Los vectores son una de las herramientas más fundamentales en el campo de las matemáticas y la física, permitiendo representar magnitudes que tienen tanto dirección como módulo. En este apartado de 4º ESO, exploraremos las propiedades, operaciones y aplicaciones de los vectores, así como su representación gráfica en el plano y en el espacio. A través de ejemplos claros y ejercicios prácticos, los estudiantes podrán fortalecer su comprensión de este concepto esencial.
Ejercicios y problemas resueltos
A continuación, presentamos una serie de ejercicios y problemas resueltos sobre vectores que ayudarán a los alumnos a consolidar su aprendizaje y a familiarizarse con la aplicación de los conceptos teóricos. Cada ejercicio incluye su solución detallada para facilitar el proceso de aprendizaje.
Ejercicio 1:Un vector \(\vec{u}\) tiene coordenadas \((3, -4)\) y otro vector \(\vec{v}\) tiene coordenadas \((-1, 2)\).
1. Calcula la suma de los vectores \(\vec{u} + \vec{v}\).
2. Determina el producto escalar \(\vec{u} \cdot \vec{v}\).
3. Encuentra la longitud (módulo) de cada vector \(\|\vec{u}\|\) y \(\|\vec{v}\|\).
Finalmente, interpreta geométricamente el resultado del producto escalar en relación al ángulo entre los dos vectores.
Solución: Respuesta:
1. La suma de los vectores \(\vec{u} + \vec{v} = (3, -4) + (-1, 2) = (3 - 1, -4 + 2) = (2, -2)\).
2. El producto escalar \(\vec{u} \cdot \vec{v} = (3)(-1) + (-4)(2) = -3 - 8 = -11\).
3. La longitud (módulo) de cada vector se calcula como sigue:
- \(\|\vec{u}\| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\).
- \(\|\vec{v}\| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}\).
Interpretación geométrica del producto escalar:
El producto escalar \(\vec{u} \cdot \vec{v} = -11\) indica que los vectores \(\vec{u}\) y \(\vec{v}\) forman un ángulo obtuso, ya que el resultado es negativo. Esto implica que el ángulo entre ellos es mayor de \(90^\circ\) y menor de \(180^\circ\).
Ejercicio 2:Un vector \(\vec{u} = (3, 4)\) y un vector \(\vec{v} = (-1, 2)\) están dados en un sistema de coordenadas cartesianas.
1. Calcula la suma de los vectores \(\vec{u} + \vec{v}\).
2. Determina el módulo del vector \(\vec{u}\).
3. Encuentra el ángulo entre los vectores \(\vec{u}\) y \(\vec{v}\) utilizando la fórmula del producto escalar.
Solución: Respuesta:
1. \(\vec{u} + \vec{v} = (3, 4) + (-1, 2) = (3 - 1, 4 + 2) = (2, 6)\)
2. El módulo del vector \(\vec{u}\) se calcula como:
\[
|\vec{u}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5
\]
3. Para encontrar el ángulo \(\theta\) entre los vectores \(\vec{u}\) y \(\vec{v}\), utilizamos la fórmula del producto escalar:
\[
\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| |\vec{v}| \cos(\theta)
\]
Primero, calculamos el producto escalar:
\[
\vec{u} \cdot \vec{v} = 3 \cdot (-1) + 4 \cdot 2 = -3 + 8 = 5
\]
Luego, calculamos el módulo de \(\vec{v}\):
\[
|\vec{v}| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}
\]
Ahora sustituimos en la fórmula:
\[
5 = 5 \cdot \sqrt{5} \cdot \cos(\theta) \implies \cos(\theta) = \frac{5}{5\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}
\]
Finalmente, el ángulo \(\theta\) se encuentra como:
\[
\theta = \cos^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)
\]
En resumen, los resultados son:
1. \(\vec{u} + \vec{v} = (2, 6)\)
2. \(|\vec{u}| = 5\)
3. \(\theta = \cos^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)\)
Esta información es útil para comprender las operaciones básicas con vectores y sus propiedades.
Ejercicio 3:Un vector \(\vec{u} = (3, -2)\) y un vector \(\vec{v} = (-1, 4)\) son dados en el plano.
a) Calcula la suma de los vectores \(\vec{u} + \vec{v}\).
b) Calcula la resta de los vectores \(\vec{u} - \vec{v}\).
c) Determina el módulo del vector \(\vec{u}\).
d) Calcula el ángulo entre los vectores \(\vec{u}\) y \(\vec{v}\).
Recuerda utilizar la fórmula del coseno del ángulo:
\[
\cos(\theta) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|}
\]
donde \(\vec{u} \cdot \vec{v}\) es el producto punto de los vectores.
Solución: Respuesta:
a) \(\vec{u} + \vec{v} = (3, -2) + (-1, 4) = (3 - 1, -2 + 4) = (2, 2)\)
b) \(\vec{u} - \vec{v} = (3, -2) - (-1, 4) = (3 + 1, -2 - 4) = (4, -6)\)
c) \(|\vec{u}| = \sqrt{3^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}\)
d) Primero calculamos el producto punto \(\vec{u} \cdot \vec{v}\):
\(\vec{u} \cdot \vec{v} = 3 \cdot (-1) + (-2) \cdot 4 = -3 - 8 = -11\)
Luego, el módulo de \(\vec{v}\):
\(|\vec{v}| = \sqrt{(-1)^2 + 4^2} = \sqrt{1 + 16} = \sqrt{17}\)
Aplicamos la fórmula del coseno del ángulo:
\[
\cos(\theta) = \frac{-11}{\sqrt{13} \cdot \sqrt{17}}
\]
Calculamos \(\theta\) usando la función inversa del coseno.
\(\theta \approx \cos^{-1}\left(\frac{-11}{\sqrt{13} \cdot \sqrt{17}}\right)\).
---
Explicación Breve:
1. Suma y Resta de Vectores: Se suman y restan las componentes correspondientes de cada vector.
2. Módulo de un Vector: Se calcula usando la fórmula \(|\vec{u}| = \sqrt{x^2 + y^2}\).
3. Ángulo entre Vectores: Se utiliza el producto punto y la fórmula del coseno para determinar el ángulo.
Ejercicio 4:Un vector \(\vec{u} = (3, -2)\) y un vector \(\vec{v} = (-1, 4)\) son dados en el plano.
1. Calcula la suma de los vectores \(\vec{u} + \vec{v}\).
2. Calcula la resta de los vectores \(\vec{u} - \vec{v}\).
3. Encuentra el producto escalar \(\vec{u} \cdot \vec{v}\).
4. Determina la magnitud de cada vector \(|\vec{u}|\) y \(|\vec{v}|\).
Justifica cada uno de tus pasos y presenta los resultados en forma de coordenadas y magnitudes.
Solución: Respuesta:
1. \(\vec{u} + \vec{v} = (3 + (-1), -2 + 4) = (2, 2)\)
2. \(\vec{u} - \vec{v} = (3 - (-1), -2 - 4) = (4, -6)\)
3. \(\vec{u} \cdot \vec{v} = (3)(-1) + (-2)(4) = -3 - 8 = -11\)
4. \(|\vec{u}| = \sqrt{3^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13} \approx 3.61\)
\(|\vec{v}| = \sqrt{(-1)^2 + 4^2} = \sqrt{1 + 16} = \sqrt{17} \approx 4.12\)
---
Explicación:
1. Para sumar los vectores, se suman las componentes correspondientes: \(x\) con \(x\) y \(y\) con \(y\).
2. Para restar los vectores, se restan las componentes correspondientes de \(\vec{v}\) de las de \(\vec{u}\).
3. El producto escalar se calcula multiplicando las componentes correspondientes y sumando los resultados.
4. La magnitud de un vector se obtiene aplicando la fórmula de la distancia, que utiliza el teorema de Pitágoras con las componentes del vector.
Ejercicio 5:Un vector \(\vec{u} = (3, -2)\) y un vector \(\vec{v} = (-1, 4)\) son dados en el plano cartesiano.
1. Calcula la suma de los vectores \(\vec{u} + \vec{v}\).
2. Encuentra el módulo del vector resultante.
3. Determina el ángulo entre los vectores \(\vec{u}\) y \(\vec{v}\) utilizando la fórmula del coseno del ángulo:
\[
\cos(\theta) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|}
\]
donde \(\vec{u} \cdot \vec{v}\) es el producto escalar de los vectores y \(|\vec{u}|\) y \(|\vec{v}|\) son los módulos de los vectores \(\vec{u}\) y \(\vec{v}\), respectivamente.
Solución: Respuesta:
1. \(\vec{u} + \vec{v} = (3, -2) + (-1, 4) = (3 - 1, -2 + 4) = (2, 2)\)
2. El módulo del vector resultante \(\vec{r} = (2, 2)\) es:
\[
|\vec{r}| = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}
\]
3. El producto escalar \(\vec{u} \cdot \vec{v}\) se calcula como:
\[
\vec{u} \cdot \vec{v} = 3 \cdot (-1) + (-2) \cdot 4 = -3 - 8 = -11
\]
Los módulos de los vectores son:
\[
|\vec{u}| = \sqrt{3^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}
\]
\[
|\vec{v}| = \sqrt{(-1)^2 + 4^2} = \sqrt{1 + 16} = \sqrt{17}
\]
Ahora, utilizando la fórmula del coseno:
\[
\cos(\theta) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|} = \frac{-11}{\sqrt{13} \cdot \sqrt{17}} = \frac{-11}{\sqrt{221}}
\]
Para encontrar el ángulo \(\theta\):
\[
\theta = \cos^{-1}\left(\frac{-11}{\sqrt{221}}\right)
\]
---
Explicación breve:
1. Se suman los componentes de los vectores.
2. Se calcula el módulo del vector resultante usando la fórmula del módulo de un vector en el plano.
3. Se utiliza la fórmula del producto escalar para hallar el coseno del ángulo entre los dos vectores, a partir del cual se puede determinar el ángulo \(\theta\).
Ejercicio 6:Un vector \(\vec{u} = (3, -2)\) y un vector \(\vec{v} = (-1, 4)\) están dados en el plano.
1. Calcula la suma de los vectores \(\vec{u} + \vec{v}\).
2. Encuentra el resultado de la resta de los vectores \(\vec{u} - \vec{v}\).
3. Determina el producto escalar \(\vec{u} \cdot \vec{v}\).
4. Calcula la magnitud de cada uno de los vectores \(\vec{u}\) y \(\vec{v}\).
Explica brevemente el significado geométrico de cada uno de los resultados obtenidos.
Solución: Respuesta:
1. \(\vec{u} + \vec{v} = (3, -2) + (-1, 4) = (3 - 1, -2 + 4) = (2, 2)\)
2. \(\vec{u} - \vec{v} = (3, -2) - (-1, 4) = (3 + 1, -2 - 4) = (4, -6)\)
3. \(\vec{u} \cdot \vec{v} = (3)(-1) + (-2)(4) = -3 - 8 = -11\)
4. \(\|\vec{u}\| = \sqrt{3^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}\)
\(\|\vec{v}\| = \sqrt{(-1)^2 + 4^2} = \sqrt{1 + 16} = \sqrt{17}\)
► Explicación breve:
1. Suma de los vectores: La suma \(\vec{u} + \vec{v}\) da como resultado un nuevo vector que representa la combinación de ambos vectores en el plano. Geométricamente, esto puede interpretarse como trasladar el vector \(\vec{u}\) en la dirección y magnitud del vector \(\vec{v}\).
2. Resta de los vectores: La resta \(\vec{u} - \vec{v}\) resulta en un vector que representa la diferencia entre ambos. Esto puede ser visto como trasladar el vector \(\vec{u}\) en la dirección opuesta a \(\vec{v}\).
3. Producto escalar: El producto escalar \(\vec{u} \cdot \vec{v}\) es un valor que indica cuán alineados están los dos vectores. Un resultado negativo, como en este caso, sugiere que los vectores forman un ángulo obtuso entre ellos.
4. Magnitudes de los vectores: Las magnitudes \(\|\vec{u}\|\) y \(\|\vec{v}\|\) representan las longitudes de los vectores en el plano. Esto nos da una idea de la "fuerza" o "intensidad" de cada vector en sus respectivas direcciones.
Ejercicio 7:Un vector \(\vec{a}\) tiene como coordenadas \((3, -2)\) y un vector \(\vec{b}\) tiene como coordenadas \((-1, 4)\).
1. Calcula la suma de los vectores \(\vec{a} + \vec{b}\).
2. Determina el producto escalar \(\vec{a} \cdot \vec{b}\).
3. Encuentra la magnitud del vector \(\vec{a}\).
Justifica cada uno de tus pasos y presenta los resultados en forma de vectores y números.
Solución: Respuesta:
1. La suma de los vectores \(\vec{a} + \vec{b}\) es:
\[
\vec{a} + \vec{b} = (3, -2) + (-1, 4) = (3 + (-1), -2 + 4) = (2, 2)
\]
Entonces, \(\vec{a} + \vec{b} = (2, 2)\).
2. El producto escalar \(\vec{a} \cdot \vec{b}\) se calcula como:
\[
\vec{a} \cdot \vec{b} = (3)(-1) + (-2)(4) = -3 - 8 = -11
\]
Por lo tanto, \(\vec{a} \cdot \vec{b} = -11\).
3. La magnitud del vector \(\vec{a}\) se encuentra usando la fórmula:
\[
\|\vec{a}\| = \sqrt{(3)^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}
\]
Así que, \(\|\vec{a}\| = \sqrt{13}\).
---
Explicación:
1. Para sumar los vectores, simplemente sumamos sus componentes correspondientes. En este caso, sumamos las coordenadas \(x\) y \(y\) de \(\vec{a}\) y \(\vec{b}\).
2. El producto escalar se calcula multiplicando las componentes correspondientes de los vectores y luego sumando esos productos.
3. La magnitud de un vector se determina utilizando el teorema de Pitágoras, tomando las componentes \(x\) e \(y\) del vector.
Ejercicio 8:Un vector \(\vec{a} = (3, 4)\) y un vector \(\vec{b} = (-2, 1)\) son dados en un sistema de coordenadas cartesianas.
1. Calcula la suma de los vectores \(\vec{a}\) y \(\vec{b}\).
2. Determina el módulo del vector resultante.
3. Encuentra el ángulo que forman los vectores \(\vec{a}\) y \(\vec{b}\) utilizando la fórmula del producto punto.
¿Puedes resolver estos problemas y justificar cada uno de los pasos que sigas?
Solución: Respuesta:
1. La suma de los vectores \(\vec{a}\) y \(\vec{b}\) es \(\vec{a} + \vec{b} = (3 + (-2), 4 + 1) = (1, 5)\).
2. El módulo del vector resultante \(\vec{c} = (1, 5)\) se calcula como:
\[
\|\vec{c}\| = \sqrt{1^2 + 5^2} = \sqrt{1 + 25} = \sqrt{26} \approx 5.10.
\]
3. El ángulo \(\theta\) que forman los vectores \(\vec{a}\) y \(\vec{b}\) se determina utilizando la fórmula del producto punto:
\[
\vec{a} \cdot \vec{b} = \|\vec{a}\| \|\vec{b}\| \cos(\theta).
\]
Primero, calculamos el producto punto:
\[
\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot (-2) + 4 \cdot 1 = -6 + 4 = -2.
\]
Luego, encontramos los módulos de \(\vec{a}\) y \(\vec{b}\):
\[
\|\vec{a}\| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5,
\]
\[
\|\vec{b}\| = \sqrt{(-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}.
\]
Sustituyendo en la fórmula del producto punto:
\[
-2 = 5 \cdot \sqrt{5} \cdot \cos(\theta).
\]
Despejamos \(\cos(\theta)\):
\[
\cos(\theta) = \frac{-2}{5\sqrt{5}}.
\]
Finalmente, calculamos el ángulo \(\theta\):
\[
\theta = \cos^{-1}\left(\frac{-2}{5\sqrt{5}}\right) \approx 116.57^\circ.
\]
---
Explicación:
1. Para sumar vectores, simplemente se suman sus componentes correspondientes.
2. El módulo de un vector se calcula utilizando la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de sus componentes.
3. El ángulo entre dos vectores se encuentra usando el producto punto y la relación entre los módulos de los vectores y el coseno del ángulo entre ellos.
Ejercicio 9:Un vector \(\vec{a} = (3, 4)\) y un vector \(\vec{b} = (-1, 2)\) están dados en un sistema de coordenadas.
1. Calcula la suma de los vectores \(\vec{a} + \vec{b}\).
2. Calcula el producto escalar de los vectores \(\vec{a} \cdot \vec{b}\).
3. Determina la magnitud (norma) del vector \(\vec{a}\).
4. Encuentra un vector unitario en la dirección de \(\vec{b}\).
Presenta tus respuestas detalladamente y justifica cada paso del proceso.
Solución: Respuesta:
1. \(\vec{a} + \vec{b} = (3, 4) + (-1, 2) = (3 - 1, 4 + 2) = (2, 6)\)
2. \(\vec{a} \cdot \vec{b} = (3, 4) \cdot (-1, 2) = 3 \cdot (-1) + 4 \cdot 2 = -3 + 8 = 5\)
3. La magnitud de \(\vec{a}\) es \(|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\)
4. Un vector unitario en la dirección de \(\vec{b}\) se obtiene dividiendo \(\vec{b}\) por su magnitud. La magnitud de \(\vec{b}\) es \(|\vec{b}| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}\). Entonces, el vector unitario es:
\[
\hat{b} = \frac{\vec{b}}{|\vec{b}|} = \left( \frac{-1}{\sqrt{5}}, \frac{2}{\sqrt{5}} \right)
\]
---
Explicación:
1. Suma de vectores: Para sumar dos vectores en el plano, se suman sus componentes correspondientes. Aquí, sumamos las componentes \(x\) y las componentes \(y\) de \(\vec{a}\) y \(\vec{b}\).
2. Producto escalar: El producto escalar de dos vectores se calcula multiplicando las componentes correspondientes y sumando los resultados.
3. Magnitud de un vector: La magnitud se calcula usando la fórmula \(|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2}\), donde \(x\) y \(y\) son las componentes del vector.
4. Vector unitario: Para obtener un vector unitario, se divide el vector original por su magnitud, lo cual da un vector de longitud 1 en la misma dirección que el vector original.
Ejercicio 10:Un vector \(\vec{a} = (3, 4)\) y un vector \(\vec{b} = (-1, 2)\) están dados en un plano cartesiano.
1. Calcula la suma de los vectores \(\vec{a}\) y \(\vec{b}\).
2. Determina el vector resultante de restar \(\vec{b}\) de \(\vec{a}\).
3. Calcula el módulo de ambos vectores \(\vec{a}\) y \(\vec{b}\).
4. Encuentra el ángulo que forman ambos vectores utilizando el producto escalar.
Recuerda que el producto escalar de dos vectores \(\vec{u} = (u_1, u_2)\) y \(\vec{v} = (v_1, v_2)\) se define como:
\[
\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2
\]
y que el ángulo \(\theta\) entre ellos se puede calcular con la fórmula:
\[
\cos(\theta) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|}
\]
Solución: Respuesta:
1. Suma de los vectores:
\(\vec{a} + \vec{b} = (3, 4) + (-1, 2) = (3 - 1, 4 + 2) = (2, 6)\)
2. Resta de los vectores:
\(\vec{a} - \vec{b} = (3, 4) - (-1, 2) = (3 + 1, 4 - 2) = (4, 2)\)
3. Módulo de los vectores:
\(|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\)
\(|\vec{b}| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}\)
4. Ángulo entre los vectores:
Producto escalar:
\(\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot (-1) + 4 \cdot 2 = -3 + 8 = 5\)
Ahora, usando la fórmula para el coseno del ángulo:
\(\cos(\theta) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{5}{5 \cdot \sqrt{5}} = \frac{5}{5\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}\)
Por lo tanto, el ángulo \(\theta\) es:
\(\theta = \cos^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)\)
---
Explicación breve:
En este ejercicio se resolvieron operaciones básicas con vectores en el plano cartesiano, como la suma y la resta, así como el cálculo de su módulo y el ángulo entre ellos utilizando el producto escalar. Estos conceptos son fundamentales en el estudio de vectores en Matemáticas.
Ejercicio 11:Un vector \(\vec{a} = (3, 4)\) y otro vector \(\vec{b} = (-1, 2)\) son dados en el plano cartesiano.
1. Calcula la suma de los vectores \(\vec{a} + \vec{b}\).
2. Encuentra el módulo del vector \(\vec{a}\).
3. Determina el ángulo que forma el vector \(\vec{a}\) con el eje \(x\) en grados.
Recuerda utilizar las fórmulas adecuadas para cada cálculo.
Solución: Respuesta:
1. \(\vec{a} + \vec{b} = (3 + (-1), 4 + 2) = (2, 6)\)
2. \(\|\vec{a}\| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\)
3. \(\theta = \tan^{-1}\left(\frac{4}{3}\right) \approx 53.13^\circ\)
---
Breve explicación:
1. La suma de dos vectores en el plano cartesiano se realiza sumando sus componentes correspondientes. En este caso, sumamos las componentes \(x\) y \(y\) de \(\vec{a}\) y \(\vec{b}\).
2. El módulo de un vector \(\vec{a} = (x, y)\) se calcula utilizando la fórmula \(\|\vec{a}\| = \sqrt{x^2 + y^2}\).
3. El ángulo que forma un vector con el eje \(x\) se puede encontrar utilizando la función tangente inversa, donde \(\theta = \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)\). Aquí, \(y = 4\) y \(x = 3\).
Ejercicio 12:Un vector \(\vec{a} = (3, -2)\) y un vector \(\vec{b} = (-1, 4)\) son dados en un plano cartesiano.
1. Calcula la suma de los vectores \(\vec{a} + \vec{b}\).
2. Determina el producto escalar \(\vec{a} \cdot \vec{b}\).
3. Encuentra el módulo del vector \(\vec{a}\) y el ángulo que forma con el eje \(x\).
Presenta tus respuestas justificando cada paso del proceso.
Solución: Aquí tienes la solución al ejercicio con el formato solicitado.
---
Respuesta:
1. \(\vec{a} + \vec{b} = (2, 2)\)
2. \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 5\)
3. \(|\vec{a}| = \sqrt{13}\) y el ángulo \(\theta\) que forma con el eje \(x\) es \(\theta = \tan^{-1}\left(-\frac{2}{3}\right)\).
---
Explicación:
1. Suma de vectores:
\[
\vec{a} + \vec{b} = (3, -2) + (-1, 4) = (3 - 1, -2 + 4) = (2, 2).
\]
2. Producto escalar:
\[
\vec{a} \cdot \vec{b} = (3)(-1) + (-2)(4) = -3 - 8 = -11.
\]
3. Módulo de \(\vec{a}\):
\[
|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}.
\]
Para encontrar el ángulo \(\theta\):
\[
\theta = \tan^{-1}\left(\frac{-2}{3}\right).
\]
Esta presentación es adecuada para un portal educativo para estudiantes de 4º de ESO en la asignatura de Matemáticas.
Ejercicio 13:Un vector \(\vec{a} = (3, -2)\) y un vector \(\vec{b} = (-1, 4)\) son dados en el plano cartesiano.
1. Calcula la suma de los vectores \(\vec{a} + \vec{b}\).
2. Calcula el producto escalar de los vectores \(\vec{a}\) y \(\vec{b}\).
3. Determina la magnitud del vector \(\vec{a}\).
4. Encuentra el ángulo entre los vectores \(\vec{a}\) y \(\vec{b}\).
Justifica cada uno de tus cálculos y expresa el ángulo en grados.
Solución: Aquí tienes la solución al ejercicio:
Respuesta:
1. La suma de los vectores \(\vec{a} + \vec{b}\) es:
\[
\vec{a} + \vec{b} = (3, -2) + (-1, 4) = (3 - 1, -2 + 4) = (2, 2)
\]
2. El producto escalar de los vectores \(\vec{a}\) y \(\vec{b}\) es:
\[
\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot (-1) + (-2) \cdot 4 = -3 - 8 = -11
\]
3. La magnitud del vector \(\vec{a}\) es:
\[
\|\vec{a}\| = \sqrt{3^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}
\]
4. Para encontrar el ángulo \(\theta\) entre los vectores \(\vec{a}\) y \(\vec{b}\), utilizamos la fórmula del coseno del ángulo:
\[
\cos(\theta) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\|\vec{a}\| \|\vec{b}\|}
\]
Primero, calculamos la magnitud de \(\vec{b}\):
\[
\|\vec{b}\| = \sqrt{(-1)^2 + 4^2} = \sqrt{1 + 16} = \sqrt{17}
\]
Ahora sustituimos en la fórmula:
\[
\cos(\theta) = \frac{-11}{\sqrt{13} \cdot \sqrt{17}} = \frac{-11}{\sqrt{221}}
\]
Ahora, calculamos el ángulo:
\[
\theta = \arccos\left(\frac{-11}{\sqrt{221}}\right)
\]
Aproximando el valor:
\[
\theta \approx 139.74^\circ
\]
Por lo tanto, el ángulo entre los vectores \(\vec{a}\) y \(\vec{b}\) es aproximadamente \(139.74^\circ\).
---
Justificación de los cálculos:
1. La suma de vectores se realiza sumando sus componentes correspondientes.
2. El producto escalar se calcula multiplicando las componentes correspondientes y sumando los resultados.
3. La magnitud de un vector se obtiene utilizando el teorema de Pitágoras.
4. El ángulo entre dos vectores se calcula usando el coseno del ángulo, que relaciona el producto escalar y las magnitudes de los vectores.
Ejercicio 14:Un vector \(\vec{a} = (3, -2)\) y un vector \(\vec{b} = (-1, 4)\) son dados en el plano cartesiano.
1. Calcula la suma de los vectores \(\vec{a} + \vec{b}\).
2. Calcula el producto escalar de los vectores \(\vec{a} \cdot \vec{b}\).
3. Determina el módulo del vector \(\vec{a}\) y del vector \(\vec{b}\).
4. Encuentra el ángulo \(\theta\) entre los vectores \(\vec{a}\) y \(\vec{b}\) utilizando la fórmula del coseno del ángulo:
\[
\cos(\theta) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}
\]
Justifica cada uno de tus resultados.
Solución: Respuesta:
1. \(\vec{a} + \vec{b} = (3, -2) + (-1, 4) = (3 - 1, -2 + 4) = (2, 2)\)
2. \(\vec{a} \cdot \vec{b} = (3)(-1) + (-2)(4) = -3 - 8 = -11\)
3. \(|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}\)
\(|\vec{b}| = \sqrt{(-1)^2 + 4^2} = \sqrt{1 + 16} = \sqrt{17}\)
4. \(\cos(\theta) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{-11}{\sqrt{13} \cdot \sqrt{17}} = \frac{-11}{\sqrt{221}}\)
Por lo tanto, \(\theta = \cos^{-1}\left(\frac{-11}{\sqrt{221}}\right)\)
Explicación:
1. Suma de vectores: Se suman las componentes correspondientes de los vectores \(\vec{a}\) y \(\vec{b}\).
2. Producto escalar: Se calcula multiplicando las componentes correspondientes de los vectores y luego sumando los resultados.
3. Módulo de un vector: Se utiliza la fórmula \(|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2}\) para encontrar la longitud de cada vector en el plano.
4. Ángulo entre vectores: Se utiliza la fórmula del coseno del ángulo, que relaciona el producto escalar con los módulos de los vectores, para encontrar el ángulo entre ellos.
Ejercicio 15:Un vector \(\vec{a} = (3, -2)\) y un vector \(\vec{b} = (-1, 4)\) están en un sistema de coordenadas. Calcula la suma de los vectores \(\vec{a} + \vec{b}\) y representa gráficamente los vectores \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) y su suma en un plano cartesiano. ¿Cuál es el vector resultante?
Solución: Respuesta: \(\vec{a} + \vec{b} = (2, 2)\)
Para obtener la suma de los vectores \(\vec{a}\) y \(\vec{b}\), simplemente sumamos sus componentes:
\[
\vec{a} + \vec{b} = (3, -2) + (-1, 4) = (3 + (-1), -2 + 4) = (2, 2)
\]
Esto significa que el vector resultante \(\vec{c} = (2, 2)\) se puede representar gráficamente en el plano cartesiano. Para representar los vectores:
1. Dibuja el vector \(\vec{a}\) desde el origen (0,0) hasta el punto (3,-2).
2. Dibuja el vector \(\vec{b}\) desde el origen (0,0) hasta el punto (-1,4).
3. Dibuja el vector resultante \(\vec{c}\) desde el origen (0,0) hasta el punto (2,2).
Esto ilustra cómo los vectores se combinan para formar el vector resultante.
Ejercicio 16:Un vector \(\vec{a} = (3, -2)\) y un vector \(\vec{b} = (-1, 4)\) están definidos en el plano.
1. Calcula la suma de los vectores \(\vec{a}\) y \(\vec{b}\).
2. Determina el producto escalar de los vectores \(\vec{a}\) y \(\vec{b}\).
3. Encuentra el módulo del vector resultante de la suma.
Recuerda que el módulo de un vector \(\vec{v} = (x, y)\) se calcula con la fórmula \(|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2}\).
Solución: Respuesta:
1. La suma de los vectores \(\vec{a}\) y \(\vec{b}\) es \(\vec{a} + \vec{b} = (3 + (-1), -2 + 4) = (2, 2)\).
2. El producto escalar de los vectores \(\vec{a}\) y \(\vec{b}\) es \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot (-1) + (-2) \cdot 4 = -3 - 8 = -11\).
3. El módulo del vector resultante de la suma \((2, 2)\) es \(|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\).
---
Breve explicación:
1. Para sumar dos vectores, se suma componente a componente.
2. El producto escalar se calcula multiplicando las componentes correspondientes y sumando los resultados.
3. El módulo se obtiene aplicando la fórmula de la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de las componentes del vector resultante.
Ejercicio 17:Un vector \(\vec{a} = (3, -2)\) y un vector \(\vec{b} = (-1, 4)\) están dados en un sistema de coordenadas.
1. Calcula la suma de los vectores \(\vec{a} + \vec{b}\).
2. Encuentra el vector \(\vec{c} = k \cdot \vec{a}\) tal que su dirección sea la misma que la de \(\vec{b}\) y \(k\) sea un escalar positivo.
3. Determina el módulo del vector \(\vec{a}\).
4. Calcula el ángulo entre los vectores \(\vec{a}\) y \(\vec{b}\) utilizando la fórmula del producto punto.
Justifica cada uno de tus pasos con explicaciones claras.
Solución: Respuesta:
1. \(\vec{a} + \vec{b} = (3 + (-1), -2 + 4) = (2, 2)\)
2. Para encontrar el vector \(\vec{c} = k \cdot \vec{a}\) que tenga la misma dirección que \(\vec{b}\), calculamos el escalar \(k\) como sigue:
\[
k = \frac{\vec{b}}{\|\vec{a}\|} \quad \text{(donde \(\|\vec{a}\|\) es el módulo de \(\vec{a}\))}
\]
Primero, calculamos el módulo de \(\vec{a}\):
\[
\|\vec{a}\| = \sqrt{3^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}
\]
Ahora, para que \(\vec{c}\) tenga la misma dirección que \(\vec{b}\), se puede usar la relación de los componentes de los vectores:
\[
k \cdot 3 = -1 \quad \Rightarrow \quad k = \frac{-1}{3}
\]
Pero ya que \(k\) debe ser positivo, tomamos el negativo de \(\vec{b}\) para encontrar la dirección: \(\vec{c} = -\frac{1}{3} \cdot (3, -2) = (1, -\frac{2}{3})\).
3. Módulo del vector \(\vec{a}\):
\(\|\vec{a}\| = \sqrt{3^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}\)
4. Para calcular el ángulo \(\theta\) entre los vectores \(\vec{a}\) y \(\vec{b}\), utilizamos la fórmula del producto punto:
\[
\vec{a} \cdot \vec{b} = \|\vec{a}\| \|\vec{b}\| \cos(\theta)
\]
Calculamos el producto punto:
\[
\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot (-1) + (-2) \cdot 4 = -3 - 8 = -11
\]
Ahora, calculamos el módulo de \(\vec{b}\):
\[
\|\vec{b}\| = \sqrt{(-1)^2 + 4^2} = \sqrt{1 + 16} = \sqrt{17}
\]
Sustituyendo en la ecuación del producto punto:
\[
-11 = \sqrt{13} \cdot \sqrt{17} \cdot \cos(\theta)
\]
Despejamos \(\cos(\theta)\):
\[
\cos(\theta) = \frac{-11}{\sqrt{13} \cdot \sqrt{17}}
\]
Finalmente, para encontrar el ángulo \(\theta\):
\[
\theta = \arccos\left(\frac{-11}{\sqrt{13} \cdot \sqrt{17}}\right)
\]
Explicaciones:
1. La suma de vectores se realiza sumando cada componente de los mismos.
2. Para obtener un vector con la misma dirección, se utiliza la relación entre los componentes y se asegura que el escalar sea positivo.
3. El módulo de un vector se calcula aplicando el teorema de Pitágoras a sus componentes.
4. El ángulo entre dos vectores se puede obtener usando el producto punto y la relación de sus módulos, lo que nos permite encontrar el coseno del ángulo.
Ejercicio 18:Un vector \(\vec{a} = (3, -2)\) y otro vector \(\vec{b} = (-1, 4)\) están dados en el plano cartesiano.
1. Calcula la suma de los vectores \(\vec{a} + \vec{b}\).
2. Calcula el producto del vector \(\vec{a}\) por el escalar \(2\).
3. Determina el módulo del vector \(\vec{b}\).
4. Encuentra el ángulo entre los vectores \(\vec{a}\) y \(\vec{b}\).
Justifica cada uno de tus pasos y presenta las respuestas en el formato adecuado.
Solución: Aquí tienes la solución al ejercicio con las respuestas y justificaciones adecuadas.
► 1. Suma de los vectores \(\vec{a} + \vec{b}\)
Respuesta:
\[
\vec{a} + \vec{b} = (3, -2) + (-1, 4) = (3 - 1, -2 + 4) = (2, 2)
\]
Justificación:
Para sumar dos vectores, se suman sus componentes correspondientes. En este caso, sumamos las coordenadas \(x\) y \(y\) de \(\vec{a}\) y \(\vec{b}\).
---
► 2. Producto del vector \(\vec{a}\) por el escalar \(2\)
Respuesta:
\[
2 \cdot \vec{a} = 2 \cdot (3, -2) = (2 \cdot 3, 2 \cdot -2) = (6, -4)
\]
Justificación:
El producto de un vector por un escalar se realiza multiplicando cada componente del vector por el escalar. Aquí multiplicamos \(3\) y \(-2\) por \(2\).
---
► 3. Módulo del vector \(\vec{b}\)
Respuesta:
\[
\|\vec{b}\| = \sqrt{(-1)^2 + 4^2} = \sqrt{1 + 16} = \sqrt{17}
\]
Justificación:
El módulo de un vector \(\vec{b} = (x, y)\) se calcula usando la fórmula \(\|\vec{b}\| = \sqrt{x^2 + y^2}\). En este caso, sustituimos \(x = -1\) y \(y = 4\).
---
► 4. Ángulo entre los vectores \(\vec{a}\) y \(\vec{b}\)
Respuesta:
\[
\theta = \cos^{-1}\left(\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\|\vec{a}\| \|\vec{b}\|}\right) = \cos^{-1}\left(\frac{(3)(-1) + (-2)(4)}{\sqrt{3^2 + (-2)^2} \cdot \sqrt{(-1)^2 + 4^2}}\right)
\]
\[
= \cos^{-1}\left(\frac{-3 - 8}{\sqrt{13} \cdot \sqrt{17}}\right) = \cos^{-1}\left(\frac{-11}{\sqrt{221}}\right)
\]
Justificación:
El ángulo \(\theta\) entre dos vectores se puede calcular usando la fórmula:
\[
\cos(\theta) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\|\vec{a}\| \|\vec{b}\|}
\]
donde \(\vec{a} \cdot \vec{b}\) es el producto punto de los vectores y \(\|\vec{a}\|\) y \(\|\vec{b}\|\) son sus módulos. Aquí calculamos el producto punto y los módulos necesarios para encontrar el ángulo.
---
Estas son las soluciones al ejercicio propuesto. Si necesitas más detalles o aclaraciones, no dudes en preguntar.
Ejercicio 19:Un vector \(\vec{a} = (3, -2, 5)\) y un vector \(\vec{b} = (1, 4, -3)\) son dados en un espacio tridimensional.
1. Calcula el producto escalar \(\vec{a} \cdot \vec{b}\).
2. Determina la norma de cada uno de los vectores \(\vec{a}\) y \(\vec{b}\).
3. Encuentra el ángulo \(\theta\) entre los dos vectores utilizando la fórmula:
\[
\cos(\theta) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}
\]
4. Finalmente, verifica si los vectores son ortogonales.
Solución: Respuesta:
1. El producto escalar \(\vec{a} \cdot \vec{b}\) es:
\[
\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot 1 + (-2) \cdot 4 + 5 \cdot (-3) = 3 - 8 - 15 = -20
\]
2. La norma de los vectores \(\vec{a}\) y \(\vec{b}\) es:
\[
|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + (-2)^2 + 5^2} = \sqrt{9 + 4 + 25} = \sqrt{38}
\]
\[
|\vec{b}| = \sqrt{1^2 + 4^2 + (-3)^2} = \sqrt{1 + 16 + 9} = \sqrt{26}
\]
3. El ángulo \(\theta\) entre los dos vectores es:
\[
\cos(\theta) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} = \frac{-20}{\sqrt{38} \cdot \sqrt{26}} = \frac{-20}{\sqrt{988}} = \frac{-20}{2\sqrt{247}} = \frac{-10}{\sqrt{247}}
\]
Para encontrar \(\theta\), calculamos:
\[
\theta = \cos^{-1}\left(\frac{-10}{\sqrt{247}}\right)
\]
4. Para verificar si los vectores son ortogonales, comprobamos si el producto escalar es cero:
\[
\vec{a} \cdot \vec{b} = -20 \neq 0
\]
Por lo tanto, los vectores no son ortogonales.
Explicación:
Se ha calculado el producto escalar, las normas de los vectores y el ángulo entre ellos utilizando la fórmula proporcionada. La verificación de ortogonalidad se realiza comprobando que el producto escalar no es igual a cero, lo que indica que los vectores no son perpendiculares en el espacio tridimensional.
Ejercicio 20:Un vector \( \vec{a} = (3, 4) \) y un vector \( \vec{b} = (1, -2) \) están dados en un sistema de coordenadas cartesianas.
1. Calcula la suma \( \vec{c} = \vec{a} + \vec{b} \).
2. Determina el producto escalar \( \vec{a} \cdot \vec{b} \).
3. Encuentra el módulo del vector \( \vec{a} \).
4. Calcula el ángulo entre los vectores \( \vec{a} \) y \( \vec{b} \) utilizando la fórmula del coseno del ángulo.
Explica cada paso de tu solución.
Solución: Respuesta:
1. \( \vec{c} = \vec{a} + \vec{b} = (3, 4) + (1, -2) = (3 + 1, 4 - 2) = (4, 2) \)
2. \( \vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot 1 + 4 \cdot (-2) = 3 - 8 = -5 \)
3. \( ||\vec{a}|| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \)
4. \( \cos(\theta) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{||\vec{a}|| \cdot ||\vec{b}||} \)
- Primero, calculamos el módulo de \( \vec{b} \):
\( ||\vec{b}|| = \sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5} \)
- Luego, sustituimos en la fórmula:
\( \cos(\theta) = \frac{-5}{5 \cdot \sqrt{5}} = \frac{-5}{5\sqrt{5}} = \frac{-1}{\sqrt{5}} \)
- Por lo tanto, \( \theta = \cos^{-1}\left(\frac{-1}{\sqrt{5}}\right) \)
---
Explicación:
1. Para encontrar la suma de los vectores \( \vec{a} \) y \( \vec{b} \), simplemente sumamos sus componentes correspondientes. Esto nos da el nuevo vector \( \vec{c} \).
2. El producto escalar se calcula multiplicando las componentes de los vectores y sumando los resultados. En este caso, se multiplica la primera componente de \( \vec{a} \) por la primera de \( \vec{b} \) y la segunda componente de \( \vec{a} \) por la segunda de \( \vec{b} \).
3. El módulo de un vector se calcula utilizando la fórmula \( ||\vec{a}|| = \sqrt{x^2 + y^2} \), donde \( x \) y \( y \) son las componentes del vector.
4. Para calcular el ángulo entre dos vectores, utilizamos la fórmula del coseno del ángulo, que relaciona el producto escalar y los módulos de los vectores. Primero, calculamos el módulo del segundo vector y luego sustituimos todos los valores en la fórmula del coseno para encontrar el ángulo \( \theta \).
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En esta sección, hemos abordado los conceptos fundamentales relacionados con los vectores, un tema esencial en el estudio de las Matemáticas en 4º de ESO. A continuación, se presenta un resumen del temario que hemos trabajado:
Definición de vectores y sus propiedades
Representación gráfica de vectores
Operaciones con vectores: suma, resta y multiplicación por un escalar
Vector unitario y norma de un vector
Ángulo entre vectores y producto escalar
Aplicaciones de los vectores en problemas del mundo real
A continuación, se ofrece un breve recordatorio de la teoría:
Un vector es una entidad matemática que tiene dirección, módulo y sentido. Se representa gráficamente como una flecha, donde su longitud indica el módulo y la dirección la orientación. Los vectores se pueden sumar y restar de forma gráfica o algebraica, siguiendo las reglas del paralelogramo o el triángulo.
La norma de un vector, que se denota como ||v||, es su longitud y se calcula utilizando la fórmula:
||v|| = √(x² + y²), donde x e y son las componentes del vector en un sistema de coordenadas.
El vector unitario es un vector que tiene un módulo igual a 1 y se utiliza para representar la dirección de un vector sin considerar su tamaño. Para obtener un vector unitario, se divide cada componente del vector por su norma.
El producto escalar entre dos vectores permite calcular el ángulo entre ellos y se define como:
u · v = ||u|| ||v|| cos(θ), donde θ es el ángulo entre los vectores u y v.
Finalmente, los vectores tienen múltiples aplicaciones prácticas, desde la física hasta la informática, lo que los convierte en una herramienta valiosa para resolver problemas en diversas áreas.
Si tienes dudas mientras realizas los ejercicios, no dudes en consultar el temario o preguntar a tu profesor. ¡Buena suerte!
