}\)
3. \(-2\sqrt{8} = -2\sqrt{4 \cdot 2} = -2\sqrt{4} \cdot \sqrt{2} = -2 \cdot 2\sqrt{2} = -4\sqrt{2}\)
Ahora, sustituimos estas simplificaciones en la expresión original:
\[
5\sqrt{2} + 9\sqrt{2} - 4\sqrt{2}
\]
Al juntar términos semejantes:
\[
(5 + 9 - 4)\sqrt{2} = 10\sqrt{2}
\]
Por lo tanto, el resultado simplificado de la expresión es \(10\sqrt{2}\).
Ejercicio 6:Resuelve la siguiente expresión utilizando propiedades de radicales:
Simplifica la siguiente expresión: \( \sqrt{50} + \sqrt{18} \).
¿A qué resultado simplificado llegas?
Solución: Respuesta: \( 5\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 8\sqrt{2} \)
Para simplificar la expresión \( \sqrt{50} + \sqrt{18} \), descomponemos los radicales:
1. \( \sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{2} = 5\sqrt{2} \)
2. \( \sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{2} = 3\sqrt{2} \)
Ahora sumamos los resultados:
\[
\sqrt{50} + \sqrt{18} = 5\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = (5 + 3)\sqrt{2} = 8\sqrt{2}
\]
Por lo tanto, la expresión simplificada es \( 8\sqrt{2} \).
Ejercicio 7:Resuelve la siguiente expresión radical: \( \sqrt{64} + \sqrt{36} - \sqrt{16} \). ¿Cuál es el resultado final?
Solución: Respuesta: \( 12 \)
Para resolver la expresión \( \sqrt{64} + \sqrt{36} - \sqrt{16} \), calculamos cada raíz cuadrada por separado:
- \( \sqrt{64} = 8 \)
- \( \sqrt{36} = 6 \)
- \( \sqrt{16} = 4 \)
Ahora, sustituimos estos valores en la expresión original:
\[
8 + 6 - 4
\]
Sumamos y restamos:
\[
8 + 6 = 14
\]
\[
14 - 4 = 10
\]
Por lo tanto, el resultado final es \( 10 \).
Ejercicio 8:Resuelve la siguiente expresión radical: \( \sqrt{49} + \sqrt{16} \). ¿Cuál es el resultado?
Solución: Respuesta: \( 13 \)
Explicación: Para resolver la expresión \( \sqrt{49} + \sqrt{16} \), primero calculamos cada raíz cuadrada por separado:
- \( \sqrt{49} = 7 \)
- \( \sqrt{16} = 4 \)
Luego sumamos los resultados:
\[ 7 + 4 = 11 \]
Por lo tanto, el resultado final es \( 11 \).
Ejercicio 9:Resuelve la siguiente expresión radical:
Calcula \( \sqrt{49} + \sqrt{16} - \sqrt{9} \).
¿Cuál es el resultado final?
Solución: Respuesta: \( 6 \)
Para resolver la expresión \( \sqrt{49} + \sqrt{16} - \sqrt{9} \), primero calculamos cada raíz cuadrada:
1. \( \sqrt{49} = 7 \)
2. \( \sqrt{16} = 4 \)
3. \( \sqrt{9} = 3 \)
Ahora sustituimos estos valores en la expresión original:
\[
7 + 4 - 3
\]
Realizamos las operaciones:
\[
7 + 4 = 11
\]
\[
11 - 3 = 8
\]
Por lo tanto, el resultado final es \( 8 \).
Ejercicio 10:Resuelve la siguiente expresión radical:
\[
\sqrt{49} + \sqrt{16} - \sqrt{9}
\]
¿Cuál es el resultado final?
Solución: Respuesta: 6
Explicación: Para resolver la expresión radical \(\sqrt{49} + \sqrt{16} - \sqrt{9}\), primero calculamos cada raíz cuadrada por separado:
\[
\sqrt{49} = 7,
\]
\[
\sqrt{16} = 4,
\]
\[
\sqrt{9} = 3.
\]
Ahora sustituimos estos valores en la expresión original:
\[
7 + 4 - 3.
\]
Realizamos la suma y resta:
\[
7 + 4 = 11,
\]
\[
11 - 3 = 8.
\]
Por lo tanto, el resultado final es \(8\).
Ejercicio 11:Resuelve la siguiente expresión con radicales: \( \sqrt{49} + \sqrt{16} - \sqrt{9} \). ¿Cuál es el resultado final?
Solución: Respuesta: \( 6 \)
Explicación: Para resolver la expresión \( \sqrt{49} + \sqrt{16} - \sqrt{9} \), calculamos cada radical por separado:
\[
\sqrt{49} = 7,
\]
\[
\sqrt{16} = 4,
\]
\[
\sqrt{9} = 3.
\]
Sustituyendo estos valores en la expresión original, obtenemos:
\[
7 + 4 - 3 = 8.
\]
Por lo tanto, el resultado final es \( 8 \).
Ejercicio 12:Resuelve la siguiente expresión con radicales:
Calcular el valor de \( \sqrt{49} + \sqrt{16} - \sqrt{9} \).
Solución: Respuesta: \( 8 \)
Explicación:
Para resolver la expresión \( \sqrt{49} + \sqrt{16} - \sqrt{9} \), calculamos cada raíz cuadrada por separado:
1. \( \sqrt{49} = 7 \)
2. \( \sqrt{16} = 4 \)
3. \( \sqrt{9} = 3 \)
Ahora, sustituimos estos valores en la expresión original:
\[
7 + 4 - 3
\]
Realizamos las operaciones:
\[
7 + 4 = 11
\]
\[
11 - 3 = 8
\]
Por lo tanto, el resultado final es \( 8 \).
Ejercicio 13:Resuelve la siguiente expresión con radicales:
\[ \sqrt{49} + \sqrt{25} - \sqrt{9} \]
¿Cuál es el resultado final?
Solución: Respuesta: \( 7 \)
Para resolver la expresión \( \sqrt{49} + \sqrt{25} - \sqrt{9} \), calculamos cada raíz cuadrada:
1. \( \sqrt{49} = 7 \)
2. \( \sqrt{25} = 5 \)
3. \( \sqrt{9} = 3 \)
Ahora sustituimos estos valores en la expresión original:
\[
7 + 5 - 3
\]
Realizamos las operaciones:
\[
7 + 5 = 12
\]
\[
12 - 3 = 9
\]
Por lo tanto, el resultado final es \( 9 \).
Ejercicio 14:Resuelve la siguiente expresión con radicales:
\(\sqrt{49} + \sqrt{16} - \sqrt{9}\).
¿Cuál es el resultado final?
Solución: Respuesta: \( \sqrt{49} + \sqrt{16} - \sqrt{9} = 7 + 4 - 3 = 8 \)
Explicación:
- Calculamos cada raíz cuadrada:
- \( \sqrt{49} = 7 \)
- \( \sqrt{16} = 4 \)
- \( \sqrt{9} = 3 \)
- Luego, sumamos y restamos los resultados:
- \( 7 + 4 = 11 \)
- \( 11 - 3 = 8 \)
Por lo tanto, el resultado final es 8.
Ejercicio 15:Resuelve la siguiente expresión con radicales y simplifica el resultado:
\(\sqrt{36} + \sqrt{25} - \sqrt{16}\). ¿Cuál es el resultado final?
Solución: Respuesta: \( 5 \)
Explicación: Primero, calculamos cada uno de los radicales:
\[
\sqrt{36} = 6, \quad \sqrt{25} = 5, \quad \sqrt{16} = 4
\]
Luego, sustituimos estos valores en la expresión original:
\[
\sqrt{36} + \sqrt{25} - \sqrt{16} = 6 + 5 - 4
\]
Ahora, realizamos las operaciones:
\[
6 + 5 = 11 \quad \text{y} \quad 11 - 4 = 7
\]
Por lo tanto, el resultado final es \( 7 \).
Ejercicio 16:Resuelve la siguiente ecuación:
\[
\sqrt{2x + 3} - 4 = 0
\]
1. Encuentra el valor de \(x\).
2. Comprueba que tu solución es correcta sustituyendo el valor encontrado en la ecuación original.
Solución: Respuesta: \( x = \frac{13}{2} \) o \( x = 6.5 \)
Para resolver la ecuación \(\sqrt{2x + 3} - 4 = 0\), seguimos estos pasos:
1. Aislamos la raíz cuadrada:
\[
\sqrt{2x + 3} = 4
\]
2. Elevamos al cuadrado ambos lados de la ecuación:
\[
2x + 3 = 16
\]
3. Restamos 3 de ambos lados:
\[
2x = 13
\]
4. Dividimos entre 2:
\[
x = \frac{13}{2}
\]
Para comprobar la solución, sustituimos \(x = \frac{13}{2}\) en la ecuación original:
\[
\sqrt{2\left(\frac{13}{2}\right) + 3} - 4 = 0
\]
Calculamos:
\[
\sqrt{13 + 3} - 4 = \sqrt{16} - 4 = 4 - 4 = 0
\]
Esto confirma que la solución es correcta.
Ejercicio 17:Resuelve la siguiente ecuación y simplifica el resultado:
$$\sqrt{2x + 8} - 4 = 0$$
1. Encuentra el valor de \( x \).
2. Verifica si la solución es válida sustituyendo \( x \) en la ecuación original.
Solución: Respuesta: \( x = 2 \)
Para encontrar el valor de \( x \), comenzamos resolviendo la ecuación:
1. Despejamos la raíz cuadrada:
\[
\sqrt{2x + 8} = 4
\]
2. Elevamos al cuadrado ambos lados:
\[
2x + 8 = 16
\]
3. Restamos 8 de ambos lados:
\[
2x = 8
\]
4. Dividimos entre 2:
\[
x = 4
\]
5. Verificamos la solución sustituyendo \( x = 2 \) en la ecuación original:
\[
\sqrt{2(2) + 8} - 4 = \sqrt{4 + 8} - 4 = \sqrt{12} - 4
\]
Notamos que \( \sqrt{12} \) no es igual a 4, por lo que \( x = 2 \) no es válida.
6. Luego, si seguimos el proceso y verificamos, al resolver nuevamente:
\[
\sqrt{2(4) + 8} - 4 = \sqrt{8 + 8} - 4 = \sqrt{16} - 4 = 4 - 4 = 0
\]
Aquí, la verificación es correcta.
Por lo tanto, el valor correcto de \( x \) es \( 4 \).
Ejercicio 18:Resuelve la siguiente ecuación y simplifica el resultado:
\[
\sqrt{2x + 5} - 3 = 0
\]
a) Halla el valor de \( x \).
b) Verifica si el valor encontrado es correcto.
Solución: Respuesta: \( x = \frac{4}{2} = 2 \)
Para resolver la ecuación \(\sqrt{2x + 5} - 3 = 0\), seguimos estos pasos:
1. Aislamos la raíz cuadrada:
\[
\sqrt{2x + 5} = 3
\]
2. Elevamos al cuadrado ambos lados de la ecuación para eliminar la raíz:
\[
2x + 5 = 3^2
\]
\[
2x + 5 = 9
\]
3. Restamos 5 de ambos lados:
\[
2x = 9 - 5
\]
\[
2x = 4
\]
4. Dividimos entre 2:
\[
x = \frac{4}{2} = 2
\]
b) Ahora verificamos si el valor encontrado es correcto. Sustituimos \( x = 2 \) en la ecuación original:
\[
\sqrt{2(2) + 5} - 3 = 0
\]
\[
\sqrt{4 + 5} - 3 = 0
\]
\[
\sqrt{9} - 3 = 0
\]
\[
3 - 3 = 0
\]
La verificación es correcta, por lo tanto, el valor encontrado \( x = 2 \) es la solución de la ecuación.
Ejercicio 19:Resuelve la siguiente ecuación y simplifica el resultado:
\[
\sqrt{2x + 5} - 3 = 0
\]
a) Encuentra el valor de \(x\).
b) Verifica si el valor encontrado es una solución de la ecuación original.
Solución: Respuesta: \( x = \frac{4}{2} = 2 \)
Para resolver la ecuación \(\sqrt{2x + 5} - 3 = 0\), primero aislamos la raíz cuadrada:
\[
\sqrt{2x + 5} = 3
\]
Luego, elevamos al cuadrado ambos lados de la ecuación:
\[
2x + 5 = 9
\]
Restamos 5 de ambos lados:
\[
2x = 9 - 5
\]
\[
2x = 4
\]
Finalmente, dividimos entre 2:
\[
x = 2
\]
Ahora, para verificar si \(x = 2\) es una solución de la ecuación original, sustituimos este valor en la ecuación:
\[
\sqrt{2(2) + 5} - 3 = 0
\]
Calculamos:
\[
\sqrt{4 + 5} - 3 = 0
\]
\[
\sqrt{9} - 3 = 0
\]
\[
3 - 3 = 0
\]
Como la ecuación se cumple, podemos confirmar que \(x = 2\) es efectivamente una solución.
Ejercicio 20:Resuelve la siguiente ecuación y simplifica el resultado:
\[
\sqrt{2x + 5} - 3 = 0
\]
1. Despeja \(x\).
2. Calcula el valor de \(x\) y verifica si es válido en la ecuación original.
Solución: Respuesta: \( x = \frac{4}{2} = 2 \)
Para resolver la ecuación \(\sqrt{2x + 5} - 3 = 0\), primero sumamos 3 a ambos lados:
\[
\sqrt{2x + 5} = 3
\]
Luego, elevamos al cuadrado ambos lados para eliminar la raíz:
\[
2x + 5 = 9
\]
Restamos 5 de ambos lados:
\[
2x = 4
\]
Finalmente, dividimos entre 2:
\[
x = 2
\]
Ahora, verificamos si \(x = 2\) es válido en la ecuación original:
\[
\sqrt{2(2) + 5} - 3 = \sqrt{4 + 5} - 3 = \sqrt{9} - 3 = 3 - 3 = 0
\]
Dado que la comprobación es correcta, \(x = 2\) es la solución válida.
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En esta sección, vamos a repasar los conceptos clave del temario de radicales que hemos abordado en 3º de ESO. A continuación, se presenta un breve resumen que puede servir como recordatorio mientras realizas los ejercicios.
Temario
Definición de radicales
Propiedades de los radicales
Operaciones con radicales
Racionalización de radicales
Aplicaciones de los radicales en la resolución de ecuaciones
Recordatorio de la Teoría
Los radicales son expresiones que incluyen raíces, siendo la raíz cuadrada la más común. La forma general de un radical se expresa como \sqrt[n]{a}, donde a es el radicando y n es el índice de la raíz.
Las propiedades de los radicales son fundamentales para simplificar y operar con estas expresiones. Algunas de las más importantes incluyen:
Producto de radicales: \(\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}\).
Cociente de radicales: \(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}\).
Potencia de un radical: \((\sqrt{a})^n = \sqrt{a^n}\).
Cuando se habla de racionalización, nos referimos al proceso de eliminar radicales del denominador de una fracción, lo cual es crucial para simplificar ciertas expresiones.
Finalmente, los radicales se aplican frecuentemente en la resolución de ecuaciones, siendo importante entender cómo manipular estas expresiones para encontrar soluciones.
Recuerda que si tienes dudas, puedes consultar el temario o hablar con tu profesor para obtener más aclaraciones sobre los temas tratados.
