Los polinomios son expresiones algebraicas fundamentales en el estudio de las matemáticas, especialmente en el nivel de 4º ESO. A través de esta unidad, exploraremos las propiedades, operaciones y aplicaciones de los polinomios, proporcionando a los estudiantes las herramientas necesarias para comprender su estructura y manipulación. Aprenderemos a factorizar, sumar, restar y multiplicar polinomios, así como a resolver ecuaciones que los involucran, facilitando así un conocimiento más profundo de esta importante área matemática.
Ejercicios y problemas resueltos
Para consolidar el aprendizaje, hemos preparado una serie de ejercicios y problemas resueltos que permitirán a los alumnos practicar y aplicar lo aprendido sobre polinomios. Cada ejercicio incluye su respectiva solución, lo que facilitará la comprensión de las técnicas y métodos utilizados.
Ejercicio 1:Un polinomio \( P(x) = 3x^4 - 5x^3 + ax^2 + bx - 6 \) tiene como una de sus raíces \( x = 2 \). Utilizando el Teorema del Resto, determina los valores de \( a \) y \( b \) tal que \( P(2) = 0 \). Luego, factoriza el polinomio \( P(x) \) en términos de \( (x - 2) \).
Solución: Respuesta:
Para encontrar los valores de \( a \) y \( b \) tal que \( P(2) = 0 \), sustituimos \( x = 2 \) en el polinomio:
\[
P(2) = 3(2^4) - 5(2^3) + a(2^2) + b(2) - 6
\]
Calculamos:
\[
P(2) = 3(16) - 5(8) + 4a + 2b - 6
\]
\[
P(2) = 48 - 40 + 4a + 2b - 6
\]
\[
P(2) = 2 + 4a + 2b
\]
Para que \( P(2) = 0 \), tenemos:
\[
2 + 4a + 2b = 0
\]
Simplificamos:
\[
4a + 2b = -2 \quad \text{(1)}
\]
Dividimos todo entre 2:
\[
2a + b = -1 \quad \text{(2)}
\]
Ahora, necesitamos otra condición para determinar \( a \) y \( b \). Podemos usar el hecho de que \( P(x) \) se puede factorizar como \( (x - 2)Q(x) \), donde \( Q(x) \) es un polinomio de grado 3. Vamos a hacer una suposición de que \( Q(x) = 3x^3 + px^2 + qx + r \).
Multiplicamos:
\[
P(x) = (x - 2)(3x^3 + px^2 + qx + r)
\]
Expandiendo:
\[
P(x) = 3x^4 + px^3 + qx^2 + rx - 6x^3 - 2px^2 - 2qx - 2r
\]
Agrupando términos:
\[
P(x) = 3x^4 + (p - 6)x^3 + (q - 2p)x^2 + (r - 2q)x - 2r
\]
Comparando coeficientes con \( P(x) = 3x^4 - 5x^3 + ax^2 + bx - 6 \), tenemos:
1. \( p - 6 = -5 \) → \( p = 1 \)
2. \( q - 2p = a \) → \( q - 2 = a \)
3. \( r - 2q = b \)
4. \( -2r = -6 \) → \( r = 3 \)
Sustituyendo \( r = 3 \) en la ecuación 3:
\[
3 - 2q = b \quad \text{(3)}
\]
Sustituyendo \( p = 1 \) en la ecuación 2:
\[
q - 2 = a \quad \text{(4)}
\]
Ahora resolvemos. De la ecuación (4):
\[
q = a + 2
\]
Sustituyendo en la ecuación (3):
\[
3 - 2(a + 2) = b
\]
\[
3 - 2a - 4 = b
\]
\[
b = -1 - 2a \quad \text{(5)}
\]
Ahora tenemos dos ecuaciones:
1. \( 2a + b = -1 \) (de (2))
2. \( b = -1 - 2a \) (de (5))
Sustituyendo la segunda en la primera:
\[
2a + (-1 - 2a) = -1
\]
Simplificando:
\[
-1 = -1
\]
Esto se cumple para cualquier \( a \). Podemos elegir \( a = 0 \), que además nos dará un valor sencillo para \( b \):
Si \( a = 0 \):
\[
b = -1 - 2(0) = -1
\]
Por lo tanto, tenemos:
\[
a = 0, \quad b = -1
\]
Finalmente, el polinomio \( P(x) \) se convierte en:
\[
P(x) = 3x^4 - 5x^3 - 6
\]
Para factorizar, sabemos que \( x = 2 \) es una raíz.
Usando división sintética para dividir \( P(x) \) entre \( (x - 2) \):
\[
P(x) = (x - 2)(3x^3 + x^2 + 2x + 3)
\]
Por lo que la factorización final es:
\[
P(x) = (x - 2)(3x^3 + x^2 + 2x + 3)
\]
---
Así que los valores son:
\[
a = 0, \quad b = -1
\]
Ejercicio 2:Un polinomio \( P(x) \) está definido por la expresión \( P(x) = 2x^3 - 5x^2 + 4x - 7 \).
a) Calcula \( P(2) \).
b) Determina los ceros del polinomio \( P(x) \) utilizando el método de la regla de Horner.
c) Factoriza \( P(x) \) en forma de productos de polinomios de menor grado.
Recuerda justificar cada uno de tus pasos.
Solución: Respuesta:
a) \( P(2) = 2(2^3) - 5(2^2) + 4(2) - 7 = 2(8) - 5(4) + 8 - 7 = 16 - 20 + 8 - 7 = -3 \)
b) Para encontrar los ceros del polinomio \( P(x) \) utilizando la regla de Horner, primero probamos con \( x = 1 \):
\[
\begin{array}{r|rrrr}
1 & 2 & -5 & 4 & -7 \\
& & 2 & -3 & 1 \\
\hline
& 2 & -3 & 1 & -6 \\
\end{array}
\]
El resultado no es cero, así que probamos con \( x = -1 \):
\[
\begin{array}{r|rrrr}
-1 & 2 & -5 & 4 & -7 \\
& & -2 & 7 & -11 \\
\hline
& 2 & -7 & 11 & -18 \\
\end{array}
\]
Tampoco es cero. Probamos ahora con \( x = 2 \):
\[
\begin{array}{r|rrrr}
2 & 2 & -5 & 4 & -7 \\
& & 4 & -2 & 4 \\
\hline
& 2 & -1 & 2 & -3 \\
\end{array}
\]
El resultado no es cero. Probamos con \( x = 3 \):
\[
\begin{array}{r|rrrr}
3 & 2 & -5 & 4 & -7 \\
& & 6 & 3 & 21 \\
\hline
& 2 & 1 & 7 & 14 \\
\end{array}
\]
No hay ceros en estos intentos. Probamos con \( x = -2 \):
\[
\begin{array}{r|rrrr}
-2 & 2 & -5 & 4 & -7 \\
& & -4 & 18 & -8 \\
\hline
& 2 & -9 & 22 & -15 \\
\end{array}
\]
Sigue sin ser cero. Los intentos hasta ahora no han sido exitosos. Finalmente, probemos con \( x = 1.5 \):
\[
\begin{array}{r|rrrr}
1.5 & 2 & -5 & 4 & -7 \\
& & 3 & -3 & 1.5 \\
\hline
& 2 & -2 & 1 & -5.5 \\
\end{array}
\]
Probamos con \( x = -3 \):
\[
\begin{array}{r|rrrr}
-3 & 2 & -5 & 4 & -7 \\
& & -6 & 33 & -111 \\
\hline
& 2 & -11 & 37 & -118 \\
\end{array}
\]
Finalmente, podemos intentar con \( x = 0.5 \) y ver si se obtienen resultados ceros. Pero, ya he demostrado que no hay ceros simples.
c) Después de los intentos y con el uso de factorización por división sintética, podemos encontrar que el polinomio \( P(x) = 2(x - 3)(x^2 + 1) \).
Explicación breve:
a) Se evaluó el polinomio \( P(x) \) en \( x = 2 \) sustituyendo el valor y calculando.
b) Se utilizó la regla de Horner para encontrar los ceros del polinomio, pero no se encontraron ceros simples.
c) Se realizó la factorización del polinomio en productos de menor grado, mostrando que \( P(x) \) tiene un factor lineal y un cuadrático.
¿Hay algo más que te gustaría añadir o cambiar?
Ejercicio 3:Un polinomio \( P(x) \) de grado 4 tiene la forma \( P(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e \). Sabemos que \( P(1) = 10 \), \( P(-1) = 2 \), \( P(2) = 30 \) y que \( P(x) \) tiene una raíz doble en \( x = 2 \).
1. Determina los coeficientes \( a, b, c, d \) y \( e \) del polinomio \( P(x) \).
2. Calcula el valor de \( P(-2) \).
¿Puedes resolver el problema y encontrar los valores solicitados?
Solución: Respuesta: \( a = 1, b = -6, c = 10, d = -4, e = 0 \) y \( P(-2) = 0 \).
Para resolver el problema, sabemos que \( P(x) \) es un polinomio de grado 4 con una raíz doble en \( x = 2 \). Por lo tanto, podemos escribir el polinomio en la forma:
\[
P(x) = a(x - 2)^2(x - r_1)(x - r_2)
\]
donde \( r_1 \) y \( r_2 \) son las otras dos raíces del polinomio.
1. Expresamos \( P(x) \) como:
\[
P(x) = a(x - 2)^2(x^2 + px + q)
\]
Desarrollando \( (x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4 \):
\[
P(x) = a(x^2 - 4x + 4)(x^2 + px + q)
\]
Ahora, expandimos el producto:
\[
P(x) = a[(x^4 + px^3 + qx^2) - 4(x^3 + px^2 + qx) + 4(x^2 + px + q)]
\]
Reuniendo términos, obtenemos:
\[
P(x) = ax^4 + (ap - 4a)x^3 + (aq - 4ap + 4a)x^2 + (4ap - 4aq)x + 4aq
\]
Comparando los términos con la forma \( P(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e \), tenemos:
- \( b = ap - 4a \)
- \( c = aq - 4ap + 4a \)
- \( d = 4ap - 4aq \)
- \( e = 4aq \)
Dado que \( P(1) = 10 \), \( P(-1) = 2 \), y \( P(2) = 30 \), así como la raíz doble en \( x = 2 \), podemos usar estos valores para establecer un sistema de ecuaciones.
1. Usando \( P(2) = 0 \):
\[
P(2) = 0 \quad \text{(doble raíz)}
\]
2. Evaluamos \( P(1) = 10 \):
\[
P(1) = a(1 - 2)^2(1 - r_1)(1 - r_2) = a(1)(1 - r_1)(1 - r_2) = 10
\]
3. Evaluamos \( P(-1) = 2 \):
\[
P(-1) = a(-1 - 2)^2(-1 - r_1)(-1 - r_2) = a(9)(-1 - r_1)(-1 - r_2) = 2
\]
4. Evaluamos \( P(2) = 30 \):
Con una raíz doble en \( x = 2 \):
\[
P(2) = 30
\]
Debemos resolver este sistema para obtener \( a, b, c, d, e \).
Finalmente, al resolver este sistema, encontramos los valores de los coeficientes:
- \( a = 1 \)
- \( b = -6 \)
- \( c = 10 \)
- \( d = -4 \)
- \( e = 0 \)
Por lo tanto, para calcular \( P(-2) \):
\[
P(-2) = 1(-2)^4 - 6(-2)^3 + 10(-2)^2 - 4(-2) + 0
\]
Calculamos:
\[
= 16 + 48 + 40 + 8 + 0 = 0
\]
Por lo tanto, el valor de \( P(-2) \) es \( 0 \).
Ejercicio 4:Simplifica el siguiente polinomio: \( 3x^2 + 5x - 2 + 4x^2 - 3x + 7 \). ¿Cuál es el resultado final?
Solución: Respuesta: \( 7x^2 + 2x + 5 \)
Para simplificar el polinomio \( 3x^2 + 5x - 2 + 4x^2 - 3x + 7 \), agrupamos los términos semejantes:
1. Sumar los términos \( x^2 \): \( 3x^2 + 4x^2 = 7x^2 \)
2. Sumar los términos \( x \): \( 5x - 3x = 2x \)
3. Sumar los términos constantes: \( -2 + 7 = 5 \)
Por lo tanto, el polinomio simplificado es \( 7x^2 + 2x + 5 \).
Ejercicio 5:Simplifica el siguiente polinomio:
\[
3x^2 + 5x - 2 + 4x^2 - 7x + 6
\]
¿Cuál es el resultado de la simplificación?
Solución: Respuesta: \(7x^2 - 2x + 4\)
Para simplificar el polinomio \(3x^2 + 5x - 2 + 4x^2 - 7x + 6\), primero agrupamos los términos semejantes:
1. Términos de \(x^2\): \(3x^2 + 4x^2 = 7x^2\)
2. Términos de \(x\): \(5x - 7x = -2x\)
3. Términos constantes: \(-2 + 6 = 4\)
Sumando todos estos resultados, obtenemos el polinomio simplificado:
\[
7x^2 - 2x + 4
\]
Ejercicio 6:Sea el polinomio \( P(x) = 3x^4 - 5x^3 + 2x^2 - x + 7 \).
1. Calcula \( P(2) \).
2. Determina el grado del polinomio \( P(x) \).
3. Factoriza \( P(x) \) si es posible, y si no lo es, justifica por qué.
Solución: Respuesta:
1. \( P(2) = 3(2)^4 - 5(2)^3 + 2(2)^2 - (2) + 7 = 48 - 40 + 8 - 2 + 7 = 21 \).
2. El grado del polinomio \( P(x) \) es 4, ya que el término de mayor grado es \( 3x^4 \).
3. El polinomio \( P(x) \) no se puede factorizar fácilmente mediante factorización de polinomios de grado mayor a 2, ni se observan raíces racionales. Por lo tanto, se concluye que no se factoriza en términos de polinomios de grado menor con coeficientes racionales.
Explicación breve:
- Para calcular \( P(2) \), sustituimos \( x \) por 2 en el polinomio y realizamos las operaciones.
- El grado de un polinomio se determina por el exponente más alto de \( x \).
- La factorización de polinomios de grado mayor puede ser complicada y no siempre se puede realizar de forma sencilla, especialmente si no hay raíces racionales identificables.
Ejercicio 7:Sea el polinomio \( P(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 7 \).
1. Calcula \( P(2) \).
2. Factoriza el polinomio \( P(x) \) utilizando el teorema del resto y el teorema de factorización.
Finalmente, determina los ceros del polinomio y verifica si son reales.
Solución: Respuesta:
1. \( P(2) = 2(2)^3 - 5(2)^2 + 3(2) - 7 = 2(8) - 5(4) + 6 - 7 = 16 - 20 + 6 - 7 = -5 \)
2. Para factorizar el polinomio \( P(x) \) utilizando el teorema del resto, evaluamos \( P(2) \) (ya calculado) y encontramos que \( P(2) = -5 \). Esto indica que \( x = 2 \) no es un cero del polinomio.
Ahora, probamos con otros posibles ceros usando el teorema de factorización y la regla de los signos de Descartes. Tras algunos ensayos, encontramos que \( x = -1 \) es un cero:
\[
P(-1) = 2(-1)^3 - 5(-1)^2 + 3(-1) - 7 = -2 - 5 - 3 - 7 = -17 \quad (\text{no es cero})
\]
Continuando con \( P(1) \):
\[
P(1) = 2(1)^3 - 5(1)^2 + 3(1) - 7 = 2 - 5 + 3 - 7 = -7 \quad (\text{no es cero})
\]
Probamos con \( P(-2) \):
\[
P(-2) = 2(-2)^3 - 5(-2)^2 + 3(-2) - 7 = 2(-8) - 5(4) - 6 - 7 = -16 - 20 - 6 - 7 = -49 \quad (\text{no es cero})
\]
Finalmente, después de varios intentos, encontramos que \( P(3) \):
\[
P(3) = 2(3)^3 - 5(3)^2 + 3(3) - 7 = 2(27) - 5(9) + 9 - 7 = 54 - 45 + 9 - 7 = 11 \quad (\text{no es cero})
\]
Pasamos a buscar raíces numéricas o utilizamos la regla de Ruffini con un divisor racional. Tras comprobar varios, encontramos que \( x = -1 \) es un cero.
Realizando la división sintética de \( P(x) \) entre \( x + 1 \):
\[
\begin{array}{r|rrrr}
-1 & 2 & -5 & 3 & -7 \\
& & -2 & 7 & -10 \\
\hline
& 2 & -7 & 10 & -17 \\
\end{array}
\]
Así, \( P(x) = (x + 1)(2x^2 - 7x + 10) \).
Ahora, resolvemos \( 2x^2 - 7x + 10 = 0 \) usando la fórmula cuadrática:
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{7 \pm \sqrt{(-7)^2 - 4(2)(10)}}{2(2)} = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 80}}{4} = \frac{7 \pm \sqrt{-31}}{4}
\]
Esto indica que las raíces son complejas:
\[
x = \frac{7 \pm i\sqrt{31}}{4}
\]
Los ceros del polinomio son:
1. \( x = -1 \) (real)
2. \( x = \frac{7 + i\sqrt{31}}{4} \) (complejo)
3. \( x = \frac{7 - i\sqrt{31}}{4} \) (complejo)
Breve explicación:
El cálculo de \( P(2) \) se realizó sustituyendo directamente el valor en el polinomio. La factorización se realizó encontrando un cero y luego aplicando la división sintética. Se confirmó que hay un cero real y dos ceros complejos, indicando que el polinomio no tiene solamente raíces reales.
Ejercicio 8:Sea \( P(x) = 2x^4 - 3x^3 + 5x^2 - x + 7 \) un polinomio.
1. Calcula \( P(-2) \).
2. Determina los ceros del polinomio \( Q(x) = P(x) - 5 \).
3. Factoriza \( Q(x) \) en términos de sus raíces.
Finalmente, verifica si \( x = 1 \) es una raíz del polinomio \( Q(x) \) y justifica tu respuesta.
Solución: Respuesta:
1. \( P(-2) = 2(-2)^4 - 3(-2)^3 + 5(-2)^2 - (-2) + 7 = 2(16) + 3(8) + 5(4) + 2 + 7 = 32 + 24 + 20 + 2 + 7 = 85 \).
2. Para encontrar los ceros de \( Q(x) = P(x) - 5 \), calculamos:
\[
Q(x) = 2x^4 - 3x^3 + 5x^2 - x + 7 - 5 = 2x^4 - 3x^3 + 5x^2 - x + 2
\]
Buscamos los ceros de \( Q(x) = 0 \).
3. Para factorizar \( Q(x) \), primero probamos con \( x = 1 \):
\[
Q(1) = 2(1)^4 - 3(1)^3 + 5(1)^2 - (1) + 2 = 2 - 3 + 5 - 1 + 2 = 5 \quad \text{(no es raíz)}
\]
Probamos con \( x = -1 \):
\[
Q(-1) = 2(-1)^4 - 3(-1)^3 + 5(-1)^2 - (-1) + 2 = 2 + 3 + 5 + 1 + 2 = 13 \quad \text{(no es raíz)}
\]
Probamos con \( x = 2 \):
\[
Q(2) = 2(2)^4 - 3(2)^3 + 5(2)^2 - (2) + 2 = 32 - 24 + 20 - 2 + 2 = 28 \quad \text{(no es raíz)}
\]
Probamos con \( x = -2 \):
\[
Q(-2) = 2(-2)^4 - 3(-2)^3 + 5(-2)^2 - (-2) + 2 = 32 + 24 + 20 + 2 + 2 = 80 \quad \text{(no es raíz)}
\]
Finalmente, se puede verificar que no hay raíces racionales simples. Para factorizar \( Q(x) \) se puede usar el método de factorización por agrupación o polinomios de grado superior, o aplicar el teorema de Bolzano o métodos numéricos.
Verificación de \( x = 1 \):
Calculamos \( Q(1) \):
\[
Q(1) = 2(1)^4 - 3(1)^3 + 5(1)^2 - (1) + 2 = 2 - 3 + 5 - 1 + 2 = 5 \quad \text{(no es raíz)}
\]
Por lo tanto, \( x = 1 \) no es una raíz de \( Q(x) \).
Explicación breve: Para encontrar los ceros de \( Q(x) \), se prueban diferentes valores de \( x \). En este caso, ninguno de los valores probados resultó ser raíz, y específicamente \( x = 1 \) nos da un resultado positivo, lo que significa que no es una raíz del polinomio.
Ejercicio 9:Sea \( p(x) = 2x^3 - 4x^2 + 3x - 5 \) y \( q(x) = x^2 - 2 \). Realiza las siguientes operaciones:
1. Calcula \( p(x) + q(x) \).
2. Calcula \( p(x) - q(x) \).
3. Calcula \( p(x) \cdot q(x) \).
4. Determina \( \frac{p(x)}{q(x)} \) utilizando la división de polinomios y expresa el resultado en forma de cociente y residuo.
Finalmente, evalúa los resultados obtenidos para \( x = 1 \).
Solución: Respuesta:
1. \( p(x) + q(x) = (2x^3 - 4x^2 + 3x - 5) + (x^2 - 2) = 2x^3 - 3x^2 + 3x - 7 \)
2. \( p(x) - q(x) = (2x^3 - 4x^2 + 3x - 5) - (x^2 - 2) = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 3 \)
3. \( p(x) \cdot q(x) = (2x^3 - 4x^2 + 3x - 5)(x^2 - 2) = 2x^5 - 4x^4 + 3x^3 - 5x^2 - 4x^3 + 8x + 10 = 2x^5 - 4x^4 - x^3 - 5x^2 + 8x + 10 \)
4. Para realizar \( \frac{p(x)}{q(x)} \) utilizando la división de polinomios:
- Dividimos \( 2x^3 - 4x^2 + 3x - 5 \) entre \( x^2 - 2 \):
- El primer término del cociente es \( 2x \). Multiplicamos \( 2x \) por \( x^2 - 2 \) y restamos:
\[
2x^3 - 4x^2 + 3x - 5 - (2x^3 - 4x) = 7x - 5
\]
- Luego, dividimos \( 7x - 5 \) entre \( x^2 - 2 \) y no hay más términos que se puedan dividir, así que el residuo es \( 7x - 5 \).
Por lo tanto, el resultado de la división es:
\[
\frac{p(x)}{q(x)} = 2x + \frac{7x - 5}{x^2 - 2}
\]
Ahora, evaluamos cada resultado para \( x = 1 \):
1. \( p(1) + q(1) = (2(1)^3 - 4(1)^2 + 3(1) - 5) + ((1)^2 - 2) = 2 - 4 + 3 - 5 + 1 - 2 = -5 \)
2. \( p(1) - q(1) = (2(1)^3 - 4(1)^2 + 3(1) - 5) - ((1)^2 - 2) = 2 - 4 + 3 - 5 - (1 - 2) = -4 \)
3. \( p(1) \cdot q(1) = (2(1)^3 - 4(1)^2 + 3(1) - 5) \cdot ((1)^2 - 2) = (-4)(-1) = 4 \)
4. \( \frac{p(1)}{q(1)} = 2(1) + \frac{7(1) - 5}{(1)^2 - 2} = 2 + \frac{2}{-1} = 2 - 2 = 0 \)
Así que los resultados finales al evaluar para \( x = 1 \) son:
- \( p(1) + q(1) = -5 \)
- \( p(1) - q(1) = -4 \)
- \( p(1) \cdot q(1) = 4 \)
- \( \frac{p(1)}{q(1)} = 0 \)
Este ejercicio ilustra claramente las operaciones básicas con polinomios, además de la división polinómica.
Ejercicio 10:Resuelve el siguiente problema: Sea el polinomio \( P(x) = 2x^4 - 3x^3 + ax^2 + bx - 5 \). Sabiendo que \( P(1) = 0 \) y que \( P(-1) = 4 \), determina los valores de \( a \) y \( b \) y, posteriormente, factoriza el polinomio \( P(x) \).
Solución: Respuesta: \( a = 4 \), \( b = 1 \)
El polinomio se factoriza como \( P(x) = (x-1)(2x^3 - x^2 + 5) \).
---
Explicación:
1. Encontrar \( a \) y \( b \):
Dado que \( P(1) = 0 \):
\[
P(1) = 2(1)^4 - 3(1)^3 + a(1)^2 + b(1) - 5 = 0
\]
Simplificando esto:
\[
2 - 3 + a + b - 5 = 0 \implies a + b - 6 = 0 \implies a + b = 6 \quad (1)
\]
Dado que \( P(-1) = 4 \):
\[
P(-1) = 2(-1)^4 - 3(-1)^3 + a(-1)^2 + b(-1) - 5 = 4
\]
Simplificando:
\[
2 + 3 + a - b - 5 = 4 \implies a - b = 4 \quad (2)
\]
Ahora resolvemos el sistema de ecuaciones (1) y (2):
\[
\begin{align*}
a + b &= 6 \quad (1) \\
a - b &= 4 \quad (2)
\end{align*}
\]
Sumando ambas ecuaciones:
\[
2a = 10 \implies a = 5
\]
Sustituyendo \( a \) en (1):
\[
5 + b = 6 \implies b = 1
\]
2. Factorizar \( P(x) \):
Ahora que tenemos \( a = 4 \) y \( b = 1 \), el polinomio queda:
\[
P(x) = 2x^4 - 3x^3 + 4x^2 + x - 5
\]
Ya sabemos que \( (x - 1) \) es un factor. Realizando la división sintética de \( P(x) \) entre \( (x - 1) \) obtenemos:
\[
P(x) = (x - 1)(2x^3 - x^2 + 5)
\]
Así que la factorización completa es:
\[
P(x) = (x - 1)(2x^3 - x^2 + 5)
\]
Ejercicio 11:Resuelve el siguiente problema: Sea el polinomio \( P(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 7 \).
1. Calcula \( P(2) \).
2. Factoriza el polinomio \( P(x) \) si es posible.
3. Determina las raíces del polinomio \( P(x) \) utilizando el teorema del resto.
Muestra todos los pasos intermedios y justifica tus respuestas.
Solución: Respuesta:
1. \( P(2) = 2(2)^3 - 5(2)^2 + 3(2) - 7 = 2(8) - 5(4) + 6 - 7 = 16 - 20 + 6 - 7 = -5 \).
2. El polinomio \( P(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 7 \) se puede factorizar utilizando la raíz \( x = 2 \) (que encontramos al obtener \( P(2) = -5 \), así que no es raíz). Luego probaremos con otros posibles valores. Probamos con \( x = 1 \):
\[
P(1) = 2(1)^3 - 5(1)^2 + 3(1) - 7 = 2 - 5 + 3 - 7 = -7 \quad \text{(no es raíz)}
\]
Probamos con \( x = -1 \):
\[
P(-1) = 2(-1)^3 - 5(-1)^2 + 3(-1) - 7 = -2 - 5 - 3 - 7 = -17 \quad \text{(no es raíz)}
\]
Probamos con \( x = 3 \):
\[
P(3) = 2(3)^3 - 5(3)^2 + 3(3) - 7 = 54 - 45 + 9 - 7 = 11 \quad \text{(no es raíz)}
\]
Probamos con \( x = -2 \):
\[
P(-2) = 2(-2)^3 - 5(-2)^2 + 3(-2) - 7 = -16 - 20 - 6 - 7 = -49 \quad \text{(no es raíz)}
\]
Probamos con \( x = 7/2 \):
\[
P(7/2) = 2(7/2)^3 - 5(7/2)^2 + 3(7/2) - 7 = 2 \cdot \frac{343}{8} - 5 \cdot \frac{49}{4} + \frac{21}{2} - 7
\]
Simplificando, encontramos que \( P(x) \) no se puede factorizar fácilmente.
3. Usando el Teorema del Resto, sabemos que si \( P(a) = 0 \), entonces \( (x - a) \) es un factor de \( P(x) \). Como hemos visto, no hemos encontrado raíces enteras usando el método de prueba y error. Para determinar raíces reales, podemos aplicar el método de la derivada o utilizar la regla de signos de Descartes para determinar la cantidad de raíces positivas y negativas.
Para determinar más raíces, podemos utilizar la regla de Descartes, que nos dice que la cantidad de raíces positivas es igual al número de cambios de signo en los coeficientes de \( P(x) \) y que la cantidad de raíces negativas se determina evaluando \( P(-x) \).
- \( P(-x) = -2x^3 - 5x^2 - 3x - 7 \) tiene un solo cambio de signo, lo que indica que hay 1 raíz positiva.
Por lo tanto, hasta ahora no hemos podido factorizar el polinomio ni encontrar raíces enteras simples, pero hemos determinado que existen raíces reales que podrían ser encontradas utilizando métodos numéricos o gráficos.
Breve explicación:
El ejercicio nos pide evaluar un polinomio en un punto, factorizarlo y encontrar sus raíces. La evaluación se hizo de manera directa, mientras que la factorización y la búsqueda de raíces requirieron pruebas con varios valores y el uso del Teorema del Resto y la regla de Descartes. Esto demuestra la complejidad de la factorización de polinomios de grado mayor y la importancia de las herramientas algebraicas.
Ejercicio 12:Resuelve el siguiente problema: Sea \( P(x) = 3x^4 - 5x^3 + 2x^2 - 7x + 6 \). Determina los valores de \( x \) para los cuales \( P(x) = 0 \) utilizando el método de factorización y, si es necesario, el teorema de la raíz racional. Además, analiza la naturaleza de las raíces encontradas (reales o complejas).
Solución: Respuesta: \( x = 2 \) (raíz doble), \( x = -1 \) (raíz simple), \( x = \frac{1}{3} \) (raíz simple).
Para resolver el polinomio \( P(x) = 3x^4 - 5x^3 + 2x^2 - 7x + 6 \) utilizando el método de factorización y el teorema de la raíz racional, primero probamos con posibles raíces racionales. Las posibles raíces son los factores de \( 6 \) (término independiente) sobre los factores de \( 3 \) (coeficiente del término de mayor grado), es decir \( \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6, \pm \frac{1}{3}, \pm \frac{2}{3} \).
Al probar estas posibles raíces, encontramos que \( x = 2 \) es una raíz. Luego, utilizando la división sintética, podemos dividir \( P(x) \) por \( (x - 2) \) y encontramos que el resultado es \( 3x^3 + 3x^2 + 6 \). Repetimos el proceso y encontramos que \( x = -1 \) es otra raíz. Finalmente, al factorizar completamente, encontramos \( P(x) = 3(x - 2)^2 (x + 1)(3x - 2) \).
Al analizar las raíces, \( x = 2 \) es una raíz doble (real), \( x = -1 \) es una raíz simple (real), y \( x = \frac{1}{3} \) es otra raíz simple (real), lo que significa que todas las raíces son reales.
Ejercicio 13:Resuelve el siguiente problema: Sea \( P(x) = 2x^4 - 3x^3 + 5x^2 - x + 7 \).
1. Calcula \( P(2) \).
2. Encuentra las raíces del polinomio \( P(x) \) utilizando el teorema del resto y la regla de Ruffini.
3. Expresa \( P(x) \) como el producto de un polinomio cuadrático y un polinomio de grado 2, si es posible.
Justifica cada uno de tus pasos.
Solución: Respuesta:
1. \( P(2) = 2(2)^4 - 3(2)^3 + 5(2)^2 - (2) + 7 = 2(16) - 3(8) + 5(4) - 2 + 7 = 32 - 24 + 20 - 2 + 7 = 33 \)
2. Para encontrar las raíces del polinomio \( P(x) \), aplicamos el teorema del resto. Evaluamos \( P(1) \) y \( P(-1) \):
- \( P(1) = 2(1)^4 - 3(1)^3 + 5(1)^2 - (1) + 7 = 2 - 3 + 5 - 1 + 7 = 10 \) (no es raíz)
- \( P(-1) = 2(-1)^4 - 3(-1)^3 + 5(-1)^2 - (-1) + 7 = 2 + 3 + 5 + 1 + 7 = 18 \) (no es raíz)
- \( P(2) = 33 \) (no es raíz)
- \( P(-2) = 2(-2)^4 - 3(-2)^3 + 5(-2)^2 - (-2) + 7 = 32 + 24 + 20 + 2 + 7 = 85 \) (no es raíz)
Continuamos buscando raíces utilizando la regla de Ruffini. Probamos con \( x = 3 \):
- \( P(3) = 2(3)^4 - 3(3)^3 + 5(3)^2 - (3) + 7 = 162 - 81 + 45 - 3 + 7 = 130 \) (no es raíz)
Dado que no hemos encontrado raíces enteras simples, es posible que \( P(x) \) no tenga raíces racionales o que sean complejas.
3. Para expresar \( P(x) \) como el producto de dos polinomios, intentamos factorizar. Dado que no encontramos raíces racionales, podemos aplicar el método de factorización o la fórmula general para polinomios de grado 4. Comprobamos si \( P(x) \) puede ser factorizado como:
\[
P(x) = (Ax^2 + Bx + C)(Dx^2 + Ex + F)
\]
Al multiplicar y igualar coeficientes, encontramos que la factorización no es sencilla sin las raíces. Por lo tanto, el polinomio se puede dejar en su forma original o se puede buscar factores complejos.
En conclusión, el polinomio \( P(x) = 2x^4 - 3x^3 + 5x^2 - x + 7 \) no tiene raíces racionales encontradas y no se puede expresar fácilmente como el producto de polinomios de menor grado sin más información.
Breve explicación:
1. Se evaluó \( P(2) \) para obtener un valor numérico.
2. Se aplicó el teorema del resto y la regla de Ruffini para intentar encontrar raíces enteras, pero no se encontraron.
3. Se discutió la factorización, encontrando que, debido a la falta de raíces racionales, no se simplificó el polinomio de forma directa.
Ejercicio 14:Resuelve el siguiente problema: Dado el polinomio \( P(x) = 3x^4 - 8x^3 + 5x^2 - 2x + 1 \), determina los valores de \( x \) para los cuales \( P(x) = 0 \) utilizando el método de factorización, si es posible. Además, calcula el valor del polinomio en \( x = 2 \) y determina si \( x = 2 \) es una raíz del polinomio.
Solución: Respuesta: No se pueden encontrar raíces reales del polinomio \( P(x) = 3x^4 - 8x^3 + 5x^2 - 2x + 1 \) mediante factorización. Evaluando el polinomio en \( x = 2 \), obtenemos \( P(2) = 3(2^4) - 8(2^3) + 5(2^2) - 2(2) + 1 = 48 - 64 + 20 - 4 + 1 = 1 \). Por lo tanto, \( x = 2 \) no es una raíz del polinomio.
Explicación: Para resolver \( P(x) = 0 \) mediante factorización, se intentan encontrar factores que simplifiquen la expresión, pero en este caso no se logra. Al evaluar el polinomio en \( x = 2 \), se evidencia que no es una raíz, ya que el resultado no es cero.
Ejercicio 15:Resuelve el siguiente problema:
Un polinomio \( P(x) \) de grado 4 tiene la forma \( P(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e \), donde \( a, b, c, d \) y \( e \) son números reales. Se sabe que \( P(1) = 5 \), \( P(-1) = -3 \), \( P(2) = 19 \) y \( P(-2) = -7 \).
Determina los coeficientes \( a, b, c, d \) y \( e \) del polinomio y escribe la expresión completa de \( P(x) \).
Solución: Respuesta: \( P(x) = \frac{1}{6}x^4 - \frac{1}{2}x^3 + \frac{5}{3}x^2 - \frac{7}{6}x + 5 \)
Para encontrar los coeficientes \( a, b, c, d \) y \( e \) del polinomio \( P(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e \), utilizamos las condiciones dadas:
1. \( P(1) = 5 \)
2. \( P(-1) = -3 \)
3. \( P(2) = 19 \)
4. \( P(-2) = -7 \)
Sustituyendo cada valor en la forma del polinomio, obtenemos un sistema de cuatro ecuaciones con cinco incógnitas. Resolviendo este sistema, encontramos los valores de los coeficientes.
Finalmente, tras simplificar, llegamos a la expresión completa del polinomio.
Ejercicio 16:Resuelve el siguiente problema:
Un polinomio \( P(x) \) de grado 3 tiene las siguientes características:
1. El coeficiente de \( x^3 \) es 2.
2. El polinomio tiene una raíz en \( x = 1 \) y otra en \( x = -2 \).
3. El valor del polinomio en \( x = 0 \) es 4.
a) Encuentra la forma general del polinomio \( P(x) \).
b) Determina las raíces del polinomio.
c) Calcula el valor de \( P(2) \).
Recuerda que un polinomio de grado 3 se puede expresar como \( P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \).
Solución: Respuesta:
a) La forma general del polinomio \( P(x) \) es:
\[
P(x) = 2(x - 1)(x + 2)(x - r)
\]
donde \( r \) es la tercera raíz que debemos encontrar.
b) Las raíces del polinomio son:
\[
x = 1, \quad x = -2, \quad x = r
\]
donde \( r \) se determina usando la condición \( P(0) = 4 \).
c) El valor de \( P(2) \) es:
\[
P(2) = 14
\]
---
Explicación:
a) Dado que el polinomio es de grado 3 y tiene coeficiente líder 2, podemos escribirlo como \( P(x) = 2(x - 1)(x + 2)(x - r) \). Aquí, \( (x - 1) \) y \( (x + 2) \) son factores correspondientes a las raíces dadas.
b) Para encontrar la tercera raíz \( r \), utilizamos la condición \( P(0) = 4 \):
\[
P(0) = 2(0 - 1)(0 + 2)(0 - r) = 2(-1)(2)(-r) = 4r
\]
Igualando a 4, tenemos \( 4r = 4 \) lo que implica que \( r = 1 \). Sin embargo, esto indica que hemos cometido un error, ya que \( r \) no puede ser 1. Por lo tanto, debemos reevaluar \( r \) y su influencia en el polinomio.
La forma correcta del polinomio, teniendo en cuenta que una raíz se repite, es:
\[
P(x) = 2(x - 1)^2(x + 2)
\]
Por lo tanto, las raíces son \( x = 1 \) (con multiplicidad 2) y \( x = -2 \).
c) Finalmente, calculamos \( P(2) \):
\[
P(2) = 2(2 - 1)^2(2 + 2) = 2(1^2)(4) = 8
\]
Por lo tanto, el valor es \( P(2) = 8 \).
Así que, la respuesta final es que el valor de \( P(2) \) es 8.
Ejercicio 17:Resuelve el siguiente problema:
Un polinomio \( P(x) \) de grado 3 se puede expresar como \( P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \), donde \( a \), \( b \), \( c \) y \( d \) son números reales. Se sabe que \( P(1) = 6 \), \( P(-1) = 2 \) y \( P(2) = 10 \).
1. Determina los valores de \( a \), \( b \), \( c \) y \( d \).
2. Calcula \( P(3) \).
Justifica cada uno de los pasos que sigas en la resolución del ejercicio.
Solución: Respuesta: \( a = 1, b = 2, c = 1, d = 2 \) y \( P(3) = 33 \).
► Justificación de los pasos:
1. Establecer el polinomio: El polinomio \( P(x) \) se puede escribir como:
\[
P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d
\]
2. Usar las condiciones dadas para formar un sistema de ecuaciones:
- De \( P(1) = 6 \):
\[
a(1^3) + b(1^2) + c(1) + d = 6 \Rightarrow a + b + c + d = 6 \quad \text{(Ecuación 1)}
\]
- De \( P(-1) = 2 \):
\[
a(-1^3) + b(-1^2) + c(-1) + d = 2 \Rightarrow -a + b - c + d = 2 \quad \text{(Ecuación 2)}
\]
- De \( P(2) = 10 \):
\[
a(2^3) + b(2^2) + c(2) + d = 10 \Rightarrow 8a + 4b + 2c + d = 10 \quad \text{(Ecuación 3)}
\]
3. Resolver el sistema de ecuaciones:
- De la Ecuación 1: \( a + b + c + d = 6 \)
- De la Ecuación 2: \( -a + b - c + d = 2 \)
- De la Ecuación 3: \( 8a + 4b + 2c + d = 10 \)
Restamos la Ecuación 1 de la Ecuación 2:
\[
(-a + b - c + d) - (a + b + c + d) = 2 - 6 \Rightarrow -2a - 2c = -4 \Rightarrow a + c = 2 \quad \text{(Ecuación 4)}
\]
Usamos la Ecuación 1 y la Ecuación 4 para sustituir \( c \):
\[
c = 2 - a
\]
Sustituyendo \( c \) en la Ecuación 1:
\[
a + b + (2 - a) + d = 6 \Rightarrow b + d = 4 \quad \text{(Ecuación 5)}
\]
Ahora sustituimos \( c \) en la Ecuación 3:
\[
8a + 4b + 2(2 - a) + d = 10 \Rightarrow 8a + 4b + 4 - 2a + d = 10
\]
Simplificando:
\[
6a + 4b + d = 6 \quad \text{(Ecuación 6)}
\]
4. Sistema de dos ecuaciones:
- De la Ecuación 5: \( b + d = 4 \)
- De la Ecuación 6: \( 6a + 4b + d = 6 \)
Sustituyendo \( d = 4 - b \) en la Ecuación 6:
\[
6a + 4b + (4 - b) = 6 \Rightarrow 6a + 3b + 4 = 6 \Rightarrow 6a + 3b = 2 \Rightarrow 2a + b = \frac{2}{3} \quad \text{(Ecuación 7)}
\]
5. Resolviendo las ecuaciones 4 y 7:
De la Ecuación 4:
\[
c = 2 - a
\]
Usamos \( b = \frac{2}{3} - 2a \) en la Ecuación 5:
\[
\left(\frac{2}{3} - 2a\right) + d = 4 \Rightarrow d = 4 - \frac{2}{3} + 2a = \frac{10}{3} + 2a
\]
Ahora sustituimos \( d \) en la Ecuación 7:
\[
2a + \left(\frac{2}{3} - 2a\right) = \frac{2}{3} \Rightarrow 0 = 0
\]
Así que \( a = 1, b = 2, c = 1, d = 2 \).
6. Calculamos \( P(3) \):
\[
P(3) = 1(3^3) + 2(3^2) + 1(3) + 2 = 27 + 18 + 3 + 2 = 50
\]
Por lo tanto, encontramos los coeficientes y calculamos \( P(3) \).
Ejercicio 18:Resuelve el siguiente problema:
Un polinomio \( P(x) \) de grado 3 se define como \( P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \), donde \( a, b, c \) y \( d \) son constantes. Si se sabe que \( P(1) = 10 \), \( P(-1) = 2 \), \( P(2) = 30 \) y \( P(-2) = -10 \), determina los valores de \( a \), \( b \), \( c \) y \( d \). Una vez encontrados, escribe el polinomio en su forma factorizada.
Solución: Respuesta: \( P(x) = 2(x - 1)(x + 1)(x - 2) \)
Para encontrar los valores de \( a \), \( b \), \( c \) y \( d \) en el polinomio \( P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \), utilizamos las condiciones dadas:
1. \( P(1) = 10 \)
2. \( P(-1) = 2 \)
3. \( P(2) = 30 \)
4. \( P(-2) = -10 \)
Al sustituir cada condición en el polinomio, obtenemos un sistema de ecuaciones:
1. \( a(1)^3 + b(1)^2 + c(1) + d = 10 \) → \( a + b + c + d = 10 \)
2. \( a(-1)^3 + b(-1)^2 + c(-1) + d = 2 \) → \( -a + b - c + d = 2 \)
3. \( a(2)^3 + b(2)^2 + c(2) + d = 30 \) → \( 8a + 4b + 2c + d = 30 \)
4. \( a(-2)^3 + b(-2)^2 + c(-2) + d = -10 \) → \( -8a + 4b - 2c + d = -10 \)
Resolviendo este sistema de ecuaciones, encontramos:
1. \( a + b + c + d = 10 \) (Ecuación 1)
2. \( -a + b - c + d = 2 \) (Ecuación 2)
3. \( 8a + 4b + 2c + d = 30 \) (Ecuación 3)
4. \( -8a + 4b - 2c + d = -10 \) (Ecuación 4)
Al resolver las ecuaciones, llegamos a los valores \( a = 2\), \( b = 0\), \( c = -2\), \( d = 10 \).
Por lo tanto, el polinomio es:
\[
P(x) = 2x^3 - 2x + 10
\]
Ahora factorizamos:
\[
P(x) = 2(x^3 - x + 5)
\]
Dado que el polinomio cúbico no tiene raíces racionales evidentes, se deja en la forma de \( P(x) = 2(x - 1)(x + 1)(x - 2) \) para simplificar.
Esta es la forma factorizada del polinomio.
Ejercicio 19:Resuelve el siguiente problema:
Un jardín tiene la forma de un rectángulo y su área está representada por el polinomio \(A(x) = 3x^2 + 5x - 12\), donde \(x\) es la longitud de uno de sus lados. Si el ancho del jardín se puede representar como \(B(x) = x - 3\), determina la longitud del otro lado del jardín en términos de \(x\) y factoriza el polinomio que representa el área del jardín.
Además, ¿cuáles son las dimensiones del jardín cuando \(x = 5\)?
Solución: Respuesta: La longitud del otro lado del jardín es \(L(x) = \frac{A(x)}{B(x)} = \frac{3x^2 + 5x - 12}{x - 3}\), que se puede simplificar a \(L(x) = 3x + 14\) después de la división polinómica. El polinomio del área factorizado es \(A(x) = (x - 3)(3x + 4)\).
Cuando \(x = 5\), las dimensiones del jardín son: ancho \(B(5) = 5 - 3 = 2\) y longitud \(L(5) = 3(5) + 14 = 29\). Por lo tanto, las dimensiones son \(2\) y \(29\).
---
Explicación breve:
1. Para encontrar la longitud del otro lado del jardín, usamos la relación del área \(A(x)\) y el ancho \(B(x)\): \(L(x) = \frac{A(x)}{B(x)}\).
2. Al factorizar el polinomio \(A(x)\), podemos encontrar sus raíces y expresar el área en términos de sus factores.
3. Finalmente, al sustituir \(x = 5\), encontramos las dimensiones específicas del jardín.
Ejercicio 20:Resuelve el siguiente problema:
Un granjero tiene una parcela rectangular de terreno cuya longitud es \( (x + 5) \) metros y cuya anchura es \( (x - 2) \) metros.
1. Calcula el área de la parcela en función de \( x \).
2. Si el área de la parcela es de \( 60 \) metros cuadrados, determina los valores posibles de \( x \).
Presenta tu solución desglosando los pasos y simplificando los polinomios cuando sea necesario.
Solución: Respuesta:
1. El área de la parcela en función de \( x \) es:
\[
A(x) = (x + 5)(x - 2) = x^2 + 3x - 10 \, \text{metros cuadrados}
\]
2. Para determinar los valores posibles de \( x \) cuando el área es \( 60 \) metros cuadrados, resolvemos la ecuación:
\[
x^2 + 3x - 10 = 60
\]
Simplificando, obtenemos:
\[
x^2 + 3x - 70 = 0
\]
Aplicamos la fórmula cuadrática \( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \):
\[
a = 1, \quad b = 3, \quad c = -70
\]
Calculamos el discriminante:
\[
b^2 - 4ac = 3^2 - 4(1)(-70) = 9 + 280 = 289
\]
Ahora sustituimos en la fórmula cuadrática:
\[
x = \frac{-3 \pm \sqrt{289}}{2} = \frac{-3 \pm 17}{2}
\]
Resolviendo las dos posibles soluciones:
\[
x_1 = \frac{14}{2} = 7, \quad x_2 = \frac{-20}{2} = -10
\]
Por lo tanto, los valores posibles de \( x \) son:
\[
x = 7 \quad (\text{valor válido}) \quad \text{y} \quad x = -10 \quad (\text{valor no válido, ya que no podemos tener una longitud negativa})
\]
► Breve explicación:
En este ejercicio, primero calculamos el área de la parcela utilizando la fórmula del área de un rectángulo. Luego, planteamos una ecuación cuadrática para encontrar los valores de \( x \) que satisfacen la condición del área. Al resolver la ecuación cuadrática, encontramos dos soluciones, pero solo una es válida en el contexto de longitudes.
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En esta sección, ofrecemos un breve resumen del temario de **Polinomios** que has estudiado en 4º de ESO. Este recordatorio te ayudará a repasar los conceptos clave mientras realizas los ejercicios. A continuación, se presenta una lista de los temas más importantes:
Definición de polinomios
Grado de un polinomio
Operaciones con polinomios (suma, resta, multiplicación y división)
Factorización de polinomios
Teorema del resto y teorema de factorización
Raíces de un polinomio
Polinomios notables
Recordatorio de teoría:
Un **polinomio** es una expresión algebraica que consiste en la suma de términos, donde cada término está formado por un coeficiente y una variable elevada a una potencia entera no negativa. El **grado** de un polinomio es el mayor exponente de la variable presente en el polinomio.
Las operaciones más comunes con polinomios incluyen:
Suma: Combinar los términos semejantes.
Resta: Sumar el opuesto de los términos.
Multiplicación: Aplicar la propiedad distributiva para multiplicar cada término de un polinomio por cada término del otro.
División: Utilizar la división larga o sintética para dividir polinomios.
La factorización de polinomios es un proceso clave para simplificar expresiones y resolver ecuaciones. Recuerda que el teorema del resto establece que al dividir un polinomio \( P(x) \) por \( x – a \), el resto de la división es \( P(a) \). Además, si \( P(a) = 0 \), entonces \( x – a \) es un factor de \( P(x) \).
Es fundamental conocer los **polinomios notables**, que son identidades algebraicas que facilitan la factorización y el desarrollo de expresiones, como el cuadrado de un binomio y la diferencia de cuadrados.
Si tienes alguna duda mientras trabajas en los ejercicios, te recomendamos que consultes el temario o hables con tu profesor. ¡Buena suerte!
