En la asignatura de Matemáticas de 4º ESO, las funciones son uno de los conceptos fundamentales que los estudiantes deben dominar. A lo largo de este curso, exploraremos las diferentes tipos de funciones, sus propiedades, y cómo se aplican en diversos problemas matemáticos. Nuestro objetivo es proporcionar una comprensión clara y práctica de este tema esencial, ayudando a los alumnos a desarrollar su razonamiento lógico y habilidades de resolución de problemas.
Ejercicios y Problemas Resueltos
Para facilitar el aprendizaje, hemos recopilado una serie de ejercicios y problemas resueltos que permitirán a los estudiantes practicar y afianzar sus conocimientos sobre funciones. Cada ejercicio incluye su respectiva solución, lo que les ayudará a identificar y corregir errores, así como a comprender mejor los conceptos abordados.
Ejercicio 1:Dada la función lineal \( f(x) = 2x + 3 \), calcula el valor de \( f(4) \) y determina si el punto \( (4, f(4)) \) pertenece a la gráfica de la función.
Solución: Respuesta: \( f(4) = 11 \) y el punto \( (4, 11) \) pertenece a la gráfica de la función.
Explicación: Para calcular \( f(4) \), sustituimos \( x = 4 \) en la función \( f(x) = 2x + 3 \):
\[
f(4) = 2(4) + 3 = 8 + 3 = 11
\]
El punto \( (4, f(4)) \) se convierte en \( (4, 11) \). Dado que este punto se puede obtener al evaluar la función, se confirma que pertenece a la gráfica de \( f(x) \).
Ejercicio 2:Determina el dominio y la imagen de la función \( f(x) = \frac{2x - 3}{x^2 - 4} \). Además, calcula los valores de \( f(x) \) para \( x = -3, -2, 0, 2 \) y \( 3 \). Explica si la función tiene asíntotas y, en caso afirmativo, determina sus ecuaciones.
Solución: Respuesta:
1. Dominio: El dominio de la función \( f(x) = \frac{2x - 3}{x^2 - 4} \) son todos los números reales excepto aquellos que hacen que el denominador sea cero. Para encontrar estos valores, resolvemos \( x^2 - 4 = 0 \):
\[
x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) = 0 \implies x = 2 \text{ y } x = -2
\]
Por lo tanto, el dominio de \( f(x) \) es \( \mathbb{R} \setminus \{-2, 2\} \).
2. Imagen: Para determinar la imagen, analizamos el comportamiento de la función y el límite cuando \( x \) se aproxima a los valores donde la función no está definida. Como \( x \) tiende a \( 2 \) y \( -2 \), el denominador se aproxima a cero, lo que sugiere que la función tiende a \( \pm \infty \). Así, la imagen de \( f(x) \) es \( \mathbb{R} \).
3. Valores de \( f(x) \):
- Para \( x = -3 \):
\[
f(-3) = \frac{2(-3) - 3}{(-3)^2 - 4} = \frac{-6 - 3}{9 - 4} = \frac{-9}{5} = -1.8
\]
- Para \( x = -2 \): \( f(-2) \) no está definido.
- Para \( x = 0 \):
\[
f(0) = \frac{2(0) - 3}{0^2 - 4} = \frac{-3}{-4} = \frac{3}{4} = 0.75
\]
- Para \( x = 2 \): \( f(2) \) no está definido.
- Para \( x = 3 \):
\[
f(3) = \frac{2(3) - 3}{3^2 - 4} = \frac{6 - 3}{9 - 4} = \frac{3}{5} = 0.6
\]
4. Asíntotas:
- Asíntotas verticales: La función tiene asíntotas verticales en \( x = -2 \) y \( x = 2 \), ya que el denominador se anula en esos puntos.
- Asíntota horizontal: Para determinar la asíntota horizontal, analizamos el comportamiento de \( f(x) \) cuando \( x \) tiende a \( \pm \infty \):
\[
\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{2x - 3}{x^2 - 4} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{2 - \frac{3}{x}}{1 - \frac{4}{x^2}} = 0
\]
Por lo tanto, hay una asíntota horizontal en \( y = 0 \).
En resumen:
- Dominio: \( \mathbb{R} \setminus \{-2, 2\} \)
- Imagen: \( \mathbb{R} \)
- Valores: \( f(-3) = -1.8, f(0) = 0.75, f(3) = 0.6 \)
- Asíntotas: Verticales en \( x = -2 \) y \( x = 2 \); horizontal en \( y = 0 \).
Ejercicio 3:Determina el rango de la función \( f(x) = \frac{2x^2 - 4x + 1}{x^2 - 1} \). Para ello, sigue los siguientes pasos:
1. Calcula los valores críticos de la función derivando \( f(x) \) y resolviendo \( f'(x) = 0 \).
2. Estudia el comportamiento de la función en los intervalos determinados por los valores críticos y los puntos donde la función no está definida.
3. Justifica si hay asíntotas horizontales y cómo afectan al rango de la función.
4. Concluye cuál es el rango de \( f(x) \).
Solución: Respuesta: \( (-\infty, -1) \cup (0, 1) \)
Para determinar el rango de la función \( f(x) = \frac{2x^2 - 4x + 1}{x^2 - 1} \), se siguen los pasos solicitados:
1. Cálculo de la derivada:
\[
f'(x) = \frac{(4x - 4)(x^2 - 1) - (2x^2 - 4x + 1)(2x)}{(x^2 - 1)^2}
\]
Al simplificar \( f'(x) = 0 \), se obtienen los valores críticos.
2. Estudio del comportamiento:
La función no está definida en los puntos donde \( x^2 - 1 = 0 \) (es decir, en \( x = 1 \) y \( x = -1 \)). Se analiza el signo de \( f'(x) \) en los intervalos formados: \( (-\infty, -1) \), \( (-1, 1) \), y \( (1, \infty) \).
3. Asíntotas horizontales:
Se determina el comportamiento de \( f(x) \) cuando \( x \to \pm \infty \):
\[
\lim_{x \to \infty} f(x) = 2 \quad \text{y} \quad \lim_{x \to -\infty} f(x) = 2
\]
Esto indica que hay una asíntota horizontal en \( y = 2 \).
4. Conclusión del rango:
Al analizar los intervalos y los límites, se concluye que el rango de \( f(x) \) es \( (-\infty, -1) \cup (0, 1) \).
Esta solución proporciona una comprensión clara del comportamiento de la función y su rango.
Ejercicio 4:Dada la función cuadrática \( f(x) = ax^2 + bx + c \), donde \( a, b, c \in \mathbb{R} \) y \( a \neq 0 \), se conoce que la función tiene sus raíces en \( x_1 = 2 \) y \( x_2 = -3 \). Además, se sabe que \( f(1) = 12 \).
1. Determina los valores de \( a \), \( b \) y \( c \).
2. Calcula el vértice de la parábola y determina si es un mínimo o un máximo.
3. Esboza el gráfico de la función, indicando las intersecciones con los ejes y la posición del vértice.
Solución: Respuesta:
1. Los valores de \( a \), \( b \) y \( c \) son:
\[
a = 1, \quad b = 1, \quad c = -6
\]
2. El vértice de la parábola es:
\[
V( -\frac{b}{2a}, f(-\frac{b}{2a}) ) = V( -\frac{1}{2} , \frac{25}{4} )
\]
El vértice es un mínimo porque \( a > 0 \).
3. El gráfico de la función es una parábola que abre hacia arriba. Las intersecciones con los ejes son:
- Intersección con el eje \( x \): \( x_1 = 2 \) y \( x_2 = -3 \)
- Intersección con el eje \( y \): \( f(0) = c = -6 \)
El gráfico se asemeja a lo siguiente (esbozado):
- Puntos de intersección: \( (2, 0) \), \( (-3, 0) \), \( (0, -6) \)
- Vértice: \( \left( -\frac{1}{2}, \frac{25}{4} \right) \)
Explicación breve:
Dado que se conocen las raíces de la función cuadrática, se puede escribir \( f(x) \) en su forma factorizada como \( f(x) = a(x - 2)(x + 3) \). Usando la condición \( f(1) = 12 \), se determina el valor de \( a \). Luego, el vértice se calcula utilizando la fórmula del vértice de una parábola, y se concluye que es un mínimo debido a que \( a > 0 \). Finalmente, se identifican las intersecciones con los ejes y se esboza el gráfico.
Ejercicio 5:Dada la función \( f(x) = 2x^3 - 6x^2 + 4x - 8 \):
1. Determina los puntos críticos de la función.
2. Analiza la concavidad de la función y encuentra los intervalos donde es cóncava hacia arriba y hacia abajo.
3. Calcula los valores máximos y mínimos locales.
4. Esboza el gráfico de la función, indicando los puntos críticos y la concavidad.
Recuerda justificar cada uno de tus pasos y utilizar la derivada para resolver los problemas planteados.
Solución: Respuesta:
1. Puntos críticos: Para encontrar los puntos críticos de la función \( f(x) = 2x^3 - 6x^2 + 4x - 8 \), primero calculamos la derivada \( f'(x) \):
\[
f'(x) = 6x^2 - 12x + 4
\]
Igualamos la derivada a cero para encontrar los puntos críticos:
\[
6x^2 - 12x + 4 = 0
\]
Dividiendo toda la ecuación por 2:
\[
3x^2 - 6x + 2 = 0
\]
Usamos la fórmula general \( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \):
\[
x = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2}}{2 \cdot 3} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 24}}{6} = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{6} = \frac{6 \pm 2\sqrt{3}}{6} = 1 \pm \frac{\sqrt{3}}{3}
\]
Por lo tanto, los puntos críticos son:
\[
x_1 = 1 + \frac{\sqrt{3}}{3}, \quad x_2 = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3}
\]
2. Concavidad: Para analizar la concavidad, calculamos la segunda derivada \( f''(x) \):
\[
f''(x) = 12x - 12
\]
Igualamos la segunda derivada a cero para encontrar los puntos de inflexión:
\[
12x - 12 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 1
\]
Ahora analizamos el signo de \( f''(x) \) en los intervalos \( (-\infty, 1) \) y \( (1, \infty) \):
- Para \( x < 1 \): \( f''(x) < 0 \) (cóncava hacia abajo).
- Para \( x > 1 \): \( f''(x) > 0 \) (cóncava hacia arriba).
Por lo tanto, la función es cóncava hacia abajo en \( (-\infty, 1) \) y cóncava hacia arriba en \( (1, \infty) \).
3. Valores máximos y mínimos locales: Evaluamos \( f(x) \) en los puntos críticos:
- Para \( x_1 = 1 + \frac{\sqrt{3}}{3} \):
\[
f\left(1 + \frac{\sqrt{3}}{3}\right) = 2\left(1 + \frac{\sqrt{3}}{3}\right)^3 - 6\left(1 + \frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2 + 4\left(1 + \frac{\sqrt{3}}{3}\right) - 8
\]
(Calcular el valor exacto es laborioso, pero se puede hacer numéricamente.)
- Para \( x_2 = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \):
\[
f\left(1 - \frac{\sqrt{3}}{3}\right) = 2\left(1 - \frac{\sqrt{3}}{3}\right)^3 - 6\left(1 - \frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2 + 4\left(1 - \frac{\sqrt{3}}{3}\right) - 8
\]
Al evaluar, el punto \( x_1 \) es un mínimo local y \( x_2 \) es un máximo local.
4. Gráfico: Al esbozar el gráfico de la función \( f(x) \), se debe indicar:
- Puntos críticos \( x_1 \) y \( x_2 \).
- La concavidad cóncava hacia abajo en \( (-\infty, 1) \) y cóncava hacia arriba en \( (1, \infty) \).
- Un mínimo en \( x_1 \) y un máximo en \( x_2 \).
Esto proporciona un análisis completo de la función y sus características relevantes.
Ejercicio 6:Sea la función \( f(x) = 2x^2 - 4x + 1 \).
1. Determina los puntos de intersección de la función con el eje \( y \).
2. Calcula las coordenadas del vértice de la parábola.
3. Estudia el signo de la función en los intervalos determinados por las raíces, si las hay.
4. Grafica la función en el plano cartesiano.
Justifica cada uno de tus pasos.
Solución: Respuesta:
1. Puntos de intersección con el eje \( y \):
Para encontrar el punto de intersección con el eje \( y \), evaluamos la función en \( x = 0 \):
\[
f(0) = 2(0)^2 - 4(0) + 1 = 1
\]
Por lo tanto, el punto de intersección con el eje \( y \) es \( (0, 1) \).
2. Coordenadas del vértice de la parábola:
La coordenada \( x \) del vértice de una parábola dada por \( f(x) = ax^2 + bx + c \) se calcula con la fórmula:
\[
x_v = -\frac{b}{2a}
\]
Donde \( a = 2 \) y \( b = -4 \):
\[
x_v = -\frac{-4}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1
\]
Ahora evaluamos \( f(1) \) para encontrar la coordenada \( y \):
\[
f(1) = 2(1)^2 - 4(1) + 1 = 2 - 4 + 1 = -1
\]
Por lo tanto, las coordenadas del vértice son \( (1, -1) \).
3. Estudio del signo de la función:
Para estudiar el signo de la función, primero encontramos las raíces de la ecuación \( f(x) = 0 \):
\[
2x^2 - 4x + 1 = 0
\]
Aplicamos la fórmula general:
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]
Con \( a = 2 \), \( b = -4 \), y \( c = 1 \):
\[
x = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 8}}{4} = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{4} = \frac{4 \pm 2\sqrt{2}}{4} = 1 \pm \frac{\sqrt{2}}{2}
\]
Las raíces son \( x_1 = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} \) y \( x_2 = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} \).
Ahora, evaluamos el signo en los intervalos \( (-\infty, x_1) \), \( (x_1, x_2) \), y \( (x_2, \infty) \):
- En \( (-\infty, x_1) \): \( f(x) > 0 \)
- En \( (x_1, x_2) \): \( f(x) < 0 \)
- En \( (x_2, \infty) \): \( f(x) > 0 \)
4. Gráfica de la función:
La gráfica de la función es una parábola que abre hacia arriba (ya que \( a > 0 \)). Tiene un vértice en \( (1, -1) \) y cruza el eje \( y \) en \( (0, 1) \). Además, las raíces se encuentran en \( x_1 \) y \( x_2 \), lo que determina los intervalos donde la función es positiva o negativa.
La gráfica se puede realizar utilizando herramientas gráficas o software de matemáticas.
Con esto, hemos cumplido con los requerimientos del ejercicio.
Ejercicio 7:Dada la función cuadrática \( f(x) = 2x^2 - 4x + 1 \):
1. Calcula las coordenadas del vértice de la parábola.
2. Determina el intervalo en el que la función es creciente y el intervalo en el que es decreciente.
3. Encuentra las intersecciones de la función con el eje \( x \) y el eje \( y \).
4. Esboza la gráfica de la función indicando el vértice y las intersecciones.
Solución: Respuesta:
1. Las coordenadas del vértice de la parábola son \( (1, -1) \).
2. La función es creciente en el intervalo \( (1, +\infty) \) y decreciente en el intervalo \( (-\infty, 1) \).
3. Las intersecciones de la función con el eje \( x \) son \( x = 1 - \sqrt{0} \) y \( x = 1 + \sqrt{0} \), lo que implica que hay una única intersección en \( (1, 0) \). La intersección con el eje \( y \) es \( (0, 1) \).
4. La gráfica de la función es una parábola que abre hacia arriba, con el vértice en \( (1, -1) \) y las intersecciones con el eje \( x \) en \( (1, 0) \) y con el eje \( y \) en \( (0, 1) \).
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Breve explicación:
1. Para encontrar el vértice de la parábola dada por la función \( f(x) = ax^2 + bx + c \), utilizamos la fórmula \( x_v = -\frac{b}{2a} \). En este caso, \( a = 2 \) y \( b = -4 \), por lo que \( x_v = -\frac{-4}{2 \times 2} = 1 \). Para calcular \( y_v \), sustituimos \( x = 1 \) en \( f(x) \): \( f(1) = 2(1)^2 - 4(1) + 1 = -1 \).
2. La función cuadrática es decreciente antes del vértice y creciente después. Analizamos la derivada o el vértice para determinar estos intervalos.
3. Para encontrar las intersecciones con el eje \( x \), resolvemos \( 2x^2 - 4x + 1 = 0 \) usando la fórmula cuadrática. Como el discriminante es \( 0 \), hay una única solución. Para el eje \( y \), simplemente evaluamos \( f(0) \).
4. La gráfica se esboza teniendo en cuenta el vértice y las intersecciones, mostrando la forma típica de una parábola.
Ejercicio 8:Considera la función cuadrática dada por \( f(x) = ax^2 + bx + c \), donde \( a \), \( b \) y \( c \) son números reales. Se sabe que la parábola tiene su vértice en el punto \( V(2, -3) \) y que la intersección con el eje \( y \) ocurre en el punto \( (0, 1) \).
1. Determina los valores de \( a \), \( b \) y \( c \).
2. Calcula las intersecciones de la función con el eje \( x \).
3. Analiza el comportamiento de la función en el intervalo \( (-\infty, 2) \) y \( (2, \infty) \).
4. Representa gráficamente la función y señala los puntos importantes (vértice, intersecciones con los ejes).
Solución: Respuesta:
1. Para determinar los valores de \( a \), \( b \) y \( c \), partimos de la información dada. Sabemos que el vértice de la parábola \( f(x) = ax^2 + bx + c \) se encuentra en el punto \( V(2, -3) \). La forma del vértice de una parábola es:
\[
f(x) = a(x - h)^2 + k
\]
donde \( (h, k) \) es el vértice. En este caso, \( h = 2 \) y \( k = -3 \), así que:
\[
f(x) = a(x - 2)^2 - 3
\]
Además, sabemos que la intersección con el eje \( y \) ocurre en el punto \( (0, 1) \), lo que significa que:
\[
f(0) = 1
\]
Sustituyendo \( x = 0 \) en la función:
\[
f(0) = a(0 - 2)^2 - 3 = 4a - 3
\]
Igualamos esto a 1:
\[
4a - 3 = 1
\]
\[
4a = 4 \quad \Rightarrow \quad a = 1
\]
Sustituyendo \( a = 1 \) en la ecuación del vértice:
\[
f(x) = (x - 2)^2 - 3
\]
\[
f(x) = x^2 - 4x + 4 - 3 = x^2 - 4x + 1
\]
Así, los coeficientes son:
\[
a = 1, \quad b = -4, \quad c = 1
\]
2. Para encontrar las intersecciones con el eje \( x \), resolvemos \( f(x) = 0 \):
\[
x^2 - 4x + 1 = 0
\]
Usando la fórmula cuadrática:
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}
\]
\[
x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}
\]
Las intersecciones con el eje \( x \) son \( x_1 = 2 - \sqrt{3} \) y \( x_2 = 2 + \sqrt{3} \).
3. Analizando el comportamiento de la función:
- En el intervalo \( (-\infty, 2) \), la función es creciente, ya que el coeficiente \( a = 1 \) es positivo.
- En el intervalo \( (2, \infty) \), la función es también creciente.
Por lo tanto, el mínimo de la función se encuentra en el vértice \( V(2, -3) \).
4. La representación gráfica de la función \( f(x) = x^2 - 4x + 1 \) es una parábola que abre hacia arriba, con el vértice en \( (2, -3) \), intersección con el eje \( y \) en \( (0, 1) \) y las intersecciones con el eje \( x \) en \( (2 - \sqrt{3}, 0) \) y \( (2 + \sqrt{3}, 0) \).
Estos son los puntos importantes a señalar en la gráfica.
Ejercicio 9:Dada la función \( f(x) = 2x^2 - 4x + 1 \), realiza las siguientes actividades:
1. Determina el vértice de la parábola representada por la función.
2. Encuentra los puntos de intersección con el eje \( x \) y el eje \( y \).
3. Analiza el comportamiento de la función para \( x \to -\infty \) y \( x \to +\infty \).
4. Grafica la función en el intervalo \( [-2, 4] \) y señala los puntos de interés encontrados en los pasos anteriores.
Solución: Respuesta:
1. Vértice de la parábola: El vértice de la parábola \( f(x) = ax^2 + bx + c \) se encuentra en el punto \( \left( -\frac{b}{2a}, f\left(-\frac{b}{2a}\right) \right) \). Para \( f(x) = 2x^2 - 4x + 1 \):
- \( a = 2 \), \( b = -4 \)
- \( x_v = -\frac{-4}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1 \)
- \( f(1) = 2(1)^2 - 4(1) + 1 = 2 - 4 + 1 = -1 \)
- Vértice: \( (1, -1) \)
2. Intersección con el eje \( x \): Para encontrar los puntos de intersección con el eje \( x \), igualamos \( f(x) = 0 \):
- \( 2x^2 - 4x + 1 = 0 \)
- Usamos la fórmula cuadrática: \( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \)
- \( x = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 8}}{4} = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{4} = \frac{4 \pm 2\sqrt{2}}{4} = 1 \pm \frac{\sqrt{2}}{2} \)
- Puntos de intersección con el eje \( x \): \( \left( 1 + \frac{\sqrt{2}}{2}, 0 \right) \) y \( \left( 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}, 0 \right) \)
Intersección con el eje \( y \): Para encontrar la intersección con el eje \( y \), evaluamos \( f(0) \):
- \( f(0) = 2(0)^2 - 4(0) + 1 = 1 \)
- Punto de intersección con el eje \( y \): \( (0, 1) \)
3. Comportamiento de la función:
- Para \( x \to -\infty \), \( f(x) \to +\infty \) (la parábola se abre hacia arriba).
- Para \( x \to +\infty \), \( f(x) \to +\infty \).
4. Gráfica de la función en el intervalo \( [-2, 4] \): Se debe graficar la función y señalar en la gráfica:
- Vértice: \( (1, -1) \)
- Intersecciones con el eje \( x \): \( \left( 1 + \frac{\sqrt{2}}{2}, 0 \right) \) y \( \left( 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}, 0 \right) \)
- Intersección con el eje \( y \): \( (0, 1) \)
Explicación adicional:
La función \( f(x) = 2x^2 - 4x + 1 \) es una parábola que abre hacia arriba debido a que el coeficiente de \( x^2 \) (que es 2) es positivo. El vértice nos da el punto más bajo de la parábola, y los puntos de intersección nos indican donde la parábola cruza los ejes, lo cual es fundamental para entender su comportamiento general. Para graficarla, se pueden usar herramientas gráficas para visualizar mejor la función en el intervalo especificado.
Ejercicio 10:Dada la función \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 4 \):
1. Determina los intervalos en los que la función es creciente y decreciente.
2. Encuentra los puntos críticos de la función y clasifícalos como máximos o mínimos relativos.
3. Calcula la concavidad de la función y determina los puntos de inflexión.
4. Esboza el gráfico de la función indicando los puntos críticos y los puntos de inflexión.
Solución: Respuesta:
1. Intervalos de crecimiento y decrecimiento:
La función \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 4 \) es creciente en los intervalos \( (-\infty, 1) \) y \( (3, \infty) \), y decreciente en el intervalo \( (1, 3) \).
2. Puntos críticos:
Los puntos críticos se encuentran al resolver \( f'(x) = 0 \), donde \( f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 \).
Factorizando, tenemos:
\[
f'(x) = 3(x - 1)(x - 3)
\]
Los puntos críticos son \( x = 1 \) y \( x = 3 \).
- En \( x = 1 \) la función tiene un mínimo relativo.
- En \( x = 3 \) la función tiene un máximo relativo.
3. Concavidad y puntos de inflexión:
La concavidad se determina mediante la segunda derivada \( f''(x) = 6x - 12 \).
Resolviendo \( f''(x) = 0 \) encontramos:
\[
6x - 12 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 2
\]
La función es cóncava hacia arriba en el intervalo \( (2, \infty) \) y cóncava hacia abajo en \( (-\infty, 2) \). El punto de inflexión es \( x = 2 \).
4. Gráfico:
El gráfico de la función \( f(x) \) es una curva cúbica que presenta un mínimo en \( (1, f(1)) \) y un máximo en \( (3, f(3)) \), así como un punto de inflexión en \( (2, f(2)) \).
Los valores de \( f \) en los puntos críticos son:
\[
f(1) = 1^3 - 6(1)^2 + 9(1) - 4 = 0
\]
\[
f(3) = 3^3 - 6(3)^2 + 9(3) - 4 = 2
\]
\[
f(2) = 2^3 - 6(2)^2 + 9(2) - 4 = 2
\]
Por lo tanto, los puntos críticos son:
- Mínimo en \( (1, 0) \)
- Máximo en \( (3, 2) \)
- Punto de inflexión en \( (2, 2) \)
El gráfico se puede esbozar de la siguiente forma:
- Eje \( x \) desde \( -1 \) hasta \( 4 \).
- Eje \( y \) desde \( -5 \) hasta \( 5 \).
- Marcar los puntos \( (1, 0) \), \( (3, 2) \), y \( (2, 2) \) claramente.
Esta respuesta proporciona un análisis completo de la función \( f(x) \).
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En esta sección, te recordamos los conceptos clave del temario de Funciones que has estudiado en 4º ESO. Estos puntos son fundamentales para resolver los ejercicios que has practicado.
Temario de Funciones
Definición de función
Dominio y recorrido
Representación gráfica de funciones
Funciones lineales y afines
Funciones cuadráticas
Funciones polinómicas
Funciones racionales
Funciones exponenciales y logarítmicas
Transformaciones de funciones
Composición de funciones
Breve Recordatorio de Teoría
Una función es una relación entre dos conjuntos, donde a cada elemento del primer conjunto (dominio) le corresponde un único elemento del segundo conjunto (recorrido). Es importante identificar correctamente el dominio y el recorrido de cada función que estudies.
Las funciones lineales y afines son las más simples, representadas por la forma y = mx + b. Las funciones cuadráticas, expresadas como f(x) = ax² + bx + c, tienen una representación gráfica en forma de parábola. Recuerda que el signo de a determina la abertura de la parábola.
Las funciones polinómicas se componen de términos con exponentes enteros no negativos, mientras que las funciones racionales son cocientes de polinomios. Por su parte, las funciones exponenciales y logarítmicas son clave para el estudio de crecimiento y decaimiento, con la forma f(x) = a * b^x para funciones exponenciales y y = log_b(x) para logarítmicas.
Finalmente, las transformaciones de funciones (traslaciones, reflexiones, estiramientos) y la composición de funciones son herramientas útiles para modificar y combinar funciones de manera efectiva.
Si tienes dudas sobre algún concepto, no dudes en consultar el temario o preguntar a tu profesor. ¡Sigue practicando y resolviendo ejercicios!