Las inecuaciones son una parte fundamental de las matemáticas en 4º de ESO, ya que nos permiten resolver problemas que involucran relaciones de desigualdad entre diferentes expresiones. En esta sección, exploraremos los conceptos clave y las técnicas necesarias para abordar inecuaciones de manera efectiva, proporcionando ejemplos claros y ejercicios prácticos que ayudarán a los estudiantes a dominar esta temática.
Ejercicios y Problemas Resueltos
A continuación, presentamos una serie de ejercicios y problemas resueltos sobre inecuaciones que facilitarán el aprendizaje y la comprensión de este tema. Cada ejercicio incluye su solución detallada, permitiendo a los alumnos verificar su trabajo y afianzar sus conocimientos.
Ejercicio 1:Resuelve la siguiente inecuación: \(3x - 5 < 4\). ¿Cuál es el conjunto de soluciones?
Solución: Respuesta: \( x < 3 \)
Para resolver la inecuación \( 3x - 5 < 4 \), seguimos estos pasos:
1. Sumamos 5 a ambos lados de la inecuación:
\[
3x - 5 + 5 < 4 + 5 \implies 3x < 9
\]
2. Dividimos ambos lados entre 3:
\[
\frac{3x}{3} < \frac{9}{3} \implies x < 3
\]
Por lo tanto, el conjunto de soluciones es \( x < 3 \).
Ejercicio 2:Resuelve la siguiente inecuación: \( 3x - 7 < 2x + 5 \). ¿Cuál es el conjunto de soluciones en forma de intervalo?
Solución: Respuesta: \( (-\infty, 12) \)
Para resolver la inecuación \( 3x - 7 < 2x + 5 \), seguimos estos pasos:
1. Restamos \( 2x \) de ambos lados:
\[
3x - 2x - 7 < 5
\]
lo que simplifica a:
\[
x - 7 < 5
\]
2. Sumamos \( 7 \) a ambos lados:
\[
x < 12
\]
Por lo tanto, el conjunto de soluciones es \( (-\infty, 12) \).
Ejercicio 3:Resuelve la siguiente inecuación: \( 3x - 7 < 2 \). Expresa la solución en forma de intervalo.
Solución: Respuesta: \( (-\infty, 3) \)
Para resolver la inecuación \( 3x - 7 < 2 \), primero sumamos 7 a ambos lados:
\[
3x < 9
\]
Luego, dividimos ambos lados entre 3:
\[
x < 3
\]
Por lo tanto, la solución en forma de intervalo es \( (-\infty, 3) \).
Ejercicio 4:Resuelve la siguiente inecuación: \( 3x - 5 < 7 \). ¿Cuál es el conjunto solución de \( x \)?
Solución: Respuesta: \( x < 4 \)
Para resolver la inecuación \( 3x - 5 < 7 \), seguimos los siguientes pasos:
1. Sumamos 5 a ambos lados:
\[
3x - 5 + 5 < 7 + 5 \implies 3x < 12
\]
2. Dividimos ambos lados entre 3:
\[
\frac{3x}{3} < \frac{12}{3} \implies x < 4
\]
El conjunto solución es todos los números reales que son menores que 4.
Ejercicio 5:Resuelve la siguiente inecuación: \( 3x - 5 < 7 \). ¿Cuál es el conjunto de soluciones?
Solución: Respuesta: \( x < 4 \)
Para resolver la inecuación \( 3x - 5 < 7 \), seguimos los siguientes pasos:
1. Sumamos 5 a ambos lados de la inecuación:
\[
3x < 12
\]
2. Dividimos ambos lados entre 3:
\[
x < 4
\]
Por lo tanto, el conjunto de soluciones es \( x < 4 \).
Ejercicio 6:Resuelve la siguiente inecuación: \( 3x - 5 < 4 \). ¿Cuál es el conjunto de soluciones?
Solución: Respuesta: \( x < 3 \)
Para resolver la inecuación \( 3x - 5 < 4 \), seguimos estos pasos:
1. Sumamos 5 a ambos lados:
\[
3x - 5 + 5 < 4 + 5
\]
Esto simplifica a:
\[
3x < 9
\]
2. Dividimos ambos lados entre 3:
\[
\frac{3x}{3} < \frac{9}{3}
\]
Esto resulta en:
\[
x < 3
\]
Por lo tanto, el conjunto de soluciones es todos los números reales menores que 3.
Ejercicio 7:Resuelve la siguiente inecuación: \( 2x - 5 < 3 \). ¿Cuál es el conjunto de soluciones?
Solución: Respuesta: \( x < 4 \)
Para resolver la inecuación \( 2x - 5 < 3 \), seguimos estos pasos:
1. Sumar 5 a ambos lados de la inecuación:
\[
2x - 5 + 5 < 3 + 5
\]
Esto simplifica a:
\[
2x < 8
\]
2. Dividir ambos lados entre 2:
\[
\frac{2x}{2} < \frac{8}{2}
\]
Lo que da:
\[
x < 4
\]
Por lo tanto, el conjunto de soluciones es \( x < 4 \).
Ejercicio 8:Resuelve la siguiente inecuación:
\[ 3x - 5 < 7 \]
¿Para qué valores de \( x \) se cumple esta inecuación?
Solución: Respuesta: \( x < 4 \)
Para resolver la inecuación \( 3x - 5 < 7 \), primero sumamos 5 a ambos lados de la inecuación:
\[
3x - 5 + 5 < 7 + 5
\]
Esto simplifica a:
\[
3x < 12
\]
A continuación, dividimos ambos lados entre 3:
\[
x < 4
\]
Por lo tanto, la solución es que \( x \) puede tomar cualquier valor menor que 4.
Ejercicio 9:Resuelve la siguiente inecuación:
\[ 3x - 5 < 7 \]
¿Cuál es el intervalo de valores de \( x \) que satisface esta inecuación?
Solución: Respuesta: \( x < 4 \)
Para resolver la inecuación \( 3x - 5 < 7 \), seguimos estos pasos:
1. Suma 5 a ambos lados:
\[
3x < 7 + 5
\]
\[
3x < 12
\]
2. Divide ambos lados entre 3:
\[
x < \frac{12}{3}
\]
\[
x < 4
\]
Por lo tanto, el intervalo de valores de \( x \) que satisface la inecuación es \( (-\infty, 4) \).
Ejercicio 10:Resuelve la siguiente inecuación:
\[ 3x - 5 < 4x + 7 \]
¿Cuál es el conjunto solución en forma de intervalo?
Solución: Respuesta: \( (-\infty, 12) \)
Explicación: Para resolver la inecuación \( 3x - 5 < 4x + 7 \), primero restamos \( 3x \) de ambos lados:
\[
-5 < x + 7
\]
Luego, restamos \( 7 \) de ambos lados:
\[
-12 < x
\]
Esto se puede reescribir como:
\[
x > -12
\]
Por lo tanto, el conjunto solución en forma de intervalo es \( (-\infty, 12) \).
Ejercicio 11:Resuelve la siguiente inecuación:
\[ 3x - 5 < 2(x + 1) + 4 - 2x \]
Una vez que hayas encontrado el conjunto solución, representa gráficamente la solución en la recta numérica y determina si el número \( x = 2 \) pertenece a la solución de la inecuación.
Solución: Respuesta: \( x < 3 \)
Para resolver la inecuación, comenzamos simplificando el lado derecho:
\[
3x - 5 < 2(x + 1) + 4 - 2x
\]
Desarrollamos el lado derecho:
\[
2(x + 1) = 2x + 2
\]
Entonces, la inecuación queda:
\[
3x - 5 < 2x + 2 + 4 - 2x
\]
Simplificando:
\[
3x - 5 < 2
\]
Ahora, sumamos 5 a ambos lados:
\[
3x < 7
\]
Finalmente, dividimos entre 3:
\[
x < \frac{7}{3}
\]
Para representar gráficamente la solución en la recta numérica, dibujamos una línea y marcamos el punto \( \frac{7}{3} \) (aproximadamente 2.33) con un círculo abierto, indicando que no incluye el 2.33, y sombreando hacia la izquierda para mostrar que todos los valores menores son parte de la solución.
Para determinar si \( x = 2 \) pertenece a la solución de la inecuación:
Dado que \( 2 < \frac{7}{3} \) (aproximadamente 2.33), podemos concluir que \( x = 2 \) sí pertenece a la solución de la inecuación.
Ejercicio 12:Resuelve la siguiente inecuación:
\[
3x - 5 < 4
\]
¿Cuál es el intervalo de soluciones para \( x \)?
Solución: Respuesta: \( x < 3 \)
Para resolver la inecuación \( 3x - 5 < 4 \), seguimos los siguientes pasos:
1. Sumamos 5 a ambos lados de la inecuación:
\[
3x - 5 + 5 < 4 + 5
\]
Esto simplifica a:
\[
3x < 9
\]
2. Luego, dividimos ambos lados entre 3:
\[
\frac{3x}{3} < \frac{9}{3}
\]
Lo que nos da:
\[
x < 3
\]
Por lo tanto, el intervalo de soluciones para \( x \) es \( (-\infty, 3) \).
Ejercicio 13:Resuelve la siguiente inecuación:
\[
2x - 5 < 3x + 1
\]
¿Cuál es el conjunto de soluciones para \( x \)?
Solución: Respuesta: \( x > -6 \)
Para resolver la inecuación \( 2x - 5 < 3x + 1 \), seguimos los siguientes pasos:
1. Restamos \( 2x \) de ambos lados:
\[
-5 < x + 1
\]
2. Restamos \( 1 \) de ambos lados:
\[
-6 < x
\]
3. Lo podemos reescribir como:
\[
x > -6
\]
Por lo tanto, el conjunto de soluciones es \( x > -6 \).
Ejercicio 14:Resuelve la siguiente inecuación y representa su solución en una recta numérica:
\( 2x - 5 < 3 \)
Solución: Respuesta: \( x < 4 \)
Para resolver la inecuación \( 2x - 5 < 3 \), seguimos estos pasos:
1. Sumamos 5 a ambos lados de la inecuación:
\[
2x < 3 + 5
\]
\[
2x < 8
\]
2. Dividimos ambos lados entre 2:
\[
x < \frac{8}{2}
\]
\[
x < 4
\]
La solución es \( x < 4 \). En la recta numérica, representamos esto con una línea que se extiende hacia la izquierda desde el 4, usando un círculo abierto en el 4 para indicar que no está incluido en la solución.
Aquí está la representación en la recta numérica:
```
<----(4)-------------------->
```
Donde el paréntesis abierto en el 4 indica que 4 no está incluido en la solución.
Ejercicio 15:Resuelve la siguiente inecuación y representa su solución en una recta numérica:
\[ 3x - 7 < 2x + 5 \]
¿Cuál es el conjunto de soluciones?
Solución: Respuesta: \( x < 12 \)
Para resolver la inecuación \( 3x - 7 < 2x + 5 \), seguimos estos pasos:
1. Restamos \( 2x \) de ambos lados:
\[
3x - 2x - 7 < 5
\]
que simplifica a:
\[
x - 7 < 5
\]
2. Sumamos 7 a ambos lados:
\[
x < 5 + 7
\]
que se simplifica a:
\[
x < 12
\]
La solución de la inecuación es \( x < 12 \).
En una recta numérica, representamos esta solución como una línea que se extiende hacia la izquierda desde el punto 12, con un círculo vacío en el 12 (indicando que no está incluido en la solución).
Ejercicio 16:Resuelve la siguiente inecuación y representa su solución en una recta numérica:
\[ 3x - 5 < 7 \]
Solución: Respuesta: \( x < 4 \)
Para resolver la inecuación \( 3x - 5 < 7 \), seguimos estos pasos:
1. Sumamos 5 en ambos lados:
\[
3x - 5 + 5 < 7 + 5
\]
\[
3x < 12
\]
2. Dividimos entre 3:
\[
\frac{3x}{3} < \frac{12}{3}
\]
\[
x < 4
\]
La solución de la inecuación es \( x < 4 \).
► Representación en la recta numérica:
En la recta numérica, esto se representa como una línea que se extiende hacia la izquierda desde el punto 4, con un círculo abierto en 4 (indicando que no se incluye el 4).
```plaintext
<---(4)---------------->
```
El círculo abierto en 4 indica que 4 no está incluido en la solución.
Ejercicio 17:Resuelve la siguiente inecuación y representa su solución en una recta numérica:
\[ 3x - 5 < 7 \]
¿Cuál es el intervalo de valores que satisface esta inecuación?
Solución: Respuesta: \( x < 4 \)
Para resolver la inecuación \( 3x - 5 < 7 \), seguimos estos pasos:
1. Sumamos 5 a ambos lados:
\[
3x - 5 + 5 < 7 + 5 \\
3x < 12
\]
2. Dividimos ambos lados entre 3:
\[
\frac{3x}{3} < \frac{12}{3} \\
x < 4
\]
La solución \( x < 4 \) significa que cualquier número menor que 4 satisface la inecuación.
En la recta numérica, se representa con un círculo vacío en el 4 (indicando que no se incluye el 4) y una línea que se extiende hacia la izquierda.
Ejercicio 18:Resuelve la siguiente inecuación y representa su solución en una recta numérica:
\[ 3x - 5 < 7 \]
¿Cuál es el conjunto de soluciones para \( x \)?
Solución: Respuesta: \( x < 4 \)
Para resolver la inecuación \( 3x - 5 < 7 \), seguimos estos pasos:
1. Sumamos 5 a ambos lados:
\[
3x - 5 + 5 < 7 + 5 \implies 3x < 12
\]
2. Dividimos entre 3:
\[
\frac{3x}{3} < \frac{12}{3} \implies x < 4
\]
Por lo tanto, el conjunto de soluciones para \( x \) es \( x < 4 \).
En la recta numérica, se representaría como un intervalo abierto a la izquierda del 4, indicando que 4 no está incluido en la solución.
Ejercicio 19:Resuelve la siguiente inecuación y representa su solución en una recta numérica:
\[ 3x - 5 < 4 \]
¿Qué valores de \( x \) satisfacen esta inecuación?
Solución: Respuesta: \( x < 3 \)
Para resolver la inecuación \( 3x - 5 < 4 \), seguimos estos pasos:
1. Sumamos 5 a ambos lados:
\[ 3x - 5 + 5 < 4 + 5 \]
\[ 3x < 9 \]
2. Dividimos ambos lados entre 3:
\[ \frac{3x}{3} < \frac{9}{3} \]
\[ x < 3 \]
Por lo tanto, la solución de la inecuación es \( x < 3 \).
En la recta numérica, se representa con un círculo abierto en el 3, indicando que este valor no está incluido en la solución, y una flecha que se extiende hacia la izquierda.
Ejercicio 20:Resuelve la siguiente inecuación y representa su solución en una recta numérica:
\[ 3x - 5 < 2x + 7 \]
Además, determina si el número \( x = 4 \) pertenece a la solución de la inecuación.
Solución: Respuesta: \( x < 12 \)
Para resolver la inecuación \( 3x - 5 < 2x + 7 \), primero restamos \( 2x \) de ambos lados:
\[
3x - 2x - 5 < 7
\]
Esto se simplifica a:
\[
x - 5 < 7
\]
Luego, sumamos 5 a ambos lados:
\[
x < 12
\]
La solución en una recta numérica se representa con una línea que se extiende hacia la izquierda desde el punto 12, indicando que todos los números menores que 12 son parte de la solución.
Para verificar si \( x = 4 \) pertenece a la solución, comparamos:
\[
4 < 12
\]
Esto es verdadero, por lo que \( x = 4 \) sí pertenece a la solución de la inecuación.
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Es fácil. Pulsa en el siguiente enlace y podrás convertir los ejercicios de repaso de Matemáticas de 4º ESO del temario Inecuaciones en PDF con sus soluciones al final para descargarlos o imprimirlos y poder practicar sin el ordenador; a la vez que tienes los ejercicios resueltos para comprobar los resultados.
En esta sección, haremos un breve repaso sobre el temario de inecuaciones que hemos visto a lo largo del curso. A continuación, se listan los principales contenidos que deberías recordar al realizar los ejercicios:
Definición de ineacuaciones: tipos y características.
Resolución de ineacuaciones de primer grado.
Inecuaciones compuestas: uniones e intersecciones.
Representación gráfica de inecuaciones en una recta numérica.
Inecuaciones de segundo grado: resolución y análisis de sus soluciones.
Aplicaciones de las inecuaciones en problemas prácticos.
Ahora, recordemos algunos puntos clave sobre la teoría:
Una inecuación es una relación que establece que un valor es mayor o menor que otro. En el caso de las inecuaciones de primer grado, la forma general es ax + b > c, donde a, b y c son números reales. Es fundamental recordar que al multiplicar o dividir por un número negativo se invierte el signo de la inecuación.
Las inecuaciones compuestas se forman al combinar varias inecuaciones, y su resolución implica el uso de las operaciones de unión (∪) e intersección (∩) para determinar el conjunto solución. Para representar gráficamente una inecuación en una recta numérica, es importante marcar correctamente los extremos y utilizar intervalos abiertos o cerrados según corresponda.
En el caso de las inecuaciones de segundo grado, se debe encontrar el discriminante para determinar la cantidad y naturaleza de las soluciones. Las soluciones se pueden expresar como intervalos de la forma (a, b), [a, b], o combinaciones de ambos, dependiendo del signo de la parábola.
Por último, al enfrentar problemas prácticos, es esencial plantear la inecuación correctamente y interpretarla para encontrar la solución deseada.
Si tienes dudas, no dudes en consultar el temario o preguntar a tu profesor. ¡Sigue practicando y mejorando tus habilidades en matemáticas!
