La trigonometría es una rama fundamental de las matemáticas que estudia las relaciones entre los ángulos y los lados de los triángulos, especialmente los triángulos rectángulos. En esta sección, exploraremos los conceptos clave que permiten entender la aplicación de las funciones trigonométricas, así como su importancia en la resolución de problemas prácticos. A través de ejemplos y ejercicios, los estudiantes podrán fortalecer su comprensión de esta materia esencial.
Ejercicios y problemas resueltos
Para facilitar el aprendizaje y la práctica de la trigonometría, hemos preparado una serie de ejercicios y problemas resueltos. Estos ejemplos permitirán a los alumnos aplicar los conceptos aprendidos y verificar sus respuestas, promoviendo así un aprendizaje más efectivo y sólido.
Ejercicio 1:Un triángulo tiene un ángulo de \(30^\circ\) y un lado opuesto a este ángulo que mide \(10\) cm. Calcula la longitud del lado adyacente al ángulo de \(30^\circ\) utilizando las razones trigonométricas. Además, determina el área del triángulo.
Solución: Respuesta: El lado adyacente mide \( \sqrt{3} \cdot 10 \, \text{cm} \approx 17.32 \, \text{cm} \) y el área del triángulo es \( 50 \, \text{cm}^2 \).
Explicación:
1. Cálculo del lado adyacente:
Utilizamos la razón trigonométrica del coseno:
\[
\cos(30^\circ) = \frac{\text{lado adyacente}}{\text{hipotenusa}}
\]
Dado que el lado opuesto mide \(10 \, \text{cm}\) y sabemos que:
\[
\sin(30^\circ) = \frac{\text{lado opuesto}}{\text{hipotenusa}} \implies \text{hipotenusa} = \frac{10}{\sin(30^\circ)} = \frac{10}{0.5} = 20 \, \text{cm}
\]
Entonces, usando el coseno para encontrar el lado adyacente:
\[
\cos(30^\circ) = \frac{\text{lado adyacente}}{20} \implies \text{lado adyacente} = 20 \cdot \cos(30^\circ) = 20 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3} \, \text{cm} \approx 17.32 \, \text{cm}
\]
2. Cálculo del área del triángulo:
El área \(A\) de un triángulo se puede calcular con la fórmula:
\[
A = \frac{1}{2} \cdot \text{base} \cdot \text{altura}
\]
En este caso, tomamos como base el lado opuesto a \(30^\circ\) (10 cm) y como altura el lado adyacente que acabamos de calcular:
\[
A = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot (10\sqrt{3}) = 50 \, \text{cm}^2
\]
Ejercicio 2:Un triángulo tiene un ángulo de \(30^\circ\) y su lado opuesto mide \(8\) cm. Calcula la longitud del lado adyacente y el área del triángulo. Además, determina el valor del ángulo restante del triángulo utilizando la ley de senos. Justifica cada uno de los pasos realizados en tu solución.
Solución: Respuesta:
1. Longitud del lado adyacente: \( 8\sqrt{3} \, \text{cm} \) (aproximadamente \( 13.86 \, \text{cm} \)).
2. Área del triángulo: \( 32 \, \text{cm}^2 \).
3. Ángulo restante: \( 60^\circ \).
---
Explicación:
1. Cálculo del lado adyacente:
Usamos la relación trigonométrica del seno en el triángulo. Sabemos que:
\[
\sin(30^\circ) = \frac{\text{opuesto}}{\text{hipotenusa}} \quad \Rightarrow \quad \sin(30^\circ) = \frac{8}{h} \quad \Rightarrow \quad h = \frac{8}{\sin(30^\circ)} = \frac{8}{0.5} = 16 \, \text{cm}
\]
Ahora, aplicamos el coseno para encontrar el lado adyacente \( a \):
\[
\cos(30^\circ) = \frac{\text{adyacente}}{h} \quad \Rightarrow \quad \text{adyacente} = h \cdot \cos(30^\circ) = 16 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 8\sqrt{3} \, \text{cm}
\]
2. Cálculo del área del triángulo:
El área \( A \) de un triángulo se puede calcular usando la fórmula:
\[
A = \frac{1}{2} \cdot \text{base} \cdot \text{altura}
\]
En este caso, podemos usar el lado opuesto como base y la altura se puede obtener usando el seno:
\[
A = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 16 \cdot \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 16 \cdot 0.5 = 32 \, \text{cm}^2
\]
3. Cálculo del ángulo restante utilizando la ley de senos:
Sabemos que la suma de los ángulos en un triángulo es \( 180^\circ \). Llamemos al ángulo restante \( B \). Entonces:
\[
A + B + C = 180^\circ \quad \Rightarrow \quad 30^\circ + B + 90^\circ = 180^\circ \quad \Rightarrow \quad B = 60^\circ
\]
Por lo tanto, los resultados son: el lado adyacente mide \( 8\sqrt{3} \, \text{cm} \), el área del triángulo es \( 32 \, \text{cm}^2 \), y el ángulo restante es \( 60^\circ \).
Ejercicio 3:Un triángulo tiene un ángulo de \(30^\circ\) y su lado opuesto mide \(5\) cm. Calcula:
1. La longitud del lado adyacente al ángulo de \(30^\circ\).
2. La longitud de la hipotenusa.
Utiliza las razones trigonométricas seno y coseno para resolver el problema.
Solución: Respuesta:
1. La longitud del lado adyacente al ángulo de \(30^\circ\) es \(5\sqrt{3}\) cm.
2. La longitud de la hipotenusa es \(10\) cm.
Explicación:
Para resolver el problema, utilizamos las razones trigonométricas seno y coseno.
- Para encontrar la hipotenusa (\(h\)), usamos la función seno:
\[
\sin(30^\circ) = \frac{\text{lado opuesto}}{\text{hipotenusa}} \implies \sin(30^\circ) = \frac{5}{h}
\]
Dado que \(\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}\), tenemos:
\[
\frac{1}{2} = \frac{5}{h} \implies h = 10 \text{ cm}
\]
- Para encontrar el lado adyacente (\(a\)), usamos la función coseno:
\[
\cos(30^\circ) = \frac{\text{lado adyacente}}{\text{hipotenusa}} \implies \cos(30^\circ) = \frac{a}{10}
\]
Dado que \(\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\), tenemos:
\[
\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{a}{10} \implies a = 5\sqrt{3} \text{ cm}
\]
Ejercicio 4:Un triángulo tiene un ángulo de \(30^\circ\) y el lado opuesto a este ángulo mide \(8\) cm. Calcula la longitud del lado adyacente al ángulo de \(30^\circ\) utilizando las funciones trigonométricas. Luego, determina el área del triángulo. Presenta tus respuestas con un nivel de precisión de dos decimales.
Solución: Respuesta:
Lado adyacente: \( 13.86 \) cm
Área del triángulo: \( 32 \) cm²
---
Explicación:
Para calcular la longitud del lado adyacente al ángulo de \(30^\circ\), utilizamos la función trigonométrica coseno:
\[
\cos(30^\circ) = \frac{\text{lado adyacente}}{\text{hipotenusa}}
\]
Donde la hipotenusa es el lado opuesto a \(30^\circ\), que mide \(8\) cm. Entonces, usando la relación:
\[
\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866
\]
Podemos relacionar el lado adyacente (\(b\)) con la hipotenusa (\(8\) cm):
\[
b = 8 \cdot \cos(30^\circ) = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 8 \cdot 0.866 \approx 6.93 \text{ cm}
\]
Ahora, para encontrar el área del triángulo, utilizamos la fórmula:
\[
\text{Área} = \frac{1}{2} \cdot \text{base} \cdot \text{altura}
\]
En este caso, podemos usar el lado opuesto como la altura y el lado adyacente como la base:
\[
\text{Área} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 8 \cdot \sin(30^\circ)
\]
Dado que \(\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}\):
\[
\text{Área} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 4 = 16 \text{ cm}^2
\]
Por lo tanto, el área es \(16\) cm² y el resultado del lado adyacente se corrige a \(6.93\) cm.
Ejercicio 5:Un triángulo tiene un ángulo de \( 30^\circ \) y un lado adyacente a este ángulo que mide \( 10 \, \text{cm} \). Calcula la longitud del lado opuesto al ángulo de \( 30^\circ \) y determina el área del triángulo. Además, si el triángulo se inscribe en un círculo, ¿cuál sería el radio del círculo circunscrito al triángulo?
Solución: Respuesta:
1. Longitud del lado opuesto al ángulo de \( 30^\circ \): \( 5 \, \text{cm} \).
2. Área del triángulo: \( 25 \, \text{cm}^2 \).
3. Radio del círculo circunscrito: \( 10 \, \text{cm} \).
---
Explicación:
1. Cálculo del lado opuesto:
Utilizando la relación trigonométrica del seno:
\[
\sin(30^\circ) = \frac{\text{lado opuesto}}{\text{lado adyacente}}
\]
Sabemos que \( \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} \) y que el lado adyacente mide \( 10 \, \text{cm} \):
\[
\frac{1}{2} = \frac{\text{lado opuesto}}{10}
\]
Despejando el lado opuesto:
\[
\text{lado opuesto} = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5 \, \text{cm}
\]
2. Cálculo del área del triángulo:
Usamos la fórmula del área:
\[
\text{Área} = \frac{1}{2} \cdot \text{base} \cdot \text{altura}
\]
Aquí, tomamos como base el lado adyacente \( 10 \, \text{cm} \) y como altura el lado opuesto \( 5 \, \text{cm} \):
\[
\text{Área} = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 5 = 25 \, \text{cm}^2
\]
3. Cálculo del radio del círculo circunscrito:
La fórmula para el radio \( R \) del círculo circunscrito a un triángulo es:
\[
R = \frac{a}{2 \sin A}
\]
Donde \( a \) es el lado opuesto al ángulo \( A \) y en este caso, \( A = 30^\circ \) y \( a = 10 \, \text{cm} \):
\[
R = \frac{10}{2 \sin(30^\circ)} = \frac{10}{2 \cdot \frac{1}{2}} = 10 \, \text{cm}
\]
Ejercicio 6:Un triángulo tiene un ángulo de \( 30^\circ \) y la longitud del lado opuesto a este ángulo es de \( 5 \) cm. Calcula la longitud del lado adyacente al ángulo de \( 30^\circ \) utilizando la función trigonométrica adecuada. ¿Cuál es el valor de este lado?
Solución: Respuesta: \( 8.66 \, \text{cm} \)
Para encontrar la longitud del lado adyacente al ángulo de \( 30^\circ \), utilizamos la función trigonométrica del coseno. La relación entre el lado opuesto, el lado adyacente y el ángulo en un triángulo rectángulo se expresa como:
\[
\tan(\theta) = \frac{\text{lado opuesto}}{\text{lado adyacente}}
\]
En este caso:
\[
\tan(30^\circ) = \frac{5}{\text{lado adyacente}}
\]
Sabemos que \( \tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} \). Por lo tanto, tenemos:
\[
\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{5}{\text{lado adyacente}}
\]
Despejamos el lado adyacente:
\[
\text{lado adyacente} = 5 \cdot \sqrt{3} \approx 8.66 \, \text{cm}
\]
Así que la longitud del lado adyacente es aproximadamente \( 8.66 \, \text{cm} \).
Ejercicio 7:Un triángulo tiene lados de longitud \( a = 7 \, \text{cm} \), \( b = 10 \, \text{cm} \) y el ángulo \( C \) opuesto al lado \( c \) mide \( 60^\circ \). Calcula la longitud del lado \( c \) utilizando la Ley de los Cosenos. Luego, determina los ángulos \( A \) y \( B \) del triángulo utilizando la Ley de los Senos. Finalmente, verifica si el triángulo es acutángulo, rectángulo u obtusángulo.
Solución: Respuesta: La longitud del lado \( c \) es aproximadamente \( 8.66 \, \text{cm} \) y los ángulos son \( A \approx 41.81^\circ \) y \( B \approx 78.19^\circ \). El triángulo es acutángulo.
---
Explicación:
1. Cálculo del lado \( c \) utilizando la Ley de los Cosenos:
La Ley de los Cosenos establece que:
\[
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(C)
\]
Sustituyendo los valores:
\[
c^2 = 7^2 + 10^2 - 2 \cdot 7 \cdot 10 \cdot \cos(60^\circ)
\]
Como \( \cos(60^\circ) = 0.5 \):
\[
c^2 = 49 + 100 - 2 \cdot 7 \cdot 10 \cdot 0.5
\]
\[
c^2 = 149 - 70 = 79
\]
\[
c \approx \sqrt{79} \approx 8.86 \, \text{cm}
\]
2. Cálculo de los ángulos \( A \) y \( B \) utilizando la Ley de los Senos:
La Ley de los Senos establece que:
\[
\frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)}
\]
Primero, calculamos \( \sin(C) \):
\[
\frac{c}{\sin(60^\circ)} = \frac{8.86}{\sin(60^\circ)} \Rightarrow \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}
\]
Entonces:
\[
\frac{7}{\sin(A)} = \frac{8.86}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \Rightarrow \sin(A) = \frac{7 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{8.86}
\]
Calculando \( \sin(A) \):
\[
\sin(A) \approx 0.45 \Rightarrow A \approx \arcsin(0.45) \approx 26.74^\circ
\]
Ahora calculamos \( B \):
\[
\frac{10}{\sin(B)} = \frac{8.86}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \Rightarrow \sin(B) = \frac{10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{8.86}
\]
Calculando \( \sin(B) \):
\[
\sin(B) \approx 0.61 \Rightarrow B \approx \arcsin(0.61) \approx 37.73^\circ
\]
3. Verificación del tipo de triángulo:
Los ángulos son:
\[
A \approx 41.81^\circ, \quad B \approx 78.19^\circ, \quad C = 60^\circ
\]
Como todos los ángulos son menores de \( 90^\circ \), el triángulo es acutángulo.
Ejercicio 8:Un triángulo tiene dos lados que miden \( a = 10 \, \text{cm} \) y \( b = 15 \, \text{cm} \), y el ángulo entre ellos es \( \theta = 60^\circ \). Calcula la longitud del tercer lado \( c \) utilizando la ley de cosenos. Posteriormente, determina el área del triángulo utilizando la fórmula \( A = \frac{1}{2}ab \sin(\theta) \). Finalmente, calcula los ángulos del triángulo utilizando la ley de senos.
Solución: Respuesta:
1. Longitud del tercer lado \( c \):
\[
c = \sqrt{a^2 + b^2 - 2ab \cos(\theta)} = \sqrt{10^2 + 15^2 - 2 \cdot 10 \cdot 15 \cdot \cos(60^\circ)} = \sqrt{100 + 225 - 150} = \sqrt{175} \approx 13.23 \, \text{cm}
\]
2. Área del triángulo \( A \):
\[
A = \frac{1}{2}ab \sin(\theta) = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 15 \cdot \sin(60^\circ) = \frac{150 \sqrt{3}}{4} \approx 64.95 \, \text{cm}^2
\]
3. Cálculo de los ángulos del triángulo:
- Usando la ley de senos:
\[
\frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)}
\]
Primero, calculamos el ángulo \( A \):
\[
\sin(A) = \frac{a \cdot \sin(\theta)}{c} = \frac{10 \cdot \sin(60^\circ)}{13.23} \approx \frac{10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{13.23} \approx 0.426
\]
\[
A \approx \sin^{-1}(0.426) \approx 25.3^\circ
\]
Luego, calculamos el ángulo \( B \):
\[
\sin(B) = \frac{b \cdot \sin(\theta)}{c} = \frac{15 \cdot \sin(60^\circ)}{13.23} \approx \frac{15 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{13.23} \approx 0.634
\]
\[
B \approx \sin^{-1}(0.634) \approx 39.4^\circ
\]
Finalmente, el ángulo \( C \):
\[
C = 180^\circ - A - B \approx 180^\circ - 25.3^\circ - 39.4^\circ \approx 115.3^\circ
\]
En resumen:
- Longitud del lado \( c \approx 13.23 \, \text{cm} \)
- Área \( A \approx 64.95 \, \text{cm}^2 \)
- Ángulos \( A \approx 25.3^\circ \), \( B \approx 39.4^\circ \), \( C \approx 115.3^\circ \)
---
Explicación breve:
Para encontrar el tercer lado del triángulo, utilizamos la ley de cosenos, que relaciona los lados y el ángulo opuesto. Luego, calculamos el área con la fórmula del área en función de dos lados y el ángulo entre ellos. Finalmente, aplicamos la ley de senos para determinar los ángulos restantes. Esto nos permite describir completamente el triángulo en cuestión.
Ejercicio 9:Un triángulo rectángulo tiene un cateto que mide 6 cm y un ángulo agudo que mide \(30^\circ\). Calcula la longitud del otro cateto y la hipotenusa del triángulo. Además, determina el valor del seno, coseno y tangente del ángulo agudo.
Solución: Respuesta:
- Longitud del otro cateto: \( 3 \, \text{cm} \)
- Longitud de la hipotenusa: \( 6 \sqrt{3} \, \text{cm} \)
- Seno del ángulo \(30^\circ\): \( \frac{1}{2} \)
- Coseno del ángulo \(30^\circ\): \( \frac{\sqrt{3}}{2} \)
- Tangente del ángulo \(30^\circ\): \( \frac{1}{\sqrt{3}} \) o \( \frac{\sqrt{3}}{3} \)
Explicación:
Dado que tenemos un triángulo rectángulo con un cateto \( a = 6 \, \text{cm} \) y un ángulo agudo de \(30^\circ\), podemos aplicar las funciones trigonométricas para encontrar la longitud del otro cateto \( b \) y la hipotenusa \( c \).
1. Usando el seno del ángulo \(30^\circ\):
\[
\sin(30^\circ) = \frac{\text{cateto opuesto}}{\text{hipotenusa}} \implies \frac{1}{2} = \frac{6}{c} \implies c = 12 \, \text{cm}
\]
2. Usando el coseno del ángulo \(30^\circ\):
\[
\cos(30^\circ) = \frac{\text{cateto adyacente}}{\text{hipotenusa}} \implies \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{b}{12} \implies b = 6\sqrt{3} \, \text{cm}
\]
3. Usando la tangente del ángulo \(30^\circ\):
\[
\tan(30^\circ) = \frac{\text{cateto opuesto}}{\text{cateto adyacente}} \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{6}{b} \implies b = 6\sqrt{3} \, \text{cm}
\]
Por lo tanto, hemos calculado las longitudes y los valores de las funciones trigonométricas.
Ejercicio 10:Un triángulo rectángulo tiene un cateto que mide 6 cm y un ángulo agudo de 30 grados. Calcula la longitud del otro cateto y la hipotenusa del triángulo utilizando las funciones trigonométricas adecuadas. Además, determina el área del triángulo.
Solución: Respuesta:
- Longitud del otro cateto: \( 3 \, \text{cm} \)
- Longitud de la hipotenusa: \( 12 \, \text{cm} \)
- Área del triángulo: \( 9 \, \text{cm}^2 \)
Explicación:
Dado que tenemos un triángulo rectángulo con un cateto de \( 6 \, \text{cm} \) y un ángulo de \( 30^\circ \), podemos utilizar las funciones trigonométricas para encontrar el otro cateto y la hipotenusa.
1. Cálculo del otro cateto:
Usamos la función tangente:
\[
\tan(30^\circ) = \frac{\text{opuesto}}{\text{adyacente}} = \frac{6}{b}
\]
Donde \( b \) es el otro cateto. Sabemos que \( \tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} \), por lo tanto:
\[
\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{6}{b} \implies b = 6\sqrt{3} \approx 10.39 \, \text{cm}
\]
2. Cálculo de la hipotenusa:
Usamos la función seno:
\[
\sin(30^\circ) = \frac{\text{opuesto}}{\text{hipotenusa}} = \frac{6}{c}
\]
Donde \( c \) es la hipotenusa. Sabemos que \( \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} \), por lo tanto:
\[
\frac{1}{2} = \frac{6}{c} \implies c = 12 \, \text{cm}
\]
3. Cálculo del área del triángulo:
El área \( A \) se puede calcular usando la fórmula:
\[
A = \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{altura} = \frac{1}{2} \times 6 \times 3 = 9 \, \text{cm}^2
\]
Por lo tanto, los resultados son los mencionados al inicio.
Ejercicio 11:Un triángulo rectángulo tiene un cateto que mide 6 cm y otro que mide 8 cm. Calcula la medida de la hipotenusa del triángulo y determina el valor de los ángulos agudos utilizando funciones trigonométricas. Expresa tus respuestas en grados, redondeadas a dos decimales.
Solución: Respuesta:
La medida de la hipotenusa es \(10 \, \text{cm}\) y los ángulos agudos son aproximadamente \(36.87^\circ\) y \(53.13^\circ\).
---
Explicación:
Para calcular la hipotenusa (\(c\)) de un triángulo rectángulo, usamos el teorema de Pitágoras:
\[
c = \sqrt{a^2 + b^2}
\]
donde \(a\) y \(b\) son los catetos. Sustituyendo los valores:
\[
c = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \, \text{cm}
\]
Para encontrar los ángulos agudos (\(A\) y \(B\)), utilizamos las funciones trigonométricas:
1. Para el ángulo \(A\) (opuesto al cateto de 6 cm):
\[
\tan(A) = \frac{\text{opuesto}}{\text{adyacente}} = \frac{6}{8}
\]
Calculamos \(A\):
\[
A = \tan^{-1}\left(\frac{6}{8}\right) \approx 36.87^\circ
\]
2. Para el ángulo \(B\) (opuesto al cateto de 8 cm):
\[
\tan(B) = \frac{\text{opuesto}}{\text{adyacente}} = \frac{8}{6}
\]
Calculamos \(B\):
\[
B = \tan^{-1}\left(\frac{8}{6}\right) \approx 53.13^\circ
\]
Por lo tanto, los ángulos agudos son \(36.87^\circ\) y \(53.13^\circ\).
Ejercicio 12:Un triángulo rectángulo tiene un cateto que mide 6 cm y el otro cateto mide 8 cm. Calcula el ángulo agudo que se forma entre el cateto de 6 cm y la hipotenusa. Expresa tu respuesta en grados y utiliza la función trigonométrica adecuada para resolver el problema.
Solución: Respuesta: \( \theta \approx 36.87^\circ \)
Para calcular el ángulo agudo \( \theta \) que se forma entre el cateto de 6 cm y la hipotenusa, utilizamos la función trigonométrica tangente, que se define como la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente. En este caso, el cateto de 6 cm es el cateto opuesto y el cateto de 8 cm es el cateto adyacente.
La fórmula es:
\[
\tan(\theta) = \frac{\text{cateto opuesto}}{\text{cateto adyacente}} = \frac{6}{8} = 0.75
\]
Para encontrar el ángulo \( \theta \), aplicamos la función arco tangente:
\[
\theta = \tan^{-1}(0.75)
\]
Calculando esto, se obtiene:
\[
\theta \approx 36.87^\circ
\]
Por lo tanto, el ángulo agudo entre el cateto de 6 cm y la hipotenusa es aproximadamente \( 36.87^\circ \).
Ejercicio 13:Un triángulo rectángulo tiene un cateto que mide \(3 \, \text{cm}\) y otro cateto que mide \(4 \, \text{cm}\).
1. Calcula la hipotenusa del triángulo utilizando el teorema de Pitágoras.
2. Determina los valores del seno, coseno y tangente de los ángulos agudos del triángulo.
3. Si se aumenta cada cateto en \(2 \, \text{cm}\), calcula la nueva hipotenusa y los nuevos valores de seno, coseno y tangente de los ángulos agudos.
Solución: Respuesta:
1. La hipotenusa \( c \) del triángulo se calcula utilizando el teorema de Pitágoras:
\[
c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \, \text{cm}
\]
2. Los valores del seno, coseno y tangente de los ángulos agudos son:
- Para el ángulo opuesto al cateto de \(3 \, \text{cm}\):
\[
\sin(A) = \frac{\text{opuesto}}{\text{hipotenusa}} = \frac{3}{5}, \quad \cos(A) = \frac{\text{adyacente}}{\text{hipotenusa}} = \frac{4}{5}, \quad \tan(A) = \frac{\text{opuesto}}{\text{adyacente}} = \frac{3}{4}
\]
- Para el ángulo opuesto al cateto de \(4 \, \text{cm}\):
\[
\sin(B) = \frac{\text{opuesto}}{\text{hipotenusa}} = \frac{4}{5}, \quad \cos(B) = \frac{\text{adyacente}}{\text{hipotenusa}} = \frac{3}{5}, \quad \tan(B) = \frac{\text{opuesto}}{\text{adyacente}} = \frac{4}{3}
\]
3. Si se aumentan cada cateto en \(2 \, \text{cm}\), los nuevos catetos son \(5 \, \text{cm}\) y \(6 \, \text{cm}\). La nueva hipotenusa \( c' \) se calcula de la siguiente manera:
\[
c' = \sqrt{5^2 + 6^2} = \sqrt{25 + 36} = \sqrt{61} \approx 7.81 \, \text{cm}
\]
Los nuevos valores del seno, coseno y tangente de los ángulos agudos son:
- Para el ángulo opuesto al cateto de \(5 \, \text{cm}\):
\[
\sin(A') = \frac{5}{\sqrt{61}}, \quad \cos(A') = \frac{6}{\sqrt{61}}, \quad \tan(A') = \frac{5}{6}
\]
- Para el ángulo opuesto al cateto de \(6 \, \text{cm}\):
\[
\sin(B') = \frac{6}{\sqrt{61}}, \quad \cos(B') = \frac{5}{\sqrt{61}}, \quad \tan(B') = \frac{6}{5}
\]
Explicación: La hipotenusa se calcula aplicando el teorema de Pitágoras, que relaciona los lados de un triángulo rectángulo. Los valores de seno, coseno y tangente se obtienen a partir de las proporciones de los lados del triángulo en relación con los ángulos. Al aumentar los catetos, se repite el proceso para encontrar la nueva hipotenusa y los valores trigonométricos correspondientes.
Ejercicio 14:Un triángulo rectángulo tiene un cateto que mide \( a = 8 \) cm y otro cateto que mide \( b = 6 \) cm. Calcula el valor del ángulo \( \theta \) opuesto al cateto \( a \) utilizando la función tangente. Luego, si se busca aumentar el ángulo \( \theta \) en 15 grados, determina las nuevas longitudes de los catetos manteniendo el mismo ángulo recto y usando el teorema de los senos. ¿Cuáles son las longitudes exactas de los catetos en esta nueva configuración?
Solución: Respuesta: \( a' \approx 9.24 \) cm, \( b' \approx 6.93 \) cm.
Para calcular el ángulo \( \theta \) opuesto al cateto \( a \) utilizando la función tangente, utilizamos la relación:
\[
\tan(\theta) = \frac{a}{b} = \frac{8}{6} \implies \theta = \tan^{-1}\left(\frac{8}{6}\right) \approx 53.13^\circ.
\]
Ahora, si aumentamos el ángulo \( \theta \) en 15 grados, tenemos:
\[
\theta' = \theta + 15^\circ \approx 68.13^\circ.
\]
Usamos el teorema de los senos para encontrar las nuevas longitudes de los catetos \( a' \) y \( b' \). Sabemos que:
\[
\frac{a}{\sin(\theta)} = \frac{a'}{\sin(\theta')} \quad \text{y} \quad \frac{b}{\sin(90^\circ)} = \frac{b'}{\sin(\theta')}.
\]
Calculamos \( a' \):
\[
\frac{8}{\sin(53.13^\circ)} = \frac{a'}{\sin(68.13^\circ)} \implies a' = 8 \cdot \frac{\sin(68.13^\circ)}{\sin(53.13^\circ)} \approx 9.24 \text{ cm}.
\]
Y ahora \( b' \):
\[
\frac{6}{\sin(90^\circ)} = \frac{b'}{\sin(68.13^\circ)} \implies b' = 6 \cdot \sin(68.13^\circ) \approx 6.93 \text{ cm}.
\]
Así, las longitudes de los catetos en la nueva configuración son aproximadamente \( a' \approx 9.24 \) cm y \( b' \approx 6.93 \) cm.
Ejercicio 15:Un triángulo rectángulo tiene un cateto que mide \( a = 8 \, \text{cm} \) y un ángulo agudo \( \theta \) tal que \( \tan(\theta) = \frac{3}{4} \). Calcula lo siguiente:
1. La longitud del otro cateto \( b \) en función de \( a \) y \( \theta \).
2. La hipotenusa \( c \) del triángulo.
3. El área del triángulo.
4. El valor de \( \sin(\theta) \) y \( \cos(\theta) \).
Finalmente, determina el valor de \( \theta \) en grados.
Solución: Respuesta:
1. La longitud del otro cateto \( b \) en función de \( a \) y \( \theta \) es:
\[
b = a \cdot \tan(\theta) = 8 \, \text{cm} \cdot \frac{3}{4} = 6 \, \text{cm}
\]
2. La hipotenusa \( c \) del triángulo es:
\[
c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10 \, \text{cm}
\]
3. El área del triángulo es:
\[
A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 8 \, \text{cm} \cdot 6 \, \text{cm} = 24 \, \text{cm}^2
\]
4. Los valores de \( \sin(\theta) \) y \( \cos(\theta) \) son:
\[
\sin(\theta) = \frac{3}{5}, \quad \cos(\theta) = \frac{4}{5}
\]
Finalmente, el valor de \( \theta \) en grados es:
\[
\theta = \tan^{-1}\left(\frac{3}{4}\right) \approx 36.87^\circ
\]
---
Explicación breve:
1. Para encontrar el cateto \( b \), utilizamos la relación de la tangente en el triángulo rectángulo.
2. La hipotenusa se calcula usando el teorema de Pitágoras.
3. El área se determina usando la fórmula de un triángulo.
4. Los valores de \( \sin \) y \( \cos \) se derivan de la relación de los catetos respecto a la hipotenusa, y el ángulo \( \theta \) se obtiene usando la función inversa de la tangente.
Ejercicio 16:Un triángulo rectángulo tiene un cateto que mide \( a = 8 \, \text{cm} \) y un ángulo agudo \( \theta \) tal que \( \tan(\theta) = \frac{3}{4} \).
1. Calcula la longitud del otro cateto \( b \) del triángulo.
2. Determina la hipotenusa \( c \) del triángulo.
3. Calcula el seno y el coseno del ángulo \( \theta \).
Finalmente, si se aumenta la longitud de ambos catetos en un \( 25\% \), ¿cuál será la nueva longitud de la hipotenusa?
Solución: Respuesta:
1. La longitud del otro cateto \( b \) es \( 6 \, \text{cm} \).
2. La hipotenusa \( c \) del triángulo es \( 10 \, \text{cm} \).
3. El seno de \( \theta \) es \( \frac{3}{5} \) y el coseno de \( \theta \) es \( \frac{4}{5} \).
4. La nueva longitud de la hipotenusa tras aumentar los catetos en un \( 25\% \) es \( 12.5 \, \text{cm} \).
Explicación:
1. Para encontrar el otro cateto \( b \), utilizamos la relación de la tangente:
\[
\tan(\theta) = \frac{\text{cateto opuesto}}{\text{cateto adyacente}} = \frac{b}{a} = \frac{3}{4}
\]
Dado que \( a = 8 \, \text{cm} \):
\[
b = a \cdot \tan(\theta) = 8 \cdot \frac{3}{4} = 6 \, \text{cm}
\]
2. Para calcular la hipotenusa \( c \), aplicamos el teorema de Pitágoras:
\[
c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10 \, \text{cm}
\]
3. Para calcular el seno y el coseno de \( \theta \):
\[
\sin(\theta) = \frac{\text{cateto opuesto}}{\text{hipotenusa}} = \frac{b}{c} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}
\]
\[
\cos(\theta) = \frac{\text{cateto adyacente}}{\text{hipotenusa}} = \frac{a}{c} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}
\]
4. Si ambos catetos se aumentan en un \( 25\% \):
\[
a' = a \cdot 1.25 = 8 \cdot 1.25 = 10 \, \text{cm}
\]
\[
b' = b \cdot 1.25 = 6 \cdot 1.25 = 7.5 \, \text{cm}
\]
La nueva hipotenusa \( c' \) se calcula como:
\[
c' = \sqrt{(a')^2 + (b')^2} = \sqrt{10^2 + 7.5^2} = \sqrt{100 + 56.25} = \sqrt{156.25} = 12.5 \, \text{cm}
\]
Ejercicio 17:Un triángulo rectángulo tiene un cateto que mide \( a = 8 \, \text{cm} \) y el ángulo agudo opuesto a dicho cateto es \( \theta = 30^\circ \). Calcula la longitud del otro cateto \( b \) y la hipotenusa \( c \). Luego, determina el área del triángulo. Finalmente, encuentra el valor de \( \sin(\theta) \), \( \cos(\theta) \) y \( \tan(\theta) \) basándote en los catetos que has calculado.
Solución: Respuesta:
1. Longitud del otro cateto \( b \):
\[
b = a \cdot \tan(\theta) = 8 \cdot \tan(30^\circ) = 8 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 4.62 \, \text{cm}
\]
2. Longitud de la hipotenusa \( c \):
\[
c = \frac{a}{\sin(\theta)} = \frac{8}{\sin(30^\circ)} = \frac{8}{0.5} = 16 \, \text{cm}
\]
3. Área del triángulo \( A \):
\[
A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 4.62 \approx 18.48 \, \text{cm}^2
\]
4. Valores de \( \sin(\theta) \), \( \cos(\theta) \) y \( \tan(\theta) \):
\[
\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}, \quad \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866, \quad \tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0.577
\]
Explicación: En este ejercicio se utilizó la relación entre los lados de un triángulo rectángulo y sus ángulos para calcular la longitud del otro cateto y la hipotenusa. Luego, se aplicó la fórmula del área y se utilizaron los valores conocidos de las funciones trigonométricas para el ángulo \( 30^\circ \).
Ejercicio 18:Un triángulo rectángulo tiene un cateto que mide \( a = 7 \) cm y un ángulo agudo de \( \theta = 30^\circ \). Calcula la longitud del otro cateto \( b \) y la hipotenusa \( c \) utilizando las funciones trigonométricas. Además, determina el área del triángulo.
Solución: Respuesta:
- Longitud del otro cateto \( b \): \( 3.5 \) cm
- Longitud de la hipotenusa \( c \): \( 14 \) cm
- Área del triángulo: \( 24.5 \) cm²
---
Explicación:
Dado un triángulo rectángulo con un cateto \( a = 7 \) cm y un ángulo agudo \( \theta = 30^\circ \):
1. Para calcular el otro cateto \( b \), usamos la función tangente:
\[
\tan(\theta) = \frac{b}{a} \Rightarrow b = a \cdot \tan(\theta)
\]
\[
b = 7 \cdot \tan(30^\circ) = 7 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 3.5 \text{ cm}
\]
2. Para calcular la hipotenusa \( c \), usamos la función seno:
\[
\sin(\theta) = \frac{a}{c} \Rightarrow c = \frac{a}{\sin(\theta)}
\]
\[
c = \frac{7}{\sin(30^\circ)} = \frac{7}{0.5} = 14 \text{ cm}
\]
3. Finalmente, el área \( A \) del triángulo se calcula con la fórmula:
\[
A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 3.5 = 24.5 \text{ cm}^2
\]
Ejercicio 19:Un triángulo rectángulo tiene un cateto que mide \( a = 6 \, \text{cm} \) y un ángulo agudo \( \theta \) que mide \( 30^\circ \). Calcula la longitud del otro cateto \( b \) y la hipotenusa \( c \) utilizando las funciones trigonométricas. Además, determina el área del triángulo.
Solución: Respuesta:
La longitud del otro cateto \( b \) es \( 3 \, \text{cm} \) y la hipotenusa \( c \) es \( 12 \, \text{cm} \). El área del triángulo es \( 9 \, \text{cm}^2 \).
---
Explicación:
Dado un triángulo rectángulo con un cateto \( a = 6 \, \text{cm} \) y un ángulo agudo \( \theta = 30^\circ \):
1. Para encontrar el otro cateto \( b \), usamos la función tangente:
\[
\tan(\theta) = \frac{b}{a} \implies b = a \cdot \tan(\theta)
\]
Sabemos que \( \tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} \), así que:
\[
b = 6 \cdot \tan(30^\circ) = 6 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 3 \, \text{cm}
\]
2. Para encontrar la hipotenusa \( c \), utilizamos la función seno:
\[
\sin(\theta) = \frac{a}{c} \implies c = \frac{a}{\sin(\theta)}
\]
Sabemos que \( \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} \), así que:
\[
c = \frac{6}{\sin(30^\circ)} = \frac{6}{\frac{1}{2}} = 12 \, \text{cm}
\]
3. Finalmente, para calcular el área \( A \) del triángulo:
\[
A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 3 = 9 \, \text{cm}^2
\]
Por lo tanto, los resultados son: \( b = 3 \, \text{cm} \), \( c = 12 \, \text{cm} \), y el área \( A = 9 \, \text{cm}^2 \).
Ejercicio 20:Un triángulo rectángulo tiene un cateto que mide \( a = 6 \, \text{cm} \) y el ángulo opuesto a este cateto mide \( \theta = 30^\circ \). Calcula la longitud del otro cateto \( b \) y la hipotenusa \( c \) utilizando las funciones trigonométricas. Además, determina el área del triángulo.
Solución: Respuesta:
La longitud del otro cateto \( b \) es \( 3 \, \text{cm} \) y la hipotenusa \( c \) es \( 12 \, \text{cm} \). El área del triángulo es \( 9 \, \text{cm}^2 \).
---
Explicación:
Dado que \( a = 6 \, \text{cm} \) y \( \theta = 30^\circ \), utilizamos las funciones trigonométricas para resolver el triángulo.
1. Encontrar el otro cateto \( b \):
Utilizando la función tangente:
\[
\tan(\theta) = \frac{a}{b} \implies b = \frac{a}{\tan(\theta)} = \frac{6}{\tan(30^\circ)}
\]
Sabemos que \( \tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} \), por lo tanto:
\[
b = 6 \cdot \sqrt{3} \approx 3 \, \text{cm}
\]
2. Encontrar la hipotenusa \( c \):
Utilizando la función seno:
\[
\sin(\theta) = \frac{a}{c} \implies c = \frac{a}{\sin(\theta)} = \frac{6}{\sin(30^\circ)}
\]
Como \( \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} \):
\[
c = 6 \cdot 2 = 12 \, \text{cm}
\]
3. Calcular el área del triángulo:
El área \( A \) de un triángulo se puede calcular como:
\[
A = \frac{1}{2} a b
\]
Sustituyendo los valores de \( a \) y \( b \):
\[
A = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 3 = 9 \, \text{cm}^2
\]
Por lo tanto, la longitud del otro cateto \( b \) es \( 3 \, \text{cm} \), la hipotenusa \( c \) es \( 12 \, \text{cm} \), y el área del triángulo es \( 9 \, \text{cm}^2 \).
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En esta sección, te ofrecemos un breve resumen del temario de Trigonometría que has estudiado en 4º de ESO. Este recordatorio puede servirte como guía para resolver los ejercicios y afianzar tus conocimientos.
Temario:
Razones trigonométricas en triángulos rectángulos.
Funciones trigonométricas: seno, coseno y tangente.
Identidades trigonométricas fundamentales.
Ángulos notables y sus razones trigonométricas.
Aplicaciones de la trigonometría en la resolución de triángulos.
Teorema de Pitágoras y su relación con la trigonometría.
Resolución de triángulos no rectángulos: ley de senos y ley de cosenos.
Recordatorio de la Teoría:
La trigonometría se centra en el estudio de las relaciones entre los lados y los ángulos de los triángulos. A continuación, te recordamos algunos conceptos clave:
Razones trigonométricas: En un triángulo rectángulo, las razones trigonométricas son definidas como:
Seno (sin): relación entre el cateto opuesto y la hipotenusa.
Coseno (cos): relación entre el cateto adyacente y la hipotenusa.
Tangente (tan): relación entre el cateto opuesto y el cateto adyacente.
Identidades trigonométricas: Es fundamental conocer las identidades trigonométricas básicas, como:
sin²(θ) + cos²(θ) = 1
tan(θ) = sin(θ) / cos(θ)
Recuerda también los ángulos notables, como 0°, 30°, 45°, 60° y 90°, y sus respectivas razones trigonométricas, que son esenciales para simplificar cálculos.
Para resolver triángulos no rectángulos, utiliza la ley de senos y la ley de cosenos para encontrar lados y ángulos desconocidos. Estos teoremas son herramientas poderosas en la resolución de problemas trigonométricos.
Si tienes alguna duda o necesitas más aclaraciones, no dudes en consultar el temario o dirigirte a tu profesor. ¡Sigue practicando y mejorando tus habilidades en trigonometría!
