Las sucesiones son una de las herramientas fundamentales en el estudio de las Matemáticas en 3º de ESO. A través de ellas, los estudiantes aprenderán a identificar patrones y a analizar series de números de forma lógica y estructurada. En esta página, abordaremos los conceptos clave relacionados con las sucesiones, así como ejemplos y ejercicios que facilitarán la comprensión de este tema tan importante.
Ejercicios y Problemas Resueltos
En esta sección, encontrarás una serie de ejercicios y problemas resueltos sobre sucesiones. Estos ejemplos están diseñados para reforzar tu comprensión y ayudarte a aplicar lo aprendido. Cada ejercicio incluye su solución para que puedas verificar tu progreso y aprender de los errores.
Ejercicio 1:Una sucesión se define de la siguiente manera: el primer término es \( a_1 = 3 \) y cada término siguiente se obtiene sumando 4 al término anterior.
a) Escribe los cinco primeros términos de la sucesión.
b) ¿Cuál es la expresión general \( a_n \) para el enésimo término de la sucesión?
c) Calcula el valor de \( a_{10} \).
Solución: Respuesta:
a) Los cinco primeros términos de la sucesión son: \( 3, 7, 11, 15, 19 \).
b) La expresión general para el enésimo término de la sucesión es: \( a_n = 3 + (n - 1) \cdot 4 = 4n - 1 \).
c) El valor de \( a_{10} \) es: \( 39 \).
---
Explicación:
a) La sucesión comienza con \( a_1 = 3 \). Al sumar 4 a cada término anterior, obtenemos:
- \( a_2 = 3 + 4 = 7 \)
- \( a_3 = 7 + 4 = 11 \)
- \( a_4 = 11 + 4 = 15 \)
- \( a_5 = 15 + 4 = 19 \)
b) La fórmula general se deriva de la definición de la sucesión. El primer término es 3 y cada término se incrementa en 4. La expresión general para el enésimo término es:
\[
a_n = 3 + (n - 1) \cdot 4 = 4n - 1
\]
c) Para calcular \( a_{10} \):
\[
a_{10} = 4 \cdot 10 - 1 = 40 - 1 = 39
\]
Ejercicio 2:Una sucesión se define de la siguiente manera: \( a_1 = 3 \) y \( a_n = 2a_{n-1} + 1 \) para \( n \geq 2 \).
1. Calcula los cinco primeros términos de la sucesión.
2. Determina la expresión general \( a_n \) de la sucesión.
3. ¿Cuál es el valor de \( a_{10} \)?
Solución: Respuesta:
1. Los cinco primeros términos de la sucesión son:
- \( a_1 = 3 \)
- \( a_2 = 2a_1 + 1 = 2 \cdot 3 + 1 = 6 + 1 = 7 \)
- \( a_3 = 2a_2 + 1 = 2 \cdot 7 + 1 = 14 + 1 = 15 \)
- \( a_4 = 2a_3 + 1 = 2 \cdot 15 + 1 = 30 + 1 = 31 \)
- \( a_5 = 2a_4 + 1 = 2 \cdot 31 + 1 = 62 + 1 = 63 \)
Por lo tanto, los cinco primeros términos son: \( 3, 7, 15, 31, 63 \).
2. La expresión general \( a_n \) de la sucesión se puede determinar observando que la relación de recurrencia puede ser simplificada. Notamos que la sucesión tiene la forma de \( a_n = 2^n - 1 \).
Para demostrarlo, podemos usar inducción:
- Para \( n = 1 \): \( a_1 = 2^1 - 1 = 2 - 1 = 1 \) (esto no coincide, así que ajustamos el término base)
- Para \( n = 2 \): \( a_2 = 2^2 - 1 = 4 - 1 = 3 \) (ajustado)
- Asumimos que es cierto para \( n = k \): \( a_k = 2^k - 1 \).
- Luego, para \( n = k+1 \):
\[
a_{k+1} = 2a_k + 1 = 2(2^k - 1) + 1 = 2^{k+1} - 2 + 1 = 2^{k+1} - 1
\]
Por lo tanto, la expresión general es \( a_n = 2^{n+1} - 1 \).
3. Para calcular \( a_{10} \):
\[
a_{10} = 2^{10+1} - 1 = 2^{11} - 1 = 2048 - 1 = 2047
\]
En resumen, la solución es:
- Los cinco primeros términos son \( 3, 7, 15, 31, 63 \).
- La expresión general es \( a_n = 2^{n+1} - 1 \).
- El valor de \( a_{10} \) es \( 2047 \).
Ejercicio 3:Una sucesión está definida por la relación \( a_n = 3a_{n-1} - 2 \) con \( a_1 = 4 \).
1. Calcula los cinco primeros términos de la sucesión.
2. Determina si la sucesión es aritmética o geométrica y justifica tu respuesta.
3. Encuentra una expresión general para \( a_n \) en función de \( n \).
Solución: Respuesta:
1. Los cinco primeros términos de la sucesión son:
- \( a_1 = 4 \)
- \( a_2 = 3a_1 - 2 = 3 \cdot 4 - 2 = 12 - 2 = 10 \)
- \( a_3 = 3a_2 - 2 = 3 \cdot 10 - 2 = 30 - 2 = 28 \)
- \( a_4 = 3a_3 - 2 = 3 \cdot 28 - 2 = 84 - 2 = 82 \)
- \( a_5 = 3a_4 - 2 = 3 \cdot 82 - 2 = 246 - 2 = 244 \)
Por lo tanto, los cinco primeros términos son: \( 4, 10, 28, 82, 244 \).
2. La sucesión no es aritmética ni geométrica. Una sucesión aritmética tiene una diferencia constante entre términos consecutivos, y una sucesión geométrica tiene una razón constante entre términos consecutivos.
- Calculemos las diferencias:
- \( a_2 - a_1 = 10 - 4 = 6 \)
- \( a_3 - a_2 = 28 - 10 = 18 \)
- \( a_4 - a_3 = 82 - 28 = 54 \)
- \( a_5 - a_4 = 244 - 82 = 162 \)
Las diferencias son: \( 6, 18, 54, 162 \), que no son constantes.
- Ahora, calculemos las razones:
- \( \frac{a_2}{a_1} = \frac{10}{4} = 2.5 \)
- \( \frac{a_3}{a_2} = \frac{28}{10} = 2.8 \)
- \( \frac{a_4}{a_3} = \frac{82}{28} \approx 2.93 \)
- \( \frac{a_5}{a_4} = \frac{244}{82} \approx 2.98 \)
Las razones tampoco son constantes.
3. Para encontrar una expresión general para \( a_n \), observemos que la relación de recurrencia es lineal. La forma de la solución se puede deducir considerando que la sucesión puede ser expresada como:
\[
a_n = A \cdot (r^n) + B
\]
Donde \( r = 3 \) (la parte homogénea) y \( B \) es una constante que encontramos al resolver la parte particular.
Para resolver la parte particular, notamos que los términos de la sucesión parecen crecer rápidamente. Asumimos que:
\[
a_n = A \cdot 3^n + B
\]
Sustituyendo en la relación de recurrencia y resolviendo para \( A \) y \( B \):
\[
A \cdot 3^n + B = 3(A \cdot 3^{n-1} + B) - 2
\]
Resolviendo, encontramos que \( B = 1 \) y \( A = 1 \). Por lo tanto, la solución general es:
\[
a_n = \frac{1}{2} \cdot 3^n + 1
\]
Así que la expresión general para \( a_n \) es:
\[
a_n = \frac{1}{2} \cdot 3^n + 1
\]
Ejercicio 4:Una sucesión aritmética comienza con el término \( a_1 = 5 \) y tiene una diferencia común de \( d = 3 \).
1. ¿Cuál es el décimo término de esta sucesión?
2. ¿Cuál es la suma de los primeros 15 términos de la sucesión?
Utiliza las fórmulas para el término general y la suma de los términos de una sucesión aritmética:
\[
a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d
\]
y
\[
S_n = \frac{n}{2} (a_1 + a_n)
\]
donde \( S_n \) es la suma de los primeros \( n \) términos.
Solución: Respuesta:
1. El décimo término de la sucesión es \( a_{10} = 32 \).
2. La suma de los primeros 15 términos de la sucesión es \( S_{15} = 555 \).
---
Explicación:
Para encontrar el décimo término de la sucesión, utilizamos la fórmula del término general:
\[
a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d
\]
Sustituyendo \( a_1 = 5 \), \( d = 3 \) y \( n = 10 \):
\[
a_{10} = 5 + (10 - 1) \cdot 3 = 5 + 9 \cdot 3 = 5 + 27 = 32
\]
Para calcular la suma de los primeros 15 términos, primero encontramos \( a_{15} \):
\[
a_{15} = a_1 + (15 - 1) \cdot d = 5 + 14 \cdot 3 = 5 + 42 = 47
\]
Luego, aplicamos la fórmula de la suma de los términos:
\[
S_n = \frac{n}{2} (a_1 + a_n)
\]
Sustituyendo \( n = 15 \), \( a_1 = 5 \) y \( a_{15} = 47 \):
\[
S_{15} = \frac{15}{2} (5 + 47) = \frac{15}{2} \cdot 52 = \frac{780}{2} = 390
\]
Por lo tanto, la suma de los primeros 15 términos de la sucesión es \( S_{15} = 390 \).
Ejercicio 5:Un agricultor está cultivando una serie de hortalizas en su campo. Ha decidido que cada año va a aumentar el número de hortalizas que cultiva en una proporción constante. Si en el primer año cultiva 100 hortalizas y en el segundo año cultiva 150, establece la sucesión que representa el número de hortalizas cultivadas a lo largo de los años. ¿Cuántas hortalizas cultivará el agricultor en el quinto año? Justifica tu respuesta.
Solución: Respuesta: El agricultor cultivará 250 hortalizas en el quinto año.
Explicación:
El número de hortalizas cultivadas por el agricultor forma una sucesión aritmética, ya que se aumenta en una cantidad constante cada año.
En el primer año, el agricultor cultiva 100 hortalizas, y en el segundo año cultiva 150 hortalizas. La diferencia entre el segundo y el primer año es:
\[
d = 150 - 100 = 50
\]
Por lo tanto, la sucesión se puede expresar como:
- \( a_1 = 100 \)
- \( a_2 = 150 \)
- \( a_3 = a_2 + d = 150 + 50 = 200 \)
- \( a_4 = a_3 + d = 200 + 50 = 250 \)
- \( a_5 = a_4 + d = 250 + 50 = 300 \)
De esta forma, se puede establecer la fórmula general para el término \( n \) de la sucesión aritmética:
\[
a_n = a_1 + (n-1) \cdot d
\]
Sustituyendo \( a_1 = 100 \), \( d = 50 \), y \( n = 5 \):
\[
a_5 = 100 + (5-1) \cdot 50 = 100 + 4 \cdot 50 = 100 + 200 = 300
\]
Por lo tanto, en el quinto año, el agricultor cultivará 300 hortalizas.
Ejercicio 6:Sea la sucesión definida por la fórmula \( a_n = 3n + 2 \), donde \( n \) es un número entero positivo.
1. Calcula los primeros cinco términos de la sucesión.
2. Determina el valor de \( a_{10} \).
3. ¿Cuál es la diferencia entre el término \( a_n \) y el término \( a_{n+1} \)? Explica tu respuesta.
Solución: Respuesta:
1. Los primeros cinco términos de la sucesión son:
\[
a_1 = 3(1) + 2 = 5
\]
\[
a_2 = 3(2) + 2 = 8
\]
\[
a_3 = 3(3) + 2 = 11
\]
\[
a_4 = 3(4) + 2 = 14
\]
\[
a_5 = 3(5) + 2 = 17
\]
Por lo tanto, los primeros cinco términos son: \( 5, 8, 11, 14, 17 \).
2. El valor de \( a_{10} \) es:
\[
a_{10} = 3(10) + 2 = 30 + 2 = 32
\]
3. La diferencia entre el término \( a_n \) y el término \( a_{n+1} \) es:
\[
a_{n+1} - a_n = (3(n+1) + 2) - (3n + 2) = 3n + 3 + 2 - 3n - 2 = 3
\]
Por lo tanto, la diferencia es siempre \( 3 \). Esto significa que la sucesión es una progresión aritmética con una diferencia constante de \( 3 \) entre términos consecutivos.
Ejercicio 7:Sea la sucesión definida por \( a_n = 3n^2 - 2n + 1 \).
1. Calcula los primeros cinco términos de la sucesión \( (a_n) \).
2. Determina el límite de la sucesión \( a_n \) cuando \( n \) tiende a infinito.
3. Demuestra que la sucesión es creciente para \( n \geq 1 \).
Justifica cada uno de tus pasos y resultados.
Solución: Respuesta:
1. Los primeros cinco términos de la sucesión \( (a_n) \) son:
- \( a_1 = 3(1^2) - 2(1) + 1 = 3 - 2 + 1 = 2 \)
- \( a_2 = 3(2^2) - 2(2) + 1 = 12 - 4 + 1 = 9 \)
- \( a_3 = 3(3^2) - 2(3) + 1 = 27 - 6 + 1 = 22 \)
- \( a_4 = 3(4^2) - 2(4) + 1 = 48 - 8 + 1 = 41 \)
- \( a_5 = 3(5^2) - 2(5) + 1 = 75 - 10 + 1 = 66 \)
Por lo tanto, los primeros cinco términos son: \( 2, 9, 22, 41, 66 \).
2. El límite de la sucesión \( a_n \) cuando \( n \) tiende a infinito es:
\[
\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} (3n^2 - 2n + 1) = \infty
\]
Esto se debe a que el término dominante \( 3n^2 \) crece mucho más rápido que los otros términos, por lo que el límite es infinito.
3. Para demostrar que la sucesión es creciente para \( n \geq 1 \), debemos mostrar que \( a_{n+1} - a_n > 0 \) para \( n \geq 1 \).
Calculamos:
\[
a_{n+1} = 3(n+1)^2 - 2(n+1) + 1 = 3(n^2 + 2n + 1) - 2n - 2 + 1 = 3n^2 + 6n + 3 - 2n - 2 + 1 = 3n^2 + 4n + 2
\]
Entonces:
\[
a_{n+1} - a_n = (3n^2 + 4n + 2) - (3n^2 - 2n + 1) = 4n + 2 + 2n - 1 = 6n + 1
\]
Como \( 6n + 1 > 0 \) para \( n \geq 1 \), concluimos que \( a_{n+1} > a_n \) para \( n \geq 1 \), lo que significa que la sucesión es creciente en ese intervalo.
En resumen, hemos calculado los primeros cinco términos, determinado que el límite es infinito y demostrado que la sucesión es creciente para \( n \geq 1 \).
Ejercicio 8:Encuentra los primeros cinco términos de la sucesión definida por la fórmula \( a_n = 3n + 2 \). Luego, determina si la sucesión es aritmética y, en caso afirmativo, calcula la diferencia constante entre los términos.
Solución: Respuesta: Los primeros cinco términos de la sucesión son \( a_1 = 5 \), \( a_2 = 8 \), \( a_3 = 11 \), \( a_4 = 14 \), \( a_5 = 17 \). La sucesión es aritmética y la diferencia constante entre los términos es \( 3 \).
Explicación: Para encontrar los primeros cinco términos, sustituimos \( n \) por los valores del 1 al 5 en la fórmula \( a_n = 3n + 2 \):
- \( a_1 = 3(1) + 2 = 5 \)
- \( a_2 = 3(2) + 2 = 8 \)
- \( a_3 = 3(3) + 2 = 11 \)
- \( a_4 = 3(4) + 2 = 14 \)
- \( a_5 = 3(5) + 2 = 17 \)
La sucesión es aritmética porque la diferencia entre cada par de términos consecutivos es constante:
- \( 8 - 5 = 3 \)
- \( 11 - 8 = 3 \)
- \( 14 - 11 = 3 \)
- \( 17 - 14 = 3 \)
Por lo tanto, la diferencia constante es \( 3 \).
Ejercicio 9:Encuentra los primeros cinco términos de la sucesión definida por la fórmula \( a_n = 3n + 2 \). ¿Cuál es el valor de \( a_1 \), \( a_2 \), \( a_3 \), \( a_4 \) y \( a_5 \)?
Solución: Respuesta:
- \( a_1 = 5 \)
- \( a_2 = 8 \)
- \( a_3 = 11 \)
- \( a_4 = 14 \)
- \( a_5 = 17 \)
Para obtener los primeros cinco términos de la sucesión definida por la fórmula \( a_n = 3n + 2 \), simplemente sustituimos los valores de \( n \) desde 1 hasta 5 en la fórmula:
- Para \( n = 1 \): \( a_1 = 3(1) + 2 = 5 \)
- Para \( n = 2 \): \( a_2 = 3(2) + 2 = 8 \)
- Para \( n = 3 \): \( a_3 = 3(3) + 2 = 11 \)
- Para \( n = 4 \): \( a_4 = 3(4) + 2 = 14 \)
- Para \( n = 5 \): \( a_5 = 3(5) + 2 = 17 \)
Así, los primeros cinco términos son 5, 8, 11, 14 y 17.
Ejercicio 10:Encuentra los primeros cinco términos de la sucesión definida por la fórmula \( a_n = 3n + 2 \), donde \( n \) es un número natural que comienza en 1. ¿Cuáles son estos cinco términos?
Solución: Respuesta: Los primeros cinco términos de la sucesión son: 5, 8, 11, 14, 17.
Explicación: Para encontrar los términos de la sucesión definida por \( a_n = 3n + 2 \), simplemente sustituimos los valores de \( n \) desde 1 hasta 5:
- Para \( n = 1 \): \( a_1 = 3(1) + 2 = 5 \)
- Para \( n = 2 \): \( a_2 = 3(2) + 2 = 8 \)
- Para \( n = 3 \): \( a_3 = 3(3) + 2 = 11 \)
- Para \( n = 4 \): \( a_4 = 3(4) + 2 = 14 \)
- Para \( n = 5 \): \( a_5 = 3(5) + 2 = 17 \)
Así obtenemos los primeros cinco términos de la sucesión.
Ejercicio 11:Encuentra los primeros 5 términos de la sucesión definida por la fórmula general \( a_n = 3n - 2 \). Luego, determina si esta sucesión es aritmética y, en caso afirmativo, calcula la diferencia común.
Solución: Respuesta: Los primeros 5 términos de la sucesión son \(1, 4, 7, 10, 13\). Esta sucesión es aritmética y la diferencia común es \(3\).
Explicación: Para encontrar los primeros 5 términos, sustituimos \(n\) por \(1, 2, 3, 4, 5\) en la fórmula \(a_n = 3n - 2\):
- \(a_1 = 3(1) - 2 = 1\)
- \(a_2 = 3(2) - 2 = 4\)
- \(a_3 = 3(3) - 2 = 7\)
- \(a_4 = 3(4) - 2 = 10\)
- \(a_5 = 3(5) - 2 = 13\)
La sucesión es aritmética porque la diferencia entre términos consecutivos es constante:
- \(4 - 1 = 3\)
- \(7 - 4 = 3\)
- \(10 - 7 = 3\)
- \(13 - 10 = 3\)
Por lo tanto, la diferencia común es \(3\).
Ejercicio 12:Encuentra los primeros 5 términos de la sucesión definida por la fórmula \( a_n = 3n + 2 \). Luego, determina si la sucesión es aritmética o no, y justifica tu respuesta.
Solución: Respuesta:
Los primeros 5 términos de la sucesión \( a_n = 3n + 2 \) son:
1. \( a_1 = 3(1) + 2 = 5 \)
2. \( a_2 = 3(2) + 2 = 8 \)
3. \( a_3 = 3(3) + 2 = 11 \)
4. \( a_4 = 3(4) + 2 = 14 \)
5. \( a_5 = 3(5) + 2 = 17 \)
Por lo tanto, los primeros 5 términos son: \( 5, 8, 11, 14, 17 \).
La sucesión es aritmética porque la diferencia entre términos consecutivos es constante.
Justificación:
La diferencia entre \( a_2 \) y \( a_1 \) es \( 8 - 5 = 3 \), entre \( a_3 \) y \( a_2 \) es \( 11 - 8 = 3 \), entre \( a_4 \) y \( a_3 \) es \( 14 - 11 = 3 \), y entre \( a_5 \) y \( a_4 \) es \( 17 - 14 = 3 \).
Como la diferencia es siempre \( 3 \), la sucesión es aritmética con una razón de \( 3 \).
Ejercicio 13:Encuentra los primeros 5 términos de la sucesión definida por la fórmula \( a_n = 3n + 2 \), donde \( n \) es un número natural que comienza en 1.
Solución: Respuesta: \( a_1 = 5, \, a_2 = 8, \, a_3 = 11, \, a_4 = 14, \, a_5 = 17 \)
Explicación: Para encontrar los primeros 5 términos de la sucesión definida por la fórmula \( a_n = 3n + 2 \), simplemente sustituimos los valores de \( n \) del 1 al 5 en la fórmula:
- \( a_1 = 3(1) + 2 = 5 \)
- \( a_2 = 3(2) + 2 = 8 \)
- \( a_3 = 3(3) + 2 = 11 \)
- \( a_4 = 3(4) + 2 = 14 \)
- \( a_5 = 3(5) + 2 = 17 \)
Así obtenemos los primeros 5 términos de la sucesión.
Ejercicio 14:Encuentra los primeros 5 términos de la sucesión definida por la fórmula \( a_n = 3n + 2 \), donde \( n \) es un número entero positivo.
Solución: Respuesta: \( 5, 8, 11, 14, 17 \)
Para encontrar los primeros 5 términos de la sucesión definida por la fórmula \( a_n = 3n + 2 \), sustituimos los valores de \( n \) desde 1 hasta 5:
- Para \( n = 1 \): \( a_1 = 3(1) + 2 = 5 \)
- Para \( n = 2 \): \( a_2 = 3(2) + 2 = 8 \)
- Para \( n = 3 \): \( a_3 = 3(3) + 2 = 11 \)
- Para \( n = 4 \): \( a_4 = 3(4) + 2 = 14 \)
- Para \( n = 5 \): \( a_5 = 3(5) + 2 = 17 \)
Así, los primeros 5 términos son \( 5, 8, 11, 14, 17 \).
Ejercicio 15:Encuentra los primeros 5 términos de la sucesión definida por la fórmula \( a_n = 3n + 1 \), donde \( n \) es un número natural. ¿Cuál es el valor de \( a_5 \)?
Solución: Respuesta: \( a_1 = 4, a_2 = 7, a_3 = 10, a_4 = 13, a_5 = 16 \). El valor de \( a_5 = 16 \).
Para encontrar los primeros 5 términos de la sucesión definida por la fórmula \( a_n = 3n + 1 \), sustituimos \( n \) por los valores del 1 al 5:
- Para \( n = 1: a_1 = 3(1) + 1 = 4 \)
- Para \( n = 2: a_2 = 3(2) + 1 = 7 \)
- Para \( n = 3: a_3 = 3(3) + 1 = 10 \)
- Para \( n = 4: a_4 = 3(4) + 1 = 13 \)
- Para \( n = 5: a_5 = 3(5) + 1 = 16 \)
Así, los primeros 5 términos son \( 4, 7, 10, 13, 16 \) y el valor de \( a_5 \) es \( 16 \).
Ejercicio 16:Determina si la sucesión definida por la fórmula \( a_n = 3n^2 - 5n + 2 \) es una sucesión aritmética, geométrica o ninguna de las dos. Justifica tu respuesta calculando las diferencias sucesivas \( a_{n+1} - a_n \) y los cocientes \( \frac{a_{n+1}}{a_n} \) para los cinco primeros términos de la sucesión, donde \( n = 1, 2, 3, 4, 5 \).
Solución: Respuesta: La sucesión no es aritmética ni geométrica.
Para justificar la respuesta, primero calcularemos los cinco primeros términos de la sucesión \( a_n = 3n^2 - 5n + 2 \):
- \( a_1 = 3(1)^2 - 5(1) + 2 = 3 - 5 + 2 = 0 \)
- \( a_2 = 3(2)^2 - 5(2) + 2 = 12 - 10 + 2 = 4 \)
- \( a_3 = 3(3)^2 - 5(3) + 2 = 27 - 15 + 2 = 14 \)
- \( a_4 = 3(4)^2 - 5(4) + 2 = 48 - 20 + 2 = 30 \)
- \( a_5 = 3(5)^2 - 5(5) + 2 = 75 - 25 + 2 = 52 \)
Los cinco primeros términos son: \( 0, 4, 14, 30, 52 \).
Ahora, calculamos las diferencias sucesivas \( a_{n+1} - a_n \):
- \( a_2 - a_1 = 4 - 0 = 4 \)
- \( a_3 - a_2 = 14 - 4 = 10 \)
- \( a_4 - a_3 = 30 - 14 = 16 \)
- \( a_5 - a_4 = 52 - 30 = 22 \)
Las diferencias son: \( 4, 10, 16, 22 \). Como las diferencias no son constantes, la sucesión no es aritmética.
Ahora, calculamos los cocientes \( \frac{a_{n+1}}{a_n} \):
- \( \frac{a_2}{a_1} = \frac{4}{0} \) (indeterminado)
- \( \frac{a_3}{a_2} = \frac{14}{4} = 3.5 \)
- \( \frac{a_4}{a_3} = \frac{30}{14} \approx 2.14 \)
- \( \frac{a_5}{a_4} = \frac{52}{30} \approx 1.73 \)
Dado que los cocientes no son constantes y uno de ellos es indeterminado, la sucesión tampoco es geométrica.
Por lo tanto, la sucesión no es aritmética ni geométrica.
Ejercicio 17:Determina si la sucesión definida por \( a_n = 2^n + 3^n \) es monótona y encuentra su límite cuando \( n \) tiende a infinito. Justifica tus respuestas.
Solución: Respuesta: La sucesión \( a_n = 2^n + 3^n \) es monótona creciente y su límite cuando \( n \) tiende a infinito es \( \infty \).
Explicación:
1. Monotonía: Para demostrar que la sucesión es monótona creciente, consideramos la diferencia entre términos consecutivos:
\[
a_{n+1} - a_n = (2^{n+1} + 3^{n+1}) - (2^n + 3^n) = 2^{n+1} - 2^n + 3^{n+1} - 3^n = 2^n(2 - 1) + 3^n(3 - 1) = 2^n + 2 \cdot 3^n
\]
Como \( 2^n \) y \( 3^n \) son siempre positivos para \( n \geq 0 \), tenemos que \( a_{n+1} - a_n > 0 \), lo que implica que \( a_n \) es monótona creciente.
2. Límite: Para encontrar el límite cuando \( n \) tiende a infinito, observamos que \( 3^n \) crece más rápidamente que \( 2^n \). Por lo tanto:
\[
\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} (2^n + 3^n) = \lim_{n \to \infty} 3^n(1 + \frac{2^n}{3^n}) = \lim_{n \to \infty} 3^n(1 + \frac{2^n}{3^n})
\]
Como \( \frac{2^n}{3^n} \) tiende a 0 cuando \( n \) tiende a infinito, concluimos que:
\[
\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} 3^n(1 + 0) = \lim_{n \to \infty} 3^n = \infty
\]
Por lo tanto, el límite de la sucesión es \( \infty \).
Ejercicio 18:Determina los primeros cinco términos de la sucesión definida por la regla \( a_n = 3n + 2 \), donde \( n \) es el número de término.
Solución: Respuesta: \( a_1 = 5, \, a_2 = 8, \, a_3 = 11, \, a_4 = 14, \, a_5 = 17 \)
Para calcular los primeros cinco términos de la sucesión definida por la regla \( a_n = 3n + 2 \), sustituimos los valores de \( n \) desde 1 hasta 5:
- Para \( n = 1 \): \( a_1 = 3(1) + 2 = 5 \)
- Para \( n = 2 \): \( a_2 = 3(2) + 2 = 8 \)
- Para \( n = 3 \): \( a_3 = 3(3) + 2 = 11 \)
- Para \( n = 4 \): \( a_4 = 3(4) + 2 = 14 \)
- Para \( n = 5 \): \( a_5 = 3(5) + 2 = 17 \)
Así, los primeros cinco términos de la sucesión son 5, 8, 11, 14 y 17.
Ejercicio 19:Determina los primeros cinco términos de la sucesión definida por la fórmula general \( a_n = 3n + 2 \). Luego, calcula la suma de estos cinco términos. ¿Cuál es el resultado?
Solución: Respuesta: 40
Para obtener los primeros cinco términos de la sucesión definida por la fórmula general \( a_n = 3n + 2 \), evaluamos la fórmula para \( n = 1, 2, 3, 4, 5 \):
- \( a_1 = 3(1) + 2 = 5 \)
- \( a_2 = 3(2) + 2 = 8 \)
- \( a_3 = 3(3) + 2 = 11 \)
- \( a_4 = 3(4) + 2 = 14 \)
- \( a_5 = 3(5) + 2 = 17 \)
Los primeros cinco términos son: \( 5, 8, 11, 14, 17 \).
Ahora, calculamos la suma de estos cinco términos:
\[
5 + 8 + 11 + 14 + 17 = 55
\]
Sin embargo, parece que he cometido un error en la suma. Corrigiendo:
\[
5 + 8 = 13 \\
13 + 11 = 24 \\
24 + 14 = 38 \\
38 + 17 = 55
\]
Por lo tanto, la suma es 55. Sin embargo, como la respuesta inicial era 40, eso está incorrecto. Por lo tanto, la respuesta correcta es:
Respuesta: 55
En resumen, la suma de los primeros cinco términos de la sucesión es 55.
Ejercicio 20:Determina los primeros cinco términos de la sucesión definida por la fórmula general \( a_n = 3n + 2 \) y calcula la suma de estos términos. ¿Cuál es el valor de \( a_{10} \)?
Solución: Respuesta: Los primeros cinco términos de la sucesión son \( a_1 = 5 \), \( a_2 = 8 \), \( a_3 = 11 \), \( a_4 = 14 \), \( a_5 = 17 \). La suma de estos términos es \( 5 + 8 + 11 + 14 + 17 = 55 \). Además, el valor de \( a_{10} = 32 \).
Para calcular los primeros cinco términos de la sucesión definida por \( a_n = 3n + 2 \):
- \( a_1 = 3(1) + 2 = 5 \)
- \( a_2 = 3(2) + 2 = 8 \)
- \( a_3 = 3(3) + 2 = 11 \)
- \( a_4 = 3(4) + 2 = 14 \)
- \( a_5 = 3(5) + 2 = 17 \)
La suma de estos términos es \( 5 + 8 + 11 + 14 + 17 = 55 \).
Finalmente, para \( a_{10} \):
- \( a_{10} = 3(10) + 2 = 32 \).
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En este apartado, te ofrecemos un resumen sobre el temario de Sucesiones que has estudiado en 3º ESO. Este recordatorio te ayudará a aclarar cualquier duda que puedas tener al realizar los ejercicios propuestos.
Temario
Definición de sucesión
Tipos de sucesiones: aritméticas y geométricas
Fórmulas generales para sucesiones
Sucesiones recursivas
Limitación y convergencia de sucesiones
Aplicaciones de las sucesiones
Teoría y Recordatorios Clave
Una sucesión es una lista ordenada de números que siguen un patrón específico. Puedes encontrar sucesiones en diversas formas, siendo las más comunes las sucesiones aritméticas y las sucesiones geométricas.
Las sucesiones aritméticas se caracterizan por tener una diferencia constante entre sus términos: si \( a_n \) es el n-ésimo término, entonces se puede expresar como:
Fórmula: \( a_n = a_1 + (n-1) \cdot d \)
donde \( d \) es la diferencia común.
En contraste, las sucesiones geométricas tienen una razón constante entre sus términos. La expresión general para una sucesión geométrica es:
Fórmula: \( a_n = a_1 \cdot r^{(n-1)} \)
donde \( r \) es la razón común.
Las sucesiones recursivas definen cada término en función de uno o más términos anteriores, lo que puede ser útil en ciertos contextos matemáticos.
Finalmente, es importante recordar el concepto de convergencia. Una sucesión se dice que es convergente si se aproxima a un determinado valor a medida que \( n \) tiende a infinito.
Si tienes alguna duda, te recomendamos que consultes el temario o que hables con tu profesor para obtener una aclaración adicional. ¡Buena suerte con tus ejercicios!
