Ejercicios y Problemas de Funciones 4º ESO

En la asignatura de Matemáticas de 4º ESO, las funciones son uno de los conceptos fundamentales que los estudiantes deben dominar. A lo largo de este curso, exploraremos las diferentes tipos de funciones, sus propiedades, y cómo se aplican en diversos problemas matemáticos. Nuestro objetivo es proporcionar una comprensión clara y práctica de este tema esencial, ayudando a los alumnos a desarrollar su razonamiento lógico y habilidades de resolución de problemas.

Ejercicios y Problemas Resueltos

Para facilitar el aprendizaje, hemos recopilado una serie de ejercicios y problemas resueltos que permitirán a los estudiantes practicar y afianzar sus conocimientos sobre funciones. Cada ejercicio incluye su respectiva solución, lo que les ayudará a identificar y corregir errores, así como a comprender mejor los conceptos abordados.

Ejercicio 1:
Dada la función lineal \( f(x) = 2x + 3 \), calcula el valor de \( f(4) \) y determina si el punto \( (4, f(4)) \) pertenece a la gráfica de la función.
Ejercicio 2:
Determina el dominio y la imagen de la función \( f(x) = \frac{2x - 3}{x^2 - 4} \). Además, calcula los valores de \( f(x) \) para \( x = -3, -2, 0, 2 \) y \( 3 \). Explica si la función tiene asíntotas y, en caso afirmativo, determina sus ecuaciones.
Ejercicio 3:
Determina el rango de la función \( f(x) = \frac{2x^2 - 4x + 1}{x^2 - 1} \). Para ello, sigue los siguientes pasos: 1. Calcula los valores críticos de la función derivando \( f(x) \) y resolviendo \( f'(x) = 0 \). 2. Estudia el comportamiento de la función en los intervalos determinados por los valores críticos y los puntos donde la función no está definida. 3. Justifica si hay asíntotas horizontales y cómo afectan al rango de la función. 4. Concluye cuál es el rango de \( f(x) \).
Ejercicio 4:
Dada la función cuadrática \( f(x) = ax^2 + bx + c \), donde \( a, b, c \in \mathbb{R} \) y \( a \neq 0 \), se conoce que la función tiene sus raíces en \( x_1 = 2 \) y \( x_2 = -3 \). Además, se sabe que \( f(1) = 12 \). 1. Determina los valores de \( a \), \( b \) y \( c \). 2. Calcula el vértice de la parábola y determina si es un mínimo o un máximo. 3. Esboza el gráfico de la función, indicando las intersecciones con los ejes y la posición del vértice.
Ejercicio 5:
Dada la función \( f(x) = 2x^3 - 6x^2 + 4x - 8 \): 1. Determina los puntos críticos de la función. 2. Analiza la concavidad de la función y encuentra los intervalos donde es cóncava hacia arriba y hacia abajo. 3. Calcula los valores máximos y mínimos locales. 4. Esboza el gráfico de la función, indicando los puntos críticos y la concavidad. Recuerda justificar cada uno de tus pasos y utilizar la derivada para resolver los problemas planteados.
Ejercicio 6:
Sea la función \( f(x) = 2x^2 - 4x + 1 \). 1. Determina los puntos de intersección de la función con el eje \( y \). 2. Calcula las coordenadas del vértice de la parábola. 3. Estudia el signo de la función en los intervalos determinados por las raíces, si las hay. 4. Grafica la función en el plano cartesiano. Justifica cada uno de tus pasos.
Ejercicio 7:
Dada la función cuadrática \( f(x) = 2x^2 - 4x + 1 \): 1. Calcula las coordenadas del vértice de la parábola. 2. Determina el intervalo en el que la función es creciente y el intervalo en el que es decreciente. 3. Encuentra las intersecciones de la función con el eje \( x \) y el eje \( y \). 4. Esboza la gráfica de la función indicando el vértice y las intersecciones.
Ejercicio 8:
Considera la función cuadrática dada por \( f(x) = ax^2 + bx + c \), donde \( a \), \( b \) y \( c \) son números reales. Se sabe que la parábola tiene su vértice en el punto \( V(2, -3) \) y que la intersección con el eje \( y \) ocurre en el punto \( (0, 1) \). 1. Determina los valores de \( a \), \( b \) y \( c \). 2. Calcula las intersecciones de la función con el eje \( x \). 3. Analiza el comportamiento de la función en el intervalo \( (-\infty, 2) \) y \( (2, \infty) \). 4. Representa gráficamente la función y señala los puntos importantes (vértice, intersecciones con los ejes).
Ejercicio 9:
Dada la función \( f(x) = 2x^2 - 4x + 1 \), realiza las siguientes actividades: 1. Determina el vértice de la parábola representada por la función. 2. Encuentra los puntos de intersección con el eje \( x \) y el eje \( y \). 3. Analiza el comportamiento de la función para \( x \to -\infty \) y \( x \to +\infty \). 4. Grafica la función en el intervalo \( [-2, 4] \) y señala los puntos de interés encontrados en los pasos anteriores.
Ejercicio 10:
Dada la función \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 4 \): 1. Determina los intervalos en los que la función es creciente y decreciente. 2. Encuentra los puntos críticos de la función y clasifícalos como máximos o mínimos relativos. 3. Calcula la concavidad de la función y determina los puntos de inflexión. 4. Esboza el gráfico de la función indicando los puntos críticos y los puntos de inflexión.

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Resumen del Temario de Funciones – 4º ESO

En esta sección, te recordamos los conceptos clave del temario de Funciones que has estudiado en 4º ESO. Estos puntos son fundamentales para resolver los ejercicios que has practicado.

Temario de Funciones

  • Definición de función
  • Dominio y recorrido
  • Representación gráfica de funciones
  • Funciones lineales y afines
  • Funciones cuadráticas
  • Funciones polinómicas
  • Funciones racionales
  • Funciones exponenciales y logarítmicas
  • Transformaciones de funciones
  • Composición de funciones

Breve Recordatorio de Teoría

Una función es una relación entre dos conjuntos, donde a cada elemento del primer conjunto (dominio) le corresponde un único elemento del segundo conjunto (recorrido). Es importante identificar correctamente el dominio y el recorrido de cada función que estudies.

Las funciones lineales y afines son las más simples, representadas por la forma y = mx + b. Las funciones cuadráticas, expresadas como f(x) = ax² + bx + c, tienen una representación gráfica en forma de parábola. Recuerda que el signo de a determina la abertura de la parábola.

Las funciones polinómicas se componen de términos con exponentes enteros no negativos, mientras que las funciones racionales son cocientes de polinomios. Por su parte, las funciones exponenciales y logarítmicas son clave para el estudio de crecimiento y decaimiento, con la forma f(x) = a * b^x para funciones exponenciales y y = log_b(x) para logarítmicas.

Finalmente, las transformaciones de funciones (traslaciones, reflexiones, estiramientos) y la composición de funciones son herramientas útiles para modificar y combinar funciones de manera efectiva.

Si tienes dudas sobre algún concepto, no dudes en consultar el temario o preguntar a tu profesor. ¡Sigue practicando y resolviendo ejercicios!

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