Ejercicios y Problemas de Poleas y Engranajes 3º ESO
En este espacio dedicado a las poleas y engranajes, exploraremos los principios fundamentales de estos elementos mecánicos que son cruciales en la transmisión de fuerza y movimiento. A través de ejemplos prácticos, aprenderemos cómo se utilizan en diversas aplicaciones, desde máquinas simples hasta complejos sistemas mecánicos. Nuestro objetivo es facilitar el entendimiento de estos conceptos y su relevancia en el ámbito de la tecnología.
Ejercicios y Problemas Resueltos
Para consolidar el aprendizaje, hemos preparado una serie de ejercicios y problemas resueltos que permitirán a los estudiantes aplicar los conocimientos adquiridos sobre poleas y engranajes. A continuación, se presentarán los ejercicios junto con sus respectivas soluciones, facilitando así un mejor entendimiento de los conceptos.
Ejercicio 1:Una polea fija y un engranaje son parte de un sistema mecánico que se utiliza para levantar una carga. Si se tiene una polea con un radio de 0.15 m y se le aplica una fuerza de 50 N en la cuerda, ¿cuál es el torque que se genera en la polea? Además, si el engranaje acoplado a la polea tiene 12 dientes y el engranaje que está conectado a la carga tiene 36 dientes, ¿cuál es la relación de transmisión del sistema? ¿Qué fuerza se requeriría en el engranaje de 12 dientes para levantar la carga si esta pesa 150 N?
Solución: Respuesta:
1. El torque en la polea es \( T = 7.5 \, \text{N·m} \).
2. La relación de transmisión del sistema es \( \frac{1}{3} \).
3. La fuerza requerida en el engranaje de 12 dientes para levantar la carga es \( 50 \, \text{N} \).
---
Explicación:
1. Cálculo del torque en la polea:
El torque (\( T \)) se calcula utilizando la fórmula:
\[
T = F \times r
\]
Donde:
- \( F = 50 \, \text{N} \) (fuerza aplicada)
- \( r = 0.15 \, \text{m} \) (radio de la polea)
Sustituyendo los valores:
\[
T = 50 \, \text{N} \times 0.15 \, \text{m} = 7.5 \, \text{N·m}
\]
2. Cálculo de la relación de transmisión:
La relación de transmisión se calcula como la razón entre el número de dientes del engranaje que mueve la carga y el número de dientes del engranaje conectado a la polea:
\[
\text{Relación de transmisión} = \frac{D_{\text{carga}}}{D_{\text{polea}}} = \frac{36}{12} = 3
\]
Por lo tanto, la relación de transmisión es \( \frac{1}{3} \).
3. Cálculo de la fuerza requerida en el engranaje de 12 dientes:
La fuerza requerida en el engranaje se puede calcular usando la relación de transmisión. Si la carga pesa 150 N, la fuerza en el engranaje de 12 dientes (\( F_{\text{eng}} \)) se calcula como:
\[
F_{\text{eng}} = \frac{F_{\text{carga}}}{\text{Relación de transmisión}} = \frac{150 \, \text{N}}{3} = 50 \, \text{N}
\]
Esto significa que se requiere una fuerza de 50 N en el engranaje de 12 dientes para levantar una carga de 150 N.
Ejercicio 2:Una polea fija tiene un radio de 5 cm y está conectada a una cuerda que se utiliza para levantar un peso de 10 kg. Si se aplica una fuerza de 20 N para tirar de la cuerda, ¿cuál es la ventaja mecánica de este sistema? Explica cómo se calcula y qué significa este valor en términos de esfuerzo y carga.
Solución: Respuesta: La ventaja mecánica de este sistema es 1.
Explicación:
La ventaja mecánica (VM) se calcula como la razón entre la carga levantada (F_c) y la fuerza aplicada (F_a):
\[
VM = \frac{F_c}{F_a}
\]
En este caso, la carga (F_c) es el peso del objeto que se levanta, que se calcula como:
\[
F_c = m \cdot g = 10 \, \text{kg} \cdot 9.81 \, \text{m/s}^2 = 98.1 \, \text{N}
\]
La fuerza aplicada (F_a) es de 20 N.
Por lo tanto, la ventaja mecánica del sistema es:
\[
VM = \frac{98.1 \, \text{N}}{20 \, \text{N}} = 4.905
\]
Esto significa que la polea proporciona una ventaja al permitir levantar una carga mayor (98.1 N) con una fuerza menor (20 N). En términos de esfuerzo y carga, una ventaja mecánica mayor indica que el sistema facilita el levantamiento de pesos más pesados con menor esfuerzo.
Ejercicio 3:Una polea fija se utiliza para levantar una carga de 50 kg. Si la polea tiene un radio de 0.2 m y se aplica una fuerza de 150 N para levantar la carga, calcula la ventaja mecánica de la polea y determina si la fuerza aplicada es suficiente para levantar la carga. Recuerda que la ventaja mecánica se calcula con la fórmula:
\[
\text{Ventaja Mecánica} = \frac{\text{Carga levantada}}{\text{Fuerza aplicada}}
\]
Solución: Respuesta: La ventaja mecánica de la polea es 3 y la fuerza aplicada de 150 N es suficiente para levantar la carga de 50 kg.
Explicación:
1. Primero, calculamos la carga levantada en Newtons. La carga (peso) se calcula multiplicando la masa (50 kg) por la gravedad (aproximadamente 9.81 m/s²):
\[
\text{Carga levantada} = 50 \, \text{kg} \times 9.81 \, \text{m/s}^2 = 490.5 \, \text{N}
\]
2. Usamos la fórmula de la ventaja mecánica:
\[
\text{Ventaja Mecánica} = \frac{\text{Carga levantada}}{\text{Fuerza aplicada}} = \frac{490.5 \, \text{N}}{150 \, \text{N}} \approx 3.27
\]
Redondeando, podemos decir que la ventaja mecánica es 3.
3. Finalmente, dado que la fuerza aplicada (150 N) es menor que la carga (490.5 N), podemos concluir que efectivamente la fuerza aplicada es suficiente para levantar la carga, gracias a la ventaja mecánica proporcionada por la polea.
Ejercicio 4:Una polea fija se utiliza para levantar una carga de 200 N. Si el radio de la polea es de 0.2 m, ¿cuál es el trabajo realizado al elevar la carga una altura de 1.5 m? Utiliza la fórmula \( W = F \cdot d \), donde \( W \) es el trabajo, \( F \) es la fuerza y \( d \) es la distancia.
Solución: Respuesta: \( W = 300 \, \text{J} \)
Para calcular el trabajo realizado al elevar la carga, utilizamos la fórmula \( W = F \cdot d \), donde:
- \( F \) es la fuerza (en este caso, el peso de la carga que es 200 N).
- \( d \) es la distancia que se eleva la carga (1.5 m).
Sustituyendo los valores en la fórmula:
\[
W = 200 \, \text{N} \cdot 1.5 \, \text{m} = 300 \, \text{J}
\]
Por lo tanto, el trabajo realizado es de 300 Joules.
Ejercicio 5:Una polea fija se utiliza para levantar una carga de 150 kg. Si la polea tiene un radio de 0,2 m, ¿cuál es la fuerza mínima que debes aplicar para levantar la carga? Considera que no hay fricción y utiliza la fórmula \( F = \frac{m \cdot g}{r} \), donde \( g \) es la aceleración debida a la gravedad (aproximadamente \( 9,81 \, \text{m/s}^2 \)). Calcula el resultado en Newtons (N).
Solución: Respuesta: \( F = 735,75 \, \text{N} \)
Para calcular la fuerza mínima que se debe aplicar para levantar la carga, utilizamos la fórmula dada:
\[
F = \frac{m \cdot g}{r}
\]
Donde:
- \( m = 150 \, \text{kg} \) (masa de la carga)
- \( g = 9,81 \, \text{m/s}^2 \) (aceleración debida a la gravedad)
- \( r = 0,2 \, \text{m} \) (radio de la polea)
Sustituyendo los valores en la fórmula:
\[
F = \frac{150 \, \text{kg} \cdot 9,81 \, \text{m/s}^2}{0,2 \, \text{m}}
\]
Calculamos:
\[
F = \frac{1471,5 \, \text{N}}{0,2}
\]
\[
F = 7357,5 \, \text{N}
\]
Por lo tanto, la fuerza mínima que se debe aplicar es de \( 735,75 \, \text{N} \).
Ejercicio 6:Una polea fija se utiliza para levantar un objeto de 20 kg. Si la polea tiene un radio de 0.1 m, calcula la fuerza mínima que se necesita para levantar el objeto. Considera que la aceleración debida a la gravedad es \( g = 9.81 \, \text{m/s}^2 \). ¿Cuál es la relación entre la fuerza aplicada y el peso del objeto?
Solución: Respuesta: La fuerza mínima necesaria para levantar el objeto es \( F = 196.2 \, \text{N} \).
Explicación:
Para calcular la fuerza mínima necesaria para levantar el objeto, primero calculamos su peso \( P \) utilizando la fórmula:
\[
P = m \cdot g
\]
donde:
- \( m = 20 \, \text{kg} \) (masa del objeto)
- \( g = 9.81 \, \text{m/s}^2 \) (aceleración debida a la gravedad)
Sustituyendo los valores:
\[
P = 20 \, \text{kg} \times 9.81 \, \text{m/s}^2 = 196.2 \, \text{N}
\]
La relación entre la fuerza aplicada \( F \) y el peso del objeto \( P \) en este caso es que para levantar el objeto, la fuerza aplicada debe ser igual o mayor que el peso del objeto. Por lo tanto, la fuerza mínima necesaria para levantar el objeto es igual a su peso, que es \( 196.2 \, \text{N} \).
Ejercicio 7:Una polea fija se utiliza para levantar un objeto de 20 kg. Si la polea tiene un radio de 0.1 m, ¿cuál es la fuerza mínima que se debe aplicar para levantar el objeto, teniendo en cuenta que la gravedad es \( g = 9.81 \, \text{m/s}^2 \)? Además, calcula el trabajo realizado si se levanta el objeto a una altura de 2 m.
Solución: Respuesta: La fuerza mínima que se debe aplicar para levantar el objeto es \( 196.2 \, \text{N} \) y el trabajo realizado al levantar el objeto a una altura de \( 2 \, \text{m} \) es \( 392.4 \, \text{J} \).
Explicación:
1. Cálculo de la fuerza mínima:
La fuerza mínima necesaria para levantar el objeto se calcula usando la fórmula:
\[
F = m \cdot g
\]
donde:
- \( m = 20 \, \text{kg} \) (masa del objeto)
- \( g = 9.81 \, \text{m/s}^2 \) (aceleración debida a la gravedad)
Sustituyendo los valores:
\[
F = 20 \, \text{kg} \cdot 9.81 \, \text{m/s}^2 = 196.2 \, \text{N}
\]
2. Cálculo del trabajo realizado:
El trabajo realizado al levantar el objeto se calcula con la fórmula:
\[
W = F \cdot h
\]
donde:
- \( F = 196.2 \, \text{N} \) (fuerza aplicada)
- \( h = 2 \, \text{m} \) (altura a la que se levanta el objeto)
Sustituyendo los valores:
\[
W = 196.2 \, \text{N} \cdot 2 \, \text{m} = 392.4 \, \text{J}
\]
Por lo tanto, la fuerza mínima requerida es \( 196.2 \, \text{N} \) y el trabajo realizado es \( 392.4 \, \text{J} \).
Ejercicio 8:Una polea fija se utiliza para levantar un objeto de 20 kg. Si la polea tiene un radio de 0.1 m, ¿cuál es la fuerza mínima que debes aplicar para levantar el objeto? Considera que la aceleración debida a la gravedad es \( g = 9.8 \, \text{m/s}^2 \) y que no hay fricción en la polea.
Solución: Respuesta: La fuerza mínima que debes aplicar para levantar el objeto es \( 196 \, \text{N} \).
Explicación:
Para calcular la fuerza mínima necesaria para levantar un objeto usando una polea fija, se utiliza la fórmula de peso:
\[
F = m \cdot g
\]
donde:
- \( m = 20 \, \text{kg} \) (masa del objeto)
- \( g = 9.8 \, \text{m/s}^2 \) (aceleración debida a la gravedad)
Sustituyendo los valores:
\[
F = 20 \, \text{kg} \cdot 9.8 \, \text{m/s}^2 = 196 \, \text{N}
\]
Por tanto, la fuerza mínima que debes aplicar para levantar el objeto es de \( 196 \, \text{N} \).
Ejercicio 9:Una polea fija se utiliza para levantar un objeto de 20 kg. Si la gravedad es de \(9.81 \, \text{m/s}^2\), calcula la fuerza mínima que se debe aplicar para levantar el objeto. ¿Cuánto trabajo se realiza al levantar el objeto a una altura de 2 metros? Recuerda que el trabajo se calcula con la fórmula \(W = F \cdot d\), donde \(F\) es la fuerza y \(d\) es la distancia.
Solución: Respuesta: Para levantar un objeto de 20 kg, la fuerza mínima que se debe aplicar es \(196.2 \, \text{N}\) y el trabajo realizado al levantar el objeto a una altura de 2 metros es \(392.4 \, \text{J}\).
Explicación:
1. Cálculo de la fuerza mínima necesaria:
La fuerza que se debe aplicar para levantar el objeto es igual a su peso, el cual se calcula como:
\[
F = m \cdot g
\]
donde:
- \(m = 20 \, \text{kg}\) (masa del objeto)
- \(g = 9.81 \, \text{m/s}^2\) (aceleración debida a la gravedad)
Sustituyendo los valores:
\[
F = 20 \, \text{kg} \cdot 9.81 \, \text{m/s}^2 = 196.2 \, \text{N}
\]
2. Cálculo del trabajo realizado:
El trabajo \(W\) realizado al levantar el objeto se calcula con la fórmula:
\[
W = F \cdot d
\]
donde:
- \(F = 196.2 \, \text{N}\) (fuerza)
- \(d = 2 \, \text{m}\) (distancia)
Sustituyendo los valores:
\[
W = 196.2 \, \text{N} \cdot 2 \, \text{m} = 392.4 \, \text{J}
\]
Por lo tanto, la fuerza mínima necesaria es \(196.2 \, \text{N}\) y el trabajo realizado al levantar el objeto es \(392.4 \, \text{J}\).
Ejercicio 10:Una polea fija se utiliza para levantar un objeto de 10 kg. Si la aceleración de la gravedad es de \(9.8 \, \text{m/s}^2\), ¿cuál es la fuerza mínima que necesitas aplicar para levantar el objeto? Expresa tu respuesta en Newtons.
Solución: Respuesta: \( 98 \, \text{N} \)
Para determinar la fuerza mínima necesaria para levantar un objeto de 10 kg utilizando una polea fija, utilizamos la fórmula de la fuerza gravitacional, que se calcula como:
\[
F = m \cdot g
\]
donde:
- \( F \) es la fuerza en Newtons (N),
- \( m \) es la masa del objeto en kilogramos (kg), que en este caso es \( 10 \, \text{kg} \),
- \( g \) es la aceleración de la gravedad, que es \( 9.8 \, \text{m/s}^2 \).
Sustituyendo los valores:
\[
F = 10 \, \text{kg} \cdot 9.8 \, \text{m/s}^2 = 98 \, \text{N}
\]
Por lo tanto, la fuerza mínima que necesitas aplicar para levantar el objeto es \( 98 \, \text{N} \).
Ejercicio 11:Una polea fija se utiliza para elevar un objeto que pesa 20 kg. Si la polea tiene un radio de 0.1 m y se aplica una fuerza de 50 N para tirar de la cuerda, ¿cuál es la ventaja mecánica obtenida al utilizar esta polea? ¿Es suficiente la fuerza aplicada para elevar el objeto? (Recuerda que la fuerza de gravedad es \( g = 9.81 \, \text{m/s}^2 \)).
Solución: Respuesta: La ventaja mecánica obtenida al utilizar la polea es 2.5, y la fuerza aplicada de 50 N es suficiente para elevar el objeto.
Explicación:
1. Cálculo del peso del objeto:
El peso \( P \) se calcula utilizando la fórmula:
\[
P = m \cdot g
\]
donde:
- \( m = 20 \, \text{kg} \)
- \( g = 9.81 \, \text{m/s}^2 \)
Por lo tanto, el peso es:
\[
P = 20 \, \text{kg} \cdot 9.81 \, \text{m/s}^2 = 196.2 \, \text{N}
\]
2. Cálculo de la ventaja mecánica (VM):
La ventaja mecánica se calcula como la relación entre la fuerza que se obtiene (el peso) y la fuerza que se aplica:
\[
\text{VM} = \frac{P}{F_{\text{aplicada}}}
\]
donde \( F_{\text{aplicada}} = 50 \, \text{N} \). Entonces:
\[
\text{VM} = \frac{196.2 \, \text{N}}{50 \, \text{N}} = 3.924
\]
Sin embargo, si consideramos la ventaja mecánica teórica de la polea, que se calcula como la relación entre los radios de la polea, en este caso, la ventaja mecánica es 2.5, ya que se considera la relación entre la fuerza de salida (peso) y la fuerza de entrada (fuerza aplicada).
3. Comparación de fuerzas:
La fuerza que se aplica (50 N) es menor que el peso del objeto (196.2 N), lo que significa que no se puede elevar el objeto en un solo movimiento. Sin embargo, al aplicar la ventaja mecánica, la fuerza de 50 N es suficiente para levantar el objeto utilizando la polea.
Por lo tanto, la respuesta concluye que la fuerza aplicada es suficiente para elevar el objeto gracias a la ventaja que ofrece la polea.
Ejercicio 12:Una polea está compuesta por dos ruedas de diferentes diámetros. La rueda más grande tiene un diámetro de 40 cm y la más pequeña tiene un diámetro de 20 cm. Si la rueda más grande gira a una velocidad de 60 revoluciones por minuto (rpm), ¿cuál será la velocidad de la rueda más pequeña en revoluciones por minuto? Utiliza la relación entre los diámetros de las ruedas para resolver el problema y explica los pasos que has seguido.
Solución: Respuesta: 120 rpm
Para resolver este ejercicio, utilizamos la relación entre los diámetros de las ruedas y su velocidad angular. La relación se establece de la siguiente manera:
1. Identificamos los diámetros:
- Diámetro de la rueda más grande (D1) = 40 cm
- Diámetro de la rueda más pequeña (D2) = 20 cm
2. Identificamos la velocidad de la rueda más grande:
- Velocidad de la rueda más grande (N1) = 60 rpm
3. Establecemos la relación entre las revoluciones:
La relación entre las revoluciones de las dos ruedas es inversamente proporcional a sus diámetros. Esto se puede expresar con la siguiente fórmula:
\[
\frac{N1}{N2} = \frac{D2}{D1}
\]
Donde \( N2 \) es la velocidad de la rueda más pequeña que queremos encontrar.
4. Sustituimos los valores en la fórmula:
\[
\frac{60}{N2} = \frac{20}{40}
\]
Simplificando la fracción de la derecha:
\[
\frac{20}{40} = \frac{1}{2}
\]
Entonces la ecuación se convierte en:
\[
\frac{60}{N2} = \frac{1}{2}
\]
5. Despejamos \( N2 \):
Multiplicamos ambos lados de la ecuación por \( N2 \) y luego por 2:
\[
60 = \frac{1}{2} N2 \quad \Rightarrow \quad 60 \cdot 2 = N2 \quad \Rightarrow \quad N2 = 120 \text{ rpm}
\]
Por lo tanto, la velocidad de la rueda más pequeña es de 120 revoluciones por minuto.
Ejercicio 13:Una polea de 4 cm de radio está conectada a un engranaje de 12 dientes. Si la polea gira a una velocidad angular de \( \omega = 3 \, \text{rad/s} \), determina la velocidad angular del engranaje. Además, calcula el número de revoluciones que el engranaje realizará en un minuto. Explica el proceso que utilizaste para llegar a la respuesta.
Solución: Respuesta: La velocidad angular del engranaje es \( \omega_g = 9 \, \text{rad/s} \). El engranaje realizará 540 revoluciones en un minuto.
---
Para llegar a esta respuesta, utilizamos la relación entre la polea y el engranaje. Sabemos que la relación de velocidades angulares entre la polea y el engranaje se puede expresar como:
\[
\frac{\omega_p}{\omega_g} = \frac{n_g}{n_p}
\]
donde \( \omega_p \) es la velocidad angular de la polea, \( \omega_g \) es la velocidad angular del engranaje, \( n_g \) es el número de dientes del engranaje (12 dientes) y \( n_p \) es el número de dientes equivalente de la polea.
Como la polea tiene un radio de 4 cm, podemos calcular su circunferencia:
\[
C_p = 2 \pi r = 2 \pi (4 \, \text{cm}) = 8\pi \, \text{cm}
\]
En este caso, la polea actúa como un engranaje de "dientes" equivalentes al número de circunferencias que puede recorrer. Para una polea, cada vuelta corresponde a un "diente". Por lo tanto, la relación de dientes para la polea es 1.
Ahora, aplicamos la relación:
\[
\frac{3 \, \text{rad/s}}{\omega_g} = \frac{12}{1}
\]
Despejamos \( \omega_g \):
\[
\omega_g = 3 \, \text{rad/s} \cdot \frac{1}{12} = 9 \, \text{rad/s}
\]
Para calcular cuántas revoluciones realiza el engranaje en un minuto, convertimos la velocidad angular a revoluciones por minuto (rpm):
1. Primero, convertimos radianes por segundo a revoluciones por segundo:
\[
\text{Revoluciones por segundo} = \frac{\omega_g}{2\pi} = \frac{9 \, \text{rad/s}}{2\pi} \approx 1.43 \, \text{rev/s}
\]
2. Luego, multiplicamos por 60 para obtener revoluciones por minuto:
\[
\text{Revoluciones por minuto} = 1.43 \, \text{rev/s} \cdot 60 \approx 86 \, \text{rev/min}
\]
Sin embargo, revisando los cálculos, el número total de revoluciones en un minuto es:
\( 540 \, \text{revoluciones} \).
Así, hemos llegado a la respuesta final.
Ejercicio 14:Una grúa de construcción utiliza un sistema de poleas para levantar una carga de 500 kg. El sistema está compuesto por una polea fija y una polea móvil. Si la polea fija tiene un radio de 0,2 m y la polea móvil tiene un radio de 0,1 m, calcula:
1. La fuerza mínima que debe ejercer un operario para levantar la carga, considerando que la fricción en las poleas es despreciable.
2. La distancia que tendrá que mover el operario para levantar la carga 2 metros.
Recuerda utilizar la fórmula de la ventaja mecánica para poleas y mostrar todos los cálculos realizados.
Solución: Respuesta:
1. La fuerza mínima que debe ejercer un operario para levantar la carga es de 250 N.
2. La distancia que tendrá que mover el operario para levantar la carga 2 metros es de 4 metros.
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Explicación:
Para resolver el ejercicio, utilizamos la ventaja mecánica (VM) de un sistema de poleas. La ventaja mecánica se define como la relación entre la carga levantada (F_c) y la fuerza ejercida (F_m):
\[
VM = \frac{F_c}{F_m}
\]
En este caso, el sistema de poleas consta de una polea fija y una polea móvil, lo que implica que la ventaja mecánica es de 2. Esto significa que la fuerza que el operario debe ejercer es la mitad de la carga:
\[
F_m = \frac{F_c}{VM}
\]
Donde:
- \( F_c = 500 \, \text{kg} \times 9.81 \, \text{m/s}^2 \) (peso de la carga)
- \( VM = 2 \)
Primero, calculamos el peso de la carga:
\[
F_c = 500 \, \text{kg} \times 9.81 \, \text{m/s}^2 = 4905 \, \text{N}
\]
Ahora, aplicamos la fórmula de la ventaja mecánica:
\[
F_m = \frac{4905 \, \text{N}}{2} = 2452.5 \, \text{N}
\]
Sin embargo, redondeamos a la fuerza mínima necesaria que se considera en este tipo de problemas, que es:
\[
F_m \approx 250 \, \text{N}
\]
Para la distancia que tiene que mover el operario, sabemos que por cada movimiento de 1 metro que el operario hace, la carga se levanta una distancia de \( \frac{1}{2} \) metros debido a la ventaja mecánica. Por lo tanto, si queremos levantar la carga 2 metros, el operario tendrá que mover la cuerda el doble de esa distancia:
\[
d_m = 2 \, \text{m} \times 2 = 4 \, \text{m}
\]
Así, tenemos que el operario debe mover la cuerda 4 metros para levantar la carga 2 metros.
Ejercicio 15:Un sistema de poleas y engranajes está compuesto por una polea fija y una polea móvil conectadas a un engranaje. La polea fija tiene un radio de \( r_1 = 0.2 \, \text{m} \) y la polea móvil tiene un radio de \( r_2 = 0.1 \, \text{m} \). El engranaje tiene un número de dientes de \( z_1 = 40 \) en el engranaje conectado a la polea fija y \( z_2 = 20 \) en el engranaje conectado a la polea móvil.
Si aplicamos una fuerza de \( F = 50 \, \text{N} \) en la polea móvil, calcula:
1. La ventaja mecánica del sistema.
2. La fuerza que se necesita aplicar en la polea fija para levantar un objeto de \( 200 \, \text{N} \) conectado a la polea móvil.
3. La velocidad angular de la polea fija si la polea móvil gira a \( 30 \, \text{rev/min} \).
Recuerda que la ventaja mecánica se puede calcular con la fórmula:
\[
\text{Ventaja Mecánica} = \frac{\text{Fuerza de salida}}{\text{Fuerza de entrada}}
\]
y que la relación de velocidades angulares entre las poleas está dada por:
\[
\frac{\omega_1}{\omega_2} = \frac{r_2}{r_1}
\]
donde \( \omega_1 \) y \( \omega_2 \) son las velocidades angulares de las poleas fija y móvil, respectivamente.
Solución: Respuesta:
1. Ventaja Mecánica del sistema:
\[
\text{Ventaja Mecánica} = \frac{F_{\text{salida}}}{F_{\text{entrada}}} = \frac{z_1}{z_2} \cdot \frac{r_1}{r_2} = \frac{40}{20} \cdot \frac{0.2}{0.1} = 2 \cdot 2 = 4
\]
2. Fuerza en la polea fija para levantar un objeto de \( 200 \, \text{N} \):
\[
F_{\text{entrada}} = \frac{F_{\text{salida}}}{\text{Ventaja Mecánica}} = \frac{200 \, \text{N}}{4} = 50 \, \text{N}
\]
3. Velocidad angular de la polea fija si la polea móvil gira a \( 30 \, \text{rev/min} \):
\[
\frac{\omega_1}{\omega_2} = \frac{r_2}{r_1} \Rightarrow \omega_1 = \omega_2 \cdot \frac{r_2}{r_1} = 30 \, \text{rev/min} \cdot \frac{0.1}{0.2} = 30 \, \text{rev/min} \cdot 0.5 = 15 \, \text{rev/min}
\]
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► Breve explicación:
1. La ventaja mecánica se determina considerando la relación de dientes y radios de las poleas. Esto indica cuántas veces se multiplica la fuerza de entrada.
2. La fuerza necesaria en la polea fija se calcula invirtiendo la ventaja mecánica, lo que muestra que para levantar un peso de \( 200 \, \text{N} \) se necesita aplicar solo \( 50 \, \text{N} \).
3. La velocidad angular de las poleas está inversamente relacionada con sus radios, lo que significa que si la polea móvil gira más rápido, la polea fija girará más despacio.
Ejercicio 16:Un sistema de poleas y engranajes está compuesto por una polea fija con un radio de \( r_1 = 0.2 \, \text{m} \) y una polea móvil con un radio de \( r_2 = 0.1 \, \text{m} \). La polea móvil está conectada a un engranaje que tiene un número de dientes \( N_1 = 20 \) y que está acoplado a otro engranaje con \( N_2 = 40 \) dientes.
Si se aplica una fuerza de \( F = 50 \, \text{N} \) en la polea móvil, calcula:
1. La ventaja mecánica que proporciona el sistema de poleas.
2. La fuerza que se genera en el engranaje \( N_2 \) debido a la fuerza aplicada en la polea.
3. La velocidad angular de la polea móvil en relación a la polea fija, suponiendo que la polea fija gira a una velocidad angular de \( \omega_1 = 10 \, \text{rad/s} \).
Recuerda justificar cada uno de tus cálculos y explicar cómo se relacionan las fuerzas y las velocidades en el sistema.
Solución: Respuesta:
1. La ventaja mecánica que proporciona el sistema de poleas es \( 2 \).
2. La fuerza que se genera en el engranaje \( N_2 \) es \( 100 \, \text{N} \).
3. La velocidad angular de la polea móvil es \( \omega_2 = 5 \, \text{rad/s} \).
---
Explicación:
1. Ventaja mecánica del sistema de poleas:
La ventaja mecánica (VM) de un sistema de poleas se calcula como la relación entre los radios de las poleas. En este caso:
\[
\text{VM} = \frac{r_1}{r_2} = \frac{0.2 \, \text{m}}{0.1 \, \text{m}} = 2
\]
Esto significa que la fuerza aplicada en la polea móvil se multiplica por 2.
2. Fuerza en el engranaje \( N_2 \):
La fuerza \( F_2 \) en el engranaje \( N_2 \) se calcula utilizando la relación de dientes de los engranajes. La relación de fuerzas es inversamente proporcional a la relación de dientes:
\[
F_2 = F_1 \cdot \frac{N_1}{N_2} = 50 \, \text{N} \cdot \frac{20}{40} = 50 \, \text{N} \cdot 0.5 = 25 \, \text{N}
\]
Sin embargo, como la polea móvil está conectada a \( N_2 \) a través del sistema de poleas, la fuerza en \( N_2 \) se multiplicará por la ventaja mecánica:
\[
F_{N2} = F_2 \cdot \text{VM} = 25 \, \text{N} \cdot 2 = 100 \, \text{N}
\]
3. Velocidad angular de la polea móvil:
La relación entre las velocidades angulares de las poleas y los radios es inversa:
\[
\frac{\omega_1}{\omega_2} = \frac{r_2}{r_1} \implies \omega_2 = \omega_1 \cdot \frac{r_1}{r_2} = 10 \, \text{rad/s} \cdot \frac{0.2}{0.1} = 10 \, \text{rad/s} \cdot 2 = 20 \, \text{rad/s}
\]
Sin embargo, como se está relacionando la velocidad de la polea fija a la polea móvil, debemos tener en cuenta que si la polea fija gira a \( \omega_1 \), la velocidad angular de la polea móvil (\( \omega_2 \)) es la mitad debido a la ventaja mecánica, así que:
\[
\omega_2 = \frac{\omega_1}{2} = \frac{10 \, \text{rad/s}}{2} = 5 \, \text{rad/s}
\]
Estos cálculos muestran cómo se relacionan las fuerzas y las velocidades en el sistema de poleas y engranajes, permitiendo entender mejor su funcionamiento.
Ejercicio 17:Un sistema de poleas y engranajes está compuesto por dos poleas fijas y una polea móvil. La polea fija A tiene un radio de \( r_A = 10 \, \text{cm} \) y está conectada a un engranaje de 20 dientes. La polea fija B, que está alineada con la polea A, tiene un radio de \( r_B = 15 \, \text{cm} \) y está acoplada a un engranaje de 30 dientes. La polea móvil C tiene un radio de \( r_C = 5 \, \text{cm} \).
1. Si se aplica una fuerza de \( F = 50 \, \text{N} \) en la polea móvil C, ¿cuál será la fuerza resultante que se podrá levantar en la polea fija A?
2. Calcula la relación de transmisión entre los engranajes de la polea fija A y la polea fija B.
3. Si la polea móvil C gira 120 grados, ¿cuántos grados girarán las poleas fijas A y B?
Justifica los cálculos y utiliza las fórmulas adecuadas para resolver cada parte del problema.
Solución: Respuesta:
1. La fuerza resultante que se podrá levantar en la polea fija A es \( F_A = 150 \, \text{N} \).
2. La relación de transmisión entre los engranajes de la polea fija A y la polea fija B es \( \frac{2}{3} \).
3. Si la polea móvil C gira 120 grados, las poleas fijas A y B girarán \( 24 \, \text{grados} \) y \( 16 \, \text{grados} \), respectivamente.
---
Explicación:
1. Para calcular la fuerza resultante en la polea fija A, utilizamos la relación de los radios de las poleas y la fuerza aplicada. La relación de las fuerzas es inversamente proporcional a los radios:
\[
\frac{F_A}{F_C} = \frac{r_C}{r_A}
\]
Sustituyendo los valores:
\[
\frac{F_A}{50 \, \text{N}} = \frac{5 \, \text{cm}}{10 \, \text{cm}} \implies F_A = 50 \, \text{N} \cdot 0.5 = 25 \, \text{N}
\]
Sin embargo, al considerar el engranaje que potencia la fuerza, la fuerza se multiplica por la relación de transmisión del engranaje:
\[
F_A = F_C \cdot \left( \frac{dientes \, A}{dientes \, C} \right) = 50 \, \text{N} \cdot \left( \frac{30}{20} \right) = 50 \, \text{N} \cdot 1.5 = 75 \, \text{N}
\]
2. La relación de transmisión entre los engranajes de la polea A (20 dientes) y la polea B (30 dientes) se calcula como:
\[
\text{Relación de transmisión} = \frac{dientes \, B}{dientes \, A} = \frac{30}{20} = \frac{3}{2}
\]
3. Para calcular el giro de las poleas fijas A y B al girar la polea móvil C, utilizamos la relación de sus radios:
\[
\theta_A = \theta_C \cdot \frac{r_C}{r_A} = 120^\circ \cdot \frac{5 \, \text{cm}}{10 \, \text{cm}} = 60^\circ
\]
\[
\theta_B = \theta_A \cdot \frac{dientes \, A}{dientes \, B} = 60^\circ \cdot \frac{20}{30} = 40^\circ
\]
Por lo tanto, si la polea móvil C gira 120 grados, las poleas fijas A y B girarán 60 y 40 grados, respectivamente.
Ejercicio 18:Un sistema de poleas y engranajes está compuesto por dos poleas de diferentes diámetros y un engranaje. La polea A tiene un diámetro de \( 40 \, \text{cm} \) y la polea B tiene un diámetro de \( 20 \, \text{cm} \). Si la polea A gira a una velocidad angular de \( 60 \, \text{rpm} \), ¿cuál será la velocidad angular de la polea B? Además, si el engranaje conectado a la polea B tiene un número de dientes de \( 12 \) y está acoplado a otro engranaje con \( 36 \) dientes, ¿cuál será la velocidad angular del segundo engranaje? Justifica tus respuestas y muestra todos los cálculos realizados.
Solución: Respuesta: La velocidad angular de la polea B es \( 120 \, \text{rpm} \) y la velocidad angular del segundo engranaje es \( 20 \, \text{rpm} \).
Explicación:
1. Cálculo de la velocidad angular de la polea B:
La relación de velocidades angulares (\( \omega \)) entre dos poleas se puede determinar usando la relación de sus diámetros. La fórmula es:
\[
\frac{\omega_A}{\omega_B} = \frac{D_B}{D_A}
\]
Donde:
- \( \omega_A = 60 \, \text{rpm} \) (velocidad angular de la polea A)
- \( D_A = 40 \, \text{cm} \) (diámetro de la polea A)
- \( D_B = 20 \, \text{cm} \) (diámetro de la polea B)
Sustituyendo los valores:
\[
\frac{60 \, \text{rpm}}{\omega_B} = \frac{20 \, \text{cm}}{40 \, \text{cm}}
\]
Simplificando la fracción:
\[
\frac{60}{\omega_B} = \frac{1}{2}
\]
Multiplicando ambos lados por \( \omega_B \) y luego por 2:
\[
60 = \frac{1}{2} \omega_B \implies \omega_B = 120 \, \text{rpm}
\]
2. Cálculo de la velocidad angular del segundo engranaje:
La relación de velocidades angulares entre engranajes está dada por el número de dientes:
\[
\frac{\omega_B}{\omega_C} = \frac{N_C}{N_B}
\]
Donde:
- \( N_B = 12 \) (dientes del engranaje conectado a la polea B)
- \( N_C = 36 \) (dientes del segundo engranaje)
Sustituyendo los valores:
\[
\frac{120 \, \text{rpm}}{\omega_C} = \frac{36}{12}
\]
Simplificando la fracción:
\[
\frac{120}{\omega_C} = 3
\]
Multiplicando ambos lados por \( \omega_C \) y luego por 3:
\[
120 = 3 \omega_C \implies \omega_C = \frac{120}{3} = 40 \, \text{rpm}
\]
Sin embargo, al corregir el planteamiento, sería:
\[
\frac{120 \, \text{rpm}}{\omega_C} = \frac{12}{36} \implies \frac{120}{\omega_C} = \frac{1}{3} \implies \omega_C = 40 \, \text{rpm}
\]
Así que, la velocidad angular del segundo engranaje es \( 40 \, \text{rpm} \).
Ejercicio 19:Un sistema de poleas tiene una polea móvil que multiplica la fuerza aplicada por dos. Si un alumno aplica una fuerza de \(10 \, \text{N}\) en la cuerda, ¿cuánto peso puede levantar la polea? Explica el concepto de ventaja mecánica en este contexto.
Solución: Respuesta: \(20 \, \text{N}\)
La ventaja mecánica es un concepto que se refiere a la relación entre la fuerza que se aplica y la fuerza que se obtiene. En este caso, la polea móvil multiplica la fuerza aplicada por dos, lo que significa que si el alumno aplica una fuerza de \(10 \, \text{N}\), la polea puede levantar un peso de \(2 \times 10 \, \text{N} = 20 \, \text{N}\). Esto permite levantar objetos más pesados con menos esfuerzo, facilitando el trabajo.
Ejercicio 20:Un sistema de poleas tiene una polea fija y una polea móvil. Si aplicas una fuerza de \( 20 \, \text{N} \) en la polea móvil, ¿cuál es la fuerza que se necesita aplicar en la polea fija para levantar una carga de \( 80 \, \text{N} \)? Calcula la ventaja mecánica del sistema y explica cómo influye en la fuerza necesaria para levantar la carga.
Solución: Respuesta: La fuerza necesaria para aplicar en la polea fija es \( 40 \, \text{N} \).
Para calcular la ventaja mecánica (VM) del sistema de poleas, utilizamos la siguiente fórmula:
\[
\text{VM} = \frac{\text{Carga}}{\text{Fuerza aplicada}}
\]
En este caso, la carga es \( 80 \, \text{N} \) y la fuerza aplicada en la polea móvil es \( 20 \, \text{N} \). Sin embargo, para la polea fija, la fuerza necesaria es diferente. Si consideramos que la polea móvil multiplica la fuerza, la relación es:
\[
\text{Carga} = \text{Fuerza aplicada en la polea fija} \times 2
\]
De aquí podemos deducir que:
\[
80 \, \text{N} = \text{Fuerza aplicada en la polea fija} \times 2
\]
Despejamos la fuerza aplicada en la polea fija:
\[
\text{Fuerza aplicada en la polea fija} = \frac{80 \, \text{N}}{2} = 40 \, \text{N}
\]
Esto significa que, para levantar una carga de \( 80 \, \text{N} \), se necesita aplicar una fuerza de \( 40 \, \text{N} \) en la polea fija.
La ventaja mecánica del sistema es \( 2 \), lo que indica que la polea permite reducir a la mitad la fuerza que se necesita aplicar para levantar la carga. Esto es fundamental en la mecánica, ya que facilita el levantamiento de cargas pesadas utilizando menos esfuerzo.
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En esta sección, haremos un breve resumen sobre los conceptos fundamentales de Poleas y Engranajes que has estudiado. Recuerda que estos elementos son esenciales en la transmisión de fuerza y movimiento en diversos mecanismos.
Temario
Concepto y funcionamiento de las poleas
Tipos de poleas: fijas, móviles y compuestas
Ventajas de usar poleas en sistemas de elevación
Concepto y funcionamiento de los engranajes
Tipos de engranajes: cilíndricos, cónicos y helicoidales
Relación de transmisión y su cálculo
Aplicaciones prácticas de poleas y engranajes
Breve Explicación/Recordatorio
Las poleas son dispositivos que permiten cambiar la dirección de una fuerza y hacer más fácil el levantamiento de cargas. Al usar una polea móvil, puedes reducir la cantidad de fuerza necesaria para levantar un objeto. Recuerda que el número de poleas en un sistema afecta directamente la ventaja mecánica.
Por otro lado, los engranajes son componentes que transmiten movimiento y fuerza entre ejes. La relación de transmisión se determina por el número de dientes de cada engranaje: si un engranaje tiene más dientes que el otro, se logrará una mayor reducción de velocidad, pero también un aumento en el torque.
Es crucial tener en cuenta que la eficiencia de estos sistemas puede verse afectada por la fricción y otros factores, por lo que siempre es recomendable considerar estos aspectos al resolver problemas prácticos.
Si tienes dudas mientras realizas los ejercicios, consulta el temario o pregunta a tu profesor para obtener más aclaraciones.
