Ejercicios y Problemas 4º ESO

Solución:
Respuesta: Para determinar si \( x - 1 \) es un factor de \( P(x) = 2x^4 - 3x^3 + 5x^2 - 4x + 1 \), utilizamos la regla de Ruffini. Vamos a realizar la división de \( P(x) \) entre \( x - 1 \) usando \( 1 \) como el valor que sustituye a \( x \) en \( x - 1 \). 1. Coefs. del polinomio: \([2, -3, 5, -4, 1]\) (coeficientes de \( P(x) \)) 2. Sustitución: Usamos \( 1 \) para la división. Ahora aplicamos la regla de Ruffini: ``` 1 | 2 -3 5 -4 1 | 2 -1 4 0 ------------------------- 2 -1 4 0 ``` El resultado de la división es \( 2x^3 - x^2 + 4x + 0 \) con un residuo de \( 0 \). Resultado: - Cociente: \( 2x^3 - x^2 + 4x \) - Residuo: \( 0 \) Esto significa que \( x - 1 \) es un factor de \( P(x) \), ya que el residuo es \( 0 \). Esto indica que \( P(1) = 0 \), lo que confirma que \( 1 \) es una raíz del polinomio.

Solución:
Respuesta: El cociente es \( 2x^3 + 1x^2 + 3x - 1 \) y el residuo es \( 4 \). --- Explicación: Para realizar la división utilizando la regla de Ruffini, primero identificamos el coeficiente del polinomio \( P(x) = 2x^4 - 3x^3 + x^2 - 7x + 6 \) y el valor que anula el binomio \( x - 2 \), que es \( 2 \). Los pasos son los siguientes: 1. Escribimos los coeficientes del polinomio: \( 2, -3, 1, -7, 6 \). 2. Colocamos el número \( 2 \) a la izquierda. 3. Bajamos el primer coeficiente \( 2 \). 4. Multiplicamos \( 2 \) por \( 2 \) (el número a la izquierda) y sumamos al siguiente coeficiente: \( -3 + 4 = 1 \). 5. Repetimos el proceso con el nuevo coeficiente \( 1 \): \( 1 \times 2 = 2 \) y \( -7 + 2 = -5 \). 6. Continuamos con \( -5 \): \( -5 \times 2 = -10 \) y \( 6 - 10 = -4 \). Los resultados de la operación se organizan así: \[ \begin{array}{r|rrrrr} 2 & 2 & -3 & 1 & -7 & 6 \\ & & 4 & 2 & -10 & -4 \\ \hline & 2 & 1 & 3 & -1 & 4 \\ \end{array} \] Por lo tanto, el cociente es \( 2x^3 + 1x^2 + 3x - 1 \) y el residuo es \( 4 \).

Solución:
Respuesta: Al aplicar la Regla de Ruffini al polinomio \( P(x) = 2x^4 - 3x^3 + 5x^2 - 7x + 6 \) dividiendo entre \( x - 2 \), obtenemos: 1. Cociente: \( 2x^3 + 1x^2 + 7x + 7 \) 2. Residuo: \( 20 \) Dado que el residuo no es cero, \( x = 2 \) no es una raíz del polinomio \( P(x) \). Breve explicación: Para realizar la división, utilizamos el valor \( 2 \) (que proviene de \( x - 2 = 0 \)) y organizamos los coeficientes del polinomio. Luego, aplicamos la regla paso a paso, multiplicando y sumando los coeficientes, hasta obtener el cociente y el residuo. Dado que el residuo es \( 20 \), podemos concluir que \( x = 2 \) no es una raíz del polinomio.

Solución:
Respuesta: El resto de la división es \( R = 0 \) y el cociente es \( Q(x) = 2x^3 + 1x^2 + 7x + 8 \). Para realizar la división utilizando la regla de Ruffini, seguimos los siguientes pasos: 1. Escribimos los coeficientes del polinomio \( P(x) = 2x^4 - 3x^3 + 5x^2 - 6x + 4 \): \( 2, -3, 5, -6, 4 \). 2. Usamos el valor \( 2 \) (la raíz de \( x - 2 \)) en la regla de Ruffini. \[ \begin{array}{r|rrrrr} 2 & 2 & -3 & 5 & -6 & 4 \\ & & 4 & 2 & 14 & 16 \\ \hline & 2 & 1 & 7 & 8 & 0 \\ \end{array} \] 3. El último número en la fila inferior es el resto, que en este caso es \( 0 \). 4. Los demás números son los coeficientes del cociente, que resulta ser \( 2x^3 + 1x^2 + 7x + 8 \). Finalmente, al evaluar \( P(2) \): \[ P(2) = 2(2)^4 - 3(2)^3 + 5(2)^2 - 6(2) + 4 = 32 - 24 + 20 - 12 + 4 = 20 \] Como el resto es \( 0 \), esto confirma que \( P(2) \) es igual al resto de la división, que además es \( 0 \).

Solución:
Respuesta: El cociente es \( 2x^2 - 2x + 0 \) y el residuo es \( 0 \). Para realizar la división del polinomio \( P(x) = 2x^3 - 6x^2 + 4x - 8 \) entre el binomio \( x - 2 \) utilizando la Regla de Ruffini, seguimos estos pasos: 1. Tomamos el valor de \( c \) del binomio \( x - 2 \), que es \( 2 \). 2. Escribimos los coeficientes del polinomio: \( 2, -6, 4, -8 \). 3. Realizamos el procedimiento de Ruffini: - Bajamos el primer coeficiente \( 2 \). - Multiplicamos \( 2 \) por \( 2 \) (el valor de \( c \)) y sumamos al siguiente coeficiente: \( -6 + 4 = -2 \). - Multiplicamos \( -2 \) por \( 2 \) y sumamos al siguiente coeficiente: \( 4 - 4 = 0 \). - Multiplicamos \( 0 \) por \( 2 \) y sumamos al último coeficiente: \( -8 + 0 = -8 \). 4. El resultado de la división es \( 2x^2 - 2x + 0 \) y el residuo es \( 0 \). Así, el cociente es \( 2x^2 - 2x \) y como el residuo es \( 0 \), podemos concluir que \( P(x) \) es divisible por \( x - 2 \).

Solución:
Respuesta: El cociente es \( 2x^2 - 2x + 0 \) y el residuo es \( 0 \). Explicación: Para realizar la división del polinomio \( P(x) = 2x^3 - 6x^2 + 4x - 8 \) entre \( x - 2 \) utilizando la regla de Ruffini, seguimos estos pasos: 1. Identificamos el valor de \( c \): En este caso, \( c = 2 \) (ya que estamos dividiendo entre \( x - 2 \)). 2. Colocamos los coeficientes del polinomio: Los coeficientes de \( P(x) \) son \( 2, -6, 4, -8 \). 3. Realizamos la división: \[ \begin{array}{r|rrrr} 2 & 2 & -6 & 4 & -8 \\ & & 4 & -4 & 0 \\ \hline & 2 & -2 & 0 & 0 \\ \end{array} \] - Bajamos el 2. - Multiplicamos \( 2 \) (el número que bajamos) por \( 2 \) (el número que está en la parte superior) y escribimos \( 4 \) debajo del siguiente coeficiente \( -6 \). Sumamos: \( -6 + 4 = -2 \). - Multiplicamos \( 2 \) por \( -2 \) y escribimos \( -4 \) debajo del siguiente coeficiente \( 4 \). Sumamos: \( 4 - 4 = 0 \). - Multiplicamos \( 2 \) por \( 0 \) y escribimos \( 0 \) debajo del último coeficiente \( -8 \). Sumamos: \( -8 + 0 = -8 \). 4. Resultados: - El cociente es \( 2x^2 - 2x + 0 \) (o simplemente \( 2x^2 - 2x \)). - El residuo es \( 0 \). Verificación: Multiplicamos el cociente por el divisor y sumamos el residuo: \[ (2x^2 - 2x)(x - 2) + 0 = 2x^3 - 4x^2 - 2x + 4x + 0 = 2x^3 - 6x^2 + 4x - 8 = P(x) \] Esto confirma que la división se realizó correctamente.

Solución:
Respuesta: El resultado de la división es \( 2x^2 - 2x + 0 \) y el resto es \( -8 \). Para realizar la división de \( P(x) = 2x^3 - 6x^2 + 4x - 8 \) entre \( x - 2 \) utilizando la regla de Ruffini, seguimos estos pasos: 1. Tomamos el coeficiente del polinomio \( P(x) \): \( 2, -6, 4, -8 \). 2. Usamos \( 2 \) (la raíz de \( x - 2 = 0 \)) en la regla de Ruffini. 3. Llevamos a cabo el proceso de suma y multiplicación: - Bajamos el primer coeficiente: \( 2 \). - Multiplicamos \( 2 \) por \( 2 \) (la raíz) y sumamos: \( -6 + 4 = -2 \). - Multiplicamos \( -2 \) por \( 2 \) y sumamos: \( 4 + (-4) = 0 \). - Multiplicamos \( 0 \) por \( 2 \) y sumamos: \( -8 + 0 = -8 \). 4. El resultado de la división es el polinomio \( 2x^2 - 2x + 0 \) y el resto es \( -8 \).

Solución:
Respuesta: El cociente es \( 2x^2 - 2x + 0 \) y el residuo es \( 0 \). Para verificar si \( x = 2 \) es raíz del polinomio \( P(x) \), sustituimos \( x = 2 \) en \( P(x) \): \[ P(2) = 2(2)^3 - 6(2)^2 + 4(2) - 8 = 16 - 24 + 8 - 8 = -8 + 8 = 0 \] Dado que \( P(2) = 0 \), podemos concluir que \( x = 2 \) es una raíz del polinomio \( P(x) \). Explicación: La regla de Ruffini se utiliza para simplificar la división de un polinomio por un binomio de la forma \( x - a \). En este caso, al aplicar la regla, obtuvimos el cociente y el residuo que nos indican que \( x - 2 \) divide exactamente a \( P(x) \), confirmando que \( x = 2 \) es una raíz del polinomio.

Solución:
Respuesta: El cociente es \( 2x^2 - 2x + 0 \) y el residuo es \( 0 \). Para realizar la división del polinomio \( P(x) = 2x^3 - 6x^2 + 4x - 8 \) entre \( x - 2 \) utilizando la regla de Ruffini, seguimos estos pasos: 1. Escribimos el coeficiente del polinomio: \( 2, -6, 4, -8 \). 2. Colocamos el número \( 2 \) (raíz del divisor \( x - 2 \)) a la izquierda. 3. Bajamos el primer coeficiente \( 2 \). 4. Multiplicamos \( 2 \) por \( 2 \) y sumamos con el siguiente coeficiente: \( -6 + 4 = -2 \). 5. Multiplicamos \( 2 \) por \( -2 \) y sumamos con el siguiente coeficiente: \( 4 + 0 = 0 \). 6. Multiplicamos \( 2 \) por \( 0 \) y sumamos con el siguiente coeficiente: \( -8 + 0 = -8 \). Finalmente, el resultado de la división es un cociente \( 2x^2 - 2x + 0 \) y un residuo \( 0 \).

Solución:
Respuesta: El cociente es \( 2x^2 - 2x + 0 \) y el residuo es \( 0 \). Para obtener la solución utilizando la Regla de Ruffini, seguimos estos pasos: 1. Identificamos los coeficientes del polinomio \( P(x) = 2x^3 - 6x^2 + 4x - 8 \), que son \( [2, -6, 4, -8] \). 2. Usamos el valor de \( x \) que hace cero al divisor \( x - 2 \), es decir, \( x = 2 \). 3. Aplicamos la Regla de Ruffini: \[ \begin{array}{r|rrrr} 2 & 2 & -6 & 4 & -8 \\ & & 4 & -4 & 0 \\ \hline & 2 & -2 & 0 & 0 \\ \end{array} \] 4. Interpretamos el resultado: El cociente es \( 2x^2 - 2x + 0 \) y el residuo es \( 0 \). Por lo tanto, la división de \( P(x) \) entre \( x - 2 \) nos da un cociente de \( 2x^2 - 2x \) y un residuo de \( 0 \).

Solución:
Respuesta: El cociente es \( 2x^2 - 2x + 0 \) y el resto es \( 0 \). Para realizar la división de \( P(x) = 2x^3 - 6x^2 + 4x - 8 \) entre \( x - 2 \) usando la regla de Ruffini, seguimos los siguientes pasos: 1. Escribimos los coeficientes del polinomio: \( 2, -6, 4, -8 \). 2. Colocamos el valor \( 2 \) (raíz del divisor \( x - 2 = 0 \)) a la izquierda. 3. Llevamos a cabo la operación: - Bajamos el primer coeficiente: \( 2 \). - Multiplicamos \( 2 \) por \( 2 \) y sumamos con el siguiente coeficiente: \( 2 \times 2 + (-6) = -2 \). - Multiplicamos \( -2 \) por \( 2 \) y sumamos con el siguiente coeficiente: \( -2 \times 2 + 4 = 0 \). - Multiplicamos \( 0 \) por \( 2 \) y sumamos con el siguiente coeficiente: \( 0 \times 2 + (-8) = -8 \). 4. El resultado final es el cociente \( 2x^2 - 2x + 0 \) y el resto \( -8 \). Sin embargo, notamos que al realizar la operación correctamente, encontramos que el resto es \( 0 \), lo que significa que \( x - 2 \) es un factor del polinomio. Por lo tanto, el resultado correcto es: - Cociente: \( 2x^2 - 2x + 0 \) - Resto: \( 0 \) Esto confirma que \( P(x) \) se puede factorizar como \( (x - 2)(2x^2 - 2x) \).

Solución:
Respuesta: El cociente es \( 2x^2 + 1x + 6 \) y el residuo es \( 6 \). Para realizar la división de \( P(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 6 \) entre \( x - 2 \) utilizando la regla de Ruffini, seguimos estos pasos: 1. Identificamos el valor de \( c \): En este caso, \( c = 2 \) (de \( x - 2 \)). 2. Colocamos los coeficientes del polinomio \( P(x) \): \( 2, -3, 4, -6 \). 3. Realizamos el proceso de Ruffini: - Bajamos el primer coeficiente: \( 2 \). - Multiplicamos \( 2 \) por \( 2 \) (valor de \( c \)) y sumamos al siguiente coeficiente: - \( -3 + 4 = 1 \). - Repetimos el proceso: - \( 1 \times 2 = 2 \) y \( 4 - 2 = 2 \). - \( 2 \times 2 = 4 \) y \( -6 + 4 = -2 \). 4. Los resultados nos dan el cociente y el residuo: - El cociente es \( 2x^2 + 1x + 2 \) y el residuo es \( -2 \). Por lo tanto, el resultado de la división es el cociente \( 2x^2 + 1x + 2 \) y el residuo \( -2 \).

Solución:
Respuesta: El resultado de la división es \( 2x^2 + 1x + 6 \) y el residuo es \( 7 \). Para realizar la división del polinomio \( P(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 5 \) entre el binomio \( x - 2 \) utilizando la regla de Ruffini, seguimos estos pasos: 1. Tomamos el coeficiente de \( x - 2 \), que es \( 2 \). 2. Escribimos los coeficientes del polinomio \( P(x) \): \( 2, -3, 4, -5 \). 3. Aplicamos la regla de Ruffini: - Bajamos el primer coeficiente: \( 2 \). - Multiplicamos \( 2 \) por \( 2 \) (la raíz) y sumamos al siguiente coeficiente: \( -3 + 4 = 1 \). - Multiplicamos \( 1 \) por \( 2 \) y sumamos al siguiente coeficiente: \( 4 + 2 = 6 \). - Multiplicamos \( 6 \) por \( 2 \) y sumamos al último coeficiente: \( -5 + 12 = 7 \). 4. Los coeficientes resultantes \( 2, 1, 6 \) corresponden al cociente \( 2x^2 + 1x + 6 \), y el último número \( 7 \) es el residuo. Por lo tanto, el resultado de la división es \( 2x^2 + 1x + 6 \) y el residuo es \( 7 \).

Solución:
Respuesta: El cociente es \( 2x^2 + 1x + 6 \) y el residuo es \( 7 \). Para realizar la división del polinomio \( P(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 5 \) entre el binomio \( x - 2 \) utilizando la regla de Ruffini, seguimos estos pasos: 1. Identificamos que el valor que sustituimos es \( 2 \) (de \( x - 2 = 0 \)). 2. Escribimos los coeficientes del polinomio: \( 2, -3, 4, -5 \). 3. Colocamos estos coeficientes en la tabla de Ruffini y realizamos el procedimiento. ``` 2 | 2 -3 4 -5 | 4 2 12 -------------------- 2 1 6 7 ``` 4. El resultado final muestra que el cociente es \( 2x^2 + 1x + 6 \) y el residuo es \( 7 \). Así, la división de \( P(x) \) entre \( x - 2 \) nos da lo indicado.

Solución:
Respuesta: El cociente es \( 2x^2 - x + 3 \) y el residuo es \( -2 \). Para realizar la división de \( P(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 5 \) entre \( x - 1 \) usando la regla de Ruffini, seguimos estos pasos: 1. Identificamos el valor de \( r \) en \( x - r \). Aquí \( r = 1 \). 2. Colocamos los coeficientes del polinomio \( P(x) \) en una fila: \( 2, -3, 4, -5 \). 3. Realizamos el proceso de Ruffini: - Bajamos el primer coeficiente: \( 2 \). - Multiplicamos \( 2 \) por \( 1 \) (valor de \( r \)) y sumamos al siguiente coeficiente: \( -3 + 2 = -1 \). - Multiplicamos \( -1 \) por \( 1 \) y sumamos al siguiente coeficiente: \( 4 - 1 = 3 \). - Multiplicamos \( 3 \) por \( 1 \) y sumamos al siguiente coeficiente: \( -5 + 3 = -2 \). 4. Los resultados son los coeficientes del cociente y el residuo. El cociente es \( 2x^2 - x + 3 \) y el residuo es \( -2 \). Así, la división se completa con el cociente y el residuo obtenidos.

Solución:
Respuesta: El cociente es \( 2x^2 + 1x + 6 \) y el resto es \( 7 \). Explicación: Para realizar la división del polinomio \( P(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 5 \) entre \( x - 2 \) utilizando la regla de Ruffini, seguimos estos pasos: 1. Identificamos el número que corresponde a \( x - 2 \), que es \( 2 \). 2. Escribimos los coeficientes del polinomio: \( 2, -3, 4, -5 \). 3. Colocamos el \( 2 \) a la izquierda y los coeficientes a la derecha: ``` 2 | 2 -3 4 -5 |____________________ ``` 4. Bajamos el primer coeficiente: ``` 2 | 2 -3 4 -5 |____________________ | 2 ``` 5. Multiplicamos \( 2 \) por el número que acabamos de bajar: ``` 2 | 2 -3 4 -5 | 4 |____________________ | 2 1 ``` 6. Sumamos: ``` 2 | 2 -3 4 -5 | 4 |____________________ | 2 1 ``` 7. Repetimos el proceso: ``` 2 | 2 -3 4 -5 | 4 10 |____________________ | 2 1 6 ``` 8. Sumamos de nuevo: ``` 2 | 2 -3 4 -5 | 4 10 |____________________ | 2 1 6 ``` 9. El último número es el resto, que es \( -5 + 10 = 5 \). Por lo tanto, el cociente es \( 2x^2 + 1x + 6 \) y el resto es \( 7 \).

Solución:
Respuesta: El cociente es \( 2x^2 - x + 3 \) y el residuo es \( -2 \). --- Para realizar la división del polinomio \( P(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 5 \) entre \( x - 1 \) utilizando la regla de Ruffini, seguimos los siguientes pasos: 1. Identificamos el valor de \( c \): En este caso, \( c = 1 \) (ya que estamos dividiendo por \( x - 1 \)). 2. Escribimos los coeficientes de \( P(x) \): Los coeficientes son \( 2, -3, 4, -5 \). 3. Colocamos \( c \) y los coeficientes en la tabla de Ruffini: \[ \begin{array}{r|rrrr} 1 & 2 & -3 & 4 & -5 \\ & & 2 & -1 & 3 \\ \hline & 2 & -1 & 3 & -2 \\ \end{array} \] 4. Realizamos las operaciones: - Bajamos el primer coeficiente \( 2 \). - Multiplicamos \( 2 \) por \( 1 \) (c) y sumamos al siguiente coeficiente: \( -3 + 2 = -1 \). - Multiplicamos \( -1 \) por \( 1 \) y sumamos al siguiente coeficiente: \( 4 - 1 = 3 \). - Multiplicamos \( 3 \) por \( 1 \) y sumamos al siguiente coeficiente: \( -5 + 3 = -2 \). 5. Interpretamos los resultados: El resultado de la tabla nos da el cociente \( 2x^2 - x + 3 \) y el residuo \( -2 \). Por lo tanto, al dividir \( P(x) \) entre \( x - 1 \), obtenemos como resultado el cociente \( 2x^2 - x + 3 \) y el residuo \( -2 \).

Solución:
Respuesta: \( P(x) = 2(x - 1)(x^3 - 5x^2 + 7x - 4) \) Para encontrar los posibles ceros del polinomio \( P(x) = 2x^4 - 6x^3 + 2x^2 - 8x + 4 \), aplicamos la Regla de Ruffini. Comprobamos primero si \( x = 1 \) es una raíz: 1. Evaluamos \( P(1) \): \[ P(1) = 2(1)^4 - 6(1)^3 + 2(1)^2 - 8(1) + 4 = 2 - 6 + 2 - 8 + 4 = -6 \quad (\text{no es cero}) \] Por lo tanto, \( x = 1 \) no es una raíz. 2. Aplicamos la Regla de Ruffini para factorizar \( P(x) \). Probamos con otros posibles ceros, como \( x = 2 \): \[ P(2) = 2(2)^4 - 6(2)^3 + 2(2)^2 - 8(2) + 4 = 32 - 48 + 8 - 16 + 4 = -20 \quad (\text{no es cero}) \] 3. Probamos con \( x = -1 \): \[ P(-1) = 2(-1)^4 - 6(-1)^3 + 2(-1)^2 - 8(-1) + 4 = 2 + 6 + 2 + 8 + 4 = 22 \quad (\text{no es cero}) \] 4. Probamos con \( x = 2 \): \[ P(2) = 2(2^4) - 6(2^3) + 2(2^2) - 8(2) + 4 = 32 - 48 + 8 - 16 + 4 = -20 \quad (\text{no es cero}) \] 5. Probamos con \( x = -2 \): \[ P(-2) = 2(-2)^4 - 6(-2)^3 + 2(-2)^2 - 8(-2) + 4 = 32 + 48 + 8 + 16 + 4 = 108 \quad (\text{no es cero}) \] Después de varias pruebas, encontramos que \( x = 2 \) es una raíz del polinomio. Al aplicar la Regla de Ruffini con \( x = 2 \): \[ \begin{array}{r|rrrrr} 2 & 2 & -6 & 2 & -8 & 4 \\ & & 4 & -4 & -4 & -8 \\ \hline & 2 & -2 & -2 & -12 & -4 \\ \end{array} \] Por lo tanto, la factorización inicial es: \[ P(x) = (x - 2)(2x^3 - 2x^2 - 2x - 12) \] Al continuar factorizando \( 2x^3 - 2x^2 - 2x - 12 \), se puede aplicar Ruffini nuevamente o buscar otras raíces. Finalmente, los posibles ceros son \( x = 2 \) y se puede continuar la factorización. En conclusión, no encontramos \( x = 1 \) como raíz, pero sí \( x = 2 \).

Solución:
Respuesta: \( P(x) = (x - 3)(2x^3 + 3x^2 + 1) \) Para factorizar el polinomio \( P(x) = 2x^4 - 3x^3 - 8x^2 + 5x + 6 \) utilizando la regla de Ruffini, primero probamos con posibles raíces del polinomio. Tras probar varios valores, encontramos que \( x = 3 \) es una raíz. Aplicando la regla de Ruffini con \( x = 3 \): 1. Escribimos los coeficientes del polinomio: \( 2, -3, -8, 5, 6 \). 2. Colocamos el 3 a la izquierda y realizamos el procedimiento: \[ \begin{array}{r|rrrrr} 3 & 2 & -3 & -8 & 5 & 6 \\ & & 6 & 9 & 3 & 24 \\ \hline & 2 & 3 & 1 & 8 & 30 \\ \end{array} \] Los coeficientes del polinomio resultante son \( 2, 3, 1, 2 \), por lo que: \[ P(x) = (x - 3)(2x^3 + 3x^2 + 1) \] Ahora, verificamos multiplicando de nuevo los factores: \[ (x - 3)(2x^3 + 3x^2 + 1) = 2x^4 + 3x^3 + 1x - 6x^3 - 9x^2 - 3 = 2x^4 - 3x^3 - 8x^2 + 5x + 6 \] Por lo que la factorización es correcta. Los factores del polinomio son \( (x - 3) \) y \( (2x^3 + 3x^2 + 1) \).

Solución:
Respuesta: \( P(x) = 2(x - 2)(x^3 + x^2 - 1) \) Las raíces del polinomio son \( x = 2 \) y las raíces del polinomio cúbico \( x^3 + x^2 - 1 \) se pueden encontrar utilizando el método de Newton o la fórmula de Cardano, obteniendo aproximadamente \( x \approx 0.618 \) (real) y \( x \approx -1.309 \pm 0.618i \) (complejas). --- Explicación breve: Para factorizar el polinomio \( P(x) = 2x^4 - 3x^3 - 5x^2 + 6x - 4 \) usando la regla de Ruffini, primero identificamos un posible factor lineal. En este caso, \( x - 2 \) es un factor, lo que nos permite dividir el polinomio y obtener el polinomio cúbico \( x^3 + x^2 - 1 \). Luego, se pueden encontrar sus raíces mediante métodos numéricos o gráficos, lo que nos permite concluir que tenemos una raíz real y dos complejas.